均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧
一、几个重要的均值不等式
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈??
? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
④)(333
3
+
∈??
? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
ab +≤≤≤
2
2
2b a +。 一、拼凑定和
通过因式分解、纳入根号、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ (1) 当
时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数3
2
1y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()2
2
2111111y x
x x x x x x =-+++=+-=+-
()()3
11111322241422327
x x x x x x ++??
++- ?++=???-≤=
? ???
。 当且仅当
112x x +=-，即13x =时，上式取“=”
。故max 32
27
y =。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，
求“积”的最大值。 例2 求函数)2101y x
x x =-<<的最大值。
解：()()22
4
2
214122
x x y x x x =-=???-。
因()()3
2
2
22
2
21122122327x x x x x x ??++- ???-≤=
? ? ?
??
， 当且仅当()2
212
x x =-，即6x =时，上式取“=”。故max 23y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()
()()2
2
2
222236418244y x
x x x x =-=?--
()()3
2223
24418818327x x x ??+-+-???≤=????
。
当且仅当()
2224x x =-
，即x =
=”。 故max
32
18827
y ?=
，又max 0,y y >=。
二、 拼凑定积
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。
例4 (1)已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值 (2)设1x >-，求函数()()
521
x x y x ++=
+的最小值。
解：()())
14114155911
1
x x y x x x x ++++????????=
=+++≥+=+++。 当且仅当1x =时，上式取“=”。故min 9y =。
评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定
积”，往往是十分方便的。
例5 已知1x >-，求函数()
()
2
2413x y x +=
+的最大值。
解：
1,10x x >-∴+>，()
()
()()2
24124
24
34
224
1414
141
x y x x x x +∴=
=
≤
=?+++++++
++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。故max 3y =。
评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法
将分母“拼凑定积”。
例6 已知0x π<<，求函数2cos sin x
y x -=
的最小值。
解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2
x
t =，则0t >。
所以211cos 1133sin sin 2222
x t t y t x x t t t -+=
+=+=+≥=。
当且仅当
1322
t
t =，即,33t x π==时，上式取“=”。故min y =。 评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的
环境。
三、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的围 四、拼凑常数降幂
例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。
分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是1a b ==，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。 证明：
33333333333333113113,113113a a a b b b ++≥=++≥=。
()33463, 2.a b a b a b ∴++=≥+∴+≤当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”
， 故原不等式得证。
评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。
例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。
解：
333333311,311,311,x x x x y y y y x y x y ???≤++???≤++???≤++
()
()
3333333322115177573
3
x x y y x y x y x y xy ++++++++++∴++≤
=
=。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故2
2
5x y xy ++的最大值为7。
例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。
证明：3
3
3
3
3
3
131,131,131a b a b b c b c c a c a ++≥???++≥???++≥???，
()
()333323a b c ab bc ca ∴+++≥++，又3ab bc ca ++≥=， ()()3333333223,a b c ab bc ca a b c ab bc ca ∴+++≥+++∴++≥++。
当且仅当1a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
五、拼凑常数升幂
例10
若,,a b c R +∈，且1a b c ++=≤。
分析：已知与要求证的不等式都是关于,,a b c 的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是1
3
a b c ===
，
证明：
()()()1616161616
16
255,255,255333
33
3
a a
b b
c c +≤
+++≤
+++≤
++， (
()16
2
3132.3
a a
b
c ∴+≤+++=
当且仅当1
3
a b c ===
时，上述各式取“=”，故原不等式得证。 例11 若2,,,a b a b R ++=∈，求证：332a b +≥。
证明：
33333331111,31111,a a b b ??≤++??≤++()3334a b a b ∴+≤++。
又
332,2a b a b +=∴+≥。当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
六、约分配凑
通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。
例12 已知28
,,0,1x y x y
>+=，求xy 的最小值。
解：2
2
2846446413223264y x y x xy xy xy x y x y x y ??==+=++≥+= ???
。
当且仅当
281
2
x y ==时，即 4.16x y ==，上式取“=”，故()min 64xy =。 例13 已知01x <<，求函数41
1y x x
=
+
-的最小值。 解：因为01x <<，所以10x ->。
所以()()41414
1159111x x y x x x x x x x x -??=
+=+-+=++≥?? ???---??
