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高数2习题册

2016～2017 学年第一学期

高等数学Ⅱ-1 练习册高等数学Ⅲ-1 练习册

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第一章函数与极限

§ 映射与函数一、本节学习目标：

1.掌握常见函数的定义域，函数的特性。掌握将一般初等函数拆成几个简单函数的复合。

2.熟悉基本初等函数的类型、性质及图形,了解初等函数的概念。二、本节重难点:

1.a 的δ邻域：(,){}{}(,)U a x x a x a x a a a δδδδδδ=-<=-<<+=-+

2.构成函数的要素: 定义域及对应法则。函数相等：函数的定义域和对应法则相同。

3.1

,-f

f 互为反函数，且有()1

f f

f x x x D -≡∈????，，()1f f f y y y R -??≡∈??，.

1f -的定义域为f 的值域。

练习题

1.下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A. ()()f x g x x =

= B. 2()ln ,()2ln f x x g x x ==

()()f x g x ==

D.2(),()f x g x x == 2.下列函数中为偶函数的是（）

A. cos 2x x

B. 3

cos x x + C. sin x x D. 2sin x x

3. 下列函数中，奇函数是( )．

A. 31y x =+

B. ln y x =

C. +sin y x x =

D. 2+cos y x x =

4.下列函数中不是初等函数的是（）

A.0

00x x y x x x >??

==??-

B.ln sin(1)y x =+

C.y

D.21

01x x y x x ?-≠?

=-??=?

5.凡是分段函数都不是初等函数。（）

6.复合函数[g()]y f x =的定义域即()u g x =的定义域。（）

7.函数1

ln(1)

y x =

+的定义域是(1,)-+∞。（）

8.满足32x +<的全体实数，称以为中心，为半径的邻域。 9.设2

(),[()]1f x f f x x

=- 。10.arcsin(1)y x =+的定义域。

11.指出函数y = 12. 指出函数2

1sin 2x

y =的复合过程。

§ 数列的极限

一、本节学习目标：

1.理解数列极限的概念。二、本节重难点:

1.-N ε“”语言：0,.lim .n n n N N n N x a x a εε+

→∞

?>?∈>-<=，使得当时，有记作

注：（1）ε的任意性。（ε的作用在于衡量n x 与a 的接近程度）（2）N 的选取是与ε有关的。

2.如果数列{}n x 收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 。

3.推论：如果数列中两个子列的极限存在不相等，则这个数列发散。

4.常用结论: (1)212lim lim lim k k n k k n x x a x a -→∞

→∞

==?=

(2)若212lim ,lim k k k k x x -→∞

→∞

至少有一个不存在，或212lim ,lim k k k k x x -→∞

→∞

存

在，但212lim lim k k k k x x -→∞

→∞

≠，则lim n n x →∞

不存在。

练习题

1. 设数列{}n x ，当n 越来越大时，n x a -越来越小，则lim .n n x a →∞

= （）

2. 设数列{}n x ，对0,N N n N ε+

?>?∈>，当时,有无穷多个n x 满足,n x a ε-<

则lim n n x a →∞

=. （）

3. 数列{}n x ,对0ε?>，{}n x 中仅有有限个n x 不满足,n x a ε-<则lim .n n x a →∞

=（）

4. 有界数列{}n x 必收敛.（）

5. 无界数列{}n x 必发散。（）

6. 发散数列{}n x 必无界.（）

7. 若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 有界。（）

8.* 用数列极限的定义证明下列极限：

（1）212lim 313n n n →∞+=+ （2）sinn

lim 0n n

→∞=

§ 函数的极限

一、本节学习目标：

1.理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质。二、本节重难点:

1. 自变量趋于有限值时函数的极限：0

0lim (x)A (x)A x x f f x x →=→→或（当）

2. 自变量趋于无穷大时函数的极限: lim (x)A x f →∞

=或(x)A(x )f →→∞当

3.(1)0

lim ()x x f x A

→=00

lim ()lim ()A x x x x f x f x -

+→→==.

(2)0

lim ()x x f x →不存在

lim (),lim ()x x x x f x f x -

+→→中至少有一个不存在,或0

lim ()x x f x +→，

lim ()x x f x -→存在但00

lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠.

(3)lim ()x f x A

→∞

=lim ()lim ()A x x f x f x →-∞

→+∞

==.

