高一联赛班春季班第8讲琴生不等式与不等式综合
本讲首先一起来学习联赛中最后一个重要不等式：琴生不等式，随后我们将一起来研究几道不等式的综合问题.这些问题可能需要综合应用均值、柯西、排序及琴生不等式来解决.
首先给出琴生不等式.琴生不等式是关于凸函数的一个不等式，为此我们先研究函数的凸凹性质： 凸函数在数学上的定义如下：
设()f x 是定义在(,)a b 内的函数，如果对于(,)a b 内的任意两数12,x x ，都有
12121
(
)(()())22
x x f f x f x +≤+ 那么称()f x 在(,)a b 内为凸函数.如果12x x ≠时，上式等不成立，则称()f x 在(,)a b 内为严格凸的. 类似地，可以定义凹函数.
注：在有些书中，将凸（凹）函数根据其形状也形象地称为下凸（上凸）函数.
一般地，如果函数的二阶导数大于等于0，那么它就在定义域内为凸函数；因此我们可以方便地利用导数公式来推出函数的凹凸性质；但在未学习导数之前，我们暂时只能用基本的不等式知识来寻求凸函数的证明，这个证明过程大部分情况下会比较简洁，但也有个别函数证明起来较为困难(例如下面的例1). 琴生不等式：
设()f x 是(,)a b 内的凸函数，则对于(,)a b 内的任意n 个实数12,,,n x x x ???，都有
12121
(
)(()()())n n x x x f f x f x f x n n
++???+≤++???+
等成立当且仅当12n x x x ==???=时成立.
第8讲 琴生不等式与
不等式综合
8.1琴生不等式
【例1】 证明琴生不等式．
【例2】 证明下列函数为下凸函数：⑴
1()1)f x x =<<；⑵2()1)f x x =
<<.
【例3】 已知()()(0)p a
f x x x x
=+>为凸函数，其中p 是正整数，a 是正常数. 12,,,n x x x ???是正数，满
足121n x x x ++???+=.证明：
2121211[()()()]()p p p p n n a a a an x x x n x x x n
+++++???++≥
【例4】 已知12,,,n x x x ???是正数，满足121n x x x ++???+=.k 为正整数，证明：121
1
k k k
n k x x x n -++???+≥
.
【例5】 试利用琴生不等式证明幂平均不等式：
若0αβ>>，*
(1,2,,)i a i n ∈=???R ，则1
11212()()n n a a a a a a n n
αααββββ
α++???+++???+≥；当且仅当
12n a a a ==???=时等成立.
【例6】 若,0αβ>，*(1,2,,)i a i n ∈=???R ，且γαβ=+，则
121212n n n
a a a a a a a a a n n n
γγγαααβββ++???+++???+++???+≥?
.
【例7】 已知12,,,n x x x ???是正数，满足121n x x x ++???+=.证明：
121
21
2
1111
n
n n
x x x x x x n ++???++
+???+
≥
----.
8.2不等式综合
【例8】 设12,,,n P P P ???是1,2,,n ???的任意排列，求证：122311111
2n n
n P P P P P P n --++???+>
++++.
【例9】 设,,a b c 是正实数，证明：2222
22222
(2)(2)(2)82()2()2()a b c b a c c a b a b c b c a c a b ++++++++++++++≤.
【例10】 设,,,a b c d
【演练1】证明：*
()(),[0,)p
f x x p x =∈∈+∞N 为凸函数.
