高中立体几何常用定理

高中立体几何常用定理 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

立体几何中的公理、定理和常用结论

一、定理

1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

若A∈l，B∈l，A∈，B∈，则l?．

2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．

P∈，P∈∩＝l，且P∈l．

3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直

线．（若a?α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．）

5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．

7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．

若b∥c，a⊥b，则a⊥c．

8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

若a?／，b?，a∥b，则a∥．

9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

若a∥，a?β，?β＝b，则a∥b．

10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．

11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．

若a∥b，a⊥α，则b⊥α．

12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

若a⊥α，b⊥α，则a∥b．

13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

若a，b，a?b＝A，a∥，b∥，则∥．

14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

若∥，∩γ＝a，∩γ＝b，则a∥b．

15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．

若α∥β，a⊥α，则a⊥β．

16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

若l⊥，l，则⊥．

17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

若⊥，∩＝l，a，a⊥l，则a⊥．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．

若⊥，P∈，P∈a，a⊥，则a?．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．

20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．

二、常识

1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．

2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．

3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．

三、常用结论

（可用来解决选择、填空题）

1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC与BD，AD与BC也一定异面．

2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．

3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线，那么这条直线在此平面内．

4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．

5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．

6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．

7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．

8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．

9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．

11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD的垂心（类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．

12．空间四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，则

①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；

②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．

13．空间四面体P－ABC中，

①若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．

②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心．

14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．

若⊥，P∈，P∈a，a⊥，则a?．

高中立体几何八大定理

线面位置关系的八大定理 、直线与平面平行的判定定理: 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言： a u a b u o alia a//b 作用：线线平行=线面平行 二、直线与平面平行的性质定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行。 图形语言： I//： 符号语言：I u E l //m a o P = m 作用：线面平行=线线平行 、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 图形语言： 符号语言： a u a b u a aPlb = Au a//P a// P b/厂 作用：线线平行=面面平行四、平面与平面平行的性质定理： 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交图形语言: ?// P 符号语言：「二a = a//b Y =b“ 作用：面面平行=线线平行,那么所得的两条交线平行

图形语言： 符号语言： a 丄m a 丄n :a _ ： m 「n 二 A m 二二，n 二： 作用：线线垂直=线面垂直 a / * 六、直线与平面垂直的性质定理: 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言： a - :■ 匕 a//b b -:- 作用：线面垂直=线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理: 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言： 一 a 丄a 〕 任 符号表示： _ ■ a u Pj 注：线面垂直 =?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理: 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另 个平面 图形语言： 符号语言: a 1 P l AB : AB _丨 作用：面面垂直=线面垂直 五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,

立体几何公理及定理

立体几何公理及定理 一、空间点、线、面之间的关系 1、两条直线的位置关系有： 2、两个平面的位置关系有： 公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。 推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。 公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。 二、平行关系 直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 平面与平面平行的性质定理： 1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4、平行于同一平面的两个平面平行。 三、垂直关系 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 直线与平面垂直的性质定理： 1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ

高中数学《立体几何》重要公式、定理

高中数学《立体几何》重要公式、定理 1．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 3．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 4．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 8.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1 k ≠

高中立体几何常用结论、定理

立体几何中的定理、公理和常用结论 一、定理 1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l?α． 2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． P∈α，P∈α?α∩β＝l，且P∈l． 3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面． 4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a?α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．） 5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c． 8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 若a?／α，b?α，a∥b，则a∥α． 9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 若a∥α，a?β，α?β＝b，则a∥b． 10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直． 若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α． 11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α． 12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 若a?α，b?α，a?b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β． 14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b． 15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β． 16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 若l⊥α，l?β，则α⊥β． 17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β． 18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．

立体几何公理、定理推论汇总(修订)

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈I I 且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：////a b a c ??? 图形语言：

线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言：////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=?I 图形语言： 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? I 图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言： 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6） 符号语言：////a a b b αγβγαβ? ?=???=?I I 图形语言： 面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7） 符号语言：////a a βααβ????? 图形语言： 面面平行的性质 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。（8） 符号语言：//a a ββαα????⊥⊥ 图形语言： 面面平行的性质3 平行于同一个平面的两个平面平行。（9） 符号语言：//////αβαγγβ??? 图形语言：

