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大数定律和中心极限定理

一、内容提要

（一）切贝谢夫不等式 1. 切贝谢夫不等式的内容

设随机变量X 具有有限的数学期望E （X ）和方差D （X ），则对任何正数ε，下列不等式成立。

(){}()

εε

εX D X E X P X D X E X P -

≤-≤

≥-

2. 切贝谢夫不等式的意义

（1）只要知道随机变量X 的数学期望和方差（不须知道分布律），利用切贝谢夫不等式，就能够对事件(){}

ε≥-X E X 的概率做出估计，这是它的最大优点，今后在理论推导及实际应用中都常用到切贝谢夫不等式。

（2）不足之处为要计算(){}

ε≥-X E X P 的值时，切贝谢夫不等式就无能为力，只有知道分布密度或分布函数才能解决。另外，利用本不等式估值时精确性也不够。

（3）当X 的方差D (X )越小时，(){}

ε≥-X E X P 的值也越小，表明X 与E (X )有较大“偏差”的可能性也较小，显示出D (X )确是刻画X 与E (X )偏差程度的一个量。（二）依概率收敛

如果对于任何ε＞0，事件{}

ε a X n -的概率当n →∞时，趋于1，即

{}1lim =-∞

→ε a X P n n ，

则称随机变量序列X 1,X 2,…,X n ,…当n →∞时依概率收敛于α。

（三）大数定律 1. 大数定律的内容

（1）大数定律的一般提法

若X 1,X 2,…,X n ,…是随机变量序列，如果存在一个常数序列α1,…,αn ,…，对任意ε＞0，恒有

11lim 1=?

???-∑=∞

→ε n i n i n a X n P ，则称序列{X n }服从大数定律（或大数法则）。

（2）切贝谢夫大数定律

设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，分别有数学期望E(X i )和方差D(X i )，且它们的方差有公共上界C ，即

()().,,,2,1, n i C X D i =≤

则对于任意的ε＞0，恒有

()111lim 11=?

?????-∑∑==∞→ε n i n

i i i n X E n X n P 。

（3）辛钦大数定律

设X 1,X 2,…,X n ,…是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在：

() ,2,1,==i a X E i

则对于任意的ε＞0，有

11lim 1=?

???-∑=∞

→ε n i i n a X n P 。（4）贝努里大数定律

设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的ε＞0，恒有

1lim =?

???-∞

→ε p n n P A n 。 2. 大数定律的意义

（1）大数定律从理论上证明了“频率的稳定性”，对概率论的建立起了奠基作用。

（2）切贝谢夫大数定律说明经验平均值接近于理论平均值；辛钦大数定律说明随机变量的平均值接近于数学期望，这是测量中取平均值的理论依据；贝努里大数定律说明了频率具有稳定性，即频率收敛于概率，这是用频率f n (A )来估计概率p 的理论依据。

（3）把独立随机变量和的平均作为大数定律的研究对象在理论上的应用上都是重要的。（四）中心极限定理 1. 中心极限定理的内容

（1）独立同分布中心极限定理

设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差：E (X K )=μ,D (X K )=σ2≠0,(K =1,2,…,n ,…)，则随机变量

n n X

Y n

K K

n ∑=-=

的分布函数F n (x )，对于任意的x ，满足

()???

???

???????≤-=∑=∞

→x n n X P x F n K K n n σμ1lim lim （2）德莫佛一拉普拉斯中心极限定理

设随机变量() ,2,1=n n η具有参数为n ,p )10(<

()?-∞

→=??

????????≤--b a dt t

n n e b p np np a P 22

211lim πη 。

2. 中心极限定理的意义

（1）中心极限定理从理论上证明了“许多类型”的随机变量，它们的极限分布服从正态分布，

这既肯定了正态分布在概率论中处于主导地位，又给概率计算提供了强有力有手段。

（2）中心极限定理是把独立随机变量的和作为研究对象。（3）应用中心极限定理前的准备步骤

（a ）把问题归结为独立随机变量的和∑==

K K

X 1

。

（b ）把和“中心化”：

().1

∑∑==-n

K K n

K K

X E X

（c ）把和再“标准化”：()

()

∑∑∑===-n

K K

K K n

K K X D X E X

对于独立同分布中心极限定理标准化后是

n n X

K K

∑=-

对于德莫佛一拉普拉斯中心极限定理标准化后是

()

