高考理科数学知识点总结(精辟)
1
高考数理科学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中
元素各表示什么？
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {}
{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301
若，则实数的值构成的集合为
B A a ? （答：，，）-???
???
1013
3. 注意下列性质：{}
（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n
（3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U
U
U
U
U
A B A B A B A B Y I I Y =
=，
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
的取值范围。
()）
，，·∴
，∵·∴
，∵（259351055
55035
3322
Y ??
?
???∈?≥--?<--∈a a
a M a
a M 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().?
若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 至少有一个为真、为真，当且仅当若q p q p ∨ 若为真，当且仅当为假?p p
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
10. 如何求复合函数的定义域？ []
如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_。 []（答：，）a a -
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
12. 反函数的性质有哪些？ 互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；
13. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？
[]（内层）
（外层），则，（)()()(x f y x u u f y ??===
∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？
()在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0
零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0
[)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大
a f x x ax a >=-+∞013()
值是（ ） A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
由已知在，上为增函数，则
，即f x a
a ()[)13
13+∞≤≤ ∴a 的最大值为3） 16. 函数f (x )具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-??
若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=??
注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17. 你熟悉周期函数的定义吗？
函数，T 是一个周期。）
如：
18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f x f x y ()()与的图象关于轴对称- f x f x x ()()与的图象关于轴对称- f x f x ()()与的图象关于原点对称-- f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1
f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20
将图象左移个单位右移个单位
y f x a a a a y f x a y f x a =>?→
????????>=+=-()()()()()00 上移个单位下移个单位b b b b y f x a b y f x a b ()()()()>?→????????>=++=+-00 注意如下“翻折”变换：
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
()（）一次函数：10y kx b k =+≠
()
（）反比例函数：推广为20y k x k y =≠的双曲线。
()（）二次函数图象为抛物线302442
2
2y ax bx c a a x b a ac b a
=++≠=+?
? ???+-
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m ，n ］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
如：二次方程的两根都大于ax bx c k b
a k f k 20020
++=?≥-
>>????????()
又如：若f(a+x)= -f(a-x), f(b+x)= f(b-x)， 则，f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)] (恒等变形）
= -f[a-(x+a-2b)] [f(a+x)=-f(a-x)] = - f(-x+2b) (恒等变形） = -f[b+(-x+b)] (恒等变形）
=-f[b-(-x+b)] [ f(b+x)=f(b-x)] =-f(x)
2a-2b 为半周期
y=log 2x
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
()（）“对勾函数”60y x k x k =+>
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
20. 你在基本运算上常出现错误吗？
log log log log log a a a a n a M N M N M n
M =-=，1
21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）
（），满足，证明是偶函数。2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()()
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值：
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？
24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
a x(a>1)
x
又如：求函数的定义域和值域。y x =--?? ???122cos π （∵）122120--?? ??
?=-≥cos sin πx x
∴，如图：sin x ≤
2
2
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？
()
y x k k k Z =-+?
?
????∈sin 的增区间为，2222ππππ
()减区间为，22232k k k Z ππππ++?
?
????∈
()()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ
02
=+
∈ []()y x k k k Z =+∈cos 的增区间为，22πππ []()减区间为，222k k k Z ππππ++∈ ()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ+?? ???=∈20 y x k k k Z =-+?? ?
?
?∈tan 的增区间为，ππππ22
()()[]
26. y =Asin x +正弦型函数的图象和性质要熟记。或ω?ω?y A x =+cos
（）振幅，周期12||||
A T =πω ()若，则为对称轴。f x A x x 00=±=
()()若，则，为对称点，反之也对。f x x 0000=
（）五点作图：令依次为，，，，，求出与，依点20232
2ω?ππππx x y +（x ，y ）作图象。
（）根据图象求解析式。（求、、值）3A ω?
解条件组求、值ω?
