新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
教学目标
重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则.
难点:复数加法、减法的几何意义.
知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则;
.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力.
教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.
自主探究点:如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题.
考试点:会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题.
易错易混点:复数的加法与减法的综合应用.
拓展点:复数与其他知识的综合.
一、引入新课
复习引入
.虚数单位:它的平方等于,即;
.对于复数:
当且仅当时,是实数;
当时,为虚数;
当且时,为纯虚数;
当且仅当时,就是实数.
.复数集与其它数集之间的关系:.
一一对应
.复数几何意义:
复数复平面内的向量
我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算.
【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.
二、探究新知
探究一:复数的加法
.复数的加法法则
我们规定,复数的加法法则如下:
设,是任意两个复数,那么:
提出问题:
()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?
()当时,与实数加法法则一致吗?
()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?
学生明确:
()仍然是个复数,且是一个确定的复数;
()一致;
()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项.【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神.
.复数加法的运算律
实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?
对任意的,有
(交换律),
(结合律).
【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力.
.复数加法的几何意义
复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗?
设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有
.
这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示:
由图可以看出,以、为邻边画平行四边形,其对角线所表示的向量就是复数对应的向量.
【设计意图】通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想.
探究二:复数的减法
类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗?
.复数的减法法则
我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足
的复数叫做复数减去的差,记作.根据复数相等的定义,有
,
因此
,
所以
,
即
.
这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数.
【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力.
.复数减法的几何意义
设分别与复数对应,则这两个复数的差与向量
(即)对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示.
【设计意图】两个复数的差(即)与连接两个终点,,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合.注意:只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数.
三、理解新知
.复数的加减法法则:
设,是任意两个复数,规定:
;
.
.复数加、减法的几何意义:
()复数的加法按照向量加法的平行四边形法则;
()复数的减法按照向量减法的三角形法则.
.几点说明:
()复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来;
()复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;
()多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
()复平面内的两点间距离公式:.
其中是复平面内的两点和所对应的复数,为点和点间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离.
【设计意图】加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来.
四、运用新知
例.计算:
; ;
; ;
解:;
;
;
.
【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.
变式训练:
计算
.
解:(解法一)原式
.
(解法二);
;
…
.
将上列个式子累加,得
.
【设计意图】复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手,抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一步巩固复数加减运算,并带有一定的规律性. 例.设分别与复数对应,计算,并在复平面内作出,
设分别与复数对应,计算,并在复平面内作出
.
解:
图图
.(如图所示);
.(如图所示).
【设计意图】由复数的几何意义知,复数,所对应的的点分别为.
就是表示向量,而可利用平行四边形法则作出.
变式训练:
已知复数,分别对应向量(为坐标原点),若向量对应的复数为纯虚数,求的值.
答案:.
例.已知关于的方程:有实数根.
求实数的值;
若复数满足,求的最小值.
解:由题意,得,即.
由复数相等的定义得, 解得.
设,
由,得,
即,整理得,
即复数在复平面内所对应的点的轨迹是以为圆心,半径长为的圆.
又的几何意义是与原点的距离,
如图,由平面几何知识知,.
【设计意图】在问题中由复数相等的概念,列方程组求出两个参数值,把复数问题实数化,既复习了概念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力; 在问题
中由,把转化为复数所对应的点与原点的距离,解决此类问题的关键是利用复数的几何意义画出图形,在图形中寻求答案,把数转化成形,利用数形结合思想解决即可.
变式训练:
复数的模为,求的最大值和最小值.
答案: .
【设计意图】通过变式训练,便于学生全面的认识利用复数差的模的几何意义解决问题,提高学生理解、运用知识的能力.
五、课堂小结
(一)知识:
.复数代数形式的加法、减法的运算法则;
.复数加法、减法的几何意义.
.几点说明:
()复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来;
()复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;
()多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
()复平面内的两点间距离公式:.
其中是复平面内的两点和所对应的复数,为点和点间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离.
