SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型

摘要

通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有

关参数。当λ

1=1.5 和λ

2

=1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS

病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ

1

的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。

关键词：SARS 微分方程曲线拟合数学模型相轨线

一、问题的提出

SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。我国作为发展中大国深受其害：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。

二、模型的假设

1．地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。

2．据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、免疫者和死亡者）。

3．在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。

4．隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。

5．SARS康复者二度感染的概率为0。

6．国家完善了监控手段，加强了对SARS病毒监控的力度，故可假设所有感染SARS 病毒的人群都进入了SARS病人类和疑似类。

7．由于对SARS病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARS病毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。

三、模型的建立

（一）参数的设定和符号说明

s(t)：t时刻健康者在总体人群中的比例

i(t)：t时刻SARS病人在总体人群中的比例

l(t)：t时刻疑似病人在总体人群中的比例

r(t)：t时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体人群中的比例之和。

λ：SARS病人日接触率。为每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）1

的平均人数。

u：日治愈率。为每天被治愈的病人占病人总数的比例。

α：日转化率。为每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。

η：日死亡率。为每天SARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值。

2λ：疑似感染率。为每天感染为疑似病人的比例。

（二）模型建立

模型一 感染为SARS 患者情况

由假设，每个病人每天可使)(1t s λ个健康者变为病人，因为病人人数为)(t Ni ，所以每天共有)()(1t i t Ns λ个健康者被感染，于是Nsi 1λ就是病人数Ni 的增加率，又因为每天被治愈率为μ，死亡率为η，所以每天有Ni μ个病人被治愈，有Ni η个病人死亡。那么病人的感染为

Ni Ni Nsi dt

di

N

ημλ--= 由于

1)()()(=++t r t i t s )1(

对于退出者

ψi dt

dr

= (ψ为所有退出者比例之和) )2( 由假设可知： ημψ+= 故SARS 患者率模型一的方程建立如下：

???????=-==--=0

111011)0()0(s s i s dt

ds

i i i i u i s dt di ληλ (3)

0)0(=r )4(

模型二 疑似患者的变化情况

与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二：

???????-=-=l s dt

ds

l l s dt dl 22222λα

λ (5)

四、模型求解

（一）参数的确定和分析：

1.ηαμ,,的确定

μ =

当天病人总数每天治愈的人数，α =当天疑似病人总数每天确诊的人数，η =当天病人总数

每天死亡的人数

用EXCEL 电子表格处理题目附件2中所给数据得：μ =0.055076，α=0.038183，η=0.002443。

（处理数据见附件） 2．21,λλ的确定

)1(确定1λ

很明显从我们建立的模型是无法得到s 、i 、0i 、0s 的解析解。为了解决这个问题我们用MATLAB 软件中龙格—库塔方法求出他们的数值解。

先通过实际统计数据算出每一天的s 、i 、0i 、0s 做出它们与时间的函数图象图1，然后我们再对1λ取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。我们发现当1λ≈1.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：

<图1>:根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件）

<图2>通过数值解作出的i 关于时间t 的变化（画图程序见附件）

分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。但是在[0,10]的SARS初期范围内，曲线变化不相同。这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的t

i~曲线相比较，不能准确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。并且通过对SARS蔓延期特点的分析，<图2>在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS 初始状态，所以曲线是合理的。

λ

（2）确定

2

λ时类似，先根据实际数据画出图形

与确定

1

<图3>实际数据图形

然后再对2λ取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。发现当2λ≈1.0时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：

<图4>

在[0,10]的初期范围内，曲线趋势不同，原因同前。整个曲线反映了疑似患者在SARS 的过程中的变化规律。

五、结果分析与检验

（一）讨论 ()()t s t i ,的性质

i s ~平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域D i s ∈),(为

{}1,0,0|),(≤+≥≥=i s i s i s D

从模型（一）中消去dt ，利用σ的定义，可得

,1.1

-=

s

ds di σ 00|i i s s == （6） 由（6）式解得

())ln(

*1

00s s

s i s i σ

+

-+= （7） （二）对于合理确定的5.11=λ，我们可以画出s i ~图，图形如下： <图5>（画图程序见附件

由于在这个SARS 病毒发展过程中，μ

λ

σ=

是变化的，故可以画出σ取不同值时的图形，如下

取=σ/10.4192，0.2858、0.1858时的图形。 <图6>

分析（3）式和（7）式，可知：

1． 不论初始条件0s ，0i 如何，病人终会消失，即SARS 最终会被消灭,亦即0=∞i 。

证明省略。

从图形上看，相轨线终将与s 轴相交（t 充分大）。

2． 设最终未被感染的健康者的比例是∞s ，在（7）式中令0=i 得到方程

0ln

10

00=-

+∞

s s i s σ

（8） ∞s 是（8）在（0,1/σ）内的根，在图形上∞s 是相轨线与s 轴在（0,1/σ）内交点

的横坐标。

对于确定下来的σ/1=0.0383，可以代入（8）式解出∞s ≈0 3． SARS 疾病传染过程分析

整个传染过程，随着政府和公众对SARS 的重视程度的变化，可知接触数μλσ/1=随着治愈率μ、死亡率η和接触率1λ的不断变化而变化。

（1）在SARS 爆发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS 病毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。治愈率μ和死亡率η很小，而接触率

1λ相对较大，所以σ/1很小。

当>0s σ/1，则)(t i 开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。 （2）当0s =σ/1时，)(t i 达到最大值

)ln 1(1

000σσ

s i s i m +-

+= （9）

对于我们确定的5.11=λ，可以求出=m i 0.8368，可认为是疾病传染到达了高峰期。 （3）当0s <σ/1时，)(t i 单调减小至零，)(t s 单调减小至∞s 。这一时期病人比例)(t i 绝不会增加，传染病不会蔓延，进入缓解期。 4．群体免疫和预防