实战演练
【演练2】设,,
A B C是三角形的三个内角，λ为非负常数，
【演练3】已知正实数,,
a b c满足3
a b c
++=9．
【演练4】已知,,R
a b c+
∈，且1
a b c
++=，求证：
149 36
a b c
++
≤．
【演练5】设0a b >>32
3
10ab b +≥-．
【演练6】已知,0a b ≥，1a b +=，求44a b +的最值．
【演练7】设2
()()1
x x a
f x a a a -=--，其中0a >且1a ≠，证明：对正整数2n ≥，有()f n n >．
一元一次不等式(组)及应用题精选拔高题
不等式与不等式组 一、选择题 1. 如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A) 1>b a (B) b a ＜1 (C) b a 11< (D)a b ＜1 2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． (A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 3. ｜a ｜＋a 的值一定是( )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4. 若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 5. 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 6. 九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一彩色底片0.68元，扩印一相片0.50元，每人分一．在 收来的钱尽量用掉的前提下，这相片上的同学最少有( )． (A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人 7. 某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这 种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 8. 若不等式组? ??>≤ 凸函数和琴生不等式 的最大值为 中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++?=π A 21 B 2 3 C 223 D 23 分析： 时，取等号 当且仅当上是凸函数 在分析：最小值 的，试求：为定值是一组实数，且若n n n n n n n a a a n k a a a n k n a a a a a a n x x f a a a k k a a a a a a ===≥ +++∴=+++≥+++∴+∞-∞=+++=+++ΛΛΛΛΘΛΛΛ2122 22212 22212 222122 22212121)()(1),()()(,,.2 时，取等号； 时，即当且仅当上是凹函数，则： 在3 sin sin sin 23 3sin sin sin 2 360sin )3sin()sin sin (sin 31),0(sin π π= ====≤ ++=?=++≤++=C B A C B A C B A C B A C B A x y Θ)11()11)(11(21n x x x +++ =Λn n x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n n 1 11)1(1)]11()11)(11[(2121211 21121= +++≤ + =+≥+++∴ΛΛΘΛΛΛ又n n n n n n n n n n n n n n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )1 1()11()11(])11()11()11[(1)1()1 1()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++ =+++≥=>ΛΛΘΛΛΛ证：求证：，，已知);)(1)]1()1)(1[((1 22111 2211n n n n n n a b a b a b a b a b a b ΛΛ+≥+++利用结论： 一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例 一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。 一、 巧用不等式的性质 例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ＜1 B. a ＞1 C.－1＜a ＜0 D. a ＜－1 分析：由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a 两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。故选D 点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a 的取值范围。 例2 已知6＜a ＜10，2 a ≤ b ≤a 2，b a c +=，则c 的取值范围是 。 分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得2 3a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30 点评：本题应用不等式的基本性质，在2 a ≤ b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示 c ，再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。 二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围 例3 若关于x 的不等式组 ?????+++②m ＜x ①x ＞x 0 1456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。 分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。 由②得 m x ＜-。 因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。 点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。 若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。 第一讲：凸函数与琴生不等式 一、函数的凹凸性： 定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有 1212()() ( )22 x x f x f x f ++≤ ① 则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数． 注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数） ②下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上 方（或曲线上）． ③()f x 的二阶导数''()0f x ≥，则()f x 为下凸函数；()f x 的二阶导数''()0f x ≤，则 ()f x 为上凸函数。 