中考数学专题复习专题三5大数学思想方法第二节数形结合思想

专题三 5大数学思想方法

第二节 数形结合思想

类型六 数形结合在实数中的应用)

(2018·山东青岛中考)如图，点A 所表示的数的绝对值是( )

A ．3

B ．－3

C.1

3

D ．－13

【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【自主解答】

5．(2018·四川成都中考)实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．d

6．(2018·山东枣庄中考)实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是( )

A ．|a|＞|b|

B ．|ac|＝ac

C ．b ＜d

D ．c ＋d ＞0

类型七 数形结合在概率中的应用

(2018·江苏连云港中考)汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲、乙两队每局获胜的机会相同．

(1)若前四局双方战成2∶2，那么甲队最终获胜的概率是________；

(2)现甲队在前两局比赛中已取得2∶0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？ 【分析】(1)直接利用概率公式求解；

(2)画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求． 【自主解答】

7．(2018·浙江湖州中考)某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( ) A.1

9

B.1

6

C.1

3

D.23

8．(2018·浙江丽水中考)如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°.让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )

A.16

B.1

4

C.1

3

D.712

类型八 数形结合在几何中的应用

(2018·陕西中考)问题提出

(1)如图1，在△ABC 中，∠A＝120°，AB ＝AC ＝5，则△ABC 的外接圆半径R 的值为________． 问题探究

(2)如图2，⊙O 的半径为13，弦AB ＝24，M 是AB 的中点，P 是⊙O 上一动点，求PM 的最大值． 问题解决

(3)如图3所示，AB ，AC ，BC ︵是某新区的三条规划路，其中AB ＝6 km ，AC ＝ 3 km ，∠BAC＝60°，BC ︵

所对的圆心角为60°，新区管委会想在BC ︵

路边建物资总站点P ，在AB ，AC 路边分别建物资分站点E ，F ，也就是，分别在BC ︵

、线段AB 和AC 上选取点P ，E ，F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE ，EF 和FP.为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE ，EF ，FP 之和最短，试求PE ＋EF ＋FP 的最小值．(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)

【分析】(1)设O 是△ABC 的外接圆的圆心，易证△ABO 是等边三角形，所以AB ＝OA ＝OB ＝5；

(2)当PM⊥AB 时，此时PM 最大，连结OA ，由垂径定理可知AM ＝1

2AB ＝12，再由勾股定理可知OM ＝5，所以

PM ＝OM ＋OP ＝18；

(3)设连结AP ，OP ，分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，作出P 关于AB 的对称点为M ，P 关于AC 的对称点为N ，连结MN ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，连结PE ，PF ，所以AM ＝AP ＝AN ，设AP ＝r ，易求得MN ＝3r ，所以PE ＋EF ＋PF ＝ME ＋EF ＋FN ＝MN ＝3r ，即当AP 最小时，PE ＋EF ＋PF 可取得最小值． 【自主解答】

9．(2018·贵州贵阳中考)如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连结OM，PM.

(1)求∠OMP的度数；

(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．

类型九数形结合在不等式中的应用

(2018·浙江舟山中考)已知，点M为二次函数y＝－(x－b)2＋4b＋1图象的顶点，直线y＝mx＋5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B.

(1)判断顶点M 是否在直线y ＝4x ＋1上，并说明理由．

(2)如图1，若二次函数图象也经过点A ，B ，且mx ＋5＞－(x －b)2

＋4b ＋1，根据图象，写出x 的取值范围．

(3)如图2，点A 坐标为(5，0)，点M 在△AOB 内，若点C(14，y 1)，D(3

4，y 2)都在二次函数图象上，试比较

y 1与y 2的大小．

【分析】(1)根据顶点式表达式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数表达式检验，可得答案； (2)根据待定系数法可得二次函数的表达式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；

(3)根据解方程组可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质可得答案． 【自主解答】

10．(2018·江苏连云港中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k 2

x

的图象交于A(4，－2)，B(－2，n)两点，与x 轴交于点C. (1)求k 2，n 的值；

(2)请直接写出不等式k 1x ＋b ＜k 2

x

的解集；

(3)将x 轴下方的图象沿x 轴翻折，点A 落在点A′处，连结A′B，A′C，求△A′BC 的面积．

类型十 数形结合在函数中的应用

(2018·四川达州中考)如图，二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.

