高中数学竞赛定理
重 心
定义：重心是三角形三边中线的交点，
可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB 于F 。求证：F 为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，
S △AOB=S △AOC ， 又S △AOB=S △BOC ， ∴S △AOC=S △BOC ，
再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、三角形内到三边距离之积最大的点。
5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3
外 心
定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。
外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。
设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c 重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c )
垂 心
定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 性质：
锐角三角形垂心在三角形内部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部
设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积。 1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c
垂心坐标：( 1c /c ，2c /c ，3c /c )
九点圆
三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆，这个圆为九点圆 〔 或欧拉圆 或 费尔巴哈圆. ）
九点圆性质：
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 即
九点圆
r
：
外接圆
r
=2：1
2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切
设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c
垂心坐标：：( (3212c c c ++)/4c ，(3212c c c ++)/4c ，(3212c c c ++)/4c )
欧拉线
定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
欧拉线的性质：
1、在任意三角形中，以上四点共线。
2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1
如图 作△ABC 的外接圆，连结并延长BO ，交外接圆于点D 。连结AD 、CD 、AH 、CH 、OH 。作中线AM ，设AM 交OH 于点G’ ∵ BD 是直径
∴ ∠BAD 、∠BCD 是直角 ∴ AD ⊥AB ，DC ⊥BC ∵ CH ⊥AB ，AH ⊥BC ∴ DA//CH ，DC//AH
∴ 四边形ADCH 是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M 是BC 的中点，O 是BD 的中点 ∴ OM= 2
1DC ∴ OM=
2
1
AH
∵ OM//AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴GM AG =12 ∴ G’是△ABC 的重心 ∴ G 与G’重合 ∴ O 、G 、H 三点在同一条直线上
欧拉线的证法2
如图 设H,G ,O,分别为△ABC 的垂心、重心、外心。连接AG 并延长交BC 于D, 则可知D 为BC 中点。 连接OD O 为外心
∴OD ⊥BC
连接AH 并延长交BC 于E
H 为垂心
∴ AE ⊥BC ∴OD//AE ，有∠ODA=∠EAD 。由于G 为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG 并延长交BA 于F 则可知F 为AB 中点 同理，OF//CM ∴∠OFC=∠MCF 连接FD
FD//AC,DF:AC=1:2
∴∠DFC=∠FCA ，∠FDA=∠CAD 又∠OFC=∠MCF ，∠ODA=∠EAD 相减可得
∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC
∴△OFD∽△HCA
∴OD:HA=DF:AC=1:2
又GA:GD=2:1
∴OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD
∴△OGD∽△HGA
∴∠OGD=∠AGH
又连接AG并延长
∴∠AGH+∠DGH=180°
∴∠OGD+∠DGH=180°
即O、G、H三点共线
欧拉线的证法3
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
则OH=OA+OB+OC
OG=（OA+OB+OC）/3，
3 ×OG=OH
∴O、G、H三点共线(注：OH, OA, OB , OC ,OG均为向量）
费马点
定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
费马点的判定
（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点性质：
（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
（2）.特殊三角形中，三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P 就是所求的费马点.