常见的上凸（凹）函数，0=sin ,=cos ,=ln sin ,=ln cos 2y x y x y x y x π???? ? ? ，上， 常见的（下）凸函数，[)231 0+=,=,=,=n n y x y x y x y x ∞，上， 二、琴生不等式性质： 若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有n x f x f x f n x x x f n n ) ()()()( 2121+++≤+++ ； 当且仅当12n x x x === 时取到等号。 若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有 n x f x f x f n x x x f n n ) ()()()( 2121+++≥+++ 。 当且仅当12n x x x === 时取到等号。 三、加权形式： []()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++; n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≤ 对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++. n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≥ 对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有 一元一次不等式（组）的应用 例题求解 【例题1】已知2007321,......,,a a a a 是彼此不相等的负数，且 M=)......)(,......(20074322006321a a a a a a a a ++++ N=)......)(,......(20064322007321a a a a a a a a ++++，请比较M 、N 的大小。 【例题3】已知7654321,,,,,,a a a a a a a 是彼此不同的正整数，他们的和等于159，求其中最小的数1a 的最大值。 【例题4】若a 、b 满足b a s b a 32,7532 2-==+，则s 的取值范围是_______________。 （1）符合题意搭配方案有哪几种？ （2）若搭配一个A种造型成本为1000元，搭配一个B种造型成本为1200元，试说明选用（1）哪种方案成本最低 【例题7】、荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨。已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同． （1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ （2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案请你设计出来，并求出最低的租车费用． 【课堂练习】 1、一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）种。 2、1、（2010?温州）某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支元，则其中签字笔购买了_______支． 3、学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住4人，则余19人没有住处，如果每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，求有多少间宿舍多少名学生 4、某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位．则该校去参加春游的人数为________；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金 ________元。 5、已知关于x 的不等式组???->-≥-1 230x a x 的整数解有5个，则a 的取值范围是__________。 高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式 一、知识要点： 1．琴生不等式 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都 有1212()() ( )22 x x f x f x f ++≤ ，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()() ()22 x x f x f x f ++≥ ，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。 琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则 1212()()() ( )n n x x x f x f x f x f n n ++???+++???+≤ （想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明： 1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立； 2）假设n k =时命题成立，即1212()()() ( )k k x x x f x f x f x f k k ++???+++???+≤ 那么当1n k =+时，设121 11 k k x x x A k ++++???+=+， 1211 111(1)(1)(1)()()()22 k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++???++-+ ++-== 111 11() (1)()(1)()11[()()][]22k i k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k ++=+++-+-≤+≤+∑ 所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++???+++- 所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++???++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式： 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且 11,0n i i i λλ==>∑， 则11 (()()n n i i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数， （1）如果对任意x ∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 内是下凸的； （2）如果对任意x ∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 内是上凸的。 4．幂平均不等式： 若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1 1 1 1()()n n i i i i x x n n α β βα==≥∑∑． 