高中数学立体几何判定定理及性质

高中立体几何判定定理及性质 一、公理及其推论 文字语言符号语言图像语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 α α α ? ? ∈ ∈ ∈ ∈ l B A l B l A, , ,①用来验证直线 在平面内； ②用来说明平 面是无限延展的 公理2 如果两个平面 有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 （那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） l l P ∈ = ? ? ? ∈ P 且 β α β α ①用来证明两 个平面是相交关 系； ②用来证明多 点共线，多线共 点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 确定一个平面 不共线 C B A C B A , , , , ? 用来证明多点共 面，多线共面 推论1 经过一条直线和这 条直线外的一点，有且只有一个平面 α α α α ? ∈ ? ? a A A , 使 ，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直 线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? = ? b a P b a , 使 ，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直 线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? b a b a , 使 ，有且只有一个平面 ∥ 公理4 （平行公理） 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥ ∥ ∥ ? ? ? ?用来证明线线平 行

二、平行关系 文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行 公理） 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥∥ ∥ ? ? ? ? （2）线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 αα α∥∥ a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? （3）线面平行的性 质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 b a a b b ∥∥ ? ? ? ? ? ? ? = ? β β α β （4）面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. β α α α β β ∥∥ ∥ ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = ? b a O b a b a （5）面面平行 的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 β α β α ∥ ? ? ? ? ⊥ ' ⊥ ' O O O O （6）面面平行 的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 b a b a∥∥ ? ? ? ? ? ? = ? = ? γ β γ α β α （7）面面平行 的性质如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直 βα β α ∥∥ a a ? ? ? ? ?

高中立体几何八大定理

l m β α α b a 线面位置关系的八大定理 一、直线与平面平行的判定定理： 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 图形语言： 符号语言： //a b a b αα?? ? ???? ?//a α 作用：线线平行?线面平行 二、直线与平面平行的性质定理： | 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行。 图形语言： 符号语言：//l l m α βαβ?? ????=? ?//l m 作用：线面平行?线线平行 三、平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言： ~ //a b a b A a b α ααβββ ?????? =?????? ∥∥ 作用：线线平行? 面面平行 四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言: 符号语言:////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 作用: 面面平行?线线平行 |

n m A α a α b a B A l β αa β α 五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图形语言： 符号语言： ,a m a n a m n A m n ααα⊥? ?⊥? ?⊥??=????? 【 作用：线线垂直?线面垂直 六、直线与平面垂直的性质定理： 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言： //a a b b αα⊥? ??⊥? 作用：线面垂直?线线平行 ? 七、平面与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言： 符号表示：a a ααββ⊥? ?⊥??? 注：线面垂直?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理： 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一 个平面 图形语言： 符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥? ?=? ?⊥??? ?⊥? 作用：面面垂直?线面垂直

高中立体几何定理及性质讲课讲稿

高中立体几何定理及 性质

高中立体几何定理及性质 一、公理及其推论 文字语言符号语言图像语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 α α α ? ? ∈ ∈ ∈ ∈ l B A l B l A, , ,①用来验证直 线在平面内； ②用来说明平 面是无限延展 的 公理2 如果两个平面有 一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 （那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） l l P ∈ = ? ? ? ∈ P 且 β α β α ①用来证明两 个平面是相交 关系； ②用来证明多 点共线，多线 共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 确定一个平面 不共线 C B A C B A , , , , ? 用来证明多点 共面，多线共 面 推论1 经过一条直线和 这条直线外的一点，有且只有一个平面 α α α α ? ∈ ? ? a A A , 使 ，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直 线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? = ? b a P b a , 使 ，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直 线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? b a b a , 使 ，有且只有一个平面 ∥ 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2

公理4 （平行公理） 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥ ∥ ∥ ? ? ? ?用来证明线线 平行 二、平行关系 文字语言符号语言图像语言作用 （1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥∥ ∥ ? ? ? ? （2）线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 αα α∥∥ a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? （3）线面平行 的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 b a a b b ∥∥ ? ? ? ? ? ? ? = ? β β α β （4）面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. β α α α β β ∥∥ ∥ ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = ? b a O b a b a （5）面面平行的判定如果两个 β α β α ∥ ? ? ? ? ⊥ ' ⊥ ' O O O O 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3

