参数估计及其在实际生活中的应用论文

数理统计论文

谈数理统计的社会应用 姓名：胡强达专业班级：理科0916班学号：3090103757 数理统计是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科。它以概率论为基础，研究如何合理有效地收集受到随机性影响的数据，如何对所获得的数据进行整理和分析，从而为随机现象选择合适的数学模型并提供检验的方法，在此基础上对随机现象的性质、特点和统计规律做出推断和预测，直至为决策提供依据和建议。 19世纪时，比利时的凯特勒（L.A.Quetelet）将概率论等数学原理引入社会经济现象的统计研究，将概率论原理应用到了人口、人体测量和犯罪等问题的研究，并对观测的数据进行误差分析，创立了数理统计学。而数理统计作为一个进一步完善的数学学科的奠基者是英国人费舍尔（R.A.Fisher）。费舍尔最终的理论研究成果颇丰，它包括：数据信息的测量、压缩数据而不减少信息、对一个模型参数估计等。而后20世纪的瑞典数学家拉默（H. Cramer）运用测度论方法总结数理统计的成果，美籍罗马尼亚数学家瓦尔德（A. Wald）提出“序贯抽样”方法，还用博弈的观点看待数理统计的问题，他们极大地推动了数理统计向应用于社会生活的方向发展。 由于随机现象是客观世界中普遍存在的一种现象，因而数理统计的应用十分广泛，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学、医药卫生以及工农业生产中都能用到数理统计的理论与方法。随着计算机的普及和软件技术的发展，多种使用便捷的统计软件的面世，使得各行各业中只要粗通统计知识的人，都可以方便地运用统计分析的各

种工具来为自己的研究课题服务。数理统计正在发挥着越来越大的作用，它的应用更加广泛深入。数理统计在我们的生活中的各个方面影响几乎无处不在。可以说，数理统计学的理论和方法，与人类活动的各个领域在不同程度上都有关联。因为各个领域内的活动，都得在不同的程度上与数据打交道。都有如何收集和分析数据的问题，因此也就有数理统计学用武之地。 首先，专门的统计部门会做社会统计工作，定期公布社会生活各方面数量规律的情报，例如研究CPI，GDP，基尼系数这些社会经济指数时，都必须用到数理统计进行各种分析，得出结论，供决策部门和研究部门使用，社会学工作者利用这些公布的资料，可以进行广泛的社会研究。 然后，数理统计在工业中也要非常重要的应用，例如假设我们已经生产了一种产品，在生产过程中，由于原材料，设备调整及工艺参数等条件可能的变化，而造成生产条件不正常并导致出现废品，这可以通过在生产过程中随时收集数据并用统计方法进行处理，可以监测出不正常情况的出现以便随时加以纠正，避免出大的问题；然后，大批量的产品生产出来后，还有一个通过抽样检验以检验其质量是否达到要求，是否可以出厂或为买方所接受的问题，处理这个问题也要使用数理统计方法，在我国现行的国家标准中有一些就与这个问题有关。 还有，在农业上，数理统计被极大程度地被应用于预测预报上，正确预测预报作物(动物)的生长发育进度(苗情)、产量和病虫害的发

4时间序列参数估计

时间序列模型参数估计1理论基础 1.1矩估计 1.1.1AR模型 矩估计法参数估计的思路：

即从样本中依次求中r k 然后求其对应的参数Φk 值 方差： 1.1.2 MA 模型 对于MA 模型采用矩估计是比较不精确的，所以这里不予讨论 1.1.3 ARMA （1，1） 矩估计法参数估计的思路： 方差：

1.2最小二乘估计 1.2.1AR模型 最小二乘参数估计的思路： 对于AR（P）而言也可以得到类似矩估计得到的方程，即最小二乘与矩估计得到的估计量相同。

1.2.2MA模型 最小二乘参数估计的思路： 1.2.3ARMA模型 最小二乘参数估计的思路：

1.3极大似然估计与无条件最小二乘估计

2R中如何实现时间序列参数估计 2.1对于AR模型 ar(x, aic = TRUE, order.max = NULL, method=c("yule-walker", "burg", "ols", "mle", "yw"), na.action, series, ...) > ar(ar1.s,order.max=1,AIC=F,method='yw')#即矩估计 Call: ar(x = ar1.s, order.max = 1, method = "yw", AIC = F) Coefficients: 1 0.8314 Order selected 1 sigma^2 estimated as 1.382 > ar(ar1.s,order.max=1,AIC=F,method='ols')#最小二乘估计Call: ar(x = ar1.s, order.max = 1, method = "ols", AIC = F) Coefficients: 1 0.857 Intercept: 0.02499 (0.1308) Order selected 1 sigma^2 estimated as 1.008 > ar(ar1.s,order.max=1,AIC=F,method='mle')#极大似然估计Call: ar(x = ar1.s, order.max = 1, method = "mle", AIC = F) Coefficients: 1 0.8924 Order selected 1 sigma^2 estimated as 1.041 采用自编函数总结三个不同的估计值 > Myar(ar2.s,order.max=3)