()?正切型函数，y A x T =+=
tan ||
ω?πω y
x O
-π2 π2 π
y tgx =
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换）
平移公式： （）点（，），平移至（，），则1P x y a h k P x y x x h y y k →=?→?????=+=+???()''''' （）曲线，沿向量，平移后的方程为，200f x y a h k f x h y k ()()()==--=→
如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的y x y x =-?? ???-=2241sin sin π图象？
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
“·
”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k π
αα2
±“奇”、“偶”指k 取奇、偶数。
()如：cos tan sin 94
7621πππ+-?? ???+=
又如：函数，则的值为y y =++sin tan cos cot αααα
A. 正值或负值
B. 负值
C. 非负值
D. 正值
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分
母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：
()（）角的变换：如， (1222)
βαβααβαβαβ=+-+=-?? ???--?? ??? （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式 （4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
()()如：已知，，求的值。sin cos cos tan tan ααααββα1212
3
2-=-=--
（由已知得：，∴sin cos sin cos sin tan ααα
ααα2211
22
=== ()()[]
()()∴··）tan tan tan tan tan tan βαβααβααβαα-=--=--+-=
-+=21231212312
18
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
正弦定理：a A b B c C R a R A
b R B
c R C
sin sin sin sin sin sin ===?===?????2222
（）求角；1C
()（（）由已知式得：112112-++-=cos cos A B C
（）由正弦定理及得：212
222
a b c =+
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 []反正弦：，，，arcsin x x ∈-?????
?∈-ππ
2211
[][]
反余弦：，，，arccosx x ∈∈-011π ()反正切：，，arctan x x R ∈-?? ?
?
?∈ππ22
34. 不等式的性质有哪些？
答案：C
35. 利用均值不等式：
(
)
a b ab a b R a b ab ab a b 2
2
2
222+≥∈+≥≤+?? ??
?+
，；；求最值时，你是否注 意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()()值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：
当且仅当时等号成立。a b =
如：若，的最大值为x x x
>--0234
当且仅当，又，∴时，）340233
243x x x x y =>==-max
（∵，∴最小值为）22222222221x y x y +≥=+
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。
）
(21)
211131212111<-=--++-+-
+=n
n n ()370.()()
解分式不等式的一般步骤是什么？f x g x a a >≠ （移项通分，
分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
例如：解不等式||x x --+<311 （解集为）x x |>???
?
??12
41.||||||||||会用不等式证明较简单的不等问题a b a b a b -≤±≤+ 如：设，实数满足f x x x a x a ()||=-+-<2131
证明：
1|||||1||1|||)1||(|)1)((|++≤-+<-+-=<--+-=a x a x a x a x a x a x a x Θ
（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：恒成立的最小值a f x a f x ?>()()恒成立的最大值 a f x a f x >?>()()能成立的最小值
例如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是x x x a a -++>32 （设，它表示数轴上到两定点和距离之和u x x =-++-3223
43. 等差数列的定义与性质
() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na
n n d n n =
+=+
-112
12
{}性质：是等差数列a n
{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+
（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则
；421
21
a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ?=+0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2项，即：
当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11
000
0><≥≤???+
当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000
<>≤≥??
?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===
--1831123
44. 等比数列的定义与性质
等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ?==±2
()
前项和：（要注意）n S na q a q q q n
n ==--≠????
?
111111()
()! {}性质：是等比数列a n （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n --
45.由求时应注意什么？S a n n （时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法
{}如：满足……a a a a n n n n 12121
225
1122+++=+<> 解：
n a a a n n n ≥+++=-+<>--212121
2
215
212211时，……
［练习］
{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +=
=++1115
34 （注意到代入得：a S S S S n n n n n
+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n 144== n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……· （2）叠乘法
{}例如：数列中，，
，求a a a a n
n a n n n n 1131
==++
解：
（3）等差型递推公式
由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110() n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=?
??
??
??-22321321时，…………两边相加，得：
()()()
［练习］
{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--
（4）等比型递推公式 ()
a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1
∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d c c n +-???
