3.3垂径定理(2)
1
良朋中学九年级数学导学案（3.3垂径定理（2））
班级 小组 姓名
【学习目标】
1.理解并掌握垂径定理的推论；
2.会用垂径定理的推论解决简单的计算和证明题；
重点：应用垂径定理解决相关问题
难点：垂径定理的综合运用．
【基础部分】
1、如图（1）请用几何语言阐述垂径定理。
●O
A B C
M └
（2）填空：条件：① CD 是直径 ③
④
② CD ⊥AB ⑤
（3）※垂径定理：
（4）请试写出垂径定理的逆命题： 。
【要点部分】
1.探索新知：逆命题1：平分弦的直径垂直于弦平分弦所对的弧。（证明）
●O
A B C
D
M └
条件：① CD 是直径 ③
(思考：被平分的弦能是直径吗？)
④
② AM=BM ⑤
逆定理1：
2
2．探索新知：逆命题2：平分弧的直径平分弧，垂直于弧所对的弦。（证明）
●O
A B C
M └
条件：① CD 是直径
③
④
② 弧AC=BC ⑤
逆定理2： 3.自主判断：
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.（ ）
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心（ ）.
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.（ ）
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（ ）
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（ ）
（7）平分弦的直线，必定过圆心。（ ）
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。（ ） （9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（ ）
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。（ ）
4．自主学习课本例1；完成变式：如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
5.巩固训练：已知：AB 是⊙O 直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，求证：EC ＝DF.
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A O B
E C D F
九年级数学下册 3.3 垂径定理教案 (新版)北师大版
垂径定理 一、教学目标 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点 重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 （一）情境引入： 1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？ （3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） （二）知识探究： 【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到： 1.垂径定理_____________________________________________________ 2.注意： ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 ③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言 如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,? AC =______,? BD =________ 4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？ 1.，作一条平分AB 于点M . （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
2.垂径定理的推论：______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例： 4.如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， （1）如果AE=BE 那么CD____AB,? AC =____? BD =____ (2)如果? AC =? BC 那么CD____AB ，AE______BE ，? BD =____ （3）如果? AD =? BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，? AC =______ （三）典例讲解： 1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m. 求 这段弯路的半径． 2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ （四）巩固训练： 题组一 1.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于C ，若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。 2.⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，求圆心O 到这条弦AB 的距离。 D
垂径定理推论证明
一、 ③AE=BE ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥ AB ②⌒AD = ⌒BD ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径） 连接OA ，OB ∵⌒AD = ⌒BD ∴∠AOD=∠BOD 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB ∠AOE=∠BOE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SAS ） ∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 二、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB ③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：连接OA ，OB 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB AE=BE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SSS ） ∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90° ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径） ∵∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 21 21
三、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD ④CD⊥AB ③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上 四、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径） 证明：连接OA，OB ∵CD⊥AB ∴∠AEO=∠BEO=90° 在Rt△AOE和Rt△BOE中 OA=OB OE=OE ∴Rt△AOE≌Rt△BOE（HL） ∴∠AOE=∠BOE，AE=∠BE ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD ∴⌒ CAD= ⌒ CBD = 圆周 ∴CD过圆心（即CD是直径） 五、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上 六、②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）④CD⊥AB 2 1
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1:(1）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （２)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为: 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。 2:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；9０°的圆周角所对的弦是直径。 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 点和圆的位置关系 设⊙O 的半径是ｒ，点Ｐ到圆心O 的距离为ｄ,则有： d