数理统计结课论文

数理统计中回归分析的探究与应用

回归分析问题探究 摘要 本文主要针对数理统计中的回归分析问题，通过对一元线性回归、多元线性回归以及非线性回归原理的探究，分别运用了SPSS和MATLAB软件进行实例分析以及进一步的学习。 首先，通过变量之间关系的概念诠释引出回归函数；其次，针 对回归函数，分别对一元线性回归原理上的学习，了解并会运用这三种线性回归模型、参数估计和回归系数的显著性检验来处理和解决实际的一元线性回归问题；接着，对多元线性回归和非线性回归进行学习，掌握它们与一元线性回归在理论和实践的联系与区别；然后，通过实际问题运用SPSS进行简单的分析，熟悉SPSS软件的使用步骤和分析方法，能够运用SPSS进行简单的数理分析；最后，用MATLAB编程来处理线性回归问题，通过多种方法进行比较，进行线性回归拟合计算并输出Logistic模型拟合曲线。 关键词：回归分析；一元线性回归；多元线性回归；非线性回归；SPSS；MATLAB

一、回归概念 一般来说，变量之间的关系大致可以分为两类：一类是确定性的，即变量之间的关系可以用函数的关系来表达；另一类是非确定性的，这种不确定的关系成为相关关系。相关关系是多种多样的，回归分析就是研究相关关系的数理统计方法。它从统计数据出发，提供建立变量之间相关关系的近似数学表达式——经验公式的方法，给出相关行的检验规则，并运用经验公式达到预测与控制的目的。 如随机变量Y与变量x（可能是多维变量）之间的关系，当自变量x确定后，因变量Y 的值并不跟着确定，而是按照一定的停机规律（随机变量Y的分布）取值。这是我们将它们之间的关系表示为 其中是一个确定的函数，称之为回归函数，为随机项，且。回归分析 的任务之一就是确定回归函数。当是一元线性函数形时，称之为一元线性回归；当 是多元线性函数形时，称之为多元线性回归；当是非线性函数形时，称之为非线性回归。 二、回归分析 2.1 一元线性回归分析 2.1.1 一元线性回归模型 设随机变量Y与x之间存在着某种相关关系，这里x是可以控制或可以精确测量的普通变量。对于取定的一组不完全相同的值做独立实验得到n对观察值 一般地，假定x与Y之间存在的相关关系可以表示为 ， 其中为随机误差且，未知，a和b都是未知参数。这个数学模型成为医院 线性回归模型，称为回归方程，它所代表的直线称为回归直线，称b为回归系数。 对于一元线性回归模型，显然有。

数理统计论文——统计源于生活

统计源于生活，生活演绎统计 ——《女士品茶》读书随笔在老师推荐的几本统计学著作中，我毫不犹豫地选择了这本《女士品茶——20世纪统计怎样改变了科学》，我不知道女士品茶与统计学有何关联，其中的微妙之处让我产生了好奇。同时它的名字会让我们立刻脱离冷冰冰、一大串复杂的统计学公式，而转到一个更加贴近生活和应用的角度去欣赏统计学的魅力。书中作者试图用20世纪统计学革命中的权威大师们的生平故事来向大众阐述什么是统计模型？它们是怎么来的？在现实生活中它们意味着什么？初略本书的目录，着实给人一种和某些平乏生硬的教科书不一样的感觉，一个个故事生动地演绎着统计学一个又一个突破与飞跃！ 本书一开头便解开读者心头的疑惑——女士品茶与统计学有何关联？ 故事是在20世纪20年代后期发生的，在英国剑桥一个夏日的午后，一群大学的绅士和他们的夫人们，还有来访者，正围坐在户外的桌旁，享用着下午茶。在品茶过程中，一位女士坚称：把茶加进奶里，或把奶加进茶里，不同的做法，会使茶的味道品起来不同。在场的一帮科学精英们，对这位女士的“胡言乱语”嗤之以鼻。这怎么可能呢？他们不能想象，仅仅因为加茶加奶的先后顺序不同，茶就会发生不同的化学反应。 这时唯独一个身材矮小、戴着厚眼镜、下巴上蓄着的短尖髯开始变灰的先生，却不这么看，他对这个问题很感兴趣，认为这种现象可以作为一个假设并做实验验证，于是设计一个实验来测试这位女士是否能喝出两种冲泡法的区别，让她在不知情的情况下尝奶茶，猜这杯是先加奶还是先加茶。为了避免蒙中，茶的杯数要足够多，但也不能无限制的喝下去，那么为了确定那个女士能猜到多准，最少该喝多少杯呢？ 这个实验很著名，是个似然估计问题。故事中那位蓄短胡须的先生便是在统计发展史上地位显赫、大名鼎鼎的罗纳德·艾尔默·费歇尔（Ronald Aylmer Fisher）。他是英国统计学家，近代数理统计的开创者。后来费歇尔在自己的著作中讨论了这个实验的各种可能结果，其中有关实验设计的著述是科学革命的要素之一。费歇尔在自己孜孜不倦地求索过程中得出一个结论：科学家需要从潜在实验结果的数据模型开始工作，这是一系列数据公式，其中一些符号代表实验中

数理统计论文

研究生课程考核试卷 科目：数理统计教师：黄光辉 姓名：张振学号：20142002036 专业：环境科学与工程类别：学术 上课时间：2014 年9 月至2014 年11 月 考生成绩： 卷面成绩平时成绩课程综合成绩 阅卷评语： 阅卷教师(签名)