???+-111
［练习］ {}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+ （）a n n =-?? ??
?+-84311
（5）倒数法 例如：，，求a a a a a n n
n n 11122==++ 由已知得：1221211a a a a n n n n
+=+=+
∴??????
=11112
1
a a n 为等差数列，，公差为
47. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
{}如：是公差为的等差数列，求a d a a n k k k n
1
11+=∑
解：
［练习］
求和： (111211231)
123+
++++++
++++n
（2）错位相减法：
{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n
{}和，可由求，其中为的公比。S qS S q b n n n n -
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
S a a a a S a a a a n
n n n n n =++++=++++?????--121121…………相加
［练习］
（由f x f x x x x x x x x ()+?? ???=
++?? ??
?+?? ?
?
?=+++=1111111112
2
2
2222 ∴原式=++?? ?????
????++?? ?????????++?? ?????????f f f f f f f ()()()()1212313414 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型： 若每期存入本金p 元，每期利率为r ，n 期后，本利和为：
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n 次还清。如果每期利率为r （按复利），那么每期应还x 元，满足
p ——贷款数，r ——利率，n ——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（为各类办法中的方法数）m i 分步计数原理：·……N m m m n =12 （为各步骤中的方法数）m i
（2）排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有排列的个数记为n m A n m .
（3）组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不
规定：C n 01
= （）组合数性质：4 50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24
B. 15
C. 12
D. 10
解析：可分成两类： （）中间两个分数不相等，1
（2）中间两个分数相等 相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理
C n r 为二项式系数（区别于该项的系数）
性质： ()
（）对称性：，，，……，1012C C r n n r n
n r
==- （）系数和：…2C C C n n n n n 012+++=
（3）最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
n C n n n
n
2112
+?? ??
?+项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式() 系数最大即第项及第项，其二项式系数为n n C C n n n n +++=-+121
2
1121
2
()如：在二项式的展开式中，系数最小的项系数为
（用数字x -111
表示）
∴共有项，中间两项系数的绝对值最大，且为第
或第项1212
2
67= 由，∴取即第项系数为负值为最小：C x r r
r r 1111156--=()
()()又如：……，则122004012220042004-=++++∈x a a x a x a x x R
()()()()a a a a a a a a 010********++++++++=
……（用数字作答）
令，得：……x a a a =+++=11022004 ()
∴原式……）=++++=?+=200320031120040012004a a a a 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（）必然事件，，不可能事件，110ΩΩP P (==)()φφ
（）包含关系：，“发生必导致发生”称包含。2A B A B B A ?
（）事件的和（并）：或“与至少有一个发生”叫做与3A B A B A B A B +Y 的和（并）。
（）事件的积（交）：·或“与同时发生”叫做与的积。4A B A B A B A B I
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与B 不能同时发生”叫做A 、B 互斥。
（6）对立事件（互逆事件）：
“不发生”叫做发生的对立（逆）事件，A A A A A A A Y I ==Ω，φ
（7）独立事件：A 发生与否对B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 A B A B A B A B 与独立，与，与，与也相互独立。 53. 对某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
A B
P A A m
n
()=
=包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数
()（）若、互斥，则2A B P A B P A P B +=+()() ()
()()（）若、相互独立，则··3A B P A B P A P B =
（）41P A P A ()()=- （5）如果在一次试验中A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中A 恰好发生
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
（2）从中任取5件恰有2件次品；
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品； 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n ＝103
而至少有
2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” ∴··P C 33223
3
46410
44125=+= （4）从中依次取5件恰有2件次品。 解析：∵一件一件抽取（有顺序）
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法：
（2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。 其中，频率小长方形的面积组距×频率
组距
== ()
样本平均值：……x n
x x x n =
+++112 ()()()[]
样本方差：……S n x x x x x x n 212222
1=-+-++-
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为
____________。
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。
（）向量的模——有向线段的长度，2||a →
（）单位向量，3100||||
a a a a →
→
→
→
==
（）零向量，4000→
→
=|| （）相等的向量长度相等方向相同
5???