(4)lim ()x f x →∞

不存在

lim (),lim ()x x f x f x →-∞

→+∞

中至少有一个不存在,或lim ()x f x →+∞

，

lim ()x f x →-∞

存在但lim ()lim ()x x f x f x →-∞

→+∞

≠.

4. 对于分段函数在其定义域内的分界点处的极限一定要讨论左、右极限。

练习题

1. 当1x →时，函数312y x =-→，问δ等于多少时，能使1x δ-<时，20.01y -<

2.当x →∞时，函数21

2x y x

→，问X 等于多少时，能使x X >时，20.01y -<

3.设3()313

x f x x x

4.设+13

()213

x x f x x x

lim ()x f x →是否存

在。

5.对函数()x f x x

，回答下列问题：

（1）函数()f x 在0x =处的左右极限是否存在

（2）函数()f x 在0x =处是否有极限为什么

(3)* 函数()f x 在1x =处是否有极限

§ 无穷小与无穷大

一、本节学习目标：

1.熟悉无穷小，无穷大的概念。

2.掌握无穷小的性质，会利用无穷小量的性质求极限。

3.知道无穷小量与无穷大量之间的关系。二、本节重难点:

1. 无穷小量是一个变量.

2.任何很小很小的非零数都不是无穷小量，常量中只有0是无穷小.

3.无穷小量的性质：(1)两个无穷小的和是无穷小。 (2)有界量与无穷小的乘积是无穷小。 (3)常数与无穷小的乘积是无穷小。

4. 无穷大量是无界变量。

5. 无穷小量和无穷大量的关系：

在自变量的同一变化过程,（1）如果()x f 为无穷大，那么

()

f x 为无穷小；（2）如果()x f 为无穷小，且()0f x ≠，那么1

()

f x 为无穷大。

练习题

1. 0

lim x

x e →= 2.lim x x e →+∞

3.lim x

x e →-∞

= 4. 10

lim x

x e -

→= 5.无穷多个无穷小量的和是无穷小量。（） 6.两个无穷小量的商是无穷小量。（） 7.两个无穷大的和也是无穷大。（） 8.无穷大与无穷大的积也是无穷大。（） 9.无穷小与无穷大的和一定是无穷大。（）10.无穷小与无穷大的积一定是无穷大。（） 11.非零常量与无穷大量的乘积是无穷大。（）

12. 求极限0

1lim(sin )x x x → 13. 求极限2

1lim(cos )x x x

→

14.求极限1lim(sin )x x x →∞

15. 求极限arctan lim

x x

→∞

§ 极限运算法则

一、本节学习目标：

1.理解并熟练掌握极限的运算法则二、本节重难点:

1.函数的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商注意运用上述法则有前提条件：

(1)函数的个数有限（2）每个函数都有极限（3）有分母时，分母的极限值不为0 2.0

0lim ()()n n x x P x P x →=,其中()n P x 为n 次多项式。

3.（1）0()lim

()x x P x Q x →是0

0型（(),Q()P x x 同时有极限为零的因式），求极限的方法：

一般地分子分母同除以为零的因式。

（2）()lim

()n x m

P x Q x →∞是 ∞

∞型，求极限的方法：分子分母同除以x 的最高次幂。

练习题

1. 数列{}n x 和{y }n 都收敛，则数列{y }n n x +必收敛。（）

2.数列{}n x 和{y }n 都发散，则数列{y }n n x +必发散。（）

3.若数列{}n x 收敛，而{y }n 发散，则数列{y }n n x +必发散。（）

4.若lim()0n n n a b →∞

?=，则必有lim 0n n a →∞

=或lim 0n n b →∞

=. （）

5.222lim 41n n n

n →∞++ 6.2

(1)(2)lim 5n n n n →∞++

7.3(1)(2)(3)lim 21

n n n n n →∞++++ 8.111

lim[+++]1335(21)(21)n n n →∞??-+L

9.132lim 32n n

n n

n +→∞-+ 10.n

11.2

lim 21x x x →++ 12.225

lim 3x x x →+-

13. 2226lim 4x x x x →+-- 14. 22234

lim 4

x x x x →---

15.22121lim 1x x x x →-+- 16.22468lim 54

x x x x x →-+-+

17.2231lim 41x x x x x →∞+++- 18.22131lim 2

x x x x →-+-

19.35231lim 427x x x x x →∞++++ 20.32251lim 465

x x x x x →∞-+++

21 0

2x x

→ 22*. 3113lim(

)11x x x →---

23*

2030

50(23)(32)lim (51)

x x x x →∞-++ 24*

.已知,a b 为常数，21lim()1x x ax b x

→∞+--=，则a = ，b =

25*.,a b 为常数，已知1lim

x ax b

x →+=-，则a = ，b = .