一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例 一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。 一、 巧用不等式的性质 例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ＜1 B. a ＞1 C.－1＜a ＜0 D. a ＜－1 分析：由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a 两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。故选D 点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a 的取值范围。 例2 已知6＜a ＜10， 2 a ≤ b ≤a 2，b a c +=，则c 的取值范围是 。 分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得23a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30 点评：本题应用不等式的基本性质，在2 a ≤ b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示 c ，再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。 二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围 例3 若关于x 的不等式组 ?????+++②m ＜x ①x ＞x 0 1456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。 分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。 由②得 m x ＜-。 因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。 点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。 若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理 自招竞赛 数学讲义 琴生不等式和幂平均不等式 知识定位 不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。 本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。 知识梳理 琴生不等式 1. 凸函数的定义： 设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有 1212()() ( )22 x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()() ()22 x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。 常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2 π上的tan y x =，R + 上的2y x =，3y x =等 常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R + 上的ln y x =等 2. 琴生(Jensen)不等式 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()() ()n n x x x f x f x f x f n n ++???+++???+≤ 上式等号在12...n x x x ===时取到 反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）： 1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立； 2）假设n k =时命题成立，即1212()()()( )k k x x x f x f x f x f k k ++???+++???+≤ 那么当1n k =+时，设121 11 k k x x x A k ++++???+=+， 竞赛中的一元一次方程 一、知识点拨 1、含有未知数的等式称为方程。 2、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程称为一元一次方程。 3、绝对值符号内含有未知数的方程称为绝对值方程。 4、依据方程中未知数的个数，方程可分为：一元方程、二元方程、三元方程；依据方程中未知数的最高次数，方程又可分为：一次方程、二次方程、三次方程等。 5、一元一次方程是最简单的方程，也是最基本的方程，解方程最终都化归为解一元一次方程。 6、使方程左边和右边相等的未知数的值称为方程的解，求方程的解的过程称为解方程。 7、解一元一次方程的一般步骤是： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式ax=b ；（5）方程两边同除以未知数的系数。 解一元一次方程没有固定的步骤，去分母与去括号是因题而异，灵活掌握。但是，不管采取什么顺序，都要保证正确地运用各种运算法则，以及同解原理，使得到的方程与原方程同解。 8、一元一次方程ax=b 的解由a 、b 的值来确定： （1）当时，方程无解； （2）时，方程的解可为任意的有理数； （3）当时，方程有唯一解 ； 二、典例选讲 例1：当m 为何值时，关于x 的方程 是一元一次方程？ 例2：下列解一元一次方程的变形对不对？如果不对，找出错在哪里，并改正。 （1）由得到； （2）由，得到； （3）解方程。 （4）解方程 0≠a 0==b a 00≠=b a 且a b x =273)(22323-+=+--x x x x m m 283=-x 823-=x 63-=x x 63=-x x 1242321-=+--x x x 2103-=+x x 凸函数与琴生不等式 一．知识部分 知识一、凸函数的概念 ①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线 的弧的上方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凸的。 ②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间 ],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间 点))2 (,2(2 121 x x f x x ++的上方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凸的。此定义说明函数在 区间上的凸性与不等式 )2 (2)()(2 121x x f x f x f +≥+的成立是等价的 推广1. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有 )()()()(2121n x x x f n x f x f x f n n +++≥+++ 推广2（琴生不等式） 对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上 的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≤+++ 说明：此时凸函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是下凸函数 知识二、凹函数的概念 ①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的下方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凹的。 ②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间 ],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2 )()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的 中间点))2 (,2(2 121 x x f x x ++的下方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凹的。此定义说明函数在 区间上的凹性与不等式 )2 (2)()(2 121x x f x f x f +≤+的成立是等价的 说明：凹函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是上凸函数 推广1（琴生不等式）. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121n x x x f n x f x f x f n n +++≤+++ ，当且仅 当n x x x ===...21时取等号 推广2（琴生不等式一般形式）. 对任意一列1,,,,2121=+++∈+ n n a a a R a a a ，函数) (x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≥+++ 七 年 级 数 学 竞 赛 姓名： 得分： 分×12=36） 1．下列说法正确的是（ ） A ．ax+b=0是关于x 的一元一次方程 B ．若a+c=b+c,则a b d d = C ．若关于x 的方程mx+n=0只有一个解，则m ≠0 D ．若（x+y ）(x-y)=0，则x=y 2．如果方程3x+1=4与关于x 的方程302 a x --=的解相同，则a 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．若x=3是方程1()13 m x -=的解，则关于x 的方程(1)51m x x m -=+-的解是（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．11 4．若a 与b 互为相反数，则关于x 的方程0(0)ax b a +=≠的解是（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或1 D ．不能确定 5．某商品提价10%销售一段时间后，销量不大，于是降价10%销售，则下列说法正确的是（ ） A ．该商品通过两次调价恢复到原价 B ．该商品第二次调价后的售价高于原价 C ．该商品第二次调价后的售价低于原价 D ．以上几种情况都有可能 6．若关于x 的方程2(3)(2)0m m x m --+=是一元一次方程，则方程的解是（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 7．方程12x x -=的同解方程是（ ） A ．322x x -=+ B ．21x x =- C ．21x x =+ D ． 1213 x x -=+ 8．甲、乙两人去商场购物，他俩各自的钱数之比是5:4。甲用了350元，乙用了200元，他俩余下的钱数之比是3:4，则甲、乙两人分别余下（ ） A ．300元，400元 B ．240元，320元 C ．180元，240元 D ．150元，200元 9．受季节影响，某种商品每件按原售价打九折后又降价5块，现在售价为175元，则这种商品每件原售价是（ ） A.180元 B.190元 C.200元 D.210元 10．造一件假品牌衬衣成本只有40元，比正牌衬衣销售价的116还少10元，如 第四讲 排序不等式与琴生不等式 本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用． 排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a 1，a 2，……，a n ；b 1，b 2，……，b n ．如果a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．那么a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1（反序和）≤a 11i b ＋a 22 i b ＋……＋a n n i b （乱序和）≤a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a n b n （同序和）， 其中i 1，i 2，……，i n 是1，2，……，n 的一个排列． 该不等式所表达的意义是和式 ∑=n j i j j b a 1 在同序和反序时分别取得最大值和最小值． 切比雪夫不等式：设有两个有序数组a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．则1 n (a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1)≤ a 1＋a 2＋……＋a n n · b 1＋b 2＋……＋b n n ≤1 n (a 1b 1＋a 2b 2＋……＋ a n b n )， 其中等号仅当a 1＝a 2＝……＝a n 或b 1＝b 2＝……＝b n 时取得． 琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上． 定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≤1 2 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(１) 定理一．若f (x )是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x 1，x 2，……，x n ，恒有f (x 1＋x 2＋……＋x n n )≤1n [f (x 1)＋f (x 2)＋……＋f (x n )]． 定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≥1 2 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(2) 定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x x x ,...,,21恒有x 1 x 2 M (1) P Q x 1 x 2 M (2) P Q 一次方程、方程组与不等式、不等式组 1.〖2006年陕西中考〗一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（） A．600×0．8一x＝20 B．600×8一x＝20 C．600×0．8＝x一20 D．600×8＝x一20 【答案】A 【解析】根据利润＝售价一成本，可知A正确． 【考点】本题考察了一元方程在成本问题中的应用． 2.