高一数学讲义 指数运算与指数函数
指数运算和 指数函数
要求层次
重点 难点
幂的运算 C
①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概念和运算性质
②无理指数幂的理解
③实数指数幂的意义
指数函数的概念 B
在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数
在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数
指数函数的图象和
性质
C
①对于底数1a >与01a <<时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质
①对于底数1a >与01a <<时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质 ③掌握指数函数作为初等函数与二次函数、对数函数结合的综合应用问题
板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容
1．整数指数
⑴ 正整数指数幂：n a a a a =??
?，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈）
，n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．
⑵整数指数幂：规定：01(0)a a =≠，1
(0,)n n a a n a
-+=≠∈N ． 2．分数指数
⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根．
高考要求
第4讲
指数运算与指数函数
知识精讲
⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．
① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，
a 的n
表示．
② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n
0)a >．
⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．
负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0
0．
n 叫做根指数，a
3．根式恒等式：
n a =；当n
a =；当n
||a a a ?=?-?
0a a <≥．
4．分数指数幂的运算法则
⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n
a a >
0,,,)m
m n
m
a a n m n
+==>∈N 且
为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n
m n
m
a
a n m n
a
-
+=
>∈N 且
为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈
6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时
a =，n 为偶数时
a =． 7．
m n
a =
m n
a
-
=（0a >，,*m n N ∈，且1n >）
零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．
8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r
r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ）
9．无理数指数幂
⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．
（二）典例分析
【例1】求下列各式的值：
⑴
；⑵
⑶
⑷
)
a b
<；⑸
．
⑹
2
3
8；⑺
1
2
25-；⑻
5
1
2
-
??
?
??
；⑼
3
4
16
81
-
??
?
??
．
【例2】计算下列各式：
⑴
⑵
1
11
3
44
2
1
3
2
43
(,0)
6
a a b
a b
a b
-
-
-
??
-
?
??>
-
．
【例3】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：
⑴
；⑶
54
m
?
．
【例4】
，则实数a的取值范围是（）A．a∈R B．
1
2
a=C．
1
2
a>D．
1
2
a≤
【例5】
设a
b=
c a，b，c的大小关系是（）
【例6】设
11
20082008
(N)
2
n n
a n
-
+
-
=∈
，那么)n
a
-的值是（）
【例7】
若()x f x =
，求1000
1
(
)1001
i i f =∑
【例8】 已知210x x +-=，求84
7
x x +
的值．
【例9】 下列判断正确的有
①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
板块二：指数函数及其性质
（一）知识内容
1．指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，R)x ∈叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比
3．x
y a
=（0
a>且1
a≠）的图象特征：
1
a>时，图象像一撇，过点()
0,1，且在y轴左侧a越大，图象越靠近y轴（如图1）；
01
a
<<时，图象像一捺，过点()
0,1，且在y轴左侧a越小，图象越靠近y轴（如图2）；
x
y a
=与x
y a-
=的图象关于y轴对称（如图3）．
图1图2图3
（二）主要方法：
1．指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解；
2．确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论；
3．要注意运用数形结合思想解决问题．
（三）典例分析：
【例10】已知1
a b c
>>>，比较下列各组数的大小：
①___
b c
a a；②
1b
a
??
?
??
1c
a
??
?
??
；③
11
___
b c
a a；④__
a a
b c．
【例11】（2009年江苏卷）已知
51
a
-
=函数()x
f x a
=，若实数m n
，满足()()
f m f n
>，则m n
，的大小关系为．
【例12】图中的曲线是指数函数x
y a
=的图象，已知a取
413
3,,,
3105
四个值，则相应于曲线
1234
,,,
c c c c的a依
次为_______________．
【例13】求下列函数的定义域、值域
⑴
1
1
2x
y-
=；⑵3x
y-
=；⑶2
12
0.5x x
y+-
=
c4
c3c
2
c1
P4
P3
P2
P1
1
O
y
x
板块三：指数函数和其它函数的运算与复合
（一）知识内容：
复合函数的单调性与奇偶性，重点研究学生熟悉的二次函数的复合，复合函数单调性的判断是重点也是难点．
1．和差函数的单调性
两个增函数（或减函数）的和仍为增函数（或减函数），一个增函数（或减函数）减去一个减函数（或增函数），结果是一个增（或减）函数． 2．复合函数[()]f g x 的奇偶性、单调性有如下规律：
值得注意的是，当且仅当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ，复合函数奇偶性：两奇才为奇； 复合函数单调性：同增异减
（二）典例分析：
【例14】 已知2()82f x x x =+-，2()(2)g x f x =-，则()g x 在（ ）
A ．(2,0)-上为增函数
B ．(0,2)上为增函数
C ．(1,0)-上为减函数
D ．(0,1)上为减函数
【例15】 函数221()3x x
f x -??