根据对模型的分析，当0s ≤σ/1是传染病不会蔓延。所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/σ变大以外，另一个途径是降低0s ，这可以通过预防接种使群体免疫。

第二个途径通过预防接种使群众免疫，免疫后就不会被感染上病毒。按照我们人群的分类系统，将免疫人群归为退出者类，所以免疫人群的出现，不与模型的分类系统相矛盾。

忽略病人比例的初始值0i ，有0s =1-0r ，于是SARS 不再蔓延的条件0s ≤σ/1可以表示为：

σ

1

10-

≥r （10）

所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例0r 满足（10），就可以制止SARS 的蔓延。

5．数值验证与估量

根据上面的分析，阻止SARS 蔓延有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高日治愈率μ，二是群体免疫，即提高移出者比例的初值0r 。我们以最终未感染的健康者的比例∞s 和病人比例达到最大值m i ，作为传染病蔓延程度的度量指标。

给定不同的λ，μ，0s ，0i ，用（8）式计算∞s ，用（9）式计算m i

从计算得到的∞s 和m i 可以看出：

（1）对于一定的0s ，降低λ，提高μ，使阈值1/σ变大，会使∞s 变大，m i 变小。于是验证了群体免疫和预防中提出的提高卫生水平和医疗水平，可以使SARS 最终的患者比例缩小，健康群体增加。

（2）对于一定的λ，μ，提高0r ，会使∞s 变大，m i 变小。所以实行群体免疫，降低受感染的基数，可以有效地减缓SARS 蔓延的速度。

在（8）式中略去很小的0i ，即有

∞

∞

--=

s s s s 00ln ln σ （11）

6．模型验证

首先，由方程（1）和（3）可以得到

)(0)(t r e s t s σ-= （12）

)1(0σψr e s r dt

dr

---= （13） 当σ/1≤r 时，取（13）式右端r e σ-Taylor 展开的前三项，在初始值00=r 下的解为

??

?

???-+-=

)2()1(1

)(020ρψββσσt th s s t r （14） 其中2002022)1(σσβi s s +-=,β

σρ1

0-=

s th ,从（14）式算出

)

2

(

22202ρβψ

σψβ-=t ch s dt

dr （15）

将（14）代入（12），再将（12）代入（7），得到

??

?

???-+--

-+=??

?

???-+-=

)2()1(1)()(020)2()1(100000ρψββσσρψββσt th s s e

s i s t i t th s s （其中2002022)1(σσβi s s +-=，β

σρ1

0-=

s th ）

对于表达式中的参数，已通过前面的参数分析得出，代入表达式，就可以对t 时的患病率)(t i 做预测，达到了预测的目的，满足题目的要求。

7．对卫生部措施的评估

在模型中，1λ的取值大小能充分反映接触率的变化。

若采取的隔离措施提前T 天，那么1λ将相应减小，反之则增加。不妨将1λ的值取为1.3和1.7，作出相应的图形7和图8。

〈图7〉

〈图8〉

由以上图形可见，T对SARS病人的增长有显著影响，因此，卫生部采取的提前或延后5天的隔离措施有其数学背景和科学依据。至于到底提前或延后几天最好，还有待进

一步研究。

六、模型评价及改进

1、评价

模型首先根据所给数据的分析，采用微分方程建立两个模型，分设变量。再通过统计数据与数据拟和求得各自的参数值，利用数值计算得到结果并加以分析，得出传染病的传染规律，最后根据此分析提出对传染病预测与控制的方案。

模型采用了数值计算，图形观察与理论分析相结合的方法，先有感性认识，再用相轨线做理论分析，最后进行数值验证和估算，可以看作计算机技术与建模的配合。

模型采用微分方程本身就有一定的缺限，其计算结果的准确性、可靠性将受到限制，再加之数值解的不确定性，模型对长时间的预测有它的局限性。因时间限制模型没能更多考虑交叉分类进行。

2、改进

若能建立以随机偏微分方程组为基础的数学模型，将大大提高计算的准确性与可靠性，使得预测更加准确，但这样做将遇到模型求解，数据准确收集和数值求解的不精确性等诸多困难。

七、对附件1模型的评价

1、合理性

该模型的基本假设符合事实，对照解得的结果与实际病例数据也相当吻合，所以该模型基本是合理的。具体表现：模型中的参数K（平均每病人每天可传染K个人）、L（平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天）的确定是由已公布的数据统计计算和数据拟合得来，具有一定的可靠性。特别是对K的分段处理，反映了传染病的许多特性，同时也反应了社会的警觉程度、政府和公众采取的措施反过来也会影响K值。但是该模型建立得较为粗糙，它没有考虑疑似病例患者和已治愈病人的情况。因此为使建立的模型更准确，更符合实际，考虑将该模型优化的方向是把疑似病例患者和治愈患者加入到模型中。

2、实用性

模型对北京地区中期的计算值与实际值基本吻合，说明该模型有一定的实用性。但对后期预测与后来的实际情况却有一定差距，同时该模型中K值是从香港和广州两地实际情况统计处理得来，而实际上，各地区的政策及人们生活习惯各有所不同，因此用一个地区所获得的参数去预测另一地区，其结果只具有参考性，而不具备很强的可靠性。所以该模型的实用性有一定局限。

八、SARS对北京旅游人数影响的经济模型

依据上表的统计数据，我们分别建立回归模型对各个月的游客数量进行预测。

由MATLAB统计工具箱中的回归分析命令，编程可解得：若没有受SARS冲击，2003年1月到12月游客将达到的数量。再用当月实际游客量变化所呈现的规律对9月到12月进行预测，最后分别模拟作出受到SARS冲击前后的游客量随时间的变化趋势图。具体求法如下：

