17.2 复数的代数运算

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复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)

新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力． 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位：它的平方等于,即; .对于复数： 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系：. 一一对应 .复数几何意义： 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知

探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么： 提出问题： ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 （交换律）, （结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力． .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案

高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案 知识与技能：掌握复数的四则运算; 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 情感态度与价值观：通过复数的四则运算学习与掌握，进一步理解复数引发学生对数学学习的兴趣，激起学生的探索求知欲望。 教学重难点 熟练运用复数的加减法运算法则。 教学过程 教学设计流程 一、导入新课： 复数的概念及其几何意义; 二、推进新课： 建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。 设Z1 =a+bi, Z2 =c+di是任意两个复数，我们规定： 1、复数的加法运算法则：Z1+Z2=(a+从)+(b+d)i 2、复数的加法运算律： 交换律：Z1+Z2=Z2+Z1 结合律：Z1+Z2+Z3=Z1+(Z2+Z3) 3、复数加法的几何意义: 4、复数的减法运算法则: Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i 5、复数减法的几何意义: 三、例题讲解 例1：计算：(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)

课后小结 复数的加法与减法的运算及几何意义 课后习题 课本习题3.2 A组1题、2题、3题. 高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【二】 教学目标： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。 教学过程： 学生探究过程： 1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算(1) (2) (3) 3. 计算：(1) (2) (类比多项式的乘法引入复数的乘法) 讲解新课： 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则：。 例1.计算(1) (2) (3) (4)

典型例题：复数的代数形式及其运算

复数的代数形式及其运算 例1．计算： i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解：提示：利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式＝0 变式训练1： 2 = （A）1 -（B） 1 22 +（C） 1 22 -+（D）1 解：21 2 ===-+故选C； 例2. 若0 1 2= + +z z，求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解：提示：利用z z z= =4 3,1 原式＝2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2：已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝▲ ． 解：2 例3. 已知4, a a R >∈，问是否存在复数z，使其满足ai z i z z+ = + ?3 2（a∈R），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由 解：提示：设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3：若 (2) a i i b i -=+，其中i R b a, ,∈是虚数单位，则a＋b＝ __________

解：3 例4. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i -+--+=+（i 为虚数单位）无解． 证明：原方程化简为 2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设 yi x z += (x 、y∈R，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=- 221(1)223(2)x y x y ?+=?∴?+=?? 将（2）代入（1） ，整理得281250. x x -+=160,()f x ?=-<∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解. 变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围. 解：由题意得 z 1＝151i i -++＝2＋3i, 于是12z z -=42a i -+1z =13. 13，得a 2－8a ＋7<0，1

复数代数形式的四则运算

复数代数形式的四则运算（教学设计）（1） §3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 教学目标： 知识与技能目标： 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义 过程与方法目标： 培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。 情感、态度与价值观目标： 培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。 教学重点：复数代数形式析加法、减法的运算法则。 教学难点：复数加减法运算的几何意义。 教学过程： 一、复习回顾： 1、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 2、. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 3、 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 二、师生互动、新课讲解： 1、复数代数形式的加减运算 （1）复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . （2）复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . （3）复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i . 又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1. ∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律. （4）复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ). ∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i ) =［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i =［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i . z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

复数代数形式的四则运算 3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 预习课本P107～108，思考并完成下列问题 (1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？ (2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？ 1．复数的加、减法法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 2．复数加法运算律 设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 3．复数加、减法的几何意义 设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→ 为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→ 的终点并指向OZ 1――→ 的向量所对应的复数． [点睛] 对复数加、减法几何意义的理解 它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处

理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( ) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( ) (3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8i D ．6－8i 答案：B 3．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i 答案：D 4．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA ――→和OB ――→ ，其中O 为坐标原点，则|AB ――→ |等于( ) A. 2 B ．2 C.10 D ．4 答案：B [典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________. [解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i. (2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ， 所以????? 5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3， 解得x ＝1，y ＝0， 所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，