?=→→
a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a →
→
→
→
→
→
≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ
（7）向量的加、减法如图：
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一组基底。
（9）向量的坐标表示
i j x y →
→
，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得
()a x i y j x y a a x y →
→
→
→
→
=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()
表示。
57. 平面向量的数量积
（）··叫做向量与的数量积（或内积）。
1a b a b a b →
→
→
→
→
→
=||||cos θ
数量积的几何意义：
a b a b a b →→→→→
·等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos θ （2）数量积的运算法则
注意：数量积不满足结合律····()()a b c a b c →
→
→
→
→
→
≠
()()（）重要性质：设，，，31122a x y b x y →
→
==
②∥··或··a b a b a b a b a b →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
?==-|||||||| ?=≠→
→
→
a b b λλ（，惟一确定）0
［练习］（）已知正方形，边长为，，，，则11ABCD AB a BC b AC c →=→=→=→→→
答案：
()()（）若向量，，，，当时与共线且方向相同214a x b x x a b →
→
→→
===
答案：2
（）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么3603a b a b o →
→
→
→
+=|| 答案：
58. 线段的定比分点 ()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212l
l 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→
P P P P P P P P 12121200→
><所成的比（，在线段内，，在外），且λλ
()()()如：，，，，，，?ABC A x y B x y C x y 112233 则重心的坐标是，?ABC G x x x y y y 12312333++++?? ?
??
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线线∥面面∥面
判定线⊥线线⊥面面⊥面性质
线∥线线⊥面面∥面
←→?←→??→??←→?←→?←???←→?←→? 线面平行的判定：
a b b a a ∥，面，∥面???ααα
a
b
α
线面平行的性质：
三垂线定理（及逆定理）：PA AO PO
⊥面，为在内射影，面，则
ααα
a?
线面垂直：
面面垂直：a a
⊥面，面⊥
αββα
??
面⊥面，，，⊥⊥
αβαβαβ
I=??
l l
a a a
a b a b
⊥面，⊥面∥
αα?
面⊥，面⊥∥
αβαβ
a a?
60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（）二面角：二面角的平面角，
30180
αβθθ
--<≤
l o o
（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。
（为线面成角，∠，∠）
θγβ
AOC=BOC=
（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的
为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角的正弦；
②求异面直线BD1和AD所成的角；
③求二面角C1—BD1—B1的正弦。
α
a
P
O
αa
l
β
a
O
α b c
A
O B
γ C
D
α
θ
β
D1C1
A1B1
H
G
D C
）；③；②（①3
6
6043
o （3）如图ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥面ABCD ，且PD ＝AD ，求面PAB 与面PCD 所成的锐二面角的大小。
（∵AB ∥DC ，P 为面PAB 与面PCD 的公共点，作PF ∥AB ，则PF 为面PCD 与面PAB 的交线……） 61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，则：
（1）点C 到面AB 1C 1的距离为___________； （2）点B 到面ACB 1的距离为____________； （3）直线A 1D 1到面AB 1C 1的距离为____________；
（4）面AB 1C 与面A 1DC 1的距离为____________；
（5）点B 到直线A 1C 1的距离为_____________。
62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
Rt SOB Rt SOE Rt BOE Rt SBE ????，，和 它们各包含哪
些元素？ S C h C h 正棱锥侧
·（——底面周长，为斜高）=
1
2
'' V 锥底面积×高=
1
3
63. 球有哪些性质？
（）球心和截面圆心的连线垂直于截面122r R d =-
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。 （），球球444
3
2
3S R V R ==
ππ （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。
如：一正四面体的棱长均为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面2积为（ ） A B C D ....34336ππππ
答案：A 64. 熟
记下列公式了吗？[)（）直线的倾斜角，，，102
212112l απααπ∈==--≠≠?? ???