(3).特殊三角形中，若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是费马点
(4)特殊三角形中，当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
证明
(1)费马点对边的张角为120度 在B CC 1?和B AA 1?中
BC=1BA ,BA=1BC ,1CBC ∠=∠B+?60=1ABA ∠, ∴B CC 1?和B AA 1?是全等三角形 ∴∠PCB=B PA 1∠
同理可得∠CBP=P CA 1∠
由B PA 1∠+P CA 1∠=?60，得∠PCB+∠CBP=?60, ∴∠CPB=?120 同理,∠APB=?120，∠APC=?120 (2)PA+PB+PC=1AA
将△BPC 以点B 为旋转中心旋转?60与1BDA ?重合，连结PD ，则△PDB 为等边三角形 ∴∠BPD=?60 又∠BPA=?120
因此A 、P 、D 三点在同一直线上
又∠CPB=DB A 1∠=?120，∠PDB=?60，PDA ∠=?180 ∴A 、P 、D 、1A 四点在同一直线上
故PA+PB+PC=1AA
(3)PA+PB+PC 最短
在△ABC 内任意取一点M （不与点P 重合），连结AM 、BM 、CM ，将△BMC 以点B 为旋转中心旋转?60与1BGA ∠重合，连结AM 、GM 、G A 1(同上)，则1AA 梅涅劳斯定理 内容：如果一条直线与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么 FB AF ×DC BD ×EA CE =1。 或 设X 、Y 、Z 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 所在直线上， 则X 、Y 、Z 共线的充要条件是ZB AZ × XC BX × YA CY =1 证明一： 如图 过点A 作AG ∥BC 交DF 的延长线于G , 则 FB AF = BD AG , DC BD = DC BD , EA CE = AG DC 。 三式相乘得： FB AF × DC BD × EA CE = BD AG × DC BD × AG DC =1 证明二： 过点C 作CP ∥DF 交AB 于P ，则DC BD = PF FB ， EA CE = AF PF ∴ FB AF × DC BD × EA CE = FB AF × PF FB × AF PF =1 它的逆定理也成立：若有三点F 、D 、E 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 或其延长线上，且满足 FB AF × DC BD × EA CE =1，则F 、D 、E 三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 证明三： 过ABC 三点向三边引垂线AA'BB'CC'， ∴AD ：DB=AA'：BB'， BE ：EC=BB'：CC'， CF ：FA=CC'：AA' ∴FB AF × DC BD × EA CE =1 在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上分别取L 、M 、N 三点， 又分比是λ=BL/LC 、μ=CM/MA 、ν=AN/NB 。于是L 、M 、N 三点共线的充要条件是λμν=1。 第一角元形式的梅涅劳斯定理 如图：若E ，F ，D 三点共线，则 FCB ACF ∠∠sin sin ×DAC BAD ∠∠sin sin ×ABE CBA ∠∠sin sin =1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O ，且EDF 共线，则 DOB AOF ∠∠sin sin × DOC BOD ∠∠sin sin × AOE COA ∠∠sin sin =1。(O 不与点A 、B 、C 重合) 塞瓦定理 内容:在△ABC 内任取一点O 直线AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法: （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ∵△ADC 被直线BOE 所截 ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD 被直线COF 所截 ∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 ② ②÷①:即得： (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S △ABD/S △ACD=S △BOD/S △COD =(S △ABD-S △BOD)/(S △ACD-S △COD)=S △AOB/S △AOC ③ 同理 CE/EA=S △BOC/ S △AOB ④ AF/FB=S △AOC/S △BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB 、BC 、AC 的垂足分别为D 、E 、F ， 根据塞瓦定理逆定理， ∵(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA ） /[(CD*ctgB ）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1， ∴三条高CD 、AE 、BF 交于一点。 可用塞瓦定理证明的其他定理; 三角形三条中线交于一点（重心）: 如图5 D , E分别为BC , AC 中点 ∴BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 ∵AF=BF ∴ AF/FB=1 ∴AF=FB ∴三角形三条中线交于一点 可用定比分点来定义塞瓦定理： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。 塞瓦定理推论: 1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F， 则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 ∵(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理） ∴(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K （K为未知参数） 又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 ∴(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是 (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证 3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点 的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证 4..还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理， ∵(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ct gC)/[(AE*ctgB)]=1， ∴三条高CD、AE、BF交于一点。 燕尾定理 燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理 （如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上的点，AD、BE、CF 交于O点） S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD 同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：EA 证法1 下面的是第一种方法：相似三角形法 已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO， 交AC于点E。 求证：AE=CE 证明：如图1，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。 ∵MN∥BC ∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD ∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD ∴MO：BD=NO：CD ∵AD是△ABC的一条中线 ∴BD=CD ∴MO=NO ∵PQ∥AB ∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF ∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF ∴PO：BF=QO：AF ∵CF是△ABC的一条中线 ∴AF=BF ∴PO=QO 1 图∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO ∴△MOP≌△NOQ(SAS) ∴∠MPO=∠NQO ∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行） ∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE ∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE ∴MR：AE=PR：CE ∵MN∥BC，PQ∥AB ∴四边形BMOP是平行四边形 ∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分） ∴AE=CE 命题得证。 证法2 下面的是第二种方法：面积法 已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。 求证：AE=CE 证明：如图2 ∵点D是BC的中点，点F是AB的中点 ∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD ∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD 即S△AOC = S△AOB ∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF ∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF 图 2 即S△AOC = S△BOC ∴S△AOB = S△BOC ∵S△AOE:S△AOB=OE:OB,S△COE:S△BOC=OE:OB ∴S△AOE:S△AOB= S△COE:S△BOC ∵S△AOB = S△BOC ∴S△AOE = S△COE ∴AE=CE 命题得证。 证法3 下面的是第三种方法：中位线法 已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。 