§ 极限存在准则两个重要极限

一、本节学习目标：

1.理解极限存在的两个准则。

2.会用重要极限来计算其他函数的极限。二、本节重难点:

1.夹逼准则判别数列或函数的极限，适用于一些特定的形式，需要对数列或函数适度放大，缩小。

2.单调有界准则：单调有界数列必有极限。单调有界准则是证明数列极限存在常用的形式。

3.两个重要极限公式 :.1sin lim

0=→x

x x e x x x =+∞→)1

1(lim

推广形式：()

()0sin lim 1()

x x x μμμ→=，()()e x x x =+→)(10)(1lim μμμ

练习题

1.0sin 3lim sin5x x x →

2.0tan 5lim x x

→

3.1

lim sin

x x x

→∞

4.0lim cot x x x →

5.10

lim(13)x

x x →+ 6.2lim(1)x x x

→∞

7.5

2lim(1)x x x +→∞

+ 8.21lim(

x x x →∞

9.利用极限收敛准则求极限

(1)222

111

lim (

)2n n n n n n πππ

→∞

++++++L

(2)2

33314lim()12n n n n n n

→∞++++++L

（3）222

111

lim[

](1)(2)(2)

n n n n →∞

+++++L

(4)数列123x x x ===K 的极限存在并求lim n n x →∞

10. 一投资者欲用1000元投资5年，设年利率为6%，试分别按单利、复利、每年按4次复利付息方式计算，到第5年末，该投资者应得的本利和A.

§ 无穷小的比较

一、本节学习目标：

1.理解无穷小量的阶的概念。二、本节重难点:

1.常用的等价无穷小代换:

当0x →时，sin x x :，ln(1)x x +:，tan x x :,1x

e x -:,arctan x x :

211cos 2x x -:11x n

练习题

1.0sin 3lim 2x x x →

2.0tan 2lim sin 3x x

→

3.201cos 2lim x x x →-

4.30tan sin lim x x x

→-

5.201lim x x e x →-

6.0arcsin lim 5x x

→

7.0

limsin5cot 3x x x →

8. 0x →

9.20ln(13sin )lim tan x x x x →+ 10.2

0(1)arcsin lim ln 12)(1cos 2)

x x e x x x →-+-（

§ 函数的连续性与间断点

§ 连续函数的运算与初等函数的连续性

§ 闭区间上连续函数的性质

一、学习目标：

1.理解函数连续的概念.

2.理解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

3.理解连续函数的运算.

4.理解并熟练掌握闭区间上连续函数的性质二、重难点:

1.函数()y f x =在点0x 处连续?000

lim lim[()()]0x x y f x x f x ?→?→?=+-=V

0lim ()()x x f x f x →=

0lim ()()lim ()x x x x f x f x f x +-

→→== 即000()()()f x f x f x +-==

2. 间断点的分类:

()()????

???

????

左右极限都存在左右极限至少有一个不存在左右极限相等（可去间断点）

第一类左右极限不相等（跳跃间断点）间断点无穷间断点第二类震荡间断点

3.复合函数的极限法则

4.一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

5.幂指函数)1)(,0)(()

()

(≠>x u x u x u x v ，若b x v a x u =>=)(lim ,0)(lim ,

那么b x v a x u =)

()

(lim .

练习题

1.设函数0

()0

x e x f x x a x ?≤=?+>?，试确定常数a ，使函数()y f x =连续。

2.设函数301

()112

x b x f x a

x x b x +≤

==??-<≤?

，试确定常数,a b ，使函数()y f x =在1x =处连续。

3.研究函数201

()212x x f x x x ?≤≤=?-<≤?