(二)思想方法:类比的思想、转化的思想、数形结合的思想.
【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用.深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.
六、布置作业
必做题:
.计算:; .
.复数与对应的向量分别是与,其中是原点,求向量,
对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限.
.复平面上三点分别对应复数,则由所构成的三角形△
是三角形.
.求复数,所对应的两点之间的距离.
.已知复数满足,求复数.
.已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为,试求: 表示的复数; 表示的复数; 点对应的复数.
答案: .; .
.,位于第三象限; ,位于第一象限.
.直角三角形. .. ..
.; ;
选做题:
.在复平面内,求满足方程的复数所对应的点的轨迹.
.复数满足,,求.
答案:
.提示:方程可以变形为|,表示到两个定点和距离之和等于的点的轨迹,故满足方程的动点轨迹是椭圆.
.提示:法一:数形结合思想,构造边长为的正方形,则其中一条对角线的长度为,则所求的另一条对角线的长度也等于.
法二:(向量法)设所对应的向量分别是,,将两边平方得,
则,所以.
【设计意图】设计必做题是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则进行计算;设计选做题意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义,增加问题的多样性、趣味性,训练学生思维的发散性、深刻性.让学生理解知识之间的联系,培养学生用整体的观点看问题,起到巩固旧知的作用.
七、教后反思
.本教案的亮点是:
本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性.在复数加法的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程理念.
()对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力.
()例题和练习的设计遵循由浅入深,循序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次的学生.
.本节课的弱项是:复数的几何意义的例题没能体现学生的动手能力.
八、板书设计
复数代数形式的加减运算及其几何意义
一、复习引入
二、探究新知
三、理解新知
四、运用新知例
变式训练例
变式训练
例
变式训练
五、课堂小结
六、作业
新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则. 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点:如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点:会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点:复数的加法与减法的综合应用. 拓展点:复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位:它的平方等于,即; .对于复数: 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系:. 一一对应 .复数几何意义: 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知
探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么: 提出问题: ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项.【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神. .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 (交换律), (结合律). 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力. .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示:
第二讲 复数的模及其几何意义 (一)复数模的运算 复数()R b a bi a ∈+,的模:z = ; 例1. 已知84z z i +=-,求复数z 。 例2. 已知复数12cos ,sin z i z i θθ=-=+,求12z z ?的最值。 运算律: ; ; ; 例1:已知()()() 2321331i i i z --+=,则—z = 例2:复数()()()223321i a i a i z ---=,则3 2=z ,则a =
(二)复数的几何意义 1. 复数加法,减法的运算的几何意义满足 ; 2. 21z z -表示复平面上 ; 例1:复平面内,说出下列复数z 对应的点的集合构成的图形; (1)1z = (2)1z i -+=(3)4z i z i ++-= (4)|1|||z z i +=- 例2:(1)若 2=z ,则i z +-1的取值范围为 。 (2)已知C z ∈,且132=--i z ,求cos sin z i θθ--?的最大值和最小值。 (3)若 622=-++i z i z ,则i z 5-的取值范围为 。 (4)复平面内,曲线11=+-i z 关于直线x y =的对称曲线方程为 。
例3:已知1z =,设2 1u z i =-+,求u 的取值范围。 例4:已知123,5z z ==,126z z +=,求12z z -的值。 (三)综合问题 例1. 已知复数z 的实部大于零,且满足)()cos sin z i R θθθ= +∈,2z 的虚部为2. (1)求复数z ; (2)设22 z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ,求AB AC ? 的值.
复数的减法及其几何意义 教学目标 1.理解并掌握复数减法法则和它的几何意义. 2.渗透转化,数形结合等数学思想和方法,提升分析、解决问题水平. 3.培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等). 教学重点和难点 重点:复数减法法则. 难点:对复数减法几何意义理解和应用. (一)引入新课 上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义) (二)复数减法 复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为(+i)-(+i)=(-)+(-)i, 1.复数减法法则 (1)规定:复数减法是加法逆运算; (2)法则:(+i)-(+i)=(-)+(-)i(,,,∈R).把(+i)-(+i)看成(+i)+(-1)(+i)如何推导这个法则.