。 当且仅当
()411x x x x -=-时，即2
3
x =，上式取“=”，故min 9y =。 例14 若,,a b c R +
∈，求证
()2221
2
a b c a b c b c c a a b ++≥+++++。 分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于,,a b c 的轮换对称式，当a b c ==时，等式成立。
此时
22
a a
b c =+，
设()2a m b c +=，解得14m =，所以2a b c +应拼凑辅助式4
b c
+为拼凑的需要而添，解题可见眉目。
证
明
：
2222222,2,2444444
a b c a b c b c a b c a c a b c a b
a b c b c b c c a c a a b a b +++++++≥=+≥=+≥=++++++ ()2221
2
a b c a b c b c c a a b ∴++≥+++++。当且仅当a b c ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。七、引入参数拼凑
某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。
例15 已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求149
x y z
++的最小值。
解：设0λ>，故有()10x y z λ++-=。
()
149149
1491
x y z x x x x y z x y z x y z
λλλλλ??????
∴++=+++++-=+++++- ? ? ????
???
λλ≥=。当且仅当
1
49
,,x y z x y z
λλλ===同时成立时上述不等式取“=”， 即x y z =
=
=
，代入1x y z ++=，解得36λ=，此时36λ=，故
149
x y z
++的最小值为36。
八、 引入对偶式拼凑
根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
例16 设12,,,n a a a ???为互不相等的正整数，求证
3122222
1111
123123n a a a a n n
+++???+≥+++???+。 证明：记3
122222
123n n a a a a b n
=
+++???+，构造对偶式1231111n n d a a a a =+++???+， 则
3122222
1231111111
12123123n n n n a a a a b d a a a n a n ??????????+=++++++???++≥+++???+ ? ? ? ? ???????????
， 当且仅当(
)
,i a i i N i n +
=∈≤时，等号成立。又因为12,,,n a a a ???为互不相等的正整数， 所以1111123n d n ≤+
++???+，因此1111
123n b n
≥+++???+。 评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。
九、确立主元拼凑
在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。
例17 在ABC ?中，证明1cos cos cos 8
A B C ≤
。 分析：cos cos cos A B C 为轮换对称式，即,,A B C 的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。
证明：当cos 0A ≤时，原不等式显然成立。
当cos 0A >时，()()1
cos cos cos cos cos cos 2A B C A B C B C =
++-???? ()1
cos cos cos 2
A B C A =--???? []()2
cos 1cos 111
cos 1cos 2228
A A A A +-??≤-≤=????。 当且仅当cos()1
cos 1cos B C A A
-=??
=-?，即ABC ?为正三角形时，原不等式等号成立。
综上所述，原不等式成立。
评注：变形后选择A 为主元，先把A 看作常量，B 、C 看作变量，把B 、C 这两个变量集中到cos()B C -，然后利用cos()B C -的最大值为1将其整体消元，最后再回到A 这个主元，变中求定。
利用基本不等式求最值的技巧Word文档
利用基本不等式求最值的技巧 在运用基本不等式ab b a 222≥+与2b a ab +≤ 或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数 【例1】已知2 30<
【解】由于2>x ,所以, 3124)2(2124)2(2)2(3)22(26322=+-?-≥+-+-=---+-=-+-=x x x x x x x x x x y 当且仅当2 42-=-x x 即4=x 时，3min =y . 4:巧用”1”代换 【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求y x 21+的最小值. 【解】注意到844244)21()2(21=+?≥++=+?+=+x y y x x y y x y x y x y x ,当且仅当x y y x =4即2 1,41==y x 时，8)21(min =+y x . 一般地有,2)())((bd ac y d x c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求z y x 941++的最小值. 【解】注意到y z z y x z z x x y y x z y x z y x z y x 499414)941()(941++++++=++?++=++ 36492924214=?+?+?+≥y z z y x z z x x y y x ,当且仅当x y y x =4,x z z x =9,y z z y 49=即2 1,31,61===z y x 时，36)941(min =++z y x . 5:换元 【例6】已知c b a >>,求c b c a b a c a w --+--=的最小值. 【解】设c b y b a x -=-=,,则c a y x -=+,y x ,都是正数,所以42≥++=+++=x y y x y y x x y x w ,当且仅当x y y x =即b c a 2=+时，
用均值不等式求最值的类型及方法
高三理应培优 （用均值不等式求最值的类型及解题技巧） 均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b ab +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,]b a -∞- ，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,]b a ，[,0)b a -. 三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1)y x x x =+ >-的最小值。 （技巧1：凑项）解：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- x a b ab 2-ab 2a b - o y
均值不等式在最值与极值问题中的应用