的连续性。

4.指出下列函数的间断点，并说明这些间断点的类型。

（1）221()3+2x f x x x -=- （2）1

211()1

x x f x e x --=-

5.x →

6.0

sin lim ln

x x

→

7.2

2cot 0

lim(13tan )x

x x →+

8.证明方程3

31x x -=至少有一个根介于1和2之间。

第一章测验题

1.下列函数中，表示同一函数的是( )．

A. ()()sin(arcsin )f x x g x x ==，

B. 22

()1()sin cos f x g x x x ==+，

C. ()()f x x g x ==

， D.2()2lg ()lg f x x g x x ==，

2. 若lim ()0x a

f x →=，limg()0x a

x →=，则下列结论中不正确的是（）

A. lim[()()]0x a

f x

g x →+= B. lim[()()]0x a

f x

g x →-=

C. lim[()()]0x a

f x

g x →=g D.()

lim

0()

x a

f x

g x →= 3. 若lim ()x a

f x →=∞，limg()x a

x →=∞，则下列结论中正确的是（）

A.lim[()()]x a

f x

g x →+=∞ B. lim[()()]x a

f x

g x →-=∞

C. lim[()()]x a

f x

g x →=∞g D.()

lim

()

x a

f x

g x →=∞ 4.当0x →时，下列变量中与2

sin x 为等价无穷小的是（）

B. x

C. 2x

D.3x

5. 若()lim x f x →=2

3，则(2)3f =．( ) 6. 若()lim x f x →=2

3，则()f x 在2x =处连续．( )

7.若()f x 在0x 无定义，则0

lim ()x x f x →必不存在．( )

函数()f x =

的定义域为 .

函数y e =是由复合而成的.

10.1

lim

arctan x x x

→∞= . 11.函数 2

()2f x x =+（）

的间断点是，是间断点。 12.*

.若21+lim

51x x ax b

→+=-，则a = ，b = . 13.*

若2+1

lim(

)01+x x ax b x

→∞--=，则a = ，b = . 14.设210

()2

01113

x x f x x x x ?-<

=≤

，求1

(2)()2

f f -，。

15.2323

lim 51x x x x x →∞-+++ 16.224lim 2x x x →-- 17.0ln(12)lim sin 3x x x

→+

18.2

0lim(13)x

x x →+ 19.1lim(1)1

x x →∞+

+ 20.sin 0lim x

x x e →

21.lim x 22.220ln(2)

lim sin(1)

x x x →++

23.设2tan 0()0

x f x x

x x

x ?

=??+≥?，已知0

lim ()x f x →存在，求a 的值。

24.某厂生产某产品，每日最多生产100单位，它的日固定成本为130元，生产一个单位的可变成本为6元，求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。

25.已知某工厂每批生产某种商品q 单位的总费用为()6400C q q =+,得到的收益是

2()100.01R q q q =-，求利润函数，并问每批生产多少单位时能使生产者保持盈亏平衡

第二章导数与微分

§ 导数的概念一、本节学习目标：

1.理解导数概念，理解导数的几何意义。

2. 掌握函数的可导性与连续性之间关系。二、本节重难点:

1.函数)(x f y =在点0x 处可导?()0x f '000

()()

lim h f x h f x h →+-=

000

()()

()lim x x

f x f x f x x x →-'=-

?()()()000f x f x f x +-'''==

2.()0x f '的几何意义：曲线)(x f y =在00(,())x f x 点处的切线的斜率。

3.函数可导性与连续性的关系:()x f y =在0x 处可导?

??→←??()x f y =在0

x 处连续练习题

1.下列各题中均假定()0x f '存在，按照导数的定义观察下列极限，指出A 表示什么

(1)000

(+)()

lim 4x f x x f x A x

?→?-=? （2） 000()()lim

2x f x x f x A x ?→-?-=? (3)000

()(2h)lim

h f x h f x A h →+--= （4）000()(h)

lim h f x h f x A h

→+--=

2.设函数()f x 可导，且()32f '=，求0(3)(3)lim 2x f x f x

→--?.