(+i)-(+i)=(+i)+(-1)(+i)=(+i)+(--i)=(-)+(-)i. 推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算. 推导:设(+i)-(+i)=+i(,∈R).即复数+i为复数+i减去复数+i的差.由规定,得(+i)+(+i)=+i,依据加法法则,得(+)+(+)i=+i,依据复数相等定义,得 故(+i)-(+i)=(-)+(-)i.这样推导每一步都有合理依据.我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数.是唯一确定的复数. 复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即(+i)±(+i)=(±)+(±)i. (三)复数减法几何意义 我们有了做复数减法的依据——复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么? 设z=+i(,∈R),z1=+i(,∈R),对应向量分别为, 如图 因为复数减法是加法的逆运算,设z=(-)+(-)i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由复数加法几何意义,以为一条对角线,1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差(-)+(-)i对应,如图.
复数代数形式的四则运算(教学设计)(1) §3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 教学目标: 知识与技能目标: 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则,能进行复数代数形式加法、减法运算,理解并掌握复数加法与减法的几何意义 过程与方法目标: 培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。 情感、态度与价值观目标: 培养学生学习数学的兴趣,勇于创新的精神,并且通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。 教学重点:复数代数形式析加法、减法的运算法则。 教学难点:复数加减法运算的几何意义。 教学过程: 一、复习回顾: 1、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法 2、. 若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=, b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 3、 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 二、师生互动、新课讲解: 1、复数代数形式的加减运算 (1)复数z 1与z 2的和的定义:z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (2)复数z 1与z 2的差的定义:z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (3)复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 证明:设z 1=a 1+b 1i ,z 2=a 2+b 2i (a 1,b 1,a 2,b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i . 又∵a 1+a 2=a 2+a 1,b 1+b 2=b 2+b 1. ∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律. (4)复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 证明:设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ,z 3=a 3+b 3i (a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3∈R ). ∵(z 1+z 2)+z 3=[(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )]+(a 3+b 3i ) =[(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ]+(a 3+b 3)i =[(a 1+a 2)+a 3]+[(b 1+b 2)+b 3]i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i . z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+[(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )]
复数·复数的减法及其几何意义·教案 教学目标 1.理解并掌握复数减法法则和它的几何意义. 2.渗透转化,数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题能力. 3.培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等). 教学重点和难点 重点:复数减法法则. 难点:对复数减法几何意义理解和应用. 教学过程设计 (一)引入新课 师:上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义) (二)复数减法 师:首先规定,复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,(板书) 1.复数减法法则 (1)规定:复数减法是加法逆运算; (2)法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i(a,b,c,d∈R). 如何推导这个法则呢? 生:把(a+bi)-(c+di)看成(a+bi)+(-1)(c+di). (学生口述,教师板书) (a+bi)-(c+di)=(a+bi)+(-1)(c+di)=(a+bi)+(-c-di)=(a-c)+(b-d)i. 师:说一下这样推导的想法和依据是什么? 