求证：AE=CE 证明：如图2，延长OE到点G，使OG=OB ∵OG=OB ∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点 ∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） ∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF∥AG ∵AD∥CG，CF∥AG ∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分 ∴AE=CE 命题得证。 证法四： 因为ABCO是凹四边形，根据共边比例定理，命题得证 托勒密定理 定理的内容：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 证明 一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD ∵△ABE∽△ACD ∴ BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE ∴△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又∵BE+ED≥BD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） ∴命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d) 。 首先注意到复数恒等式：(a? b)(c? d) + (a? d)(b? c) = (a? c)(b? d) ，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； ∵∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似 同理也有△ABD ~ △KBC 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕 三、已知：圆内接四边形ABCD 求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC 证明：如图，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4 ∴△ACD∽△BCP ∴AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ① 又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6， ∴△ACB∽△DCP ∴AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ② ①＋②得AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC 即AC·BD=AB·CD＋AD·BC 推论 1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆 推广 托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意： 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 西姆松定理 西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）。 西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 性质： （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆， 于是∠FDP=∠ACP ① ∵都是∠ABP的补角且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180°③ ∴∠FDP+∠PDE=180°④ 即F、D、E共线. 反之 当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB， 有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆， 有∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。 若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。 因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB， 有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆， 有∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。 相关性质的证明 连AH延长线交圆于G, 连PG交西姆松线与R,BC于Q 如图连其他相关线段 AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2 A.G.C.P共圆==>∠2=∠3 PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4==>∠1=∠4 PF⊥BC==>PR=RQ BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6 A.B.G.C共圆==>∠6=∠7==>∠5=∠7 AG⊥BC==>BC垂直GH==>∠8=∠2=∠4 ∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10 ==>HQ//DF ==>PM=MH 初中数学竞赛中常用重 要定理 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU- 数学竞赛中几个重要定理 1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 D 、 E 、 F 且D 、E 、F 三点共线，则 FB AF EA CE DC BD ??=1 2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线 上 有点D 、E 、F ，且满足FB AF EA CE DC BD ??=1，则D 、E 、F 三点共线。 3、 塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、 P 、 M ，则 1=??PA CP NC BN MB AM 4、 塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的 边AB 、BC 、CA 上，且满足 1=??PA CP NC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点。 5、 广勾股定理的两个推论： 推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。 推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c 则：m a =2 222221a c b -+；m b =2 222221b c a -+；m c =2 222221c b a -+ 6、 三角形内、外角平分线定理： 内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有 AC AB DC BD = 外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ， 则有 AC AB DC BD = 7、 托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有 AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD 8、 三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线 AD 、BE 、CF 共点于P 欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦（Heron）公式： 塞瓦（Ceva）定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚（Gergonne）点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（Simson）线： 已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。 黄金分割： 把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯（Pappus）定理： 已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于 点Z，则X、Y、Z三点共线。 平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P 还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、 E 、 F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D / 重 心 定义：重心是三角形三边中线的交点， 可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB 于F 。求证：F 为AB 中点。 证明：根据燕尾定理， S △AOB=S △AOC ， 又S △AOB=S △BOC ， ∴S △AOC=S △BOC ， 再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、三角形到三边距离之积最大的点。 5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3 外 心 定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。 外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。 设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c 重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c ) 垂 心 定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 性质： 锐角三角形垂心在三角形部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部 数学竞赛中几个重要定理 1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ? ?=1 2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且 满足FB AF EA CE DC BD ? ?=1，则D 、E 、F 三点共线. 