3.求下列函数的导数:

(1)4y x = (2)y = (3)y =

4.求曲线cos y x =上点1

(,)32

π处的切线方程和法线方程。

5.给定抛物线2

2y x x =-+，求过点12（，）

的切线方程和法线方程。

6.讨论函数2

1sin

0()0

x x f x x

x ?≠?=??=? 在0x =处的连续性与可导性。

7.函数2+101

()311x x f x x x

?≤<=?-≤?在点1x =处是否可导为什么

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合第八章多元函数及其微分法最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿的定义域是从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护与z? = / 1 定义域的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂，T() 丿解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂〉?T O 〉?T O兀十〉于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

高数典型例题解析

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。 5：例 f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

高等数学下考试题库(附答案)复习过程

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞=?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）.

A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试题文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（）

A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。

5、求级数的和。四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数例求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数．解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='．指出函数的复合关系例指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常

见的基本函数，逐步确定复合过程．解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．求函数的导数例求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

高数下A试题及答案

高等数学A （下）课程考试试题参考解答一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内． 1. 函数3y z x e =-的全微分dz =【 C 】． (A) 2 2y x dx e dy -； (B) 2 3y x dx e dy +； (C) 2 3y x dx e dy -； (D) 2 3y e dx x dy -． 2. 球面2 2 2 1x y z ++= 在点P 处的切平面方程是【 D 】． (A) 0x y -=； (B) 0x y ++=； (C) 0x y -=； (D) 0x y +=． 3. 设区域{} 2(,)11, 1.D x y x x y =-≤≤≤≤，二重积分 ()2 cos D x x xy dxdy +=??【 B 】． (A) 1-； (B) 0； (C) 1； (D) 1 2 ． 4. 级数n n ∞ = A 】． (A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 其它选项都不对． 5. 曲线22 1() 4 4 z x y y ?=+???=?在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角为【 C 】． (A) 3 π ； (B) 3π-； (C) 4 π ； (D) 4π-．二、填空题 ( 满分15分，每小题3分，共5道小题 )，请将答案填在横线上． 1. dx x y dy I y ? ? = 55 1 ln 1 = 4 . 2. 设L 是圆周2 2 2 R y x =+，曲线积分 ()2 2L x y ds +??= 32R π .

3. 设?? ?? ? ≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数，此正弦级数在4x π=处收敛于 1 . 解由于4 π= x 是)(x f 的连续点，则)(x f 的正弦级数在4 π= x 收敛于1)4 (=π f ． 4. 微分方程20y y y '''-+=的通解为 12()x y c c x e =+ . 5. 函数33 (,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为 (18,3,21)- . 三．（满分10分）设( ) 22 ,ln 2z f xy x y =+，求z x ??和2z x y ???（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解 2122z f y f xy x ?''=+? 2z x y ???33221211 221222225yf xf xy f x yf x y f ''''''''=++++ 四. （满分10分）计算曲线积分22 L xy dy x ydx -??，其中L 为圆周222a y x =+的正向. 解 2 2 ,xy Q y x P =-=， 22,y x Q x y P =??-=??，由格林公式，得 ydx x dy xy L 22-? = 222x y a Q P dxdy x y +≤????- ???? ??? ()222 2 2x y a x y dxdy +≤= +?? 2 4 3 20 a dr r d a πθπ= =?? . 五．（满分10分）试将函数()2 x t f x e dt =? 展成x 的幂级数，（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。解：因为 ∑∞ ==0! n n t n t e ()+∞<<∞-t 则∑∞ ==02! 2 n n t n t e ()+∞<<∞-t ，将上式两端逐项积分，得 ()?∑????? ??==∞=x n n x t dt n t dt e x f 00 20!2

高数下试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

高数下典型习题及参考答案

第八章典型习题一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知　，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。第九章、第十章典型习题一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式中正确的是（）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（）

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值

C.某邻域内单调增加 D.取极大值二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。

四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则

大学高等数学下考试题库(附答案)