某商业银行不良贷款形成原因分析 摘要 根据某商业银行多家分行业务数据，建立线性回归模型，运用SPSS数理统计软件对此商业银行不良贷款情况进行运算与分析，以不良贷款为因变量（y），运用逐步回归法对变量数据进行筛选，最后以各项贷款余额（χ1）与本年固定资产投资额（χ4）为自变量，分别建立y与χ1的一元线性回归方程和y与χ1、χ4的二元线性回归方程，并对回归线性模型进行F检验、t检验和回归系数检验。最后结合实践经验，对模型进行检验，并运用Pearson相关系数测量因变量（y）与自变量（χ1、χ4）的线性相关关系，以及两个变量之间的相关性。 一、问题提出与分析 重庆一家某商业银行其业务主要是进行基础设施建设、重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。最近一段时间，在贷款额平稳增长的基础上，该银行的不良贷款记录也有大比例提高。为了弄清楚不良贷款形成的原因，该银行希望利用一些数据做些定量分析。 二、数据描述 表1是项目参考的变量名称；表2给出了该银行所属20家分行在2012年的相关业务数据。 表1 项目参考变量名 y：不良贷款（亿元）χ3：贷款项目个数（个） χ1：各项贷款余额（亿元）χ4：本年固定资产投资额（亿元） χ2：本年累计应收贷款（亿元） 表2 相关业务数据 分行编号不良贷款 各项贷款余 额 本年累计应 收贷款 贷款项目个数 本年固定资产投 资额 1 0.9 2 67.5 6.78 5 51.9 2 1.1 112.5 19.8 16 91.1 3 4.81 174.2 7.9 17 74.2 4 3.18 82.1 7.3 10 14.5 5 7.8 199.7 16.4 19 63.21 6 2. 7 16.3 2.2 1 2.2 7 1.6 106.2 10.7 17 20.2

数理统计论文

研究生课程考核试卷 （适用于课程论文、提交报告） 科目：概率论与数理统计上课时间：2017.2-2017.5 姓名：刘振学号： 20160702031专业：机械工程教师：刘朝林 工作单位或所在行业：重庆大学 考生成绩： 卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语： 阅卷教师 (签名)

回归分析在数理统计中的应用 摘要:回归分析是数理统计中重要的一种数据统计分析的思想, 是处理变量间的相关关系的一种有效工具。其目的在于根据已知自变量的变化来估计或预测因变量的变化情况，或者根据因变量来对自变量做一定的控制. 它可以提供变量间相关关系的数学表达式, 且利用概率统计知识，对经验公式及有关问题进行分析、判断以确定经验公式的有效性,从众多的解释变量中，判断哪些变量对因变量的影响是显著的，哪些是不显著的. 还可以利用所得经验公式，由一个或几个变量的值去预测或控制个变量的值时的值，去预测或控制另一个变量的取值，同时还可知道这种预测和控制可以达到什么样的精度。 本文就是针对实际问题运用回归分析中一元线性回归分析的统计方法，来确定自变量与 另一个变量的相关关系，并确立出较为合理的回归方程，再对其的可信度进行统计检验. 关键词：回归分析；回归方程；F检验法

1．问题的提出 调查一下重庆大学学生的生活费与家庭收入的关系，看看是否家庭收入越高，学生的每月支出也越多，从而根据学生每月消费支出，进而估计学生的家庭收入情况，对学生的生活补助等问题有重要的参考意义 2.数据描述 根据调研的重庆大学学生家庭月收入与每月生活费的数据，确定两者关系。数据来源100多份问卷调查的抽样，取其中10份，绘制表1如下图所示序号家庭月收入每月生活费14800 500 25200 600 35420 650 45600 700 56000 750 66400 800 76800 900 87000 1000 97200 1200 108000 1500 表1-1 重庆大学学生家庭月收入与每月生活费的数据利用matlab软件画出家庭月收入与每月生活费的散点图，如图一所示

概率论与数理统计结课论文

概率论的发展与应用 摘要：概率论与数理统计是一门研究随机现象及其规律性的数学学科。通过实验来观察随机现象，揭示其规律性，或根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律。它起源于17世纪中叶，法国数学家帕斯卡、费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究利用古典概型解决赌博中提出的一些问题。由于社会的发展和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，许多科学家进行了研究。发展到今天，概率论与数理统计在自然科学，社会科学，工业生产，金融及日常生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。 关键词：概率论与数理统计；起源与发展；应用 1.概率论的起源与发展 1.1 概率论的起源 概率论的起源与赌博有关，在17世纪中叶，一位名叫德·梅尔的赌徒向帕斯卡提出了“分赌注问题”即两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得s局便算赢家。如果在一个人赢a(a

概率论与数理统计结课论文

概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用 姓名： 学号： 专业：电子信息工程

摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与 数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。 关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识 §1.1 概率的重要性质 1.1.1定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。 概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） 1.1.2 概率的一些重要性质 （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率） （vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