下列结论：①abc＜0；②9a＋3b ＋c ＞0；③若点M(12，y 1)，点N(5

2

，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；

④－35＜a ＜－25.

其中正确结论有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【自主解答】

在函数问题中，借助图形理清解题思路，找出题目中的数量关系，从而解决问题，所以，函数及其图象本身就是数形结合的典范．数形结合思想在数学中应用还有很多方面，在此不一一列举．“数缺形时少直观；形少数时难入微”，把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．

11．(2018·天津中考)已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在y 轴右侧．有下列结论：

①抛物线经过点(1，0)；

②方程ax 2

＋bx ＋c ＝2有两个不相等的实数根； ③－3＜a ＋b ＜3；其中，正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

参考答案

类型六

【例6】 |－3|＝3.故选A. 变式训练 5．D 6.B 类型七 【例7】 (1)1

2

(2)画树状图如下．

共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7， ∴甲队最终获胜的概率＝7

8.

变式训练 7．C 8.B 类型八

【例8】 (1)如图，设O 是△ABC 的外接圆的圆心， ∴OA＝OB ＝OC.

∵∠A＝120°，AB ＝AC ＝5，∴△ABO 是等边三角形， ∴AB＝OA ＝OB ＝5.

(2)当PM⊥AB 时，此时PM 最大，如图，连结OA.

由垂径定理可知AM ＝1

2AB ＝12.

∵OA＝13，∴由勾股定理可知OM ＝5， ∴PM＝OM ＋OP ＝18.

(3)如图，连结AP ，OP ，分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，作出P 关于AB 的对称点为M ，P 关于AC 的对称点为N ，连结MN ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，连结PE ，PF ，

∴AM＝AP ＝AN.

∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，

∴∠BAC＝∠PAB＋∠PAC＝∠MAB＋∠NAC＝60°， ∴∠MAN＝120°，

∴M，P ，N 在以A 为圆心，AP 为半径的圆上． 设AP ＝r ，易求得MN ＝3r. ∵PE＝ME ，PF ＝FN ，

∴PE＋EF ＋PF ＝ME ＋EF ＋FN ＝MN ＝3r ， ∴当AP 最小时，PE ＋EF ＋PF 可取得最小值． ∵AP＋OP≥OA，

∴AP≥OA－OP ，即点P 在OA 上时，AP 可取得最小值． 如图，设AB 的中点为Q ，∴AQ＝AC ＝3.

∵∠BAC＝60°，∴AQ＝QC ＝AC ＝BQ ＝3， ∴∠ABC＝∠QCB＝30°，∴∠ACB＝90°， ∴由勾股定理可知BC ＝3 3. ∵∠BOC＝60°，OB ＝OC ＝33， ∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC＝60°， ∴∠ABO＝90°，

∴由勾股定理可知OA ＝37. ∵OP＝OB ＝33，

∴AP＝r ＝OA －OP ＝37－33， ∴PE＋EF ＋PF ＝MN ＝3r ＝321－9， ∴PE＋EF ＋PF 的最小值为(321－9)km. 变式训练

9．解：(1)∵△OPE 的内心为M ， ∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，

∴∠PMO＝180°－∠MPO－∠MOP＝180°－1

2(∠EOP＋∠OPE)．

∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，

∴∠PMO＝180°－12(∠EOP＋∠OPE)＝180°－1

2(180°－90°)＝135°.