垂径定理及应用
和你谈谈“垂径定理及应用” 我们先来探究一下垂径定理的推导过程：在透明的纸片上面画一个圆O ，作任意一条非直径的弦CD ，再作直径AB 与CD 垂直，交点为P （如图1）．沿着这条直径将圆对折（如图2），我们不难发现：弧AC=弧AD ， 弧BC=弧BD ，CP=DP ，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 垂径定理是根据圆是特殊轴对称图形得 到的．由轴对称图形及轴对称的特征，我们还 可以发现：如果一条直线具备①经过圆心；② 垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧．这五个条件中的任意两 个，不然具备其余的三个，简称“知二推 三” ．但注意把“经过圆心平分弦”作为题设时，必须是平分非直径的弦，是因为圆的任意两条直径都相互平分． 垂径定理及其推论能使很多问题轻松获解，下面结合例题加以分析． 一、求圆半径、弦长或弦心距的长度 例1 小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm ，深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为（ ） A ．10cm B ．14.5cm C ．19.5cm D ．20cm 解析：根据题意抽象出几何图形（如图3），则问题可转化为：“在⊙O 中，AB 是弦，OC 是半径，OC ⊥AB 于点D ，且AB=10cm ，CD=2cm ，求⊙O 的直径” ． 设⊙O 的半径是r ，由垂径定理可得AD=AB 21=5cm ，且OD=OC —CD=r —2． 在Rt △AOD 中，由勾股定理可得222)2(5—r r +=． 解得r =7.25．所以⊙O 的直径为14.5cm ．故选B ． 练习：1．如图4，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若AC=8，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为（ ） A ． 2 3 B ．3 C ．5 D ．6 2．如图5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD=8cm ，那么A 、B 两点到 直线CD 的距离之和为（ ） 图1 图2 图3 图4 图5
27.3垂径定理教案
27.3(1) 垂径定理 崇明县三乐学校秦健 一、教学内容分析 学情分析：学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系。（即“四等定理”）本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形，且任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明； 教材分析：垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性. 二、教学目标 1、经历垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理； 2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 3、能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题. 三、教学重点及难点 重点：掌握垂径定理的内容并初步学会运用. 难点：垂径定理的探索和证明. 四、教学过程 （一）情景引入 1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）说明：通过实际问题引入新课激发学生学习兴趣
52D C B A O 1、观察与思考： 圆是怎样的对称图形？对称轴与对称中心分别是什么？ （二）学习新课 1、思考 如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为 M ，则图中有哪些相等的线段和弧？(半圆除外）为什么？ （学生观察，猜想，并得出以下结论） ①CO=DO （同圆的半径相等） ②AM=BM,弧AD=弧BD ，弧AC=弧BC （如何证明？） （学生讨论，并得出推导过程，教师板书） 联结OA 、OB ，则OA=OB. ∵ AB ⊥CD, ∴ AM=BM （等腰三角形三线合一）, ∠AOD=∠BOD, ∴ 弧AD=弧BD （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）. ∵ ∠AOC=∠BOC, ∴ 弧AC=弧BC. 2、定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧. 结合图形写成符号语言： ∵直径CD ⊥弦AB ，垂足为M ∴ AM=BM ∴ 弧AD=弧BD （同圆中，相等的 圆心角所对的弧相等）. 弧AC=弧BC. 3、抢答题：如图：已知⊙O 的半径OC 垂直于弦AB,垂足为点D ， AD 长2厘米，弧AB 长5厘米，则AB= 弧 AC= . 4、例题分析 例1、 已知：如图，以点O 为圆心的两个圆中， 大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 两点，
垂径定理
2 1 垂径定理 一、 圆的对称性 圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点 （1）思考∵OC=OD, ∴Δ OCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED= ∴AB 与CD 的位置关系是 （2）又∵点C 和点D 是一组对称点 ∴CE= 即点E 是CD 的中点 （3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论 1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧 2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备： （1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个 条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论 四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系 四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。 五、垂径定理及其推论的应用 （一）、选择题： 1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3 B 、3 C 、3 D 、2 3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．377 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°
垂径定理及推论(各省市中考题)
E A B C O 1. (2013 浙江省舟山市) 如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连 结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ▲ ） （A ）215 （B ）8 （C ）210 （D ）213 答案：D 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-29 2. (2013 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是 （A ） 3 （B ） 5 （C ）15 （D ） 17 答案：B 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-24 3. (2013 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．则 下列结论错误．． 的是（ ）． （A ）? ?AD BD = （B ）AF BF = （C ）OF CF = （D ）90DBC ∠=°
答案：C 4.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 2013-09-22 4. (2013 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m. 答案：0.2 4.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013-09-22 5. (2013 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点 D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 C A D B
垂径定理的教案