数理统计参考论文

重庆市固定资产投资与房地产投资 线性关系分析 学号 20111602084 姓名陈磊 学院土木工程学院专业土木工程 成绩

重庆市固定资产投资与房地产投资 线性关系分析 摘要：我国房地产投资近年来迅猛发展，无论在规模还是在增速上都达到了前所未有的水平，房地产业作为新兴的产业，对我国的经济发展起着举足轻重的作用。房地产投资与固定资产的投资息息相关，研究两者之间的关系并作出预测显得非常有必要。借助于数理统计的知识，在实际的数据的基础上，对两者之间进行一个简单的一元线性回归分析。在建立起模型之后，通过显著性检验方法进行检验，以检查结果的正确性。并通过模型对重庆市的房地产投资作出一个大致的预测，同时对相关结论进行分析，以指导实际工作。 关键词：固定资产投资；房地产投资；线性回归 一、问题提出及分析 重庆市作为国家中心城市之一，西部惟一的直辖市，凭借特殊的政策优势、基础条件优势, 经过政府一系列积极政举，经济发展环境持续向好,直辖以来积蓄的发展势能不断释放。在大力推动“五个重庆”、统筹城乡、内陆开放、深化改革、振兴区县、改善民生等重点工作的情况下，重庆市继续加强落实了中央扩大内需的投资项目和政府主导的投资计划，不断鼓励并激活社会资本，使得固定资产投资需求不断扩大、投资力度不断增强、投资结构不断优化，基础产业、基础设施、房地产及其他第三产业的投资齐头并进，全市固定资产投资保持平稳较快增长。 固定资产是指企业使用期限超过1年的房屋、建筑物、机器、机械、运输工具以及其他与生产、经营有关的设备、器具、工具等。固定资产投资是建造和购置固定资产的经济活动。按照管理渠道分，全社会固定资产投资总额分为基本建设、更新改造、房地产开发投资和其他固定资产投资四个部分。 房地产业作为一个国计民生的大行业，其投资额牵动着整个社会的安居问题。重庆目前又在推出宜居重庆的政策，由此引发思考：房地产投资在固定资产中是否存在一定的关系，与固定资产投资的关系如何，是否可以用一定的方式进行预测？ 借助统计学与软件的分析，采用散点图的描绘，可以看到固定资产投资额与房地产投资额可能存在一定的线性关系，由此借助数理统计知识，通过一元线性回归的相关知识对该问题进行分析。

第3章 参数估计理论

第3章 参数估计理论 参数估计的基本方法：点估计，区间估计 点估计：以样本的某一函数值作为总体中未知参数的估计值。 区间估计：把总体中的参数确定在某一区间内。 第1节 点估计 点估计就是以样本的某一函数值作为总体中未知参数的估计值。 设θ是总体X 的待估参数，用样本12,,,n X X X 构造一个合适的统计量12(,,,)n T X X X 来估计参数θ，通常记为?θ，即 12?=(,,,)n T X X X θ ，称为参数θ的估计量。对样本的一组观测值12(,,,)n x x x ，统计量T 的值12?=(,,,)n T x x x θ 称为参数θ的估计值。 点估计的问题就是要找一个作为待估参数θ的估计量 12(,,,)n T X X X 的问题。 点估计的方法：数字特征法（矩估计法）、极大似然估计法、Bayes 估计法、最小二乘法等等。

第2节 矩估计法 矩估计法由英国统计学家K.Person 在20世纪初提出，基本思想就是用样本矩去估计相应的总体矩。理论依据是大数定律。 例1 设总体X 服从参数为θ的指数分布，即 1 1,0 (,)0,0x e x f x x θ θθ -?>?=??≤? 12,,,n X X X 为取自总体 X 的样本，求参数θ的矩估计量。 例2 设总体2 ~(,)X N μσ，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，求 参数2,μσ的矩估计量。 例3 设总体2 ~(0,)X N σ，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，求 参数2σ的矩估计量。 例4 设总体~(,)X U a b ，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，求参数,a b 的矩估计量。 ??=a X b X =+ 例5 设总体~()X P λ，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，求参数 λ的矩估计量。

数理统计论文

应用MATLAB进行非线性回归分析 摘要 早在十九世纪，英国生物学家兼统计学家高尔顿在研究父与子身高的遗传问题时，发现子代的平均高度又向中心回归大的意思，使得一段时间内人的身高相对稳定。之后回归分析的思想渗透到了数理统计的其他分支中。随着计算机的发展，各种统计软件包的出现，回归分析的应用就越来越广泛。回归分析处理的是变量与变量间的关系。有时，回归函数不是自变量的线性函数，但通过变换可以将之化为线性函数，从而利用一元线性回归对其进行分析，这样的问题是非线性回归问题。下面的第一题：炼钢厂出钢水时用的钢包，在使用过程中由于钢水及炉渣对耐火材料的侵蚀，使其容积不断增大。要找出钢包的容积用盛满钢水时的质量与相应的实验次数的定量关系表达式，就要用到一元非线性回归分析方法。首先我们要对数据进行分析，描出数据的散点图，判断两个变量之间可能的函数关系，对题中的非线性函数，参数估计是最常用的“线性化方法”，即通过某种变换，将方程化为一元线性方程的形式，接着我们就要对得到的一些曲线回归方程进行选择，找出到底哪一个才是更好一点的。此时我们通常可采用两个指标进行选择，第一个是决定系数2R，第二个是剩余标准差s。进而就得到了我们想要的定量关系表达式。第二题：给出了某地区1971—2000年的人口数据，对该地区的人口变化进行曲线拟合。也用到了一元非线性回归的方法。首先我们也要对数据进行分析，描出数据的散点图，然后用MATLAB编程进行回归分析拟合计算输出利用 Logistic模型拟合曲线。 关键词：参数估计， Logistic模型，MATLAB 正文 一、一元非线性回归分析的求解思路：