均值不等式在最值与极值问题中的应用 函数的最值与极值问题是数学研究中的重要问题，在数学研究中处于重要地位，这一节主要介绍用均值不等式来求函数的最值与极值． 1.在最值中的应用 例1 若502 x <<，求2(52)y x x =-的最大值． 解 把2(52)x x -变成三正数之积，且三数之和为常数，因为 2(52)y x x =-214(52)4x x = ?-， 且502 x <<，40x >，520x ->，所以 214(52)4y x x =?-314=314(52)(52)250[]4327 x x x +-+-≤=， 即2(52)y x x =-25027≤，当且仅当452x x =-，即56 x =时，y 有最大值，最大值为25027 ． 例2 已知,,,x y a b 均为正数，且1a b x y +=，求x y +的最小值． 解 因为1a b x y +=，所以设2sin a x θ=，2cos b y θ=，则 22sin cos a b x y θθ+=+2222()(sin cos )sin cos a b θθθθ =++ 2222cos sin sin cos a b a b a b θθθθ--=+++≥++， 当且仅当2222cos sin sin cos a b θθθθ =时，x y +有最小值，最小值为a b ++． 例3 求函数2sin cos y x x =，(0,)2 x π∈的最大值． 解 因为(0,)2 x π∈，所以cos 0,sin 0,0x x y >>>，将2sin cos y x x =两边平方，得 224 sin cos y x x =2222sin cos cos 2x x x = 222312sin cos cos ()23 x x x ++≤427=，
均值不等式求最值的方法
均值不等式求最值的方法 均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=” 号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+>-的最小值。 解析： 21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- 1 ≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 2、求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析： ①30,3202x x <<->∴，∴23 (32)(0)(32)2 y x x x x x x =-<<=??-
利用基本不等式求最值的类型及方法
利用基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b ab +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,]b a -∞，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,b a ，[,0)b a . 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1)y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 3 2 111 31 222(1)x x x --≥??-312≥+52=， 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 30,3202 x x <<->∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3 (32)[]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2 x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π << tan 2x ?=2x arc = “=”号成立，故 23 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤
均值不等式求最值的常用技巧及习题
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0 ，所以 34x y +≥=当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等 号) 1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二：配凑项求 例2：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。
利用基本不等式求最值的类型及方法
1 利用基本不等式求最值的类型及方法 1 解析：y x 2(x 1) (x 2(x 1) 1) 芳 1(x 1) -1 ?」1(x 1) 2 2 2(x 1) 、几个重要的基本不等式: ① a 2 b 2 2ab a 2 b 2 ab （a 、b R ）,当且仅当a = b 时，"=”号成立; 2 1 2 2(x 1) ② a b 2 ab 2 a b ab （a 、b R ），当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2 当且仅当 1)即x 2时，“ 5 ”号成立，故此函数最小值是 -。 2 ③ a 3 b 3 c 3 3abc 3 abc ― b 3 3 3 c ( (a 、 立； ④ a b c 3v abc abc a b 3 c (a abc 3 a 、 b 、 c R ），当且仅当a = b = c 时，“=”号成 b 、 c R ）,当且仅当a = b = c 时，“=”号 成立? 注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一 “正”、二“定”、三“等”； 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①y x 2 (3 2x)(0 x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 ② 熟悉一个重要的不等式链: b 2 2 解析：①Q 0 x - ,? 3 2 2x ?- y 当且仅当 (3 2x)(0 x 3 2x 即 x ,?? sin x 2 3 x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ] 1 , 2 3 1时，“=”号成立，故此函数最大值是 1 。 0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。 二、函数 f(x) ax X b 0）图象及性质 （1）函数 f(x) ax b a 、 X b 0图象如图： ⑵函数 f(x) ax b a 、 X b 0性质： ①值域：（ J 2 ab] [2 一ab,)； ②单调递增区间：（ 2 . 4 2 y sin x cos x 当且仅当 故此函数最大值是 sin 2 x sin 2 x coSx 1 2 2 2 (sin x sin x 2cosx) 2 1 sin 2 x sin 2x 2co^ x 3 4 「 -------- —) 刃 .2 sin x 2cos x (0 tan x 2，即 x arctan^^ 时“=”号成立, ）;单调递减区间: b ], a ，［ (0, ,0) ? 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。 4 x — x 例 3、若 x 、y R ，求 f （x ） （0 x 1）的最小 值。 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I ：求几个正数和的最小值。 解法一：（单调性法）由函数 f(x) K ax - （a 、b 0）图象及性质知，当 x （0,1］时，函数 x 例1、求函数y 1 x 2^（x 1） 的最小值。 f （x ） x -是减函数。证明: x 任取 X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1，则 f(xj f(X 2) (X 1 X 2) (— —) (X 1 X 2)4 匹 为 (X 1 X 2)4 , x-1 X 2 X !X 2 X 1X 2