k y y x x x x tan
()()()P x y P x y a k 1112221，，，是上两点，直线的方向向量，l l →
=
（2）直线方程： ()点斜式：（存在）y y k x x k -=-00斜截式：y kx b =+ 截距式：x a y
b
+=1
一般式：（、不同时为零）Ax By C A B ++=0 ()（）点，到直线：的距离3000002
2
P x y Ax By C d Ax By C
A B
l ++==+++
（）到的到角公式：41122112l l tan θ=
--k k k k l l 1221
12
1与的夹角公式：tan θ=--k k k k
P F
D C A
E B D C A B D 1 C 1
11 F k
e>1 e=1
0 65. 如何判断两直线平行、垂直？ A B A B A C A C 1221122112=≠? ?? ?l l ∥ k k l 1212=?l ∥（反之不一定成立） A A B B 1212120+=?l l ⊥ 66. 怎样判断直线l 与圆C 的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？ 联立方程组关于（或）的一元二次方程“” 相交；相切；相离 ??>?=? 68. 分清圆锥曲线的定义 第一定义椭圆，双曲线，抛物线?+=>=?-=<=?=?????? ?PF PF a a c F F PF PF a a c F F PF PK 12121212222222 第二定义：e PF PK c a == 0111<?=?e e e 椭圆；双曲线；抛物线 ()69102222222 2.与双曲线有相同焦点的双曲线系为x a y b x a y b -=-=≠λλ 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。） ( )()[]弦长公式P P k x x x x 122 1221214= ++-()[] = +? ? ?? ?+-114212212k y y y y 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？ 如： 通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。 如：椭圆与直线交于、两点，原点与中点连mx ny y x M N MN 2211+==- 线的斜率为 ，则的值为22m n 答案： 73. 如何求解“对称”问题？ （1）证明曲线C ：F （x ，y ）＝0关于点M （a ，b ）成中心对称，设A （x ，y ）为曲线C 上任意一点，设A'（x'，y'）为A 关于点M 的对称点。 （由，，）a x x b y y x a x y b y =+=+?=-=-''''22 22 ()只要证明，也在曲线上，即A a x b y C f x y '(')'22--= （）点、关于直线对称⊥中点在上2A A AA AA '''l l l ???? ?=-???k k AA AA''·中点坐标满足方程 l l 1 74222.cos sin 圆的参数方程为（为参数） x y r x r y r +===???θθ θ 椭圆的参数方程为（为参数）x a y b x a y b 222 21+===???cos sin θθθ 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。 b O F 1 F 2 a x x a c =2 y P(x 0,y 0) K F 1 O F 2 x l y A P 2 O F P 1 B （直接法、定义法、转移法、参数法） 76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。 原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； 2 （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 函数 知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 . 2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念 1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设 2012高考数学（理科）知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质：{} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()） ，，·∴，∵·∴，∵（2593510 55 550 35 3322Y ??? ???∈?≥--?<--∈a a a M a a M 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 至少有一个为真、为真，当且仅当若q p q p ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334Y Y 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_。 []（答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥--- 高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 （答：，，）-? ?? ???1013 3. 注意下列性质： （3）德摩根定律： 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ 义域是_____________。[] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域） 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ ∴……） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ∴a的最大值为3） 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、知识点： 本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。 本章知识结构 1、集合的概念 教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。 对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。 整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。 确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。 不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义 有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。 我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}” 的关系。 几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法 （1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合： ①元素不太多的有限集，如{0，1，8} ②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100) ③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…} ●注意a与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。 （2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。 另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。 ●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算 集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。 一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? （或 )A B ? A 中的任一元素都属 于B A ?(1)A A ?? (2) A C ?，则B C ?且B A ?若(3) A B =，则B A ?且B A ?若(4) A(B) 或 B A 真子集 A ≠?B （或B ≠ ?A ） B A ?中至少 B ，且有一元素不属于A 为非空子集） A （A ≠ ??）1（ A C ≠ ?，则 B C ≠ ?且A B ≠ ?若(2) B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素都属 于B ，B 中的任一元素 都属于A B ?(1)A A ?(2)B A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2个子集，它有21-个真子集，它有21-个非空子集，它有22-非空真 子集. 