高三第一次模拟考试(1月) 数学(文)

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试

数 学 文 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题

卡上． 参考公式：

柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13

V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.

样本数据12,,,n x x x ???的方差2

2

11()n i i s x x n ==-∑，其中1

1n i i x x n ==∑.

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答

题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则 U A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ?= ▲ ． 3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．

4．命题“R θ?∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)

5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．

6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．

7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2

4y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．

00 101 S I While S S S I I I End For Print I

←←≤←+←+(第5题图)

8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则

2

1

a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥

11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则

2

1

V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ω?=+（0,02

π

ω?><<

）的图象与y

轴交点的纵坐标为

2

， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为

6

π

，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142

AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r

，

则cos BAC ∠的值为 ▲ .

12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，

若P Q ?

的最小值为 ▲ ．

14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有11

22≤+-ax x e x

成立，则实数a 的值为 ▲ .

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，

请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ?满足sin()2cos 6

B B π

+

=．

（1

）若cos C =

3AC =，求AB ； （2）若0,3A π??

∈ ???

，且()4cos 5B A -=，求sin A ．

如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的

一点．

（1）若1AC //平面PBD ，求PC

PC 1

的值； （2）求证：P A BD 1⊥．

(第16题图)

17．(本小题满分14分)

如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做

法是从O e 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P e 与Q e ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计）

，AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O e 上，点P 、Q 在O e 的一条直径上，P e 、Q e 分别与直线BC 、AD 相切，都与O e 内切． （1）求圆形铁皮P e 半径的取值范围；

（2）请确定圆形铁皮P e 与Q e 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)

(第17题图)

设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)

P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =． （1）求椭圆C 的方程；

（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=u u u r u u u r

，

22BF F P μ=u u u u r u u u u r

，求λμ+的最小值．

(第18题图)

19．(本小题满分16分)

定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．

（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11

22

n n b S n λ+=-

+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；

（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得

40394040

20192019

m n b b <

20．(本小题满分16分)

若函数()x x

f x e ae mx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．

（1）求实数a 的值；

（2）求实数m 的取值范围； （3）若02

()f x e

≥-恒成立，求实数m 的取值范围．

y

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数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．2

3

4．真 5．6 6．2 7．238．3 9．2

3

10．7 11．

33 12．10 13．4 14．12

- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6

B B π

+=可知

B B B cos 2cos 2

1

sin 23=+， 移

项

可

得

3tan =B ，又)

,0(π∈B ，故

3

π

=

B ， ……………………………………………2分

又

由

6cos C =

，

)

,0(π∈C 可知

3

3

cos 1sin 2=

-=C C ， ……………………………4分 故在ABC ?中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C AB

AC sin 3

sin =

π，所以2=AB . ………………7分

（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π??

∈ ???

时，)3,0(3ππ∈-A ，

由()4

cos 5B A -=即5

4)3cos(=-A π可得

53

)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分

∴

10

3

3453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=

?-?=---=--=A A A A ππππππ.…14分

16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，?1AC 平面1ACC

平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，

所以在1ACC ?中，

11PC AO

PC OC

==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .

因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，

又BD ?

平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分

因为底面ABCD 是正方形，所

以

AC BD ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =I ，AC ?面11ACC A ， 1CC ?面11ACC A ， 所

以BD ⊥

面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分

又因为1111,P CC CC ACC A ∈?面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面， 所以A 1P ?面ACC 1A 1,所以

1BD A P ⊥． ………………………………………………14分

17．解：（1）设P e 半径为r ，则)2(4r AB -=， 所

以

P

e 的周长

2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分

解得 4

16

2

+≤πr ，故P e 半径的取值范围为]4

16,0(2+π. ……………………………………………6分 （

2

）

在

（

1

）

的

条

件

下

，

油

桶

的

体

积

)2(422r r AB r V -=?=ππ， ……………………………………8分

设函数),2()(2

x x x f -=]4

16,0(2+∈πx ，

所以234)(x x x f -='，由于

3

4

4162<+π，

所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增， 即

当

4

162+=

πr 时，体积取到最大

值. ………………………………………………13分 答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4

16

2

+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分

18.解：（1）由

当2PF x

⊥轴时01

x =，可知

1c =， …………………………………………………2分 将01x =，0y e =代入椭圆方程得2

2211e a b

+=（※），

而1c e a a

==，2222

1b a c a =-=-，代入（※）式得222

111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为

2

212

x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11

AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+??-=?，故1010

1

x x y y λλλ=---??=-?， 代入椭圆的方程得

2

200(1)()12

x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分

又由220012x y +=得2

2

0012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22

x x λλλ+++-=， 化简得2

03212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，

∴

03120

x λλ-+=，故

1

32x λ=

+.……………………………………………………………………12分

同理可得0132u x =-，故2

0001162

3232943

x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为2

3

. ………………………………………………16分 方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，

联立2

2121x y x my ?+=???=-?