1、求解函数类型并检验。 2、求解未知参数。可化曲线回归为直线回归，用最小二乘法求解；可化曲线回 归为多项式回归。 二、回归曲线函数类型的选取和检验 1、直接判断法 2、作图观察法，与典型曲线比较，确定其属于何种类型，然后检验。 3、直接检验法（适应于待求参数不多的情况） 4、表差法（适应于多想式回归，含有常数项多于两个的情况） 三、化曲线回归为直线回归问题 用直线检验法或表差法检验的曲线回归方程都可以通过变量代换转化为直 线回归方程，利用线性回归分析方法可求得相应的参数估计值。 题目： 例8.5.1 炼钢厂出钢水时用的钢包，在使用过程中由于钢水及炉渣对耐火材料的浸蚀，其容积不断增大。现在钢包的容积用盛满钢水时的重量y (kg)表示，相应的试验次数用x表示。数据见表8.5.1，要找出y与x的定量关系表达式。 表8.5.1 钢包的重量y与试验次数x数据 1) 1/y=a+b/x 2)y=a+b ln x = y+ b x a

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信息与计算科学1002 栗剑扬 20100690 过去是死的，现在是变化的，未来是不可知的。 统 计学的昨天、今天和明天

一、统计学的昨天 首先是统计学的概况，照搬网上的说法： (-)统计学的发展简况 统计工作的历史，在我国至少可以追溯到公元前2000多年前的大禹治水时期，在国外公元前3000多年埃及建造金字塔时就已经有了人口普查的雏形。而统计学的历史却只有数百年，大致经历了三个阶段：第一阶段是统计学的初甜阶段。从17世纪中叶英国威廉·配第(William Petty)的“政治算术”、英国约翰·格朗特(John Graunt)的“人口统计”、德国海尔门·康令(Hermann Conring)的“国势学”和法国帕斯卡尔(Blaise Pasca1)的“古典概率论”研究到19世纪束英国卡尔·皮尔逊(Karl Pearson)的“矩估计与aX 检验，经过两个半世纪的漫长时间，描述统计与概率论的基本内容才逐渐形成。第二阶段是统计学方法体系基本确定的阶段。从2O世纪初英国戈赛特(W ．S．Gosset)的“小样本t分布，经过费希尔(R．A．Fisher)的“F分布”、“极大似然估计”、方差分析”与“试验设计”，内曼(J．Neyman)和小皮尔逊(E．S．Pearson)的“置信区间估计”与“假设检验到2O世纪4O年代束沃尔德(A．Waid)的“统计决策函数与序贯抽样”推断统计得副了长足的发展，概率论体系也日臻完善。 第三阶段是统计方法与应用研究全面发展的阶段。从本世纪50年代起，统计学受计算机、信息论等现代科学技术的影响，新的研究领域层出不穷，如多元统计分析、探索性数据分析、现代时间序列方法、刀切法与自助法，投影寻踪、人工智能等等。据美国学者统计，现代统计学是以指数形加速度发展，新的研究分支每隔17年就会增加一倍①。在这一阶段，涌现了一大批杰出的统计学家，统计应用的领域已扩展到理、工、农、医、文五大类的各个学科领域，极大地推动了这些学科的发展。反过来，统计方法在各学科领域的应用又促进了统计方法研究的深入和发展。以上统计学发展历程三个阶段的划分，是从经典统计学派(国内外绝大多数教科书)的观点描述的。与经典统计学派观点对立的贝叶斯统计学派认为统计学源于18世纪中叶英国的 贝叶斯(T．Bayes)。在1763年贝叶斯死后才得以发表的论文“论机会理论”中，贝叶斯系统地提出了先验概率、逆概率等概念，并给出了统计推断的贝叶斯公式及同等无知原则等理论和方法。到本世纪中叶，贝叶斯理论与思想引起统计学家的重视，理论与应用的研究成果不断涌现，已形成一个与经典统计学对立并仍在不断发展壮大的独立的统计学派。统计学己成为一门牧主的、最基础的方法论科学。 国内外统计学界的多数学者认为统计学是研究随机现象(即大量现象)数量规律性的方法论科学，它是科学研究、管理决策的有效工具。唯物辩证法告诉我们，客观现象都是同一与差异、“必然性与偶然性”一的对立统一，其表现形式存在着普遍的偶然性与差异性，这类现象就是统计学研究的非确定性现象。数学的研究对象是确定性现象抽象的数量规律性。正是由于统计学与数学研究对象的不同，在国外从本世纪30年代起，统计学就逐渐地从 数学中独立出来，成为与数学同等重要的基本的方法论科学。而在多数大学的理学院中(school of science，或faculty of science)，最基本的系与专业有l 物理学、化学、生物学、数学、统计学和计算机科学。统计学之所以能独立于数