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 2 2 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 33 3 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④) (333 3 +∈? ? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112+ 2a b ab +≤≤≤ 2 2 2 b a +。 一、拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。 (2) 已知01x <<，求函数3 2 1y x x x =--++的最大值。 解：()()()()()()2 22 111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327 x x x x x x ++?? ++- ?++=???-≤= ? ??? 。
当且仅当1 12x x +=-，即13 x =时，上式取“=”。故max 3227 y = 。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解： y ==。 因 ()()3 2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤= ? ? ? ?? ， 当且仅当 ()2 212 x x =-，即3x =时，上式 取“ =”。故max 9 y = 。 评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知02x <<，求函数()2 64y x x =-的最大值。 解：()()()2 2 2 22 2 2 36418244y x x x x x =-=?-- ()()3 2223 24418818327x x x ??+-+-?? ?≤=???? 。 当且仅当()2 2 24x x = -，即3x =时，上 式取“=”。
基本不等式求最值的类型与方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤
三元均值不等式求最值及绝对值不等式
三元均值不等式求最值 三元均值不等式： 例1、求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值 例2、求函数)01y x x =<<的最大值。 例3、 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。 例4、已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。 练习： 1、求函数)(,422+∈+=R x x x y 的最小值。 2、0>x 时，求236x x y += 的最小值。 3、求函数)20(,)2(2a x x a x y <<-= 的最大值。 4、若10<
绝对值不等式 例1、证明（1） b a b a +≥+，（2）b a b a -≥+ 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。 例4、已知 2,2c b y c a x <-<-，求证.)()(c b a y x <+-+ 例5、已知 .6,4a y a x <<求证：a y x <-32。 练习： 1、已知 .2,2c b B c a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。 2、已知 .6 ,4c b y c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
解含绝对值不等式 例1、解不等式213+<-x x 。 例2、解不等式x x ->-213。 例3、解不等式 52312≥-++x x 。 例4、解不等式 512≥-+-x x 。 例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。 练习： 1、423+≤-x x . 2、x x -≥+21. 3、1422<--x x 4、212+>-x x . 5、 42≥-+x x 6、.631≥++-x x 7、 21<++x x 8、.24>--x x
专题27 应用基本不等式求最值的求解策略高中数学黄金解题模板
【高考地位】 基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。【方法点评】 方法一凑项法 使用情景：某一类函数的最值问题 解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件； 第二步使用基本不等式对其进行求解即可； 第三步得出结论. 例1已知 5 4 x<，求函数1 42 45 y x x =-+ - 的最大值。 【答案】 max 1 y=. 第三步，得出结论：
故当1x =时，max 1y =。学#科网 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 【变式演练1】【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二上学期第一次学情调研数学（文）试题】函数 4 2(0)y x x x =-->的最大值为________. 【答案】-2 【解析】4422242y x x x x ?? =---+≤-- ??? ＝２＝， 当且仅当4 x x ＝ ，即x ＝２时，“＝”成立 【变式演练2】【2018届山西高三上期中数学（理）试卷】当1x >时，不等式1 1 x a x + ≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,3]-∞ 【答案】D 【解析】 考点：均值不等式． 方法二 分离法 使用情景：某一类函数的最值问题 解题模板：第一步 首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式； 第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式； 第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.