= ?
??
的单调增区间为_________，值域为___________．
【例16】 求函数11()1([3,2])42x
x
f x x ????
=-+∈- ? ?????
的单调区间及其值域．
【例17】 求下列函数的单调区间．
⑴2
32
x
x y a -++=（0a >，且1a ≠）；
⑵已知910390x x -?+≤，求函数1111
()4()542
x x y --=-?+最值．
【例18】 （2007-2008北京四中期中测试）求函数1()423x x f x a +=-?+ (R)x ∈的值域．
【例19】 已知1
1()212x f x x ??=+ ?-??
．
⑴求证：()0f x >；
⑵若()()()F x f x t f x t =++-（t 为常数），判断()F x 的奇偶性．
【例20】 讨论函数21
()21
x x f x -=+的奇偶性、单调性，并求它的值域．
【例21】 已知函数2()()1
x x a
f x a a a -=--，其中0a >，1a ≠．
⑴判断函数()f x 的奇偶性； ⑵判断函数()f x 的单调性，并证明．
【例22】 （2008-2009南通一中高三期中考试题）
在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x 的整数部分，
即[]x 是不超过x 的最大整数．例如：[2]2=，[3.1]3=，[ 2.6]3-=-．设函数21
()122
x x
f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为（ ）
【例23】 （2008-2009首师大附中高中课改数学模块1水平监测期中考试）
因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复
合后得到的，比如下列函数：()()()22x f x g x h x x ==，，则()()f x g x ，复合后可得到
函数()()2x g f x g =????()f g x f ==?
???个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由()()f x g x ，进行乘法运算得到
函数()()2x f x g x =．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究．
⑴复合函数(){}f h g x ????的解析式为 ；其定义域为 ．
⑵可判断()()2x f x g x =是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；
⑶已知函数()2x f x -=，若()()121f x f x +>-，则x 的取值范围为 ．
⑷请用函数()()()()22ln x f x g x h x x k x x ====，，中的两个进行复合，得到三个函数， 使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．
【例24】 设a ∈R ，2
()()21
x
f x a x =-∈+R ，若()f x 为奇函数，求a 的值．
【例25】 小明即将进入一大学就读，为了要支付4年学费，小明欲将一笔钱存入银行，使得每年皆有
40000元可以支付学费．而银行所提供的年利率为6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额．
习题1. 比较下列各题中两个值的大小：
⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9．
习题2. （2007年山东潍坊统考）
若1a >，0b >，且22b b a a -+=，则b b a a --的值为（ ）
A ．6
B ．2或2-
C ．2-
D ．2
习题3. 函数()342x x f x =?-，求()f x 在[0,)x ∈+∞上的最小值．
习题4. 化简：⑴111()()
()
a b c a b c a
b c
a b
c a b c
x
x
x
------?? ⑵a b b c c a c a a b b c b c c a a b x x x ------+++??．
家庭作业
习题5. 已知1010()1010
x x
x x
f x ---=+，判断函数的单调性、奇偶性，并求()f x 的值域．
习题6. 已知2()()(0,1)2
x x a
f x a a a a a -=->≠-是R 上的增函数，求a 的取值范围．
习题1. 函数||()x f x e =（ ）
A ．是奇函数，在(,0]-∞上是减函数
B ．是偶函数，在(,0]-∞上是减函数
C ．是奇函数，在[0,)+∞上是增函数
D ．是偶函数，在(,)-∞+∞上是增函数
习题2. 方程2x =2-x 的解的个数为______________．
习题3. 已知函数|22|x y =-，
⑴ 作出函数的图象；
⑵ 根据图象指出函数的单调区间；
⑶ 根据图象指出当x 取什么值时，函数有最值．
月测备选
高中数学完整讲义指数与指数函数1指数基本运算
题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值： ⑴ 33(5)-；⑵ 2(3)-； ⑶ 335； ⑷ 2()()a b a b -<； ⑸ 4334(3)(3)ππ---．⑹2 3 8；⑺12 25- ；⑻5 12-?? ???；⑼34 1681- ?? ??? ． 【例2】 求下列各式的值： ⑴ 44100；⑵ 55 (0.1)-；⑶ 2(4)π-；⑷ 66 ()()x y x y ->． 【例3】 用分数指数幂表示下列各式： （1）3 2x （2）43)(b a +（a ＋b ＞0） （3）32 )(n m - （4）4 )(n m -（m ＞n ） （5） 5 6 q p ?（p ＞0） （6）m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算
【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) （1）43a a ? （2）a a a （3）3 22b a ab + （4）4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0)a >：3a ；2a ． 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a ＞0) 15 a ，34 a ，35 a -，23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式： 2 a a ，3 3 2a a ,a a (式中a ＞0) 【例8】 求值：23 8，12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值： (1)12 2 （2）1 2 6449- ?? ??? （3）34 10000- （4）23 12527- ?? ???