数理统计论文

动力学相关的回归分析 ——反应速率常数温度式的确定 摘要 在当今环境问题突显的背景下，氢气作为清洁的还原剂，日益成为各研究人员研究的重点。本文主要讨论用氢气还原钛铁精矿反应速率常数温度式的求解问题：选用一元线性回归模型，对实验数据进行回归分析。求解过程分为浓度—时间关系式和反应速率常数温度式两部分的回归分析。首先利用浓度—时间关系式回归得出不同温度条件下的反应速率常数k 值，然后将所得k 值与温度的关系回归得出反应速率常数温度式。然而，上述两个关系式都并非一元线性关系，在求解之前需对其进行变量转换，将其转换成一元线性回归问题，最终求解得出反应活化能138880.34E J mol -=?，并确定反应速率常数温度式，在显著性0.10α=时，相关系数20.9851r =。 关键词：反应级数，速率常数，一元线性回归 正文 一、前言 在冶金反应中，温度是影响反应速率的主要因素。一般来说，温度升高反应速率加快。例如，金属氧化物被一氧化碳、氢气等还原剂所还原，碳酸盐的分解等的速率都是随着温度的升高而大大增大。范特霍夫总结出一条规则：温度每升高10o C ，反应速率大约增至原来速率的2~4倍。这个规则是粗略的，尤其在高温的冶金反应下更不可靠。 1889年，阿伦尼乌斯（Arrhenius ）提出了一个比较准确的公式，如式(1.1)所示： 2 ln d k E dT RT = (1.1) 此式称为阿伦尼乌斯公式。其中，E 为反应活化能，一般可认为不随温度变化而变化。将上式积分，得： ln E k B RT =- + (1.2) 式中，k ——反应速率常数，表征了化学反应的快慢，不同的反应级数（下面将

参数估计方法

参数估计的方法 矩法 一、矩的概念 矩(moment )分为原点矩和中心矩两种。对于样本n y y y ，，， 21，各观测值的k 次方的平均值，称为样本的k 阶原点矩，记为k y ，有∑==n i k i k y n y 1 1，例如，算术 平均数就是一阶原点矩；用观测值减去平均数得到的离均差的k 次方的平均数称为样本的k 阶中心矩，记为k y y ) (-或k μ ?，有∑-= -=n i k i k y y n y y 1 ) (1)(，例如，样本 方差 ∑-=n i i y y n 1 2 ) (1就是二阶中心矩。 对于总体N y y y ，，， 21，各观测值的k 次方的平均值，称为总体的k 阶原点矩，记为)(k y E ，有∑= =N i k i k y N y E 1 1)(；用观测值减去平均数得到的离均差的k 次方 的平均数称为总体的k 阶中心矩，记为 ] )[(k y E μ-或 k μ，有 ∑-= -=N i k i k y N y E 1 ) (1])[(μμ。 二、矩法及矩估计量 所谓矩法就是利用样本各阶原点矩来估计总体相应各阶原点矩的方法，即 ∑= =n i k i k y n y 1 1→)(k y E (8·6) 并且也可以用样本各阶原点矩的函数来估计总体各阶原点矩同一函数，即若 ))(，)，()，((k y E y E y E f Q 2= 则 )，，，(k y y y f Q 2?= 由此得到的估计量称为矩估计量。 [例8.1] 现获得正态分布)，(2σμN 的随机样本n y y y ，，， 21，要求正态分布)，(2σμN 参数μ和2σ的矩估计量。 首先，求正态分布总体的1阶原点矩和2阶中心矩： ?=?? ? ???--? =?=∞ +∞-∞ +∞-μσμσπdy y y dy y yf y E 2 2 exp 2)(21)()( (此处?? ? ???--2 2exp σμ2)(y 表示自然对数底数e 的?? ? ???--2 2σμ2)(y 的指数式，即] [2)(22 σμ--y e )

数理统计论文

数理统计在实际生活中的应用 摘要：数理统计学是统计学的数学基础，从数学的角度去研究统计学，为各种应用统计学提供理论支持。它研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题做出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支。概率论作为一门研究随机现象统计规律的数学学科，已在包括控制，通讯，生物，力学，金融，社会科学以及其他工程技术等领域得到了广泛的应用。 关键词: 点估计;方差分析;假设检验; 1 绪论 数理统计在自然科学、工程技术、管理科学及人文社会科学中得到越来越广泛和深刻的应用，其研究的内容也随着科学技术和政治、经济与社会的不断发展而逐步扩大，但概括地说可以分为两大类：⑴试验的设计和研究，即研究如何更合理更有效地获得观察资料的方法；⑵统计推断，即研究如何利用一定的资料对所关心的问题作出尽可能精确可靠的结论，当然这两部分内容有着密切的联系，在实际应用中更应前后兼顾。但按本专业的总体设计，我们的数理统计课程只讨论统计推断。数理统计以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象统计规律性的学科。本课程的目的是让学生了解统计推断检验等方法并能够应用这些方法对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。掌握总体参数的点估计和区间估计。掌握假设检验的基本方法与技巧。理解平方差分析及回归分析的原理，并能运用其方法和技巧进行统计推断。 数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的由集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议. 数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动.公元前2250年，大禹治水，根据山川土质，人力和物力的多寡，分全国为九州；殷周时代实行井田制，按人口分地，进行了土地与户口的统计；春秋时代常以兵车多寡论诸侯实力，可见已进行了军事调查和比较；汉代全国户口与年龄的统计数字有据可查；明初编制了黄册与鱼鳞册，黄册乃全国户口名册，鱼鳞册系全国土地图籍，绘有地形，完全具有现代统计图表的性质.可见，我国历代对统计工作非常重视，只是缺少系统研究，未形成专门的著作. 在西方各国，统计工作开始于公元前3050年，埃及建造金字塔，为征收建筑费用，对全国人口进行普查和统计.到了亚里土多德时代，统计工作开始往理性演变.这时，统计在卫生、保险、国内外贸易、军事和行政管理方面的应用，都有详细的记载.统计一词，就是从意大利一词逐步演变而成的.