复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀教学设计

复数代数形式的加减运算及其几何意义 【教学目标】 知识与技能：掌握复数的加法运算及意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部） 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 【教学重难点】 重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系。 难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 。 【教学设想】 复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数z =a +bi （a 、b ∈R ）与有序实数对（a ，b ）是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi （a 、b ∈R ），由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对（a ，b ）惟一确定。 【教学过程】 一、复习回顾： 1．复数的定义： 2．复数的代数形式： 3．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当 时，复数a +bi （a 、b ∈R ）是实数a ；当 时，复数z =a +bi 叫做虚数；当 时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当 时，z 就是实数0.

4．复数集与其它数集之间的关系： 。 5．两个复数相等的定义： 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　6．复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi （a 、b ∈R ）可 用点Z （a ，b ）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫 做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0）， 它所确定的复数是z =0+0i =0复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数z a bi =+←??? →一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 二、讲解新课： 复数代数形式的加减运算 1．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=（a +bi ）+（c +di ）= 2．复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=（a +bi ）-（c +di ）= 3．复数的加法运算满足交换律： z 1+z 2=z 2+z 1． 证明： 4．复数的加法运算满足结合律： （z 1+z 2）+z 3=z 1+（z 2+z 3） 证明：设z 1=a 1+b 1i 。z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i （a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ）。

复数代数形式的四则运算教案

复数代数形式的四则运算 —乘除运算 授课人：霍阳郜格陈丹董秀清宋广东 指导教师：黄海鹏 一、教学目标：1、理解复数代数形式的四则运算法则 2、能运用运算律进行复数的四则运算 3、培养类比思想和逆向思维 4、培养学生探索精神和良好的自学习惯 二、教学重点：复数的加减运算、乘除运算 三、教学难点：灵活准确地进行复数代数形式的四则运算及类比思想 四、教学方式：学生自主探究教师指导学习 五、教学用具：多媒体 六、教学过程 （一）知识回顾 1、复数的乘法运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数， 则它们积为z1?z2＝(a＋bi) (c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i 复数的积仍然为一个复数，复数的乘法与多项式的乘法相似。 复数乘法满足(1)交换律：z1?z2＝z2?z1； (2)结合律(z1?z2)?z3＝z1?(z2?z3)； (3)分配律z1 (z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 2、共轭复数 实部相等而虚部互为相反数的两个数。复数z的共轭复数用z表示。 若z＝a＋bi，则z＝a－bi (a，b∈R) z z＝a2＋b2z+z=2a z-z=2bi 3、复数的除法运算(乘法的逆运算)

复数a ＋bi 除以复数c ＋di 的商是指 满足(c ＋di) (x ＋yi)＝a ＋bi 的复数x ＋yi ，记作 di c bi a ++ (c ＋di ≠0) 根据复数相等的定义：di c bi a ++＝22 d c bd ac ++＋22d c a d bc +-i 利用共轭复数性质： di c bi a ++＝))(())((di c di c di c bi a -+-+＝22)()(d c a d bc bd ac +--+＝22d c bd ac ++＋22d c ad bc +-i （二） 习题讲解 例1、 已知复数)(,)31()1)(31(R a ai z w i i i i z ∈+=+--+-=，当2≤z w 时， 求a 的取值范围。 思路：先根据四则运算法则算化简z ，然后得w ，然后球的 z w ，进而求其模，解不等式。 例2、已知复数z 满足5=z 且z i ?-)43(是纯虚数，则z =___________ 思路：先求z 在代入模的运算，进而用共轭得出 例3、已知复数1121)12(,2z i i z z i z -++=+=（1）求2z （2）在ABC ?的三个内角C B ，，A 依次成等差数列，且2 cos 2cos 2C i A u +=，求2z u +的取值范围。 思路：（1）将1z 代入式子求2z （2）利用三角形内角和、等差数列性质求得B ，再利用二倍角公式求得u 的最简解析式，进而利用三角函数的值域求范围。 七、 小结