高一数学指数函数知识点及练习题
2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习
1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{><
指数运算和指数函数
指数运算和指数函数 一、知识点 1.根式的性质 （1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有???<-≥==) 0(,) 0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念 (1)正整数指数幂：)(.............*∈??=N n a a a a a n n (2)零指数幂)0(10 ≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1 *∈≠= -N p a a a p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m 且 (5)负分数指数幂 n m n m a a 1= - )1,,,0(>*∈>n N n m a 且 (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>?= 4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质 x a y = 0 < a < 1 a > 1 图 象 性 质 定义域 R 值域 (0 , +∞) 定点 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1 （1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。 （2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。 单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数 对称性 x y a =和x y a -=关于y 轴对称
指数函数与对数函数(讲义)
指数函数与对数函数（讲义） ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质： 2. 利用指数函数、对数函数比大小 （1）同底指数函数，利用单调性比较大小； （2）异底指数函数比大小，可采用化同底、商比法、取中间值、图解法； （3）同底数对数函数比大小，直接利用单调性求解；若底数为字母，需分类讨论； （4）异底数对数函数比大小，可化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，0，1），或借助图象高低数形结合． 3. 换底公式及常用变形： log log log c a c b b a =（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0） 1 log log a b b a = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log log m n a a n b b m = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log a b a b =（a >0，且a ≠1；b >0） ? 精讲精练 1. 若a ，b ，c ∈R +，则3a =4b =6c ，则（ ）
A ．b a c 111+= B ． b a c 122+= C ．b a c 221+= D ．b a c 212+= 2. 计算： （1）若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =，，，，，则228log ()x y +=_________； （2）设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤（）， （）则1 (())2g g =_____________； （3）若2(3)6()log 6f x x f x x x +
高一数学必修一指数与指数幂的运算试(总结)
高一数学必修一指数与指数幂的运算试(总结)
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高一数学练习19——指数与指数幂的运算 1. 3 )8(-的值是 （ ） A ．2 B. 2- C. 2± D. 8 2.给出下列4个等式：①a a =2；② a a =2)(；③ a a =3 3；④ a a =33)(。其中不一定正确的是 （ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3.若33 2)21(144a a a -=+-，则实数a 的取值范围为 （ ） A.21≤ a B. 2 1≥a C. 2 1 21≤≤- a D .R 4.下列说法正确的是 （ ） A.正数的n 次方根是正数)(* N n ∈ B.负数的n 次方根是负数)(*N n ∈ C.0的n 次方根是0)(* N n ∈ D. n a 是无理数)(*N n ∈ 5.若,3120<-< x 则|2|24412-++-x x x 等于 （ ） A. 54-x B. 3- C. 3 D. x 45- 6. 35212 -的平方根是 7.若x 满足5)31(4 4=-x ,则x 的值为 8.如果8>x ，则化简33 44)6()8(x x -+-的结果是 9.求下列各式的值： （1） =3 248 （2）=462525 （3） =-2)3( （4）=-33)3( （5）33 (3)-= （6）=-2)3(a