参数估计

第三章 参数估计 统计推断就是推断总体分布，可以用经验分布估计理论分布，且增多样本可以逼近所要求的精度，但是这需要大量样本，现实中难以实现。 实际问题总是认为总体分布形式已知，而是不知其中几个参数，因此估计问题变为如何估计这几个未知参数，分成两大类：点估计和区间估计。 §3.1 点估计 设母体X 的分布函数),(θx F 形式已知，θ为待估未知参数向量，样本值 为n x x x ,,,21 ，点估计就是构造一个适当的统计量),,(?1n x x θ作为待估未知参数θ的近似值，统计量简单说就是样本值的函数，但是要求不可依赖未知参量，能够反映未知参量的信息，不同的未知参量对应了不同的统计量。如何构造呢？这里经典方法是矩估计方法和最大似然估计两种办法。 矩估计：子样的k 阶原点矩∑==n i k i k x n A 1 1，母体的k 阶原点矩k m ，假设 θ=],,,[21l θθθ ，那么我们就列L 个方程k m =k A ，求解θ?。 例子：混合高斯分布 )()()1(),(21x x x f ε??εε+-=，2 222 21)(i x i i e x σπσ ?- = 给你样本值为n x x x ,,,21 ，来估计未知参数ε。 解释：混合高斯分布的均值为零，二阶矩为 =][2x E 22 2 1)1(εσσε+- 我们只有样本，那么就用样本二阶矩代替，][121 2 2x E x n A n i i ==∑=，那么得出未知 参数ε的估计值为

2 1 22212?σσσε--=A 最大似然估计：比如连续分布的母体概率密度函数为),(θx f ，θ为待估未知参数向量，样本值为n x x x ,,,21 ，对于各样本值进行排序，总能找到n x x x ≤≤≤ 21，那么发生在区间的概率 {}{}∏==≤≤-≤≤-=≤≤-≤≤-n i i n n n n dx x f x x dx x p P x x dx x P x x dx x x x dx x P 11111),({}{},θ 我们将上述发生概率最大的参数θ作为真实值的估计，那么就是使得似然函数 ∏=n i i x f 1),(θ最大即可，或者∑∏===??????n i i n i i x f x f 1 1),(ln ),(ln θθ最大，记做 ∑==n i i n x f x x L 1 1),(ln ),,,(θθ 为使得上述最大 ),(max arg )?,,,(1θθ θ x L x x L n = 我们自然采取 0=??θ L 来求解θ?参数向量。 推论：统计量),,(?1n x x θ作为未知参数θ的最大似然估计，)(θg 为θ的连续函数，那么)?(θ g 为)(θg 的最大似然估计。 例子：正态母体),(2σu N ，给定样本值为X=（n x x x ,,,21 ），其均值和方差的最大似然估计量？ 解：每个样本点都符合正态母体),(2σu N ，那么我们构造似然函数为 ),;(2σu X L =??? ?????∑=?? ???? =--=∏ n i i u x n n i i e x f 1 22)(2121 )2(1ln ),(ln σπσθ

数理统计论文

数理统计“假设检验” [摘要]：假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。假设检验在经济和社会生活各个领域得到了极为广泛的应用。 [关键词]：假设检验样本总体检验 科技日新月异，人们的生活水平也随之得到提高。在生活水平提高的同时，人们在生活中需要检验的物件或事情也越来越多。假设检验在经济和社会生活各个领域得到了极为广泛的应用，尤其在经济和社会生活各个领域得到了极为广泛的应用，甚至在医学方面有着广泛的前景，尤其在产品的质量管理方面，假设检验已成为必不可少的检验方法。因此，我们需要对假设检验作进一步的了解。 假设检验是用判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法，是一种基本的统计推断形式。假设检验的目的就在于排除抽样误差的影响，区分差别在统计上是否成立，并了解事件发生的概率。 一、假设检验的概念 事先对总体参数或分布形式作出某种假设，然后利用样本信息来判断原假设是否成立。 二、假设检验的基本思想 假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法。为了检验一个假设 H是否 正确，首先假定该假设 H正确，然后根据样本对假设0H作出接受或拒绝的决策。如果样 本观察值导致了不合理的现象的发生，就应拒绝假设 H，否则应接受假设0H。 假设检验中所谓“不合理”,并非逻辑中的绝对矛盾,而是基于人们在实践中广泛采用的原则, 即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的。但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”, 显然, “小概率事件”的概率越小，否定原假设 H就越有说服力。常记这个概率 值为)1 α,称为检验的显著性水平。对不同的问题, 检验的显著性水平α不一定相同, <α 0(< 但一般应取为较小的值, 如0.1,0.05或0.01等。