我们记1997年为开始记为t=0,那么2003年就可表示成t=6。

将年份用矩阵表示为：t=[0,1,2,3,4,5,]；

每年1月的游客量用矩阵表示为：y=[9.4，9.6，10.1 ，11.4 ，11.5 ，13.7] MATLAB命令：[p,S]=polyfit(t,y,2) %二次多项式回归

y=polyval(p,6) %计算出t=6,即2003年一月的预测量计算得y=15.2000，再用同样方法求得2003年2月到12月的预测数量依次为36.4700、25.9700、32.1500、32.8300、31.6000 、29.3300、36.4000、33.1400、32.8500、26.8500、27.7900。由命令函数：Y=polyconf(p,t,2)和plot(t,y,t,Y) 作出如下曲线图9

再由2003年各月实际量推算出9月到12月的游客量分别为15.4127 、20.1860 、26.1721 、33.3709。同样我们作出图10

为便于直观分析我们将两组数据所作出的图形移到图11中：

模型分析：从图中我们可以看到，1月份实际游客量与预测数据较吻合，因为SARS 刚出现，没有引起人们重视；而以后各月差值先逐渐增大，到6月份后又开始渐渐缩小，这是因为SARS疫情逐渐攀升到六月份达到高峰后渐渐的得到有效控制。人们在这段时期内的出行受到SARS的影响，所以在2月到6月游客量不断的大量减少，但是随着SARS疫情得到控制，以及公共卫生系统的进一步完善，人们生活又渐渐的恢复到SARS前的一般规律，在图形中反映为6月中下旬，随着抗击SARS取得初步成效，游客量开始逐步增加，旅游业也重新回升到常态。但是由于用以预测未知量的已知量较少，我们为了使得预测值真实可信，只考虑预测到11月份，这样做同时还因为时间越长要考虑的不定因素也就越多。从模型及模型分析说明我们所预测的数据是基本合理、符合实际的。

九、参考文献

[1] 姜启源等，数学模型（第三版），北京；高等教育出版社，2003.8

[2] 李海涛等，MATLAB 6.1 基础及应用技巧，北京；国防工业出版社，2002.3

[3] 赵静等，数学建模与数学实验，北京；高等教育出版社，2002.9

[4] 王沫然，MATLAB 5.X与科学计算，北京；清华大学出版社，2000.5

[5] 幺焕民等，数学建模，哈尔滨；哈尔滨工业大学出版社，2003.4

短文

SARS与数学模型

2003年春天，SARS这一突发疫情袭击了世界上20多个国家和地区，给全球经济的发展以及人们的正常生活等带来了很大的影响，在经过与SARS几个回合的较量之后，我们终于赢了。

当SARS正在慢慢淡出我们身边，我们的工作和生活渐渐回归正常时，那曾经经历的恐惧、困扰、焦虑、无奈和痛苦，那曾深深击中过我们软肋，使我们的弱点暴露无遗的SARS将会成为烙在我们心灵上一块永远抹不去的印。不过，令人欣慰的是我们并没有被击倒，尤其是我们的白衣天使们，他们在与SARS的较量中，充分展现了职业道德和人性的光辉，书写出了最壮丽的人生篇章。

现在这个时刻，我们有必要梳理和总结过去的日子，将我们对SARS、对病毒、对疾病、对危机的认识、责任以及处理方法推向前进。因为我们将不得不面对将有可能和SARS共存相当长时间的现实。在我们还不能完全认识它、战胜它并最终消灭它时，我们必须时刻警觉，将SARS对我们的侵害降低到最小。使得若当它卷土重来时，我们能够聚集起更强大的力量，快速而从容地与它过招。

我们都知道SARS的传播，在没能找到真正的药物治疗方法前，只能依靠政府采取强制性政策去预防、控制疫情。人类对传染病的研究长期以来还都只是通过不断的试验来获取数据，而且相关试验只能在动物身上做，而不可能在活人体上做类似试验，另外有关传染病的数据也只能从爆发后的相关报道与文字材料中获得，不但不能快速得到信息，连其数据的全面性都很难达到。因而，在对传染病流行的控制研究问题上，迫切需要有一种行之有效、简便易行的办法来代替它。而数学模型恰恰是通过采用数学基础工具以及计算机模拟等手段从非医学中的病理分析研究角度去进行科学描述，所以我们可以根据以前总结的一些经验和统计的实际数据，从数学角度建立SARS传染病模型，通过科学、合理的分析和推论，提供足够的可靠数据、信息给政府用以制定相关政策。

这是一项艰巨的任务，不但需要我们的努力，也更需政府和媒体的大力支持。

附件

已确诊病例

累计现有疑似病

例

死亡累计

治愈出院累

计

当天退出数

当天病人数

当天病例退出率治愈率

174310.0394430.076566 65200.0115380.082692 166190.0258480.074313 136840.0190060.080409 127740.0155040.082687 98730.0103090.08362 109900.0101010.076768 310650.0028170.073239 1212100.0099170.064463 1612910.0123930.064291 1713880.0122480.064841 1814540.012380.068776 1115410.0071380.070733 715920.0043970.072236 616790.0035740.07028 1717360.0097930.0697 1018080.0055310.074115 1318850.0068970.074801 1819130.0094090.079456 919450.0046270.086375 1519740.0075990.088652 3119980.0155160.093093 4120100.0203980.103483 1319920.0065260.12249 619970.0030050.126189 1720080.0084660.127988 3820060.0189430.136092 2719820.0136230.154894 2019580.0102150.169561 5019450.0257070.179434 5418950.0284960.208443 8318530.0447920.24123 5617790.0314780.296796 8817480.0503430.332952 4116690.0245660.399641 4416330.0269440.431108 8515970.0532250.467752 4115140.0270810.546896