〖第2届希望杯〗 ①若a＝0，b≠0，方程ax＝b无解；②若a＝0，b≠0，不等式ax＞b无解． ③若a≠0，方程ax＝b有唯一解x＝；④若a≠0，不等式ax＞b的解为x＞．则 （A）①、②、③、④都正确．（B）①、③正确，②、④不正确． （C）①、③不正确，②、④正确．（D）①、②、③、④都不正确． [答案]选（B） [解析]若a＝0，b＝－1，0x＞－l，可见②有解；若a≠0，如a＝－1，－x＞b x＜－b，④ 说法不正确．只有①，③是正确的．选（B）． 【考点】本题是对含字母系数的一元一次方程(不等式)解的情况的考察． 3. 〖希望杯培训〗不等式 21 2 32 x x x +- ->+的解集是_________ 【答案】x＜1 【考点】本题主要考察学生解不等式的能力，注意去分母时，每一项的变化． 4. 〖第6届希望杯〗某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克（）元．（A）2．6．（B）2．5．（C）2．4．（D）2．3． 【答案】选（C） 【解析】 5. 〖希望杯培训〗关于 x 的不等式组???x ＋15 2 ＞x －32x ＋2 3＜x ＋a 只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）． A ． －5≤a ≤－143 B ． －5≤a ＜－143 C ． －5＜a ≤－143 D ． －5＜a ＜－14 3 【答案】C 【解析】先求不等式组的解集，根据题意，进一步确定a 的范围． 解不等式组???x ＋15 2 ＞x －32x ＋2 3＜x ＋a 得，2132<<-x a ，由不等式组有4个整数解可知这4个解应 是20，19，18，17，则a 32-应在16和17之间，即162317a ≤-<，解不等式可得a 的取值范围，选C ． 6.〖2003年海淀中考〗某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也 相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元? （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱? 【详解】 （1)设书包的单价为x 元，则随身听的单价为(4x 一8)元． 根据题意，得4x 一8＋x ＝452．解这个方程，得x ＝92． 4x 一8＝4×92—8＝360． 即：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元． （2）在超市A 购买随身听与书包各一件需花费现金：450×80％＝361．6(元) 因为361．6＜400，所以可以选择超市A 购买． 在超市B 可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360＋2＝362(元) 因为362＜400，所以也可以选择在超市B 购买． 因为362＞361.6，所以在超市A 购买更省钱． 【考点】本题主要考察了一次方程的应用，本题的特点是：表述复杂，解答简单，重在分析． 1. 〖第 17届希望杯〗初一（2）班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人，则全班同学共有______人． 【答案】 55或25 【解析】法一： 本题是发散性题目，应该分两种情况考虑.设全班一共有x 个人，根据题意可知有两种情况：（一）、从右向左报数时，报20的同学没有到达第一遍报数为20的同学所在 詹森不等式 （詹森(Jensen ）不等式）若f 为[]b a ,上凹函数，则对任意1x ∈[]b a ,，i λ>0（n i ,,2,1 =）,∑=n i i 1λ =1,有 )(1∑=n i i i x f λ≥∑=n i i i x f 1)(λ （1） 证明 应用数学归纳法.当n =2时，由凸函数定义命题显然成立.设n =k 时命题成立.即对任意k x x x ,,,21 ∈[]b a ,及 0>i α，k i ,,2,1 =，∑=n i i 1α=1， 都有 )(1∑=k i i i x f α≥∑=k i i i x f 1)(α 现设121,,,,+k k x x x x ∈[]b a ,及 0>i λ,,1,,2,1+=k i ∑+=1 1 k i i λ=1 令11+-=k i i λλα，k i ,,2,1 =，则∑=k i i 1α=1.由数学归纳法假设可推得 )(112211++++++k k k k x x x x f λλλλ =)1)1((111 22111+++++-+++-k k k k k k x x x x f λλλλλλ ≥)()()1(1122111+++++++-k k k k k x f x x x f λαααλ ≥)()]()()()[1(1122111+++++++-k k k k k x f x f x f x f λαααλ =)()](1)(1)(1)[ 1(1112121111+++++++-++-+--k k k k k k k k x f x f x f x f λλλλλλλλ =∑+=1 1)(k i i i x f λ 这就证明了对任何正整数n （2≥），凸函数f 总有不等式（1）成立. 1 / 8 1 1 ? 1 1 ? 《一元一次方程》竞赛试题 1．已知 x =一 1 是关于 x 的方程 7x 3 一 3x 2+kx+5=0 的解，则 k 3+2k 2-11k-85= ． (“信利杯”竞赛题) 2． 方 程 1 (20x + 50) + 2 (5 + 2x ) - 1 (4x + 10) = 0 的 解 为 ； 解 方 程 6 3 2 ? ? ? ? ( x - 3) - 3? - 3? - 3 = 0 ，得 x= ． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 8．解关于 x 的方程： （1）ax-1=bx (2)4x+b=ax-8 (3)k(kx-1)=3(kx-1) 9．A 为何值时，方程 x + a = x - 1 (x - 12) 有无数个解？无解？ 2 ? 2 ? 2 2 ? ? 3 2 6 3. 已知关于 x 的方程 2a(x 一 1)＝(5 一 a)x+3b 有无数多个解，那么 a ＝ ． (“希望杯”邀请赛试题) 4. 和方程 x 一 3＝3x+4 不同解的方程是( )． 10． 已知方程 2(x+1)=3(x-1)的解 为 a+2， 那么方程 2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解 为 ． 11．已知关于 x 的方程 9x-3=kx+14 有整数解，那么满足条件的所有整数 k = ． 1 12．已知 1 + 4( 1 + 1 ) = 1 3 ，那么代数式1872 + 48 ? ( 1999x ) 的值为 ． A ．79—4＝59—11 B ． + 2 = 0 x + 3 4 1999 x 4 1999 + x C ．(a 2+1)(x 一 3)＝(3x+4)(a 2+1) D ．(7x 一 4)(x —1)＝(5x 一 11)(x 一 1) 5．已知 a 是任意有理数，在下面各题中(1)方程 ax=0 的解是 x=1 13. 若(3a+2b)x 2+ax+b=0 是关于 x 的一元一次方程，且有唯一解，则 x = ． 14. 有 4 个关于 x 方程 (1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1) (3)x=0 (4) x - 2 + 1 = -1 + 1 (2) 方程 ax ＝a 的解是 x ＝1 其中同解的两个方程是（ ） x - 1 x - 1 (3) 方程 ax=1 的解是 x ＝ 1 A ．