. 一.选择题（3分10） 1.点到点的距离（）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量，则有（）. A.∥ B.⊥ C. D. 3.函数的定义域是（）. A. B. C. D 4.两个向量与垂直的充要条件是（）. A. B. C. D. 5.函数的极小值是（）. A.2 B. C.1 D. 6.设，则＝（）. A. B. C. D. 7.若级数收敛，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B C. D. 9.幂级数在收敛域内的和函数是（）. A. B. C. D. 10.微分方程的通解为（）. A. B. C. D. 二.填空题（4分5） 1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为______________________. 2.函数的全微分是______________________________. 3.设，则_____________________________. 4.的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程的通解为_________________________________. 三.计算题（5分6） 1.设，而，求 2.已知隐函数由方程确定，求 3.计算，其中. 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（为半径）. 5.求微分方程在条件下的特解. 四.应用题（10分2） 1.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 2..曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点，求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.. 2. . 3. . 4. . 5. . 三.计算题 1. ，. 2.. 3.. 4. . 5.. 四.应用题 1.长、宽、高均为时，用料最省. 2. 高数试卷2（下）一.选择题（3分10） 1.点，的距离（）. A. B. C. D. 2.设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（）. A. B. C. D. 3.函数的定义域为（）. A. B. C. D. 4.点到平面的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数的极大值为（）. A.0 B.1 C. D. 6.设，则（）. A.6 B.7 C.8 D.9 7.若几何级数是收敛的，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B. C. D. 9.级数是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分5） 1.直线过点且与直线平行，则直线的方程为__________________________. 2.函数的全微分为___________________________. 3.曲面在点处的切平面方程为_____________________________________. 4.的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分6） 1.设，求 2.设，而，求 3.已知隐函数由确定，求 4.如图，求球面与圆柱面（）所围的几何体的体积. 四.应用题（10分2） 1.试用二重积分计算由和所围图形的面积. 试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 三.计算题 1.. 2. . 3.. 4. . 四.应用题 1.. 高等数学试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（） 4 5 A、10 B、20 C、24 D、22 2、设ai2j-k,b2j3k，则a与b 的向量积为（） A、i-j2k B、8i-j2k C、8i-3j2k D、8i-3ik 3、点P（-1、-2、1）到平面x2y-2z-50的距离为（） A、2 B、3 C、4 D、5 4、函数zxsiny在点（1，）处的两个偏导数分别为（） A、 B、 C、 D、 5、设x2y2z22Rx，则分别为（） A、 B、 C、 D、 6、设圆心在原点，半径为R，面密度为的薄板的质量为（）（面积A） A、R2A B、2R2A C、3R2A D、 7、级数的收敛半径为（） A、2 B、 C、1 D、3 8、cosx的麦克劳林级数为（） A、 B、 C、 D、 9、微分方程y4y5y20的阶数是（） A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶 10、微分方程y3y2y0的特征根为（） A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L1xyz与直线L2___________。直线L3____________。 3、二重积分___________。 4、幂级数__________，__________。三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、用行列式解方程组-3x2y-8z17 2x-5y3z3 x7y-5z2 2、求曲线xt,yt2,zt3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程. 3、计算. 4、问级数 5、将函数fxe3x展成麦克劳林级数 6、用特征根法求y3y2y0的一般解四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。 2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

高等数学下册试题及答案解析

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

北京科技大学高等数学下册试题

高等数学试题一、填空题 1.设sin z xyz 1,-=则 z yz x cos z xy ?=?-. 2.设L 为圆周22x y 4+= ，则对弧长曲线积分=12π? . 3.交换积分次序( )22 2y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ????. 4.方程2x y"4y'4y e -++=的一个特解是2x x e -212 . 二、选择题 1.函数( )2222x y 0f x,y 0x y 0 +≠=+=?在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0 C.两个偏导数都存在，但不为0 D.全微分存在 2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥； 2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C . A.12xdv 4xdv ΩΩ=?????? B.12 ydv 4ydv ΩΩ=?????? C.12zdv 4zdv ΩΩ=?????? D.12 xyzdv xyzdv ΩΩ=?????? 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222 x dydz x y z ∑++?? 等于C . A.0 B. 22y z 1+≤?? C.43π D.22x z 1 +≤-?? 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y e c cos x c sin x =+的方程是B .

A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+= C.y"2y'5y 0-+= D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2D e dxdy y ??.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 五、设y u y f 2x,x ??=? ??，f 具有二阶连续偏导数，求 22 11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x ?''''''=+--??. 六、设()f x 是一个连续函数，证明：（1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2??=++ ??? ?，其中22u x y =+. 证明：（1） ()()()( ) 222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y (yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y f x y xdx ydy ++=+++?+'=+??+?+'=+=??∴++ （2） ()()22 u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2 +??==++ ???=++=++?? 七、求：由曲面2222z 0,z y 1,x y 4== +=+=所围空间立体Ω的体积. 解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ ====????????? 是一个全微分。