复数的代数形式及运算

第三节 复数的代数形式及运算 【目录】 题型1 复数代数形式的运算 题型2 复数代数形式的综合应用 三、解答题 题型1 复数代数形式的运算 1．计算：（1） 5 4)31()22(i i -+； （2） 1996 )12(32132i i i -+++-。 解：（1）原式= ==-=+--+= -?+w w i i i i i 22)2() 2 321(2])1[() 2 31(2)1(5 25 225 4 i i 31)2321(2+-=+-。 （其中ω=i 2 3 21+- ） 。 （2）原式=998998 9982)22(])12[(321) 321(i i i i i i i i +=-+=-+++=i+i 4×249+2=i+i 2=-1+i. 2．设f(x, y)=x 2 y-3xy+y 2 -x+8，求： （1）f(1+i, 2-i)的值； （2）[f(2-5i, 2-5i)]-1 的值。 解：（1）f(1+ i, 2-i)=(1+i)2·(2-i)-3(1+i)(2-i)+(2-i)2 -(1+i)+8 =2i(2-i)-3(3+i)+(3-4i)-1-i+8=2+4i-9-3i+3-4i+7-i=3-4i ； （2）若x=y ，则f(x, y)=x 3 -2x 2 -x+8，又x=2-5i ，∴(x-2)2 =(-5i)2 ，即x 2 -4x+9=0， 而x 3 -2x 2 -x+8=(x 2 -4x+9)(x+2)-2x-10, ∴f(2-5i, 2-5i)=0-2(2-5i)-10=-14+25i, ∴[f(2-5i, 2-5i)]-1 = i i i 108 5 10872165221614)52()14(52142 2--=--= +---. （3）∵(1-i 3)10 =1-C 110·i 3+C 210·(i 3)2 -C 3 10·(i 3)3 +…，∴(1-i 3)10 的展开式中奇数项之和 为复数(1-i 3)10 的实数。又(1-i 3)10 =[-2·10)]2321(i +- =210ω10=210ω=210)2 3 21(i +-=-29+29i 3，∴(1-i 3)10 的展开式中各奇数项的和为-29 。 3．求同时满足下列两个条件的所有复数z ： （1）z z 10+ 是实数，且1

知识讲解 复数代数形式的四则运算

复数代数形式的四则运算 编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】 1. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。 2. 会进行复数乘法和除法运算。 3. 掌握共轭复数的简单性质，理解z 、z 的含义，并能灵活运用。 【要点梳理】 要点一、复数的加减运算 1.复数的加法、减法运算法则： 设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++ 21()()z z c a d b i -=-+- 要点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。 2.复数的加法运算律: 交换律：z 1+z 2=z 2+z 1 结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 要点二、复数的加减运算的几何意义 1. 复数的表示形式： 代数形式：z a bi =+（,a b R ∈） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）； ②向量表示：以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+. 要点诠释： 复数z a bi =+←??? →一一对应复平面内的点(,)Z a b ←???→一一对应平面向量OZ 2．复数加、减法的几何意义： 如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP 、2OP ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS 就是12z z +的和所对应的向量.对角线21P P 表示的向量21P P 就是两个复数的差12z z -所对应的向量. 设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、 2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ， 由于OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i

复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)资料

复数代数形式的加减运算及其几何意义(教 案)

新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:1.掌握复数代数形式的加、减运算法则; 2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力． 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合. 一、 引入新课 复习引入 1.虚数单位i ：它的平方等于1-,即2i 1=-; 2.对于复数()i ,z a b a b =+∈R ： 当且仅当0b =时,z 是实数a ; 当0b ≠时,z 为虚数; 当0a =且0b ≠时,z 为纯虚数; 当且仅当0a b ==时,z 就是实数0. 3.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .

4.复数几何意义： 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知 探究一:复数的加法 1.复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设1i z a b =+,2i(,,,)z c d a b c d =+∈R 是任意两个复数,那么： 12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++ 提出问题： (1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? (2)当=0,0b d =时,与实数加法法则一致吗? (3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: (1)仍然是个复数,且是一个确定的复数; (2)一致; (3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项． 【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． 2.复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的123,,z z z ∈C ,有

复数代数形式的乘除运算

ξ3.2.2复数代数形式的乘除运算——课前预习学案 一.预习目标: 复数代数形式的乘法、运算律和共轭复数及运算. 二.预习过程: 1、复数代数形式的乘法法则： 设1212,(,,,),z a bi z c di a b c d R z z =+=+∈=是任意的两个复数则 2、验证复数的乘法运算满足的运算律： 设123,,(,,,,,)z a bi z c di z e fi a b c d e f R =+=+=+∈是任意的三个复数 1）12=z z 21z z = 2）123()z z z = ()123z z z = 3）()123z z z += 1213z z z z += 总结出复数的代数形式的乘法运算律? 3、何为共轭复(虚)数? 请举一些共轭复(虚)数的例子.共轭复(虚)数几何意义是什么? 4、,,,,,,()()(),,a b c d x y R c di x yi a bi x y x yi ∈++=++已知且求及

ξ3.2.2复数代数形式的乘除运算——课上探究学案 探究目标： 在完成预习学案的基础上，通过师生合作探究，进一步掌握复数代数形式的乘除运算法则、运算律及共轭复数和分母实数化原理。 重点难点：复数除法的分母实数化原理. 教学过程 ： 一、复数代数形式乘法注意事项： 计算（1）2(32)i + （2）(14)(14)i i +?- （3）(2)(2)i i +?- （4）(32)(43)(5)i i i -?-+?+ 二、共轭复数性质： 探究: (,) 1) z a bi a b R z z =+∈?=设 2) 2z = ； 12,(,,,) z a bi z c di a b c d R =+=+∈设, 则 12z z ?= ； 三、复数代数形式的除法法则: 分母实数化原理： 计算（1）(32)(23)i i -÷+ （2）1232i i +-+，

复数代数形式的乘除运算教案

322复数代数形式的乘除运算 、教学目标: 1、 知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算；理 解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质?过程与方法： 2、 过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程 ；培养学 生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性. 3、 情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法， 使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学 思维方法. 二、 重点难点： 重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算. 难点：复数除法的运算法则. 三、 教学过程 【知识链接】 1.复数Z i 与Z 2的和的定义： Z i Z 2 a bi c di a c b d i ； 2?复数Z i 与Z 2的差的定义： Z 1 Z 2 a bi c di a c b d i ； 3.复数的加法运算满足交换律 :Z i Z 2 Z 2 Z i ； 4.复数的加法运算满足结合律 Z i Z 2 Z 3 Z Z 2 Z 3 ； 5?复数z a bi a,b R 的共轭复数为z a bi ? 【问题探究】 探究一、复数的乘法运算 引导1：乘法运算规则 设 z i a bi 、Z 2 c di a,b,c,d 规定复数的乘法按照以下的法则进行: R 是任意两个复数,

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并?两个复数的积仍然是一个复数 引导2:试验证复数乘法运算律 (1)乙Z2 Z2 乙 (2)乙Z2 Z3 Z1 Z2 Z3 (3)Z i Z2 Z3 Z1 Z2 Z1 Z3 点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 合并?两个复数的积仍然是一个复数? i2换成-1,并且把实部与虚部分别 探究二、复数的除法运算 引导1：复数除法定义： 满足c di x yi a bi的复数x yi x, y R叫复数a bi除以复数c di的商, 记为： a bi c di或者 a bi c c di di 0 . 引导 2： 除法运算规则： 利用c di c di c2d2 a ?于是将 Ki 的分母有理化 得 c di ，”、八 a 原式=—bi di (a bi)(c di) (c di )(c di) [ac bi ( di)] (be ad)i c2 d2 (ac bd) (be ad)i c2 d2ac bd be ad . c2 d2 c2 d2i