§24.1.2 《 垂直于弦的直径》教案 教学目标： 1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理及其推论；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题； 2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。 教学重点：使学生掌握垂径定理及其推论、记住垂径定理的题设和结论。 教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。 教学过程： 一、复习引入 1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称和轴对称） 2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是什么特殊位置？（直径所在的直线） 3、观察并回答： （1）在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？ （相交，而且两条直径始终是互相平分的） （2）把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？ 二、新课 （一）猜想，证明，形成垂径定理 1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当C D ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证） 2、得出猜想：在圆⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，当C D ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分。
3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证： 如图，已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M。 求证：AE=BE。 4、思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？(参照数本P81) 5、我们给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。 （二）分析垂径定理的条件和结论以及探讨垂径定理的推论 1、引导学生说出定理的几何语言表达形式 ① CD是直径、AB是弦 ① AE=BE ②C D⊥② 2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。 例1 看下列图形，是否能直接使用垂径定理？ 3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： ①经过圆心得到（结论）①平分弦 一条直线具有（条件）： AC=BC AD=BD
垂径定理解题应用举例
垂径定理解题应用举例 垂径定理及其推论是《圆》一章的重要考点，定理告诉我们，对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。它反映了圆的重要性质，是证明线段相等．．．．、角相等．．．、垂直关系．．．． 的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，下面分类举例说明。 一、利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系 例1 (重庆市)如图1，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ， ∠EOD ＝40°,则∠DCF 等于（ ） A.80° B. 50° C. 40° D. 20° 【析解】本题可由②③?①④⑤，所以可得 ED DF =， 从而得出∠DCF 与∠EOD 的关系。 解：∵直径CD 平分弦EF ， ∴ ED DF =， ∴ ∠DCF ＝1 2∠EOD ＝20°。 故选（D ）． 二、利用垂径垂直平分弦，证相关线段相等 例2 (南京市)如图2，矩形ABCD 与与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm . 【分析】本题上手有点不知所措，其实利用矩形和垂径定理相关知识可以得到解决。分别过O ，G 作OM ⊥CD ，GN ⊥DC ，即可求出EF 的长。 解：如图2，分别过O ，G 作OM ⊥CD ，GN ⊥DC ，则根据矩形的性质可得：NC ＝GB ＝8，DN ＝AG ＝1，GN ∥OM ∥BC ， ∵ OM ⊥EF ， ∴ EM ＝MF ， ∵ OG ＝OB ，GN ∥OM ∥BC ， ∴ MN ＝MC ， ∴ CF ＝NE ， ∵ DE ＝2，∴ NE ＝DE －DN ＝DE －AG ＝1， ∴ EF ＝NC －NE －CF ＝8－2＝6． 三、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定 理 例3 （长春市）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图3是水平放置的破裂管道有水部分的截 面． 图1 D D B A 图3
湘教版九年级数学下册 垂径定理教案
《垂径定理》教案 教学目标 知识与技能 1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证. 2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算. 过程与方法 在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力. 情感态度 通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情. 教学重点 垂径定理及运用. 教学难点 用垂径定理解决实际问题. 教学过程 一、情境导入，初步认识 教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下: ①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ ②如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？ (在纸片上对折操作) 【教学说明】 (1)是轴对称图形，对称轴是直线CD. (2)AM=BM，AC BC AD BD ，. == 二、思考探究，获取新知 探究1垂径定理及其推论的证明. 1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程. 已知:直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点M. 求证:AM=BM，AC BC AD BD ， == 【教学说明】连接OA=OB，又CD⊥AB于点M，由等腰三角形三线合一可知AM=BM，再由⊙O关于直线CD对称，可得AC BC AD BD ，. == 2.得出垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 3.学生讨论写出已知、求证，并说明. 学生回答: 【教学说明】已知:AB为⊙O的弦(AB不过圆心O)，CD为⊙O的直径，AB交CD 于点M，MA=MB. 示证:CD⊥AB，AC BC AD BD ，. == 证明:在△OAB中，∵OA=OB，MA=MB，∴CD⊥AB.又CD为⊙O的直径，∴ == ，. AC BC AD BD 4.同学讨论回答，如果条件中，AB为任意一条弦，上面的结论还成立吗？ 学生回答: 【教学说明】当AB为⊙O的直径时，直径CD与直径AB一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂直. 探究2垂径定理在计算方面的应用. 例1如课本图，弦AB=8cm，CD是圆O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求圆O的直径CD的长. 例2已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=10cm，CD=24cm，求AB与CD间的距离. 解:(1)当AB、CD在O点同侧时，如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连OA、 OC.∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N.在Rt△AOM中，AM=5cm，OM12cm.在 Rt△OCN中，CN=12cm，ON5cm.∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，由(1)可知OM= 12cm，ON=5cm，MN=OM+ ON，∴MN=17cm.∴AB与CD间的距离是7cm或17cm. 【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去. 2.AB、CD与点O的位置关系没有说明，应分两种情况:AB、CD在O点的同侧和AB、CD 在O点的两侧. 探究3与垂径定理有关的证明. 例3证明：圆的两条平行线所夹的弧相等.已知：如课本图，在圆O中，弦AB与弦CD平行.证明：弧AC等于弧BD.