数理统计习题解答

总习题七

1．设元件寿命X 服从正态分布),(2 σμN ，其中参数μ、2 σ都是未知的，现随机抽取6 个元件，测得其使用寿命（单位：小时）分别为：1498 1502 1578 1366 1454 1650 试求总体均值μ和方差2 σ 的矩估计值． 解：,?X =μ 故1508?=μ，() ()222E X E X σ=-, 故，2 2 218046.67.A A σ∧ =-= 2．电阻的使用寿命X 服从参数为β的指数分布，参数β未知。今抽查了6只电阻测得到以下数据（单位：年）：4.24.31.38.47.29.1，求参数β的矩估计值． 解：()1 ,E X β= 1?,X β=1?0.32793.05 β== 3.设一射手向某目标射击,直到击种目标为止,假定其命中率为p ,用X 表示射手射击的次数,写出X 的分布律.如果n X X X ,,,21Λ是取自X 的样本,求p 的矩估计和极大似然估计． 解：(1)X 的分布率为{}() 1 1,1,2,,k P X k p p k -==-=L ()() () 1 1 1 1 11k k k k E X k p p p k p ∞ ∞ --===-=-∑∑, 令1, q p =-()1 1 ,k k kq f q ∞ -==∑则()1 1 1 ,1q q k k k k q f t dt kt dt q q ∞ ∞ -===== -∑∑?? 故,()() 21,11q f q q q '??== ?--??()()2 1 ,1p E X p q ==-1?.p X = (2){}() 1 1,k x k P X x p p -==-()() ()1 1 1 11,n k k k n x x n n k L p p p p p =--=∑=-=-∏ ()()1ln ln ln 1,n k k L p n p x n p =?? =?+-?-?? ??? ?? ∑ 令 ()1ln 01n k k x n d L p n dp p p =-???????? =-=-∑,故1 ?.p X = 4．设总体X 的概率密度为

第七章 参数估计

第七章 餐数估计 §1 参数估计 设总体X 的d,f 为F(x,θ),θ为待估计参数,我们用X 的n 个样本X1,….Xn 去构造一个统计量θ^(X1,…Xn)去估计θ,则称θ^是θ的一个估计量,对样本的某一实现(某一观察值或试验可得之值)X1,…Xn,称θ^(X1,…,Xn)为参数θ的一个估计值. 比如,μ^=μ^(X1,….Xn)=1/n ∑=n i Xi 1=X 是均值（未知）μ的一个估计量， σ^2 =1/(n-1)∑=-n i X Xi 1 )(=S 2是X 的方差σ2的一个估计量。 1 、矩法：思路是用样本的k 阶矩去估计EX k 。 设r.v X 的d.f 为 F(x,θ1,……θL)其中θ1,……θm 为待估计的 参 数 ，且 假定E|X| l < ∞ ，于是 ),......,(),......(11l k l k k x dF x m m θθθθ?+∞∞ -==?，1<=k<=l 它是l θθ.......1的函数， 为估计k θ，1<=k<=l ，可从X 的n 个随机样本X 1，…X n ,作样本的k 阶矩k m ?=,1,1 l k n X k n i <=<=∑ 令k m ?==k m ),....(1n k m θθ，.1l k <=<= 解出：??? ??=??=) ,.....,(? ?),....(??1111n l l n X X X X θθθθ 用客观存在们作为n θθ,....1的估计量。 例：设X 的d.l 为

f(x)= {其他 ,0] ,[,/12112θθθθ+∈x ，1θ2θ 未知，试用矩法求它们的估计量。21??θθ与。 解：222 122 11 θθθθθ x xdx EX m == =?+Θ|2/212 11 θθθθθ+=+ .3 2 2212 1 2 2 2 22 11 θθθθθθθθ + +== =?+dx x EX m 令 { ] )([ 12?,2/??3/?2/?2/?21 2 22 1222121221 2 2 12111X n X X ：m m n X X m m X n i n i -=-=++===-=?+===∑∑θθθθθθθθθθθ解出 （二） 极大似然估计法 设总体X 的d.l 为f(x,θ)（如X 离散时，f(x,)θ化为P （X=x ）),而X 的n 个样本为X n X ,.....,1；则它们的n 元联合d.l 为),(1θ∑n i x f 令 L x f x x L n i i n ==∏=?),(),,.......(1 1θθ 称它为一个似然函数，为使其在某θ值取得最大，必要条件是θ d dL =0。由此可以定出θ?来，用这种方法求θ?称为极大似然法。 例1（书例5）：设),,(~2σμN X 求2,σμ的极大似然估计。 解：作似然函数 ∑===-- --- =∏n i i i x n x n i e e L 1 2 2 2 2)(212 /22)(1) 2()21 ( μσσ μπσπ σ