7914160.0557910.655367

8513380.0635280.751868

97512530.7781320.867518

672780.2410077.384892

352110.16587710.04739

171760.09659112.23864

181590.11320813.65409

421410.29787215.52482

26990.26262622.53535

20730.27397330.91781

-116354-21.53742.16667

3312170.0271160.923583

3211840.0270270.977196

7411520.064236 1.032118

5810780.053803 1.171614

8410200.082353 1.295098

1419360.150641 1.498932

1107950.138365 1.940881

966850.140146 2.413139

1985890.336163 2.966044

523910.132992 4.971867

213390.061947 5.882006

-575319-1.80251 6.316614

3788940.422819 1.61745

565160.108527 3.52907

-0.28988 3.118497

求病人变化(数值解)

function y=ill(t,x)

w=1.5;z=0.0575;

y=[w.*x(1).*x(2)-z.*x(1),-w.*x(1).*x(2)]';

ts=0:0.01:70;

x0=[402/13000000,1-402/13000000];

[t,x]=ode45('ill',ts,x0);[t,x];

plot(t,x(:,1)),grid,pause

（按实际数据模拟）

t=1:64;

z=

Columns 1 through 14

143 106 105 81 103 111 126 85 148 93 113 83 105

62

Columns 15 through 28

94 63 89 87 41 50 38 39 43 23 18 17 15 14

Columns 29 through 42

3 7 0 12 9 25 9 5 8 2 3 3 1 0

Columns 43 through 56

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Columns 57 through 64

0 0 0 0 0 1 0 0

[p,S]=polyfit(t,z,9)

p =

Columns 1 through 8

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0001 -0.0028 0.0814 -1.3886 12.5728

Columns 9 through 10

-52.1949 177.2559

S =

R: [10x10 double]

df: 54

normr: 82.7126

>> Y=polyconf(p,t,S)

Y = Columns 1 through 8

136.3240 113.2654 102.2891 98.9706 100.0091 103.0173 106.3408 108.9028

Columns 9 through 16

110.0729 109.5573 107.3071 103.4430 98.1954 91.8561 84.7414 77.1647

Columns 17 through 24

69.4163 61.7507 54.3784 47.4629 41.1208 35.4237 30.4038 26.0584

Columns 25 through 32

22.3576 19.2498 16.6691 14.5410 12.7882 11.3350 10.1116 9.0563

Columns 33 through 40

8.1181 7.2574 6.4460 5.6667 4.9121 4.1828 3.4855 2.8306

Columns 41 through 48

2.2300 1.6952 1.2351 0.8551 0.5557 0.3324 0.1760 0.0733

Columns 49 through 56

0.0087 -0.0338 -0.0688 -0.1065 -0.1512 -0.1995 -0.2396 -0.2525

Columns 57 through 64

-0.2151 -0.1060 0.0848 0.3413 0.6018 0.7319 0.4900 -0.5178

>> plot(t,z,'o',t,Y)

i~s相轨线

s=0.000001:0.001:1;

i=1-s+(0.055076+0.002443)/1.5*log(s/0.9999);

plot(s,i)

SARS的传播

数学建模作业 SARS的传播 成员：章俊龙龚悦峰陆芳婷

摘要 本文分析了题目所提供的早期传染病的合理性和实用性。我们认为该模型可以对传染病作出预测，但存在一些不足，首先通过其他地区做预测，忽略了地区的差异，在预测结果上不够准确。其次模型的参数设定缺乏依据，具有一定的主观性，最后混淆了累积患病人数与确诊病例人数的概念，在染病人数的预测上产生了一定的影响。 针对早期模型的不足，我们全面分析了传染病的传播机理，将人群分为健康者、病人和病愈免疫移出者三类，构建了SIR模型。建立了病人和健康者所占总人数比例关于时间t的微分方程通过matlab计算得出i-s图形（相轨线）。通过分析，得到制止传染病的蔓延的两种手段为降低日接触率，提高日治愈率和提高移出者比例的初值。 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论，尽早发现和隔离能够减少累积患病人数，严格隔离能有效缩短疫情持续时间。同时我们分析了1997-2003年北京外来游客接待人数的变化，运用spss的logistic回归分析对2003年9-12月的游客人数进行预测，可以得出在SARS流行期间对北京入境旅游业造成了很大的损失，并预计海外旅游人数将在10月以前恢复正常。 最后我们写了一片小短文，论述了传染病模型在生活中的重要性，以及对疾病预测和防控的实用性，希望能引起相关部门和公民的重视，并能有效的预测传染病的发生，减少公民的财产损失和保障公民的生命健康。 关键词： SIR模型传染病模型回归预测时间序列

一、问题重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。 （3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 二、问题分析 问题一要求我们对早期的模型进行评价，主要从其合理性与实用性两方面进行评价，首先我们要考虑模型是否与实际情况相符合，其次是要探究该模型是否有一定的理论基础。是否与实际情况相符需要将模型的计算值与实际值进行比较，从而得出结论。模型的理论基础需要从模型的建立是否与传统的传染病模型相符，是否与传染病的基本特征项相符这两个方面进行。 问题二要求我们在早期模型的基础上进行优化，主要目的是提供准确的预测和防控，及实施的困难情况进行分析。我们在充分探讨早期模型的基础上，对SARS的传播原因和传播途径分析比较。SARS的传播过程受传染病人的多少、易受传染者的大小、传染率的大小、人口迁移、潜伏期的长短、个体的抵抗力大小、疾病的宣传力度等因素的影响。我们将从主要因素开始考虑，次要因素为辅建立优于早期的模型，对SARS进行更好的预防和控制。 问题三要求我们分析对国家经济造成的影响，附件三为北京接待海外游客的

SARS 数学建模

问题重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性(假设的合理，分析的合理，结果的合理)和实用性（对于实际应用上的作用）。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。 （3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 第一问 早起模型的评析 一、早期模型的重述 ①模型的假设： 根据附件一中的模型，我们可以得出此模型具有如下假设