(完整word版)立体几何常考定理总结(八大定理)

关键点：需要借助一个经过已知直线 的平面，接着找交线。 内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 符号语言：a I b A a// b// 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。 四、面面平行的性质定理：面面平行 线线平行、面面平行 线面平行 文字语言:如果两个平行平面 冋时和第三 个平面相交,那么所得的两条 交线平行? 文字语言:如果两个平面平行，那么其中 符号语言: 亠 一个平面内的 任意一条直线平行于另一个 // 平面. a a//b 符号语言 : // ,a a// b 丨v 关键点：找第三个平面与已知平面都相 关键：只要是其中一个平面内的直线就行 交，则交线平行 立体几何的八大定理 、线面平行的判定定理： 线线平行 线面平行 文字语言：如果平面 外的一条直线与平面 内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 符号语言：b all a//b 关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理： 线面平行 线线平行 文字语言：如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行. 1 〃 符号语言: I I l/m 三、面面平行的判定定理: 线面平行 面面平行 文字语言：如果一个平面 //

五、线面垂直的判定定理： 线线垂直 线面垂直 文字语言：如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 符号语言: 六、线面垂直的性质定理： 线面垂直 线线垂直 文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的 任意一条直线. 、亠 l 符号语 言: a 关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出 七、平面与平面垂直的判定定理： 线面垂直 面面垂直 文字语言：如果一个平面 经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直） 符号表示: 八、平面与平面垂直的性质定理： 面面垂直 线面垂直 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另 个平面? 符号语言： 1 1 AB AB AB I 关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。 关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直 a

高中数学立体几何解析几何 判定&性质&公式整理(全)

高中数学必修二复习 基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系： 空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面：平行、相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

高中数学立体几何证明定理及性质总结

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l

1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????

立体几何常考定理总结(八大定理)

立体几何常考定理总结(八大定理) 一、线面平行的判定定理：线线平行线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行、符号语言：关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理：线面平行线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行、符号语言：关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。 三、面面平行的判定定理：线面平行面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行、符号语言：关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。 四、面面平行的性质定理: 面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行、符号语言:关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面、符号语言:关键：只要是其中一个平面内的直线就行 五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂

直于这个平面、符号语言：关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线、符号语言：关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直、（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面、符号语言：关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。 一、线线、线面和面面的位置关系两直线位置关系线面位置关系面面的位置关系 二、有关平行的证明线∥线⑴线∥线线∥线（都是直线）⑵线∥面线∥线（相交平面）⑶面∥面线∥线（平行平面）⑷同垂直于一个平面线∥线（线面垂直）线∥面⑴线∥线线∥面⑵面∥面线∥面面∥面线∥面面∥面线⊥线线⊥线线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面 四、三种角的范围异面直线所成角直线与平面所成角二面角

高中立体几何公理定理汇编

高中数学立体几何模块公理定理汇编 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． ?．（作用：证明直线在平面内） ∈，Bα ∈?lα ∈，B l A l ∈，且Aα 公理2过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面） 推论①直线与直线外一点确定一个平面． ②两条相交直线确定一个平面． ③两条平行直线确定一个平面． 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ∈，且Pβ ∈．（作用：证明三点/多点共线） Pα ＝l，且P l ∈?αβ 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性） 空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 面面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行． 线面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行． 面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行． 线面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行． 三垂线定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直． 逆定理如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直． 射影定理从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短． 面面垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 线面垂直性质定理1如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线． 线面垂直性质定理2垂直于同一个平面的两条直线平行． 面面垂直性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 面面垂直性质定理2两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．

高中立体几何公理及推论及定理总汇表

高中立体几何公理及推论及定理总汇表 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（1）判定直线在平面内的依据 （2 ）判定点在平面内的方法 公理2 :如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（1）判定两个平面相交的依据 （2）判定若干个点在两个相交平面的交线上 公理3 :经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）判定若干个点共面的依据 推论1 :经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。的依据 （2）判断若干个平面重合的依据 （3）判断几何图形是平面图形的依据（1）确定一个平面的依 据 （1）判定若干条直线共 面 推论2 :经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3 :经过两条平行线，有且仅有一个平面。 立体几何直线与平面 空间二直线平行直线 公理4 :平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 并且方向相同，那么这两个角相异面直线 空间直线和平面位置关系 （1）直线在平面内一一有无数个公共点 （2 ）直线和平面相交一一有且只有一个公共点 （3 ）直线和平面平行一一没有公共点 立体几何直线与平面 直线与平面所成的角 （1 ）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角 三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条 斜线垂直