【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC 边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△MPQ ∽△ABC j M Q G A C B X Y P 【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC 【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线. 【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD 于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP 【练习2】 在△ABC 中，∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F. 若BE ：ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDC D 塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则1= ? ? PA CP NC BN MB AM 塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足1= ? ? PA CP NC BN MB AM ， 则AN、BP、CM相交于一点. 【例1】B E是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F， 过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形. 求证：△LMN为正三角形. G C L M E D F N 竞赛专题讲座－几个重要定理 《定理1》正弦定理 △ABC中，设外接圆半径为R，则 证明概要如图1-1，图1-2 过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故 即；同理可 得 当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A. 当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。 《定理2》余弦定理△ABC中，有关系 a2=b2+c2-2bccosA；（*） b2=c2+a2-2cacosB； c2=a2+b2-2abcosC； 有时也用它的等价形式 a=ccosB+bcosC； b=acosC+ccosA；（**） c=acosB+bcosA. 证明简介 余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法 如图建立复平面，则有 =（bcosA-c2）+(bsinθ)2即 a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。 《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线 于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有 《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点） 设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明： （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 同理 ④ ⑤ ③×④×⑤得 《定理5》塞瓦定理逆定理 在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。 证法简介 （Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1） 则 EA CE BD BC = 代入已知式：1=??FB AF BD BC DC BD 于是 CB DC FB AF = ， 故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF （Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得 1='??B F AF EA CE DC BD 而已知1=??FB AF EA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FB AF AF B F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+'ΘAF F A ='Θ 即F '即F ，可见命题成立 《定理6》斯特瓦尔特定理 1、数学竞赛考纲 二试 1、平面几何 基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的。了解下述定理： 在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。 在周长一定的的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 方法、方法。 平面、及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带的函数的图像。 ，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 。 ，一阶、二阶递归，法。 函数，求n次迭代，简单的函数方程。 n个变元的平均不等式，，及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。 一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。 3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。 截面，会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的式，直线的，直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。 5、其它。。。集合的划分。覆盖。西姆松线的存在性及性质()。及其逆定理。 初中数学竞赛辅导 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 欧拉（ Euler ）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形 的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的 一半。 费尔马点： 已知 P 为锐角△ ABC内一点，当∠APB＝∠ BPC＝∠ CPA＝120°时， PA ＋P B＋PC的值最小，这个点 P 称为△ ABC的费尔马点。 海伦（ Heron）公式： 塞瓦（ Ceva）定理： 在△ ABC中，过△ ABC的顶点作相交于一点P 的直线，分别 交边 BC、CA、AB与点 D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA) ·(AF/FB) ＝1；其逆亦真。密格尔（ Miquel ）点： 若 AE、 AF、ED、 FB四条直线相交于 A、B、C、 D、E、F 六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△ AED、△ BCE、△ DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚（ Gergonne）点 : △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则 AE、 BF、 CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（ Simson）线： 已知 P 为△ ABC外接圆周上任意一点， PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则 D、E、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。 黄金分割： 把一条线段 (AB) 分成两条线段，使其中较大的线段 (AC)是原线段(AB) 与较小线段 (BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯（ Pappus）定理： 已知点 A 、A 、A 在直线 l 1上，已知点 B 、B 、B 在直线 l 2 上， 123123 且 A1 B2与 A2 B 1交于点 X，A1B3与 A3B1交于点 Y，A2 B 3于 A3 B2交于 点 Z，则 X、Y、Z 三点共线。 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模 的剩余，即。并定义中和互质的数的个数， 称为欧拉（Euler）函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。 引理：；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。 分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而 也是与互质的个数，且两两余数不一样，故 （），而（）＝1，故。 证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系 是一一的，从而，。 ，，故。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。 设为质数，若是的倍数，则。若不是的倍数，则 由引理及欧拉定理得，，由此即得。 定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。 定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。 分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。 证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为则好是的一个剩余系去0。 从而对，使得； 若，，则，，故对于，有。即对于不同的对应于不同的，即中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或，或。 除外，别的数可两两配对，积除以余1。故。 定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式 （）称为同余方组程。特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足： ，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作 定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，且解可以写为： 这里，，以及满足，（即为对模的逆）。 