（7）=-+-+-33443 3)2()4()2(ππ 10.化简下列各式： （1）21 15113 3 6622133a b a b a b ??????-÷ ? ????? ，其中0,0.a b >> （2）121 13 3 4 2 23x y x y -????- ??????? （3）186 2 554355 a b a b - -????÷ ??? 一、 选择题 1．化简（1+232 1-）（1+2 16 1-）（1+28 1-）(1+2 - 4 1)（1+22 1-），结果是（ ） A 、 2 1 （1-2321 -） -1 B 、（1-232 1 -） -1 C 、 1-232 1- D 、2 1 （1-2321 -） 2．（ 36 9 a ）4 （ 63 9 a ）4 等于（ ） A 、 a 16 B 、 a 8 C 、 a 4 D 、 a 2
指数运算、指数函数
§1．4指数运算、指数函数 【复习要点】 1．指数、对数的概念、运算法则； 2．指数函数的概念, 性质和图象． 【知识整理】 1．指数的概念；运算法则：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(, )1,,,0(* >∈>= n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 * >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 2．指数函数的概念, 性质和图象如表： 中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。 4．会求函数y =a f (x)的单调区间。 5．含参数的指数函数问题，是函数中的难点，应初步熟悉简单的分类讨论。 【基础训练】 1］43 的结果为 （ ） A.5 B.5 C.－5 D.－5 2．将3 22-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．21 2- B ．31 2- C ．2 12 - - D ．65 2-
3．下列等式一定成立的是 （ ） A ．2 33 1a a ?=a B ．2 12 1a a ?- =0 C ．(a 3)2=a 9 D ．61 3 12 1a a a =÷ 4．下列命题中，正确命题的个数为 （ ） ①n n a =a ②若a ∈R ,则(a 2－a +1)0 =1 ③y x y x +=+34 33 4 ④6 2 3)5(5-=- A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．化简11111321684 2 1212121212-----?????????? +++++ ? ? ? ? ????? ??????，结果是 （ ） A ．1 1 321122--? ?- ? ?? B ．1 13212--??- ? ?? C ．1 3212-- D ．1 321 122-??- ??? 6 ．4 4 ? ? ? ? 等 于 （ ） A ．16 a B ．8 a C ．4 a D ．2a 【例题选讲】 1．设3 2212 ,-==x x a y a y ，其中a ＞0,a ≠1，问x 为何值时有 （1）y 1＝y 2 ？ （2）y 1＜y 2？ 2．比较下列各组数的大小，并说明理由 （1）43 1.1，43 4.1，32 1.1 （2）4 316.0- ，2 35 .0- ，8325.6 （3）53 2 )1(+a ，43 2 )1(+a 3．已知函数3234+?-=x x y 的值域为[7，43]，试确定x 的取值范围. 4．设01a <<，解关于x 的不等式2 2 232 223 x x x x a a -++->
高一数学指数幂及运算练习题及答案
1．若(a －3)14 有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＝3 D ．a ∈R 且a ≠3 【解析】 要使(a －3)14 有意义，∴a －3≥0，∴a ≥3.故选A. 【答案】 A 2．下列各式运算错误的是( ) A ．(－a 2b)2·(－ab 2)3＝－a 7b 8 B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3 C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6 D ．[(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 18 【解析】 对于C ，∵原式左边＝(－1)2·(a 3)2·(－1)3·(b 2)3＝a 6·(－1)·b 6＝－a 6b 6，∴C 不正确． 【答案】 C 3．计算[(－2)2]－12 的结果是________． 【解析】 [(－2)2]－12＝2－12＝1212＝22. 【答案】 22 4．已知x 12＋x －12＝3，求x ＋x －1－3x 2＋x －2－2 . 【解析】 ∵x 12＋x －12 ＝3， ∴(x 12＋x －12 )2＝9，即x ＋x －1＋2＝9. ∴x ＋x － 1＝7. ∴(x ＋x －1)2＝49 ∴x 2＋x －2＝47. ∴原式＝7－347－2＝445.