.1p np np

n --η

（4）由独立同分布中心极限定理知：若X 1,X 2,…,X n ,…独立同分布，则n →∞时，随机变量X= X 1

＋X 2,＋…＋X n =

∑=n

i i X 1

渐近地服从正态分布N (E (X ),D (X ))=N (n μ,n σ2)，或

()()

μn n X X D X E X -=

-渐

近地服从标准正态分布N （0，1）。

由德莫佛一拉普拉斯中心极限定理知，若随机变量X ～B (n ,p )，则当n 充分大时，npq

np X -就近

似服从标准正态分布N （0,1）。记为

()1,0~.N npq

np X d

a - 从而得当n 较大时，二项分布的近似计算公式

{}.???

??--????

??-Φ=??

??????-≤--=≤npq np a npq np b npq np b npq np X npq np a P b X a P

二、要求

1. 掌握切贝谢夫不等式，会用切贝谢夫不等式估计

(){}ε X E X P -、(){}.ε≥-X E X P

2. 了解大数定理的内容和意义。

3. 掌握中心极限定理的内容，会做一些简单应用题。

三、例题分析

例1 在每次试验中，事件A 发生的概率为，利用切贝谢夫不等式估计在1000次独立试验中，事件A 发生的次数在400～600之间的概率。

分析利用切贝谢夫不等式估计某事件的概率，需作如下准备：（1）恰当地选择随机变量X ；（2）求出E (X ),D (X )；（3）依题意确定ε。在此基础上可利用切贝谢夫不等式进行估计。

解设X 表示在1000次独立试验中，事件A 发生的次数，则X ～B （1000,），且E （X ）=np =500，D (X )=npq =250.于是

{}{}

{},

100100100500100600400 -=--=X P X P X P

在切贝谢夫不等式中，取ε=100，则有

{}(){}

().4039100002501100

11006004002

=-=-≥-=X D X E X P X P 即在1000次独立试验中，事件A 发生的次数在400～600之间的概率在

以上。例2 利用切贝谢夫不等式估计随机变量与其数学期望差的绝对值大于三倍均方差的概率。分析依题意，要估计()(){}

X D X E X P 3≥-只需在切贝谢夫不等式中取()X D 3=ε即可。

解设随机变量X 的期望为E (X )，方差为D (X )，在切贝谢夫不等式中，取()X D 3=ε，则有

()(){}

()()9

93=≤

≥-X D X D X D X E X P 。

评注由例1、例2可以看出：利用切贝谢夫不等式可以对随机变量的分布做出估计，即对于任意的ε，可以估计出(){}

(){}εε≥--X E X P X E X P , 。当然这种估计还是非常粗略的，如X ～

N （μ,σ2），则{}%3.03 σμ≥-X P 。而利用切贝谢夫不等式进行估计，则{}

3≤

≥-σμX P 。切贝谢夫不等式更重要的价值在于对理论研究的贡献，大数定律的理论证明是其中之一。

例3 设X 为连续型随机变量，p (x )为分布密度，如果E |X |K

（K 为正整数）存在，则对于任意的ε＞0，有

{}K

E X P ε

ε≤

≥

证明

{}()()()().

x K

K K

x x X E dx x p x dx x p x

dx x p x

dx x p X P ε

εε

εεεε=

≤

=????

?≤=≥?

???∞

+∞

-≥

≥≥

说明切贝谢夫不等式的证明方法是很有特色的，同样在本题的证明过程中两次加强了不等式，其一是利用在积分区间1≥≥K

，

x εε上。其二是利用被积函数非负扩大积分区间（由部分区间扩

大到整个数轴上）。

例4 计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的“加数”取整数的误差是相互独立的随机变量且都在[－,]上均匀分布。若将1200个数相加，求误差总和的绝对值小于15的概率。

分析以随机变量X 表示误差总和，X K 表示各个加数取整数的误差（K =1,2,…,1200），则

∑==

1200

K K

X 。由于X 1,X 2,…X 1200相互独立且服从同一分布，由中心极限定理得X 近似地服从正态分

布，从而可计算出{}

15 X P 。

解以随机变量X 表示误差总和，X K （K =1,2,…,1200）表示各个加数取整的误差，则

.1200

∑==K K X X

由题意知X 1,X 2,…X 1200相互独立都在[－,]上服从均匀分布，因此

()()()()()()()().