(2)如图，连接CM ，过C ，M ，O 三点作⊙O′，连O′C，O′O， 在优弧CO 取点D ，连DA ，DO. ∵OP＝OC ，OM ＝OM ， 而∠MOP＝∠MOC， ∴△OPM≌△OCM， ∴∠CMO＝∠PMO＝135°，

∴点M 在以OC 为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上(OMC ︵和ONC ︵

)．

点M 在扇形BOC 内时，

∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°－135°＝45°， ∴∠CO′O＝90°，而OA ＝2 cm ， ∴O′O＝

22OC ＝2

2

×2＝2， ∴弧OMC 的长＝90π×2180＝2

2

π(cm)．

同理点M 在扇形AOC 内时，同上的方法得ONC ︵的长为2

2π cm ，

∴内心M 所经过的路径长为2×1

2

2π＝2π (cm)．

类型九

【例9】 (1)点M 为二次函数y ＝－(x －b)2

＋4b ＋1图象的顶点， ∴M 的坐标是(b ，4b ＋1)．

把x ＝b 代入y ＝4x ＋1得y ＝4b ＋1， ∴点M 在直线y ＝4x ＋1上． (2)直线y ＝mx ＋5交y 轴于点B ， ∴B 点坐标为(0，5)，又B 在抛物线上， ∴5＝－(0－b)2

＋4b ＋1＝5，解得b ＝2， ∴二次函数的表达式为y ＝－(x －2)2

＋9.

当y ＝0时，－(x －2)2

＋9＝0，解得x 1＝5，x 2＝－1， ∴A(5，0)．

由图象得当mx ＋5＞－(x －b)2

＋4b ＋1时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞5. (3)如图，∵直线y ＝4x ＋1与直线AB 交于点E ，与y 轴交于F ，

A(5，0)，B(0，5)得

直线AB 的表达式为y ＝－x ＋5， 联立EF ，AB 得

方程组?

???

?y ＝4x ＋1，y ＝－x ＋5，解得?????x ＝45，y ＝215，

∴点E(45，21

5)，F(0，1)．

点M 在△AOB 内，1＜4b ＋1＜21

5，

∴0＜b ＜4

5

.

当点C ，D 关于抛物线的对称轴对称时，b －14＝3

4

－b ，

∴b＝1

2，且二次函数图象开口向下，顶点M 在直线y ＝4x ＋1上．

综上所述，①当0＜b ＜1

2时，y 1＞y 2，

②当b ＝1

2时，y 1＝y 2，

③当12＜b ＜4

5时，y 1＜y 2.

变式训练

10．解：(1)将A(4，－2)代入y ＝k 2

x 得k 2＝－8，

∴y＝－8

x

.

将(－2，n)代入y ＝－8x 得n ＝－8

2

，

∴n＝4，∴k 2＝－8，n ＝4.

(2)根据函数图象可知－2＜x ＜0或x ＞4.

(3)将A(4，－2)，B(－2，4)代入y ＝k 1x ＋b 得k 1＝－1，b ＝2， ∴一次函数的关系式为y ＝－x ＋2，与x 轴交于点C(2，0)， ∴图象沿x 轴翻折后得A′(4，2)，

S △A′BC ＝(4＋2)×(4＋2)×12－12×4×4－1

2×2×2＝8，

∴△A′BC 的面积为8. 类型十

【例10】 ①由开口可知a ＜0， ∴对称轴x ＝－b

2a ＞0，∴b＞0，

由抛物线与y 轴的交点可知c ＞0， ∴abc＜0，故①正确；

②∵抛物线与x 轴交于点A(－1，0)，对称轴为x ＝2， ∴抛物线与x 轴的另外一个交点为(5，0)， ∴x＝3时，y ＞0，

∴9a＋3b ＋c ＞0，故②正确；

③由于12＜2＜52，且(52，y 2)关于直线x ＝2的对称点的坐标为(3

2，y 2)，

∵12＜3

2

， ∴y 1＜y 2，故③正确； ④∵－b

2a

＝2，∴b＝－4a.

∵x＝－1，y ＝0，∴a－b ＋c ＝0，∴c＝－5a. ∵2＜c ＜3，∴2＜－5a ＜3， ∴－35＜a ＜－2

5，故④正确．故选D.

变式训练 11．C