（1）与（2） B ．（1）与（3） C ．（1）与（4） D ．（2）与（4） a x x x (4) 方程 a x = a 的解是 x ＝±1 结论正确的个数是( )． A.0 B ．1 C ． 2 D ．3 (江苏省竞赛题) 15．方程1? 2 + 2 ? 3 + + 1995 ?1996 = 1995 的解是（ ） A ．1995 B ．（1996 C ．1997 D ． 1998 16．已知a + 2 = b - 2 = c = 2001 ，且a + b + c = 2001k ，那么k 的值为（ ）． 2 1 ? 3 ? 1 A ． 1 B ．4 C ． - 1 D ．－4 6．方程 x - 6 ?36 - 12(5 x + 1)? = 3 x - 2 的解是（ ） 4 4 A ． 15 14 ? B ． - 15 14 ? C ． 45 14 D ． - 45 14 17．若 k 为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x 的解也是整数的 k 值有 A ．4 个 B ．8 个 C ．12 个 D ．16 个 七 年 级 数 学 竞 赛 姓名： 得分： 3分×12=36） 1．下列说法正确的是（ ） A ．ax+b=0是关于x 的一元一次方程 B ．若a+c=b+c,则a b d d = C ．若关于x 的方程mx+n=0只有一个解，则m ≠0 D ．若（x+y ）(x-y)=0，则x=y 2．如果方程3x+1=4与关于x 的方程302 a x --=的解相同，则a 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．若x=3是方程1()13 m x -=的解，则关于x 的方程(1)51m x x m -=+-的解是（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．11 4．若a 与b 互为相反数，则关于x 的方程0(0)ax b a +=≠的解是（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或1 D ．不能确定 5．某商品提价10%销售一段时间后，销量不大，于是降价10%销售，则下列说 法正确的是（ ） A ．该商品通过两次调价恢复到原价 B ．该商品第二次调价后的售价高于原价 C ．该商品第二次调价后的售价低于原价 D ．以上几种情况都有可能 6．若关于x 的方程2(3)(2)0m m x m --+=是一元一次方程，则方程的解是（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 7．方程12x x -=的同解方程是（ ） A ．322x x -=+ B ．21x x =- C ．21x x =+ D ． 1213 x x -=+ 8．甲、乙两人去商场购物，他俩各自的钱数之比是5:4。甲用了350元，乙用 了200元，他俩余下的钱数之比是3:4，则甲、乙两人分别余下（ ） A ．300元，400元 B ．240元，320元 C ．180元，240元 D ．150元，200元 9．受季节影响，某种商品每件按原售价打九折后又降价5块，现在售价为175 元，则这种商品每件原售价是（ ） A.180元 B.190元 C.200元 D.210元 10．造一件假品牌衬衣成本只有40元，比正牌衬衣销售价的116 还少10元，如果按正牌衬衣销售价的45%批发给商贩，一件假牌衬衣获利（ ） A.320元 B.360元 C.400元 D.440元 第四章 琴生不等式 一、函数的凹凸性： 定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有 1212()() ()22 x x f x f x f ++≤ ① 则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数． 注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数） 2．下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）． 二、琴生不等式： 若()f x 是区间 (a ，b ) 上的凸函数，则对任意的点x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )，有 12121 ( )[()()()]n n x x x f f x f x f x n n ++ +≤+++ 取“=”条件：x 1 = x 2 = … = x n 证明： 注：更一般的情形： 设()f x 是定义在区间 (a ，b ) 上的函数，如果对于(a ，b )上任意两点x 1，x 2，有 1212()()()pf x pf x f px qx +≥+（其中1p q R p q +∈+=，，），则称()f x 是(a ，b ) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式： 设12121n n q q q R q q q +∈++ +=，，，，且，若()f x 是区间 (a ，b ) 上的下凸函数，则对 任意的x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )有11221122()()()()n n n n f q x q x q x q f x q f x q f x ++ +≤+++． 取“=”条件：12n x x x == = 说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数 (2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2 h x x π =在[0，上是下凸函数 证明：(1) 对12[0)x x π?∈，， 121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()222222f x f x x x x x x x x x x x f ++ -++=+=≤= (2) 对12[0)x x ?∈∞，，+ 1212lg lg lg 22x x x x ++=≤ 即： 1212()()()22 g x g x x x g ++≤． (3) 当1202 x x π ≤< ，时 1212121212121212sin sin sin()2sin() tan tan cos cos cos cos cos()cos() x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++-竞赛专题凸函数和琴生不等式
一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例知识讲解
第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答)
一元一次不等式组(培优竞赛)
-琴生不等式,幂平均不等式
一元一次不等式组的竞赛题巧解举例
琴生不等式【学生版】
一元一次方程竞赛
凸函数与琴生不等式拉格朗日中值定理
七年级数学一元一次方程竞赛题
第四讲排序不等式与琴生不等式
一元一次方程不等式竞赛题
詹森不等式
《一元一次方程》竞赛试题(可编辑修改word版)
七年级数学一元一次方程竞赛题
琴生不等式及不等式综合(教师)