【1.1.3】集合的基本运算 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且 }x B ∈ （1） A A A =I （2）A ?=?I （3）A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或 }x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A 补集 U A e {|,}x x U x A ∈?且 ()U A A U =U e2 ()U A A =? I e1 （1不等式 解集 ||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >> |x x a <-或}x a > ||,||(0)ax b c ax b c c +<+>> ， ||x a <看成一个整体，化成 ax b +把 型不等式来求解 ||(0)x a a >> （2()()() U U U A B A B =I U 痧?()()() U U U A B A B =U I 痧? 高考数学集合专项知识点总结为了帮助大家能够对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学集合专项知识点，希望可以帮助到大家! 一．知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且) 3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n 个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 1 必修模块知识点总结 2 高中数学必修1知识网络 3 集合 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=??????? 高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称； c.求)(x f -； d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5- 最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 [全国通用]高中数学高考知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-?????? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335305555015392522∈-- 高中数学必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 高考理科数学必会知识点 §1集合与简易逻辑 一、集合间的关系及其运算 （1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“??,”或“?，”或“ ”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直 线(面)的关系 。 （2）A B =；A B =；U C A =. （3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A 、B ， ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == 切记：A B A B A ???=?A B A B B ???=. （4）集合中元素的个数的计算： 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n ，所有真子集的个数是(2n －1)，所有非空真子集的个数是(2n －2)。 二、常用逻辑用语： 1、四种命题： ⑴原命题：若p 则q ；⑵逆命题：若q 则p ；⑶否命题：若?p 则?q ；⑷逆否命题：若?q 则?p 注：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化。 2、注意命题的否定与否命题的区别：命题p q ?否定形式是p q ??；否命题是p q ???.命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”；“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”. 3、逻辑联结词： ⑴且(and) ：命题形式 p ∧q ； p q p ∧q p ∨q ?p ⑵或（or ）： 命题形式 p ∨q ； 真 真 真 真 假 ⑶非（not ）：命题形式?p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 “或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”； “且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”； “非命题”的真假特点是“一真一假” 4、充要条件 由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。 5、全称命题与特称命题： 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号?表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号?表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； §2函数和导数 一、函数的性质 整理全面《高中数学知识点归纳总结》 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 高一数学集合知识点总结归纳 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：n，z，q，r，n* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b); 2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或，且 ) 3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b} 4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b} 5)补集：cua={x| x a但x∈u} 注意：①? a，若a≠?，则? a ; ②若，，则 ; ③若且，则a=b(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub; ④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。 5.交、并集运算的性质 ①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a; ③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub; 6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系 a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n ∈z} 对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都 高中必考数学知识点归纳整理 1高中数学重难点知识点 高中数学（文）包含5本必修、2本选修，（理）包含5本必修、3本选修，每学期学习两本书。 必修一：1、集合与函数的概念（这部分知识抽象，较难理解）2、基本的初等函数（指数函数、对数函数）3、函数的性质及应用（比较抽象，较难理解） 必修二：1、立体几何（1）、证明：垂直（多考查面面垂直）、平行（2）、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程： 必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分（选择或填空）2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：（图像、性质、高中重难点，）必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分 必修五：1、解三角形：（正、余弦定理、三角恒等变换）高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：（线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分）不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 文科：选修1—1、1—2 选修1--1：重点：高考占30分 1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线： 3、导数、导数的应用（高考必考） 选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：（新课标比老课本难的多，高考必考内容）高考文科数学知识点总结
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