中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。 定理5：（拉格郎日定理）设是质数，是非负整数，多项式 是一个模为次的整系数多项式（即），则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。 定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。 以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到 中学数学竞赛中常用的几个重要定理 数学竞赛中几个重要定理 1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ? ?=1 2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 D 、 E 、 F ，且满足FB AF EA CE DC BD ? ?=1，则D 、E 、F 三点共线. 【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC 边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于 点P. 证明：△MPQ ∽△ABC j M Q G A C B X Y P 【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC 【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线. 【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，过M作AD的平行线分 别交AB，CD于点E，F，交BC的延长线于点 O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP 【练习2】在△ABC中，∠A=900，点D在AC上，点E在BD 上，AE的延长线交BC于F. 若BE：ED=2AC：DC，则∠ADB=∠FDC D 塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M ，则 1=??PA CP NC BN MB AM 塞瓦定理的逆定理： 设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且满足 1=??PA CP NC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点. 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边 AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、 F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-===-， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、 A B C D F P F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交 于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则 据塞瓦定理有 //1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、梅涅劳斯定理 3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与?ABC 的三 边AB 、BC 、CA 所在直线分别交 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不 是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． A B C D F P D / A B C D E F G 九年级基础知识竞赛 班级 姓名 学号 1. 小数是无理数 2.2a = a m .a n = (a m ) n = a 0 = a p -= 3. 一个单项式中，所有字母的指数的 叫做这个单项式的次数。 4.因式分解的常用方法（1）提公因式法：ab-bc = （2）运用公式法： a 2 - b 2 = a 2-2ab+b 2 = 5、分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值不变。 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变。 6.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：x= 7.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中根的判别式，通常用“?”来表示，即?= 8. 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么x 1+x 2= x 1x 2= 9.、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向 、不等式两边 都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 、不等式两边都乘以（或除以）同一个负 数，不等号的方向 。 10.在一组数据,,,,21n x x x 这组数据的方差。通常用“2s ”表示，即2s = 11.点P(x,y)到x 轴的距离等于 ,点P(x,y)到y 轴的距离等于 ,点P(x,y)到原点的距离 等于 12.一般地，如果y= ，那么y 叫做x 的一次函数。y= ，y 叫做x 的正 比例函数。一次函数的图像都是 .一次函数有下列性质：（1）当k>0时，y 随x 的增 大而 （2）当k<0时，y 随x 的增大而 13、反比例函数中反比例系数的几何意义，过反比例函数)0(≠=k x k y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S= 。 14二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y= （2）顶点式：y= （3）交点式：y= 15如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即 当x= 时y= 。 16一元二次方程中的ac 4b 2-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当?>0时， 图像与x 轴有 交点；当?=0时，图像与x 轴有 交点；当?<0时，图像与x 轴 交点。 17、线段垂直平分线上的点和这条线段 相等。和一条线段 相 等的点，在这条线段的垂直平分线上。 18.角平分线上的点到这个角的 相等。到一个角的 相等的点在这个角 的平分线上。 19过一点 一条直线与已知直线垂直. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短。 几何篇 梅涅劳斯定理：当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AC、A于点D、E、F时，（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1 以及逆定理：在三角形ABC三边所在直线上有三点D、E、F ，且（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1 ，那么D、E、F三点共线。 角元形式梅捏劳斯定理： （sin∠BAD/sin∠DAC）×(sin∠ACF/sin∠FCB)×(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 塞瓦定理：指在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。 角元塞瓦定理：AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是： (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 逆定理：在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F， 如果(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1那么直线AD，BE，CF相交于同一点。” 正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 余弦定理： ，在△ABC中，余弦定理可表示为： c2=a2+b2-2ab cosC a2=b2+c2-2bc cosA b2=a2+c2-2ac cosB 托勒密定理：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等 于两条对角线的乘积。 三弦定理：由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角 正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。用图表述；圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P,根据《三弦定理》,有以下关系, ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。 西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的 任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西 姆松线） 斯特瓦尔特定理设已知△ABC及其底边上B、C两 点间的一点D，则有 AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。 初二公式定理大全 1、单独的一个数或一个字母也是单项式。 2、单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3、一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 4、几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单向式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。 5、一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 6、单项式和多项式统称整式。 7、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 8、把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项。 9、几个整式相加减，通常用括号把每个整式括起来，再用加减号连接：然后去括号，合并同类项。 10、幂的乘方，底数不变，指数相同。 