一、选择题(每小题5分，共20分) 1.????1120－(1－0.5－2)÷????27823 的值为( ) A ．－13 B.13 C.43 D.73 【解析】 原式＝1－(1－22)÷????322＝1－(－3)×49＝73 .故选D. 【答案】 D 2.a a a(a>0)计算正确的是( ) A ．a·a 12a 12＝a 2 B ．(a·a 12·a 14)12＝a 78 C ．a 12a 12a 12＝a 32 D ．a 14a 14a 18＝a 58 【答案】 B 3．化简－a 3 a 的结果是( ) A.－a B. a C ．－－a D ．－ a 【解析】 由题意知a<0 ∴－a 3 a ＝－－a 3a 2 ＝－－a.故选C. 【答案】 C 4．若4|x|－2有意义，则x 的取值范围是( )
高考数学知识点：指数函数、函数奇偶性
高考数学知识点：指数函数、函数奇偶性指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。（7）函数总是通过（0，1）这点。 （8）显然指数函数无界。 奇偶性 注图：（1）为奇函数（2）为偶函数
1．定义 一般地，对于函数f(x) （1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 （2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 （3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 （4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2．奇偶函数图像的特征： 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象
高一数学讲义-指数运算与指数函数
指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴正整数指数幂：n a a a a =???，是n个a连乘的缩写（N n + ∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：01(0) a a =≠， 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N． 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲
2．分数指数 ⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算． ① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时， a 的n 表示． ② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 0)a >． ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． 负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0 0． n 叫做根指数，a 3．根式恒等式： n a =；当n a =；当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时 a =，n 为偶数时 a =． 7． m n a = m n a - =（0a >，,*m n N ∈，且1n >） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．
人教高一数学指数函数讲义
第四节、指数函数 一、初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示。 ． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）。 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 思考：n n a =a 一定成立吗？ 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 例1、（1）=-+125.08 33-4 1633 （2）7722)(2y x y xy x -+ +-=
2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 无理指数幂：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。 例2、化简（1）=÷?----32 11321 32)(a b b a b a b a （2）=?÷?363342b ab a
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算 课题：指数与指数幂的运算 课型：新授课 教学方法：讲授法与探究法 教学媒体选择：多媒体教学 学习者分析： 1.需求分析：在研究指数函数前，学生应熟练掌握指数与指数幂的运算，通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数，为学习指数函数打基础. 2.学情分析：在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们研究指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入. 学习任务分析： 1.教材分析：本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如推广思想，逼近思想，教材充分关注与实际问题的联系，体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值. 2.教学重点：根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化. 3.教学难点：n次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 教学目标阐明：
1.知识与技能：理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算，能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化. 2.过程与方法：通过探究和思考，培养学生推广和逼近的数学思想方法，提高学生的知识迁移能力和主动参与能力. 3.情感态度和价值观：在教学过程中，让学生自主探索来加深对n 次方根和分数指数幂的理解，而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面. 教学流程图： 教学过程设计： 一．新课引入：
（一）本章知识结构介绍 （二）问题引入 1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系： （1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P 的值为 （2）当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P 的值为 （3） 当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量P 的值为 （4）当生物死亡了10000年后，它体内的碳14含量P 的值为 122 12?? ???6000 5730 12?? ???100005730 12?? ? ??
高一数学指数函数经典例题
高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12 -=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--()
高一数学讲义完整版
高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.