生:把减法运算转化为加法运算,利用乘法分配律和复数加法法则. 师:转化的想法很好.但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适,因为复数乘法还没有学,逻辑上出现一些问题. 生:我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导. (学生口述,教师板书) 推导:设(a+bi)-(c+di)=x+yi(x,y∈R).即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差.由规定,得(x+yi)+(c+di)=a+bi,依据加法法则,得(x+c)+(y+d)i=a+bi,依据复数相等定义,得 故(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 师:这样推导每一步都有合理依据. 我们得到了复数减法法则,那么两个复数的差是什么数? 生:仍是复数. 师:两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数? 生:不会. 师:这说明什么? 生:两个复数的差是唯一确定的复数. 师:复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
教学设计 一、教学目标: 1.知识与技能:掌握复数的加法运算及理解其几何意义. 2.过程与方法:通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律,得到复数加减运算的法则,同时了解复数加减法运算的几何意义. 3.情感、态度与价值观:通过探究复数加减运算法则的过程,感悟由特殊到一般的思想,同时由向量的加减法与复数的类比,理解复数加减的运算法则,知道事物之间是普遍联系的哲学规律. 二、教学重点和难点 教学重点掌握复数的加法与减法的运算法则及应用,难点是加减法的几何意义。 三、教学方法 使用多媒体教学辅助手段,从感性到理性的角度认识复数的加减运算,引导学生思考、探索、从解决问题的过程中建构新的知识体系。 四、教学过程
学情分析: 高二(5)班属普通中学艺术文科班,女生比例较大,学生基础普遍比较薄弱,学习习惯较差。学生受文科思维的影响,习惯于机械记忆,受文科学习方式的负面影响,文科学生
不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆,习惯于老师讲,自己记,复习背,对概念、定理、公理的本质属性缺乏正确的认识,不重视思维训练,导致数学学习能力下降,心理压力增大,恶性循环。加之,经常要参加专业的培训课,而一段时间不能正常的进行文化课的学习,更使得学习数学的兴趣降低,信心不足,经常会出现一些非常低级的错误。因此培养学生良好的学习数学自信心与严谨的逻辑思维能力相当重要。从而在课堂上要给以学生不断的肯定和鼓励是非常重要的。 效果分析 本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则,它是复数加减法运算的基础,对于这个规定的合理性,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法,以它为根据来解决某些平面图形的问题,学生对这一点不容易接受。 (1)在复数的加法与减法中,重点是加法.教材首先规定了复数的加法法则.对于这个规定,应通过下面几个方面,使学生逐步理解这个规定的合理性:①当 b=0时,与实数加法法则一致;②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立;③符合向量加法的平行四边形法则.这样讲解让学生对复数加法法则规定有更加正确的认识,从而接受复数加法法则。 (2)复数加法的向量运算讲解时,画出向量后,提问向量加法的平行四边形法则,并让学生自己画出和向量(即合向量),画出向量后,问与它对应的复数是什么,即求点Z的坐标(证法如教材所示).让学生从数到形全面理解复数加法的的实质。 (3)向学生指出复数加法的三角形法则的好处.向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的:例如讲到当与在同一直线上时,求它们的和,用三角形法则来解释,可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些;讲复数减法的几何意义时,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便. (4)一开始,我想把复数的加减法则和几何意义一起讲完,再讲解复数代数形式的加减运算的例题,再练习。后来觉得复数加减的几何意义对于学生来讲可能一时比较难理解,所以讲完法则和运算律以后,紧跟例题和练习,这样安排,使学生觉得很容易接受,然后再来讲解几何意义,再跟进几何意义的练习,这里和预先想到的一样,学生在俩个复数差的绝对值的几何意义上遇到了困难。 (5)这节课设置的例题和练习题的难度都不算大,主要是考虑到我们学校艺术类文科学生,基础不太好,数学思维比较欠缺,学习数学的自信心不够足的实际情况而定的。由于新课之前事先发下了本节课的导学案,在课堂上进行的还是比较理想的。
复数的代数形式及其运算 例1.计算: i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解:提示:利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式=0 变式训练1: 2 = (A)1 -(B) 1 22 +(C) 1 22 -+(D)1 解:21 2 ===-+故选C; 例2. 若0 1 2= + +z z,求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解:提示:利用z z z= =4 3,1 原式=2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2:已知复数z满足z2+1=0,则(z6+i)(z6-i)=▲ . 解:2 例3. 已知4, a a R >∈,问是否存在复数z,使其满足ai z i z z+ = + ?3 2(a∈R),如果存在,求出z的值,如果不存在,说明理由 解:提示:设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3:若 (2) a i i b i -=+,其中i R b a, ,∈是虚数单位,则a+b= __________