11、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 12、幂的乘方，底数不变，指数相乘。 13、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 14、单向式与单向式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单向式里含有的字母，则连同它的指数作为积的因式。 15、单向式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 16、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 17、两个数的和与这两个数的差的积＝这两个数的平方差。这个公式叫做（乘法的）平方差公式。 18、两数和（或差）的平方＝它们的平方和，加（或减）它们积的2倍。这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。 19、添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 20、同底数幂相加，底数不变，指数相减。 21、任何不等于0的数的0次幂都等于1. 22、单向式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 23、多项式除以单向式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 24、吧一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 25、ma+mb+mc，它的各项都有一个公共的因式m，我们把因式M叫做这个多项式各项的公因式。 由m(a+b+c)=ma+mb+mc，可得ma+mb+mc=m(a+b+c) 初中数学奥林匹克竞赛教程 初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中 学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的 要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外 活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能 力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生 的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课 外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及 与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。 高中数学常用平面几何名定理 定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 定理2 Ceva定理 定理3 Menelaus定理 定理4 蝴蝶定理定理 内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ 于X，Y，则M为XY之中点。 定理5 张角定理 在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 定理7 Eular line： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心 定理10到三角形三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心 在几何里,平面是无限延展的,是无大小的,是不可度量的,是无厚度的,通常画平行四边形来表示平面 0、勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。 1、欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 2、九点圆： 任意三角形三边的中点.三条高线的垂足.垂心与各顶点连线的中点,这9点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 3、费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 4、海伦（Heron）公式： 在△ABC中，边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，若p＝0.5*（a＋b＋c），则△ABC的面积S＝√ p*(p-a)(p-b)(p-c) 5、塞瓦（Ceva）定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB 与点D、E、F，则；其逆亦真 6、密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 7、葛尔刚（Gergonne）点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 8、西摩松（Simson）线： 已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F 为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。 初中数学竞赛定理xx知识点汇总 1、勾股定理(xx定理) 2、射影定理(xx定理) 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s- a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB 中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1 24、xxxx的逆定理：(略) 27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1. 32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线) 34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。 36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏). 中考数学必背定理100条 一、平行公理： 1、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 3、同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行 4、两直线平行，同位角相等、两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补 二、三角形 5、三角形任意两边的和都大于第三边推论：三角形中任意两边的差都小于第三边 6、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 推论1：直角三角形的两个锐角互余推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 全等三角形的性质 7、全等三角形的对应边、对应角相等 全等三角形的判定 8、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 9、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 10、推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 11、边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等(SSS) 12、斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 13、定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 14、定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 13、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 14、等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 15、推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 16、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（著名的三线合一） 17、推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 18、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 19、推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 20、推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 21、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 22、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 23、直角三角形的斜边上的高等于两直角边的成绩÷斜边 24 直角三角形的内切圆的半径r = 半周长 - 斜边 25、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方。 26、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系：两短边a、b的平方和、等于较长边 c 的平方，那么这个三角形是直角三角形 三、对称性 27、定理1：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 28、定理2：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 29、逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 30 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。 31 到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的中垂线上 32 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 33 到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上 34 定理1：关于中心对称的两个图形是全等的初中数学竞赛中常用重要定理
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