，消去x 得22

(2)210m y my +--=（☆），

设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，

由

求

根

公

式

可

得

0,1y =

，故

01212

y y m -=

+，则

120

1

(2)y m y -=

+，……………………8分

将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得22

0012

x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴00

1

x m y +=，

由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-22

22000

11

1(2)[()2]x m y y y ==+++ 22

22000

00

111

1(1)232(1)2(1)2

x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分

同理可得0132u x =-，故2

0001162

3232943

x x x λμ+=+=≥+--， 当

且

仅当00x =时取等号，故λμ+的

最小值为

2

3

. ………………………………………………16分 注：（1

）也可设,sin )P θθ

得λ=，其余同理.

（2）也可由11

6λμ

+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.

19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，

∴

322174

141

b b q b b --=

==--，∴

11

1

n n

n n b b b b +--=-，∴

11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分

故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=， 故

通

项

公

式

为

1(1)3

n b n =+-?，即

32n b n =-. ………………………………………………4分

（2）由1122n n b S n λ+=-+得23

2b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.

方法一：由11212n n b S n +=-+得211

2(1)12

n n b S n ++=-++，

两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即211

32

n n b b ++=-，

又252b =，∴21132b b =-，∴1132

n n b b +=-对n N *

∈恒成立，……………………6分

则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴

114314

n n b b +-

=-， ∴1

{}

4

n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分

∴

1111(1)33444n n n b --

=-?=?，∴11

344n n b =?+

，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444

n n n n n n n n

b b b b ++++++?+-?+-==-?+-?+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数

列”.………………………………10分

方法二：同方法一得1132

n n b b +=-对n N *

∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而213

02

b b -=≠， ∴

10n n b b +-≠，∴21

13n n n n

b b b b +++-=-，以下同

方法

一. ……………………………………10分

（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1

121()2n n n b b b b -+-=-?，

又

32212b b b b -=-，∴2

2721

b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，

∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L

12222121n n n --=++++=-L ， 当1

n =时上式也成立，故

21n

n b =-， ……………………………………12分

假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则4039214040

2019212019

m n -<<-， 由214039

1212019

m n

->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，

又212(21)2121404022121212019

m m n n m n m n m n

n n n ------+--==+<---， ∴4040232019m n

-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019

n <+<-， ∴2020222021<

故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分

20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ， 化

简

可

得

)()1(=+?--x x e e a ，所以

1=a . ………………………………………………3分

（2）法一：由（1）可得mx e e x f x

x --=-)(，

所以x

x x x

x

e

me e m e e x f 1

)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x

x me e 恒成立，

即0)(≥'x f 恒成立，故

不存

在极小

值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx e

e x

f x

x

--=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，

在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，

所以，m 的取值范围

是

),2(+∞. ………………………………………………9分

法二：由（1）可得mx e e x f x

x

--=-)(，

令m e

e x

f x

g x

x

-+='=-)()(，

则x

x x

x

e

e e e x g 1

)(2-=-='-， 故当0

≥x 时，0)(≥'x g ；当0

0)(<'x g ， …………………………………………5分 故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增，

∴m g x g -==2)0()(min ，

若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；

所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，

取m t ln =，则01

)(>=m

t g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.

所以，m 的取值范围是

),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00，

代入mx e e x f x

x

--=-)(，

消

去

m

可得

00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分

构造函数x

x

e

x e x x h -+--=)1()1()(，

所以)()(x

x

e e x x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--x

x

x

x

e e e e ，

所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中

e

h 2

)1(-=， ……13分

则02

()f x e

≥-可转化为0()(1)h x h ≥，

故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x

x e e y -+=，

可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x

x e e y -+=在]1,0(上递增，故e

e m 1+≤，

综上，m 的取值范围是

]1

,2(e

e + . ………………………………………………16分