1)不考虑“非典”的潜伏期，感染非典后立即具有传染性； 2)当感染者有效接触健康者时，使健康者被感染； 3)整个“非典”发病期间政府不采取任何预防措施和隔离治疗措施； 4)忽略“非典病人的个体差异”，假设传染期为常数； ②早期模型建立： 假定初始时刻的病例数为N0，平均每位病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是： N（t）= N0 (1+K)t 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。为了简单起见，从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出）。到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据。 二、早起模型的合理性和实用性的简评 A.早期模型的优点： 1.模型简明 本模型主要有三个参数N0、K、L，且都具有实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染能力，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。K表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征：传染期L和传染率K，反映了SARS的传播过程。使人很容易理解该模型。 2.模型灵活 通过调整N0、K、L值，就可以描述不同地区，不同环境下SARS的初期传播规律 3.预测准确 通过模型对北京、广东与香港的疫情进行了分析，得到的预测值与实际统计数据较接近。 可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。 B.早期模型的缺点： 1.对于如何确定对于三个参数N0、K、L，未给出一般的原则或算法，只能通过对 于已发病地区的数据进行拟合得出。按照作者的表述，K值是以病发高峰为界取各 段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但是在现实情况下，不同地区的K值 是不同的。在实际应用中，如果没有一定量的数据，是无法得出K值的。在我们对 该模型进行拟合事发现，对于N0、K、L作者未给出调整的标准和相关理论，所 以我们很难重复该求解过程。 2.当需要对某一地区进行疫情分析时，还需考虑到该地区相对于北京、广州、香港这 类人口密集，人员流动性大的城市之间的差异。地域因素会造成不同地区的K值不 同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的K值会比人口密度和人 口流动小的城市大，等等），而很难找到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法

2003年A题全国数学建模优秀论文5

测控SARS流行趋势的优化模型 齐秋锋魏杰万晓晨 指导教师谭欣欣等 摘要 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。为了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。 在本题中给出了一个早期指数模型，我们把它称为模型1，它在短期内有着计算参数简单等合理性与实用性，但却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。基于此，我们考虑应该引进新的参数，建立更优的模型。 由于SARS是新发传染病，人们对其的有效防治手段主要还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进一个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS传播的影响；又由于SARS发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们又引入了参数 r ，用来表示发病率。在假设所研究各地区人口为理想状态下的人群、对该病普遍易感等前提下，我们应用Logistic回归结合各地SARS发病的疫情资料，用Matlab软件模拟，得到了一个更为优化的Logistic SARS模型，它给出了SARS流行趋势以及控制措施有效性的定量评估。由于参数k的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS高峰期的到来时间，可能累计最大发病数，在测控和拟合实际上优于模型1。同时，我们也通过Matlab语言对北京、山西等的计算值和实际数据进行了拟合，进而验证了这个模型的可靠性。 当然，要建立一个最优模型还需要考虑更多因素，在考虑了传播途径及易感人群等因素后，也可以建立一个最优的SEIRQ模型。但这样考虑就需要大量的数据采集整理工作，但在实际中这是不易实现的。 在对卫生部所采取部分措施的评析中，我们引入了小世界网络模型，对政府措施作出了定量评论，并用图形直观的表示出来。 最后，我们分析了Logistic SARS模型的特点，并对其改进与应用做出了展望。 一、问题的重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响；不过，我们也从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律以及为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立自己的模型，说明此模型为什么优于附件1中的模型；特别地，要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供

SARS传播的数学模型 数学建模全国赛优秀论文

SARS传播的数学模型 (轩辕杨杰整理) 摘要 本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合. 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.

1．问题的重述 SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作： （1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响. （4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价 题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确： 合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息. 2.1早期模型简述 早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为0N ， 平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变. 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是： t k N t N )1()(0+?= 考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉. 2.2早期模型合理性评价 根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天范围内K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.

数学建模传染病模型剖析

传染病的传播 摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合

MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。 关键词：微分方程 SARS 数学模型 感染率 1问题的重述 SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： 1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。 2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件1提供的数据供参考。 3)说明建立传染病数学模型的重要性。 2 定义与符号说明 N …………………………………表示为SARS 病人的总数； K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数； L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数； dt d N(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数； N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数； t …………………………………表示时间； R 2 ………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型 3.1模型假设 1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。单位时间（一天）内一个病人能传播的人数是常数k ； 2) 在 所传染的人当中不考虑已治愈的人是否被再次被传播，治愈的人数占该地区的总人数是绝对的少数，治愈者不会再被传播并不影响疫情在该时间内的感染率常数k; 3) 病者在潜伏期传播可能性很小， 仍按健康人处理； 4) SARS 对不同的年龄组的感染率略有不同（相差不大），但我们只考虑它健康人的感染率是一样的；

2003年SARS_病毒传染论文

SARS 的传播 周金华 黄梦丽 张龙 摘要： SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性 在本题中给出了一个早期数学模型，她在短期内有着计算参数简单等适用性和合理性，但却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。基于此我们考虑应该引进新的参数建立更优的模型。 由此我们建立了SIEPR 模型: 由上图示列方程: ?????? ???? ???????? ???=+++++-+=+=----=+-+=----=P R I E S N R P I E S P d Ie E dt dP P d dt dR eI kI T t I T t S dt dI E Ik S dt dE T t I T t S S E dt dS 0000. ,,,)(2)()()()21()()(1μβμλββσλσβ 此模型考虑到了健康人、自由带菌者、疑似病人、确诊病人、死亡者及回复者，比较全面的考虑到了疾病期间人员的组成，通过建立SIEPR 模型并考虑到实际情况很好的解决了题目的要求，为未来患病人数的预测、疾病的传播范围以及疾病对生产生活的影响作出了比较好的评价，很有实用价值。 求解模型所面对的困难 建立一个真正能够预测及为预防提供可靠的模型存在着一些困难， 1 ） 当疫情发生时，人们缺乏对疫情前期发展的数据记录，导致模型对整体情况的建立存在 偏差，而且对参数的取值和调整也存在一定的影响。 2 ） 在模型的建立过程中做一些假设和模型求解过程中作的近似也会对结果造成影响，因此对实际的预测也会存在误差。 3 ） 对于影响疫情的因素，比如人口的流动，公共卫生的情况等还需要更多具有实际意义的 确诊病人P 疑似者E 自由带菌者I 健康人S 治愈/ 死亡者 R α β2 β1 λ e μ d k

SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型 摘要 通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有 关参数。当λ 1=1.5 和λ 2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS 病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ 1 的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。 关键词：SARS 微分方程曲线拟合数学模型相轨线 本文首先分析评价了附件1中SARS传播的数学模型，指出该模型可以对疫情走势进行预测,但同时也存在一定缺点，第一，混淆了累计病例数与累计确诊人数的概念；第二，对参数的确定缺乏根据；第三，预测时借助了其他地区的参数，偏差较大. 本文针对其缺点建立了一个比较完善的传播模型. 该传播模型按政府开始控制的时刻分为控制前与控制后两个模型，两个模型均以潜伏期5天为周期，以一个周期为整体建立差分方程模型. 再结合5月15日以前北京疫情的公开数据，配合不同的政府监控力度，对整个北京的SARS疫情状况进行了预测.预计政府的监控力度一直保持在5月10日－5月15日的水平上时，6月10日－6月15日北京将会无新增病例，最后累积病例数为2993.对卫生部门采取的措施进行了评价：若提前或延后5天采取严格的隔离措施最后累计病例数分别为1300多与5200左右. 进一步通过对人群的不同分类，建立了两个微分方程组，可分别预测出实际发病人数、不可控/可控带菌者人数与当天疑似病例数、累计确诊人数、不可控/可控带菌者人数及治愈、死亡人数，结合两者的信息就可以得到足够的信息量.但模型中的部分参数无法确定给模型求解带来困难.可以通过搜集更多的数据和资料加以解决. 本文同时就外国来京旅游人数受SARS的影响，建立了模型，估算出4、5、6、7四个月中北京地区入境旅游人数比往年同期减少了94.8万人，旅游经济损在4.74亿美元至9.48亿美元之间.并预测出在2003年10月上旬，旅游人数将恢复到正常水平. 最后给报纸写了一篇短文，说明了建立传染病数学模型的必要性与重要性. 一、问题的提出公元2003年春天，一种叫SARS的病毒从天而降，降到人类赖以生存的星球，降到中国人的头上.SARS究竟是什么，它为什么会代给人类这么多的伤

数学建模—传染病模型

传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。

SARS的数学模型与分析

SARS的数学模型与分析 张小五牛双建王冬梅 指导教师：平顶山工学院数学建模辅导小组 摘要：本文研究了SARS疫情的预测问题。目的是建立数学模型反映SARS疫情的传播规律，在此情况上预测了SARS疫情的发展趋势和对经济的影响。本文首先就附件1的数学模型进行合理性和实用性的评价，并指出了它的不足之处。从这个模型我们受到启发，联想到人口预报的初步模型。按照人口模型建立的发展过程，我们相应地建立了逐步完善的SARS模型：指数模型，Logistic模型，SIR 模型。主要采用数据拟合的方法来确定模型中的参数。 对指数模型我们只作了一些定性的分析，重点讨论了Logistic模型，SIR模型。Logistic模型我们从累计确诊病人数的变化和病人增长率的变化来进行研究，对每个参数的实际意义我们都作了详细的分析。最后简要讨论了提前或延迟5天进行隔离对病情的影响。 模型（二）中我们先将函数反映到图形上，并结合图表对香港、北京两地的SARS疫情发展进行直观比较，得到了一些合理且有实用参考价值的数据。同时我们在建模过程中也遇到了一系列困难，对图表的分析能力不够，缺乏详细的流行病学方面的知识，很多参数的确定没经验概念，只能通过定性分析，简单假设，已知数据的拟合得到。 对问题3，SARS对旅游业的影响，我们把原来离散的时间（天）看成连续变量，从众多影响因素中提炼出对旅游业影响最大的两个因素，建立常微分方程模型。 最后简要写了一篇给当地报社的短文，意在阐述建立传染病模型的重要性。关键词：SARS 指数模型Logistic模型SIR模型曲线拟合 一、评价早期模型的合理性和实用性 附件一提供的模型中参数K和L具有比较明显的实际意义, 在参数的范围控制上比较合理。在程序设计过程中,K值的确定考虑到与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关,采用不同阶段不同取值的方法,很好地描述了这一现象。 其次该模型在已有数据的基础上拟合程度比较好，合理地反映了这一阶段香港疫情的实际情况。可以根据它的拟合曲线来预测近期内的病情走势，为政府和医疗机构提供一定的信息依据，使得他们能够对病人进行及时的管理和治疗，从而降低病毒在社会上的蔓延程度。

SARS传播的数学模型

《数学建模与数学实验综合实验》课程设计任务书 一、设计目的 “数学建模与数学实验”是一门实践性、综合性、应用性较强的数学基础课程，是交叉学科和新兴边缘学科发展的基础，对学生动手能力要求很高。数学建模与数学实验综合实验是该课程的必要实践环节。通过实验学生实践数学建模的各个环节，以帮助学生强化数学建模基础知识与建模方法的掌握，激励学生勇于创新，全面提高学生解决实际问题的动手能力，掌握常用数学计算工具和数学软件，为从事科学研究和工程应用打下坚实基础。通过基础实验,使学生加深对“数学建模与数学实验”课程中基本理论和基本方法的理解,了解常用数学工具和方法，增强学生的实验技能和基本操作技能，在提高学生学习数学建模课程兴趣的同时，培养和提高学生的动手能力和理论知识的工程应用能力。 二、设计教学内容 1、生产计划制定 ; 2、利润最大化问题 ; 3、光纤铺设问题 ; 4、大学生的个人花费问题； 5、电站建设问题； ……… 26、印花税调整与证券市场； 27、学生成绩的综合评定； 28、人口问题； （28个中任选1个） 三、设计时间 2010—2011学年第一学期：第16周共计1周