复数的代数形式的乘除运算 -

§3.2.2复数代数形式的乘除运算 一.教学目标： 1.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算 2. 3.情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 二.教学重难点: 重点：复数代数形式的乘除法运算。 难点：对复数除法法则的运用。 三.教具准备：多媒体、实物投影仪。 四.教学设计过程： (一)复习巩固,问题引入 已知z 1 =a +bi (a 、b ∈R ), z 2 ﹦c +di (c 、d ∈R ) 复数和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 复数差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 复数z =a +bi 的共轭复数: z =a -bi 问题:复数乘除法的定义是什么?复数的乘法是否也满足交换律和结合律? (二)讲解新课： １．复数乘法运算规则： 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2. 复数乘法运算律： (1) 复数的乘法运算满足交换律z 1z 2=z 2z 1 (2) 复数的乘法运算满足结合律z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 (3) 复数的乘法运算满足分配律z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 例1计算 (1) (1﹢2i)(3-4i) (2)(1-2i)(3+4i)(-2+i) （3）（1+i)2. （4）（2-i)2. 例2动手算一算,你发现了什么? (1)i, i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i 7 , i 8 (2)(3+4i) (3-4i) ； 结论:互为共轭复数的两个复数相乘后得到的是一个实数 3.复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数 c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者di c bi a ++ 4.复数除法运算规则： 利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将 di c bi a ++的分母实数化得：

复数代数形式的四则运算

复数代数形式的四则运算 【学习目标】1．会计算复数的代数形式的加、减、乘、除； 2．明确复数加、减法的几何意义，会利用“数形结合”的思想解决相关问 题． 【学习重点】复数的四则运算． 【学习难点】复数除法的运算． 【学习过程】 一．导学 1．复数加法与减法的运算法则 (1)设12,z a bi z c di =+=+是任意两个复数，则12z z +=___________， 12z z -=________________. (2)对任意123,,z z z C ∈，有12z z +=________，123()z z z ++=__________. 2．复数加减法的几何意义 如图：设复数12,z z 对应向量分别为12,oz oz ，四边 形12oz zz 为平行四边形，则与12z z +对应的向量是______, 与12z z -对应的向量是______． 3．复数的乘法法则 i 具有周期性：)(,,4342414N n i i i i n n n n ∈==== +++ 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则12()()z z a bi c di ?=++=____________. 4．复数乘法的运算律 对任意复数,,z z z C ∈，有 交换律 12z z ?=_____ ___ 结合律 123()z z z ??=____ ________ 乘法对加法的分配律 123()z z z +＝_______ _______ 5如果两个复数满足_________________________时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z a bi =+，则z ＝________. 6．复数的除法法则 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈且0c di +≠，则 12z a bi z c di +==+_____________. 二．导练 1.计算：(1)(2)(2)i i +-； (2)2 (12)i +； (3)6123132i i i i ++??+ ?--??

复数代数形式的四则运算-知识讲解

复数代数形式的四则运算 【要点梳理】 要点一、复数的加减运算 1.复数的加法、减法运算法则： 设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++ 21()()z z c a d b i -=-+- 要点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。 2.复数的加法运算律: 交换律：z 1+z 2=z 2+z 1 结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 要点二、复数的加减运算的几何意义 1. 复数的表示形式： 代数形式：z a bi =+（,a b R ∈） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）； ②向量表示：以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+. 要点诠释： 复数z a bi =+←??? →一一对应复平面内的点(,)Z a b ←???→一一对应平面向量OZ 2．复数加、减法的几何意义： 如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP u u u r 、2OP u u u r ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS u u u r 就是12z z +的和所对应的向量.对角线21P P 表示的向量21P P u u u u r 就是两个复数的差12 z z -所对应的向量. 设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、 2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边 形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ， 由于OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i 对应的向量 类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -u u u u r 2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，