垂径定理及推论教学设计
24.1.2垂径定理及其推论教学设计 【教材分析】 本节是《圆》这一章的重要容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。 【教学目标】 根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标： 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 方法与过程目标： 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。 情感态度与价值观目标: 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。 【重点与难点】 重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。 难点：对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。 【学生分析】 九年级学生已了解圆的有关概念；但根据皮亚杰的认知发展理论：这个阶段的学生思维正处于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、部心理上逐步朝着自我反省的思维发展。虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。对如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的能力较差。 【教学方法】 鉴于教材特点及九年级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
圆的垂径定理应用精选讲解学习
圆的垂径定理应用精 选
圆的垂径定理应用精选 一、双基导学： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。 垂径定理推论的规律：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条 时，“弦”不能是直径。） 2、运用垂径定理的注意事项： （1）牢记基本图形及变式图形（如右图） （2）半径r、弦长a、弦心距d 和弓形高h四者的关系是： ①d+h=r；②r2=d2+( 2 a )2 当不能用勾股定理直接计算时，要用勾股定理列方程求解。 (3)当弦是特殊的直径时，有的推论不成立。 (4)常用辅助线：连接与弦的端点、过圆心作弦的垂线。 二、垂经定理的应用 1、利用平分弦，解有关线段问题 （1）证明线段间的关系（相等、和、差、倍、分等） 例：如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM?⊥CD，?AN与BM是否相等，说明理由． （2）求半径 例.高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，求圆的半径OA 析解：由垂径定理可知△AOD是直角三角形，解决本题关键是根据勾股定理列出方程.设半径OA=x米，则OD=CD－OC=7－x（米）.因为OD⊥AB,所以 AD= 1 2 AB=5（米）.在Rt△AOD中，因为222 AD OD OA +=，所以222 5(7)x x +-=，解这个方程得： 37 7 x= 图3 图2
（3）求弦长 例.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图4所示，则这个小孔的直径AB ＿＿＿＿mm ． 析解：要求小孔的直径AB ，关键是根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理来解决.如图5，设圆心为O ，连接OA ,过点O 作OC ⊥AB ,交劣弧于D ， C 为垂足，则AC=CB ，OA=O D =11052 ?=mm ，OC =8－5=3mm ，在Rt △AOC 中，AC =22OA OC -22534=-=，所以AB =2AC =2×4=8(mm). （4）、求弦心距 例.如图6，⊙O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ． 析解：连接OA ,因为OC AB ⊥于C ，所以由垂径定理可得AC = 11 8422 AB =?=.在Rt △AOC 中，由勾股定理可得OC =2222543OA AC -=-=. 2、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理解题 例：有一座圆弧形拱桥，桥下水面AB 宽24m ，拱顶高出水面8m.。现有一 艘高出水面部分的截面为长方形的船要经过这里，长方形的长为8m 、高为7m 。此船能顺利通过这座桥吗? D C A O B 图8 图 C O A B D C O A B 图 B A 8m 图4 O F E D C B A
垂径定理的应用教案
课题：垂径定理的应用 一、引入：简要复习垂径定理及其推论的内容。 二、题组训练： 教学意图：通过题组训练强化学生对垂径定理及其推论的应用，在此过程中逐步渗透用方程思想来解决几何运算的问题，并介绍弓形的高的概念，目的是分解课本上例3“赵州桥问题”的难度，为下面顺利建立数学模型解决此例题做好准备。 1、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，于D ，AB = 8cm ，OD = 3cm. 求 ⊙O 的半径OA. （直接应用垂径定理） 2、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦， OC 交AB 于D 且D 为AB 的中点，AB = 8cm ，OA = 5cm. 求CD. （应用垂径定理的推论） 3、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC 交 AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 2cm. 求 ⊙O 的半径OA . （应用垂径定理的推论和方程的思想） 4、如图，在弓形ACB 中，AB ＝16cm ，弓形的高CD 为4cm ，求弓形所在的圆的半径。 （强化垂径定理和方程思想的运用，逐步渗透数学建模的思想。） 5、小结：对于一个圆中的弦长a 、圆心到弦的距离d 、圆半径r 、弓形高 h ，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有： （1）h d r +=；（2）222)2(h a r += 三、解决“赵州桥问题” 例3 1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧 形，它的跨度（弧所对是弦的长）为 37.4 米，拱高（弧的中点到弦的 距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）. 教学程序及意图说明： 1、先用图片和文字介绍赵州桥的历史和特点，激发学生学习的兴趣； 2、展示赵州桥的平面示意图，帮助学生理解题意并初步建立数学模型。 3、分析、讲解建模的过程，给出解题过程。 四、建模强化训练： 1、在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面 宽AB = 600mm ，求油的最大深度. 2、如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米，半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3 米的送家具的卡车，问这辆卡车能否通过通道，请说明理由。 五、小结和布置作业。 ·A B O C D ·A B O C D A B