目录 摘要 (1) 一．问题的提出 (1) 二．对早期模型的评价 (2) 三．传播模型 (2) 四．模型的评价和改进 (11) 五．参考文献 (12) 附件 (12)

SARS传播的数学模型 摘要 本文针对SARS的传播建立了数学模型。 首先，对附件1提供的早期模型，认为“传染概率”的说法欠妥，传染期限L的确定缺乏医学上的支持，使模型的说服力降低。模型中借鉴广东香港的参数来预测北京的疫情走势，不失为一种方法，但在不同地区因政策，地域的不同，病毒的传播和控制呈现不同的特点，使不同城市之间的可比性降低。故借鉴法存在一定的适用范围，且不能对首发城市进行预测。 对于第二问，在分析常用传染病模型的局限性后，文中把患者所处的状态明确划分为潜伏阶段、发病阶段和隔离阶段，根据各阶段的转化关系建立了第一个数学模型。考虑到发病和被隔离等事件发生的随机性，本文在原有模型的基础上适当改进，建立了随机模拟模型。通过对5月10日以前数据的拟合，并经过500次模拟，对北京的疫情进行了预测：7月上旬北京将基本解除疫情，累计病例约2800多人。预测结果与实际情况符合得很好。 另外，改变有关参数，发现提前5天采取严格的隔离措施，将使疫情解除的时间提前约10天，累计人数降至1958人；若延迟5天采取措施，疫情将推迟11天，累计人数达4487人。根据这些预测，文中对卫生部门采取控制措施提出了相关建议。 对第三个问题，本文研究SARS 对入境旅游人数的影响，建立了数学模型。通过数据拟合的方法确定日增长病例数对旅游人数的影响，预测9~12月份入境旅游人数分别为24.02，36.06，33.04，25.85万人。与往年同期相比，9月降低了23.5个百分点，10月以后影响逐步减小，经济进入恢复时期。 对于第四个问题，给报刊写了一篇通俗短文，说明了建立传染病数学模型的重要性。 最后在模型的评价中，对该模型优于原附件1模型的方面作了说明，特别说明了建立一个真正能预测和为预防、控制提供可靠、足够的信息的模型需要满足的条件和困难之处。 一、问题的提出 2002年至2003年，SARS（严重急性呼吸道综合症,俗称非典型肺炎）悄然无息地靠近我们的生活，在潜伏一段时间后忽然爆发，在全球掀起了轩然大波。作为重灾区的国家之一，我国的经济发展和人民生活受到了很大的影响。我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。对此，要求对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下： 1、对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 2、对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明： (1) 为什么优于附件1中的模型； (2) 怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，以及这样做的困难之处。

传染病数学建模

第30题 传染病传播的数学模型 由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性： 设S k 表示在开始观察传染病之后第k 天易受感染者的人数，H k 表示在开始观察后第k 天传染病人的人数，I k 表示在开始观察后第k 天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么 S k +1=S k -0.01S k (1) H k +1=H k -0.2H k ＋0.01S k (2) I k +1=I k +0.2H k (3) 其中(1)式表示从第k 天到第k ＋1天有1％的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的传染病人的人数是第k 天的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2H k (假设该病的患病期为5 (3)式表示在第k ＋1天免疫者的人数是第k 天免疫者的人数加上第k 天后病人痊愈的人数。 将(1)，(2)和(3)式化简得 如果已知S 0，H 0，I 0的值，利用上式可以求得S 1，H 1，

I1的值，将这组值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值， 这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组S k ，H k ， I k的值。因此，我们把S k+1，H k＋1，I k+1和S k，H k，I k之间 的关系式叫做递推关系式。 现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为 将上述数据(5)代入(4)式右边得 利用递推关系式(4)反复计算得表30-1。 在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可以利用该模型对得病人数进行预测和估计。例如，可以预测若干天后传染病人的人数等等，便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策。

数学建模论文_SARS传播的数学模型

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

《数学建模与数学实验综合实验》课程设计任务书 一、设计目的 “数学建模与数学实验”是一门实践性、综合性、应用性较强的数学基础课程，是交叉学科和新兴边缘学科发展的基础，对学生动手能力要求很高。数学建模与数学实验综合实验是该课程的必要实践环节。通过实验学生实践数学建模的各个环节，以帮助学生强化数学建模基础知识与建模方法的掌握，激励学生勇于创新，全面提高学生解决实际问题的动手能力，掌握常用数学计算工具和数学软件，为从事科学研究和工程应用打下坚实基础。通过基础实验,使学生加深对“数学建模与数学实验”课程中基本理论和基本方法的理解,了解常用数学工具和方法，增强学生的实验技能和基本操作技能，在提高学生学习数学建模课程兴趣的同时，培养和提高学生的动手能力和理论知识的工程应用能力。 二、设计教学内容 1、生产计划制定 ; 2、利润最大化问题 ; 3、光纤铺设问题 ; 4、大学生的个人花费问题； 5、电站建设问题； ……… 26、印花税调整与证券市场； 27、学生成绩的综合评定； 28、人口问题； （28个中任选1个） 三、设计时间 2010—2011学年第一学期：第16周共计1周

2003年全国数学建模优秀专业论文北京SARS的传播研究

小组成员

北京SARS的传播研究 摘要 SARS从2003年陆续传入，期间先后感染6000多人其中北京感染2847，我国给我过经济·社会带来严重额的影响，为减少疾病的危害，提高人们对疾病的ARS 的认识，疫情分析及对北京疫情走势的预测研究也变得尤为重要。 为改善现状并提高人们对疾病的是SARS的认识，我们对北京市的SARS传播问题建立数学模型。 关键词：SARS 人群分类微分模型整体拟合 1、问题重述 1.1问题的背景