利用均值不等式求最值
专题：利用均值不等式求最值 基本公式: 1.x ，y ∈R +，x+y ≥2xy （当且仅当x =y 时取“=”号） 2.x ，y ∈R +，xy ≤2()2x y +（当且仅当x =y 时取“=”号） 3. 222()22x y x y ++≤（当且仅当x =y 时取“=”号） 题型1：和型b ax x +的最值 例1.⑴若x >3,求函数1y x =+的最小值； ⑵若x >3,求函数231x y x +=-的最小值； 解: ⑴11333533y x x x x =+=-++≥=-- 当且仅当133x x -=-,即4x =时,等号成立. ⑵223134411261111 x x y x x x x x x +-+===++=-++≥---- 当且仅当411x x -=-,即3x =时, 等号成立. 点评：用均值求最值时，要注意“一正．．，二定．．，三相等．．． ” 练习:若0x <,求函数133y x x =+的最大值. 例2. 求函数2y 的最小值. 解 :2y 设2)t t ≥,则1y t t =+在[2,)+∞上单调递增, ∴当2t =,即0x =时,y 有最小值52 练习:该题不能使用均值不等式求最值(等号不成立) 错解: 22y 【练习】若k θπ≠,求函数24 sin sin y θθ=+的最小值. 题型2：积型()ax c dx -的最值 例3.⑴若0
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2 (22 2b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋1 2x 2（2）y＝x＋ 1 x
解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为 定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当 ，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法 解析：y x 1 2(x 1) (x 2(x 1) 1) 2(x L 2LJ 2 1(x 1) 2 2 2(x 1) 、几个重要的基本不等式: ①a 2 b 2 2ab ab a 2 b 2 (a 、 x 1 x 1 33 立; b R),当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2 2(x 1) ③a 3 成立? 注: 二、函数 b 3 2 ab ab 2 (a 、 当且仅当 b R )，当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2(x 2(x 1)2 1)即x 2时，“ 5 ”号成立，故此函数最小值是 - 2 3 c 3 3abc abc — b 3 c 3 3 -(a 、 b 、 R )，当且仅当a = b = c 时，“=”号成 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： 3 3 ----- abc , b c 3v abc abc ---------------- (a 、 3 ① 注意运用均值不等式求最值时的条件: ② 熟悉一个重要的不等式链: ab f(x) ax b (a 、 x 0)图象及性质 (1)函数 f (x) ax a 、 0图象如图: (2)函数 f(x) ax a 、 0性质: ①值域: ,2 ab] [2 ab,); R ),当且仅当a = b = c 时，“=”号 定 、三 等 ; 2 2 a b J -------------- 2 ①y x 2 解析：①Q 0 ?- y (3 2x)(0 x x - ,? 3 2 当且仅当 2 . 4 2 y sin x cos x 当且仅当 故此函数最大值是 (3 2x)(0 ②单调递增区间：( );单调递减区间: :], (0, ］ ， ,0). 2x x 3 2x 即 x ,?? sin x 2 sin 2 x sin 2 x .2 sin x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 3 x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ] 1 , 2 3 1时，“=”号成立，故此函数最大值是 1 。 0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。 coSx 2cos x (0 1 2 2 2 (sin x sin x 2cosx) 2 1 sin 2 x sin 2x 2co^ x 3 4 二 -------- —) 刃 tan x 2，即 x arctan^^ 时“=”号成立, 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。 4 x — x 例 3、若 x 、y R ，求 f (x) (0 x 1)的最小值。 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I ：求几个正数和的最小值。 解法一：(单调性法)由函数 f(x) K ax 一(a 、b 0)图象及性质知，当 x (0,1］时，函数 x 例1、求函数y x 1 2(x 1)的最小值。 2(x 1)2 f (x) x -是减函数。证明: x 任取 X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1，则
(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析
基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数
基本不等式求最值的策略
例谈用基本不等式求最值的四大策略 摘要 基本不等式ab b a ≥+2 （0,0>>b a 当且仅当b a =时等号成立）是高中必修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具。本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。 关键字：基本不等式 求和与积的最值 策略 一、基本不等式的基础知识[1] 基本不等式： 如果0,0>>b a ，则 ab b a ≥+2 ，当且仅当b a =时等号成立。 在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点： “一正”：a 、b 是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。 “二定”：当两正数的和b +a 是定值时，积ab 有最大值；当两正数的积ab 是定值时，和b +a 有最小值。 “三相等”： b a =是ab b a =+2 的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否一致。 二、利用基本不等式求最值的四大策略 策略一 利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构 通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。 题型一 配凑系数 例1 设230<
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