启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) ＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) 高一数学指数运算及指数函数试题 一．选择题 1．若xlog 23=1，则3x+9x的值为（B） A．3B．6C．2D．解：由题意x=， 所以3x==2， 所以9x=4，所以3x+9x=6 故选B 2．若非零实数a、b、c满足，则的值等于（B）A．1B．2C．3D．4 解答：解：∵， ∴设=m， a=log5m，b=log2m，c=2lgm， ∴= =2lgm（log m5+log m2） =2lgm?log m10 =2． 故选B． 3．已知，则a等于（） A．B．C． 2 D． 4 解：因为所以 解得a=4 故选D 4．若a＞1，b＞1，p=，则a p等于（） A．1B．b C．l og b a D．a log b a 解：由对数的换底公式可以得出p==log a（log b a）， 因此，a p等于log b a． 故选C． 5．已知lg2=a，10b=3，则log125可表示为（C） A．B．C．D． 解：∵lg2=a，10b=3， ∴lg3=b， ∴log125= = =． 故选C． 6．若lgx﹣lgy=2a，则=（C） A．3a B．C．a D． 解：∵lgx﹣lgy=2a， ∴lg﹣lg=lg﹣lg=（lg﹣lg） =lg=（lgx﹣lgy）=?2a=a； 故答案为C． 7．已知函数，若实数a，b满足f（a）+f（b﹣2）=0，则a+b= A．﹣2 B．﹣1 C．0D．2 解：f（x）+f（﹣x）=ln（x+）+ln（﹣x+=0 ∵f（a）+f（b﹣2）=0 ∴a+（b﹣2）=0 ∴a+b=2 故选D． 8．=（） A．1B．C．﹣2 D． 解：原式=+2×lg2+lg5=+lg2+lg5=+1=， 故选B． 9．设，则=（） A．1B．2C．3D．4解：∵， ∴= =（）+（）+（）= =3 故选C 10．，则实数a的取值区间应为（C） A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）解：=log34+log37=log328 ∵3=log327＜log328＜log381=4 ∴实数a的取值区间应为（3，4） 故选C． 11．若lgx﹣lgy=a，则=（A） 指数运算与指数函数 高考要求 知识梳理 知识点一：有理数指数幂 1. n 次方根概念与表示 一般地，如果n x ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且*N n ． n 2.根式概念 式子a n 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 3.根式的性质 ① n a =. ② ||,a n a n ?=??，为奇数为偶数； 4.分数指数幂 正分数指数幂：a m n =√a m n (a >0,m,n ∈N ?,n >1) 负分数指数幂：a ? m n = 1 a m n = √a m n a >0,m,n ∈N ?,n >1) 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质 a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (a b )r =a r b r (a >0,s ∈Q ) 知识点二：指数函数的图像和性质 1.指数函数概念： 形如0(>=a a y x 且1≠a ）函数叫指数函数，其中x 是自变量，函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质 R 知识点三：指数函数性质的运用（比较大小） 指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大 考点解析 典型习题一：指数幂(根式)的化简与计算 例1、已知当27=x ,64=y 时，化简并计算 例2、已知 01x <<，且1 3x x -+=，求112 2 x x - -的值. 典型习题二：指数函数的图像问题 例1、已知函数2 ()x f x m -=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数 ||1 ()()x b g x a +=的图象为（ ） )6 5 )(41(561 312112 13 2-----y x y x y x 第四节、指数函数 、初中根式的概念; 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根； (一)指数与指数幕的运算 1.根式的概念 一般地，如果x" a，那么x叫做a的n次方根，其中n >1,且n € N . 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.此时，a的n次方根用符号n a表示。 .式子R'a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号一：a表示?正的n次方根与负的n 次方根可以合并成土：a ( a>0)。 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作n0 0 思考：x a n=a 一定成立吗? 结当n是奇数时，n a n a 当n是偶数时，n a n| a | a (a 0) a (a 0) (2) . x2 2xy .(x y)7= 2 ?分数指数幕 正数的分数指数幕的意义 规定： m a n Va m （a 0, m, n N *, n 1） -1 1 * a n r 尸帛 （a °， m,n N ,n 1） a 7 va 0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义 指出：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理 数指数，那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕. 3 ?有理指数幕的运算性质 (1) r r a ?a s a (a 0,r,s Q) ； (2) r s (a ) rs a (a 0,r,s Q) ； (3) r (ab) r s a a (a 0,b 0,r 无理指数幕：-般地，无理数指数幕a （a 0,是无理数）是一个确定的 实数?有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕. 对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算， 一般要将根式化为 分数指数幕，利用分数指数幕的运算性质来进行计算。 2 例2、化简（1）丰匚（旦 a 2?V b 2 (2) 2?3a a ?2 , x 0 x (, a R ), 若 f[ f ( 1)] 1,则 a=( 2 x ,x 0 例 3 、已知函数 f （ x ） 指 数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 2.1指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 3433)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 2 (2) 【例3】比较大小: 高一数学指数函数平移问题 x 1 x 2 x 1 x 2 ⑴y=2 与 y=2 . ⑵y =2 与 y =2 f(x)的图象 向左平移a 个单位得到f(x + a)的图象；向右平移a 个单位得到f(x — a)的图象； 向上平移a 个单位得到f(x) + a 的图象；向下平移a 个单位得到f(x) — a 的图象. 指数函数?经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： 1 (1)y = 3厂 (2)y = ..2x 2 1 (3)y = .3 3x 1 解 (1)定义域为x € R 且x 丰2 .值域y > 0且沪 1 . ⑵由2x+ 2 — 1 >0,得定义域｛x|x >— 2｝，值域为y 》0. ⑶由 3— 3x-1 > 0,得定义域是｛x|x < 2｝，: 0< 3 — 3x — 1 v 3,二值域是 0 < y V 3 . 及时演练 求下列函数的定义域与值域 (1) y (2) y (|)|x|； 【例2】指数函数y = ax , y = b x , y = c x , y = d x 的图像如图2. 6 — 2所示, 则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A . a v b v 1 v c v d C . b v a v 1 v d v c B . a v b v 1 v d v c D . c v d v 1 v a v b 选(c)，在x 轴上任取一点(x , 0)，则得 b v a v 1 v d v c . J y y=c E r 匪.6-2 及时演练 指数函数①' ②「J —」 满足不等式1’ 一」；「-,则它们的图象是(). (1) 2、3 2、5 4、8 8、 9 16的大小关系是: (2)0.6 3指数以及指数函数的整理讲义经典-(含答案)
高一数学指数运算及指数函数试题(有答案)
指数运算与指数函数(学案)
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高一数学指数函数知识点及练习题含答案
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