严重急性呼吸综合征（Severe Acute Respiratory Syndromes），又称传染性非典型肺炎，简称SARS，是一种因感染SARS冠状病毒引起的新的呼吸系统传染性疾病。主要通过近距离空气飞沫传播，以发热，头痛，肌肉酸痛，乏力，干咳少痰等为主要临床表现，严重者可出现呼吸窘迫。本病具有较强的传染性，在家庭和医院有显著的聚集现象。首发病例，也是全球首例。于2002年11月出现在广东佛山，并迅速形成流行态势 1.2问题的叙述 现阶段北京SARS的传播正处于高峰期。由于人们对该种疾病的传播机理还不太清楚，因此引起人们的恐慌，它关系社会的稳定和经济的发展。因此对该问题的研究非常有必要，我们把人口分成四类，即:健康人S(t)SARS病人I(t)病人免疫（包括死亡）的人R(t)及疑似病人P(t)四类人，利用现有数据着重从四类人口中：把该传染病进行统计学分析，归纳出主要特征通过假设，参数以及它们的相互联系，进行数据判定，数据假设，数据处理，数据分析，建立模型，数据总结等得出较为科学的SARS问题的分析， 相关信息（见附件1、2、3） 附件1SARS疫情分析及对北京走势的预测 附件2北京市疫情的数据 附件3北京市接待海外游客人数 附件4相关编程 1.3问题的提出 问题一：对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

基于灰色预测的SARS疫情影响的分析 - 模式识别数学建模论文

基于灰色预测的SARS疫情影响的分析 摘要 灰色系统模型在农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题，展示了极为广泛的应用前景。 2003年的SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业产生了巨大的影响。本文使用灰色预测对影响进行分析，得到了若在2003年未发生疫情时的预测数据，与SARS疫情影响下的实际数据进行比较，得出了较为客观的评价结果。然后以对疫情期间接待海外旅游人数的分析为例，通过使用多项式拟合模型及最小二乘法拟合模型进行分析，同时与灰色预测模型得出的结果进行比较分析，使得结果更加全面、客观。 一、问题的提出 2003 年的SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响。直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。很多方面难以进行定量地评估，现仅就SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析。 究竟SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表1、表2 和表3。

2 试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003 年SARS 疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。 二、问题的分析与假设 根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：（1）利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由1997－2002 年的平均值预测2003年平均值； （2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003 年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS 疫情实际造成的影响。 给出下面两条假设： （1）假设该市的统计数据都是可靠准确的； （2）假设该市在SARS 疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS 疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响。

数学建模SARS

北京航空航天大学大学生数学建模选拔赛 2011年6月10日－6月12日 参赛题目A B （在所选题目上打勾） 北京航空航天大学教务处 数学建模指导组

摘要 论文解决问题的方法：论文中涉及到得方法有1：公式推导的方法（如：问题二中的新建SARS模型）:2：线性与非线性拟合，其中非线性拟合包括傅里叶拟合（运用于问题三中求解2003月份理论值）、指数拟合（运用于问题二中高峰前的模型建立）、自定义拟合（运用于问题二中高峰期后的模型建立）、折线图拟合（运用于旅游业影响度的分析）；3：对比法（运用于问题二中后期模型的建立和问题三中）；4：利用软件matlab进行模拟和求解（1、2、3均用到）； 主体结构： 问题1：对已有模型评价 问题2：新模型的建立，对模型进行分析和预测，如何建立更好的模型，对政府部门采取的措施的评价 问题3：模型的建立，对经济的损失的估计，2003年各月旅游影响度预算； 问题4：给报刊的一封信； 结论： 问题1：虽然模型能说明一些问题，但是模型缺少更合理和更连续的分析，k，L应为随时间变化的函数，实用性不高。 问题2：部门应该在高峰前一半时间内采取措施，这样有助于对潜伏期人数的降低。新建立的模型通过自然增长和后期等比下降能较为科学的说明一些问题。但模型还能进一步进行改进（比如寻求更好的L（t）、K（t）模拟）。政府采取的措施力度还应该加大，表现为隔离时间应该提前（具体见后面分析）； 问题3：由于“非典”的影响，北京2003年旅游外汇收入减少了16亿美元；通过（偏差比）的走势，我们分析出了2003年“非典”期间对海外游客的总体 影响趋势，计算可知，到2003年底，实际游客人数可恢复到理论值的90%以上。 关键词：SARS传播，隔离强度，matlab拟合，预测对比

2003SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型 摘要：我们以传统的微分方程为理论基础，从经典的传染病模型SIR模型入手，参考用2003 年6月以前的有关SARS的统计数据，对SARS病情的特殊性进行了分析，建立了描述SARS疫情传播的微分方程模型。还用曲线拟合的方式，给出了模型中参数的确定方法，以及模型的数值解法。 关键词：SARS，传染病模型，微分方程，曲线拟合 SARS的简介： SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。 与以往的传染病不同，SARS具有其自身的特征：除了考虑易感染者、已感染者和移出者外，还要考虑疑似者、疑似者中的确诊者、不可控者、不可控者中转化为病人（感染）者。我们从经典的传染病模型SIR模型出发，考虑了传染病蔓延过程中政府部门的决策和措施对抑制疾病蔓延的积极作用 基本假设： 1. 除感病特征外，人群的个体间没有差异、感病者与易感者的个体在人群中混合是均匀的 人群的数量足够大，只考虑传染过程的平均效应。 2. 易感者感病的机会与他接触感病者的机会成正比。 3. 疾病的传染率为常数。 4. 不考虑出生与死亡的过程和人群的迁出和迁入 5 .已感染者以固定的比率痊愈或死亡。 6 .对于一个SARS康复者我们可以假设他二度感染SARS的概率为0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)。 符号说明： S(t) 为易感染者在总人口中所占的比例 I(t) 为已感染者在总人口中所占的比例 R(t) 为移出者在总人口中所占的比例 N(t) 为疑似者在总人口中所占的比例