垂径定理学案、教学设计
24.1.2垂直于弦的直径导学案 广水市实验中学张运才 【学习目标】 1.理解圆的轴对称性． 2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题． 【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明． 【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 【学习过程】 【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题： （一）情景导入：观看赵州桥视频。聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？ （二）自主探究：先自主探究，后小组交流。 探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？ 我发现： （1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆． （2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴． 探究二：请同学们按下面的步骤做一做： 第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD； 第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足； 第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？ （2）你能用一句话概括上述结论吗？ （3）请作出图形并用符号语言表述这个结论． 练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？ 【交流学】先独立完成，后小组交流。 1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论： （1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ （2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ 思考：你能用一句话概括上述结论吗？ 推论： 如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？ 发现：
垂径定理教学设计
垂径定理（第一课时）教学设计 兰甲明 【教学内容】§7．3垂径定理（初三《几何》课本P 76~P 78） 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以 升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 （如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存 最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被 誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁 界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4 米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离， 也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的 半径（即AB 所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1） ⌒
二、尝试诱导，发现定理 1．复习过渡： ①如图2(a)，弦AB 将⊙O 分成几部分？各部分的名称是什么？ ②如图2(b)，将弦AB 变成直径，⊙O 被分成的两部分各叫什么？ ③在图2(b)中，若将⊙O 沿直径AB 对折，两部分是否重合？ (a) (b) (a) (b) (c) （图2） （图3） 2．实验验证： 让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质—— 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 3．运动变换： ①如图3(a)，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图3(b)，当AB ⊥CD 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？ ③如图3(c)，当AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？ 4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想—— （板书） ?????===????⊥BD AD BC AC BD AE CD E AB,CD O 垂足为弦的直径是圆 5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。 三、引导探究，证明定理 1．引导证明： 猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE ”，可通过连结OA 、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。 B B B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
(文章)垂径定理在实际问题中的应用