三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 空间两个平面两个平面平行判定 性质 （1 ）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （3 ）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线, 两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直判定 性质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 立体几何多面体、棱柱、棱锥 多面体 定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 球 到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理 简单多面体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2

立体几何判定定理与性质定理汇总

文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 符号语言：α?a ，α?b ，且b a //α//a ?． 图形语言： 定理二（平面与平面平行的判定定理） 文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 符号语言：β?a ，β?b ，P b a = ，α//a ，α//b αβ//?． 图形语言： 定理三（直线与平面平行的性质定理） 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． 符号语言：α//a ，β?a ，且b =βα b a //?． 图形语言： 证明：因为b =βα ，所以α?b ． 又因为α//a ，所以a 与b 无公共点． 又因为β?a ，β?b ，所以b a //． 定理四（平面与平面平行的性质定理） 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言：βα//，a =γα ，b =γβ b a //?． 图形语言： α b a P βα b a a α βa b αγ a b αβ

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言：a c ⊥，b c ⊥，P b a = ，α?a ，α?b α//c ?． 图形语言： 定理六（平面与平面垂直的判定定理） 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号语言：α⊥a ，β?a ，αβ⊥?． 图形语言： 定理七（直线与平面垂直的性质定理） 文字语言：垂直于同一平面的两条直线平行． 符号语言：α⊥a ，α⊥b b a //?． 图形语言： 定理八（平面与平面垂直的性质定理） 文字语言：对于两个相互垂直的平面，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面． 符号语言：βα⊥，m =βα ，β?a ，m a ⊥α⊥?a ． 图形语言： c a b αP αβa αb a βa m α

线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ??? ????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，

立体几何公式定理大全

立体几何公式定理大全 一、公理定理 （一）平面基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 （二）空间中两条直线的位置关系 空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。范围为(]0,90?? 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面 （三）平行关系 1．线面平行 定义：直线和平面没有公共点 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行。 2．面面平行 定义：空间两平面没有公共点 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

高中立体几何定理及性质

高中立体几何定理及性质 一、公理及其推论 文字语言符号语言图像语言作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 我们说:直线在平面内 或:平面经过直线A l B l AB A B α α α ∈? ? ∈? ?? ? ∈? ? ∈? l P P l α α ?? ?∈ ? ∈? ①用来验证直线 在平面内; ②用来说明平 面就是无限延展 的 ③可以用来判定 点在平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线。(那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线) Pαβ ∈I l P l αβ= ? ?? ∈ ? I ①用来证明两 个平面就是相交 关系; ②用来证明多 点共线。 公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 简单的说,不共线的三点,确定一个平面 确定一个平面 不共线 C B A C B A , , , , ? C AB ?? 直线 α 存在唯一的平面, A B C α α α ∈ ? ? ∈ ? ?∈ ? 使得 可以用来确定一 个平面 用来证明多点共 面,多线共面 推论1 经过一条直线与这条直线外的一点,有且只有一个平面A a ?? 直线 α存在唯一的平面, A a α α ∈ ? ? ? ? 使得

推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 α αα??? =?b a P b a ,使， 有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 α αα??? b a b a ,使， 有且只有一个平面∥ 公理4 (平行公理) 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥∥∥?? ?? 用来证明线线平行 二、平行关系 文字语言 符号语言 图像语言 作用 (1)公理 4 (平行公理) 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥∥∥?? ?? (2)线面平行的判定定理 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。 ααα∥∥a b a b a ??? ? ?? ?? 线线平行推线面 平行 (3)线面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线与交线平行。 b a a b b ∥∥??? ? ???=?ββαβ 线面平行推线线 平行 (4)面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行、 βααα β β∥∥∥????? ? ??????=?b a O b a b a 线面平行推面面 平行 (5)面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行。 βαβα∥?? ?? ⊥'⊥'O O O O 线面垂直推面面平行