垂径定理在实际问题中的应用 “数学源于生活，生活中充满着数学”,我们刚刚学过的垂经定理在生活中就有着广泛的应用，中考中也常常体现这一点，现采撷几例,以飨读者． 例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块 析解：显然，小明带到商店去的应是一块能确定其 圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，根据垂径定理 可知，由第②块可确定出圆心和半径（如图2所示），故选答案B. 例2高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高C D =7米，则此圆的半径O A =（ ） A.5 B.7 C. 5 37 D. 7 37 析解：本题主要考查垂径定理与勾股定理的知识.设圆的半径为r ，有(7－r)2+52=r 2. 解之得,r= 7 37.故选D. 例3兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ． 析解:考查垂径定理及其应用,如图根据垂径定理,三角形ADO 是Rt △,所以 6=,CD=10－6=4,填4. 例4如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 析解:本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径. 如图5，连接AC ，作AC 的中垂线交AC 于G ，交BD 于N ，交圆的另一点为M ，由垂径定理可知：MN 为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN 的中点O ，则O 为圆心，连接OA 、OC ， ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴AB ∥CD ． ∵AB=CD,∴四边形ABCD 为矩形, ∴AC=BD=200cm,GN=AB=CD=20 cm, 图3 图 4 O M N G 图1
垂径定理及其推论
垂径定理及其推论 一、 复习旧知 复习前面学习的圆的基本元素，重点复习圆心角、弧、弦之间的关系；强调圆是旋转对称图形、轴对称图形和中心对称图形。 二、 情境导入（出示赵州桥图片） 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？现在同学们不会求，但是学了这节课你们就能把主桥拱的半径求出来了。 三、 出示学习目标 1、 利用圆的轴对称性探究垂径定理 2、 理清垂径定理及其推论的题设和结论。 3、 运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。 4、 学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法 四、 自学探究 1、如图,在纸上画⊙O ，AB 是⊙O 的一条弦, 作直径CD ⊥AB, 垂足为E.沿CD 折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧? 你能发现什么结论? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD 2、得出猜想 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 D
即如果CD⊥AB，那么AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD 3、请根据猜想写出命题的已知、求证，并写出证明过程 4、得出结论经过证明，以上命题是真命题。即垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧是成立的，我们把这个真命题叫做垂径定理 四、检测 1、（出示图形）检查下列图形是否具备应用垂径定理的条件？ 五、例题讲解 已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙半径 技巧总结：从例题看出圆的半径OA，弦心距OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决问题。 六、练习 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。 七、思考 将垂径定理的题设和结论调换，命题还成立吗？ 1、如果圆的一条直径平分弦（不是直径），那么它垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧 写出此命题的已知求证，并进行证明。 2、经验证，命题是正确的，由此得出垂径定理的推论1：平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
九年级数学：垂径定理练习(第2课时)(含答案)
九年级数学：垂径定理练习(第2课时)（含答案） 1．平分弦(____________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧． 2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 3．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项． A组基础训练 1．下列命题正确的有( ) ①垂直于弦的直径平分弦 ②平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦的直线必过圆心 ④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图,⊙O的弦AB＝8,M是AB的中点,且OM＝3,则⊙O的半径等于( ) A．8 B．2 C．10 D．5 第2题图 3．如图,已知⊙O的半径为2cm,弦AB长23cm,则这条弦的中点C到弦所对劣弧的中点D 的距离为( ) 第3题图
A ．1cm B ．2cm C.2cm D.3cm 4．如图,一条公路弯道处是一段圆弧AB ︵,点O 是这条弧所在圆的圆心,C 是AB ︵的中点,OC 与 AB 相交于点D.已知AB ＝120m ,CD ＝20m ,那么这段弯道的半径为( ) 第4题图 A ．200m B ．2003m C ．100m D ．1003m 5．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB 与CD 相交于点E.若要得到结论AB⊥CD ,还需添加的条件是________________________________．(不添加其他辅助线) 第5题图 6.如图,AB ,CD 是⊙O 的直径,D 是AE ︵的中点,AE 与CD 交于点F ,若OF ＝3,则BE 的长为 ________． 第6题图 7．如图所示,AB 是半圆的直径,O 是圆心,C 是半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点 D.若AC ＝8cm ,DE ＝2cm ,则OD 的长为________． 第7题图 8.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(10,0),点B 的坐标为(8,0),点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形,则点C 的坐标为________．
- 3.3 垂径定理(第2课时)浙江嘉兴市南溪中学 房桂平
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- 24.2第二课时垂径定理解析
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- 北师大版数学九年级下册《第三章 圆 ※3 垂径定理 第2课时 垂径定理(2)》教学课件
- 垂径定理教案
- 242第2课时 垂径定理
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