100,

1200,2,1,12

125.05.0,02

.05.01200

1120011200

1120012

==??? ??===??? ??===+==+-=

∑∑∑∑====K K K K K K K K K K X D X D X D X D X E X E K X D X E

由中心极限定理知

()()

100

X X D X E X =

-近似地服从标准正态分布。所以 {}

{}151515 X P X P -=

()().

8664.05.15.110151010

15=-Φ-Φ≈??

????-= X P

例5 现存有一批种子，其中良种占6

，今取6000粒种子，试以的概率推断，在这6000粒种子中良种所占的比例与

的差是多少相应的良种在哪个范围分析以随机变量X 表示在6000粒种子中良种的个数，则??

? ?

?61,6000~B X 。由于n =6000较

大，由德莫佛一拉普拉斯定理知

510001000?

-X npq

np X 近似地服从N （0,1）。依题意，就是要确定ε

＞0，使.99.061

6000=?

????

?-ε X P

解以随机变量X 表示6000粒种子中的良种粒数，则??

? ?

61,6000~B X 。由德莫佛一拉普拉斯定理知

().106

510001000，N X 近似地服从?

设以的概率推断，良种所占的比例与

的差为ε。即 99.0616000=?

?????-ε X P ，而 ?

?????-=?????

?-εε 6000100061

6000X P X P

???

????

???

?-=ε65100060006510001000 X P ()()

()1

85.207285.20785.207-Φ=-Φ-Φ≈εεε

所以 ()99.0185.2072=-Φε， ()995.085.207=Φε，查正态分布表，得

ε=，

并由 99.00124.061

6000=?

????

?- X P ，

得 99.0}1075925{=<

即以的概率推断，在6000粒种子中良种所占的比例与

差是，这时，相应地良种数在925粒到1075粒之间。

例6 某单位200架电话分机，每架分机有5%的时间要使用外线通话，假定每架分机是否使用外线是相互独立的，问该单位要安装多少条外线，才能以90%的概率保证分机使用外线时不等待。

解以随机变量X 表示使用外线的分机数，则X ～B （200,），设需要设置n 条外线，满足

P {X ≤n }=，

由德莫佛一拉普拉斯中心极限定理知

()，，N X npq

np X 105

.910近似地服从-=

所以 {}.5.9105.9105

.910???

? ??-Φ=???

?-≤

-=≤n n X P n X P 要使 {}9.0=≤n X P ，即使 9.05.910=???

? ??-Φn ，

查正态分布表得

14,

3.15.910=≈-n n

即设置14条外线就可满足要求。

评注由例4～例6可以看出：

（1）若随机变量X i (i =1,2,…n )独立同分布，则当n 较大时，∑==

i i

X 1

就近似服从

()()??

? ??∑∑==n i n

i i i X D X E N 11,，或

()

∑∑∑===-n

i i

i n

i i

X D X E X 1

就近似地服从N （0,1）。由此，可对有关X 的事件

作近似计算。

（2）若X ～B （n ,p ），当n 较大时，由德莫佛一拉普拉斯定理知

npq

np X -就近似地服从N （0,1）。

由此，得下列近似公式

{},???

??-Φ≈≤npq np a a X P {},???

??-Φ-????

??-Φ≈≤npq np a npq np b b X a P

{}.1???

??-Φ-≈npq np b b X P 例7 某电教中心有100台彩电，各台彩电发生故障的概率都是，各台彩电的工作是相互独立

的，试分别用二项分布，泊松分布，中心极限定理，计算彩电出故障的台数不小于1的概率。

解设彩电故障的台数为X ，则X ～B （100,）。（1）用二项分布直接计算

{}{}{}

()()()

8674.098.0198.002.010*******

100

=-=-==-=-=≥C X P X P X P

（2）用泊松分布作近似计算

{}.

8674.0!2!21,

2,02.0,1001

200

12=≈≈≥====∑∑∞=-=-k k k k k e k e X P np p n λ （3）用中心极限定理计算

(),1,0~4.12,

4.198.02,2.N X npq

X npq np d

a -=-=?==

{}{}

()()[]

8356.04286.17143.014.124.1114.1214.124.12011011=-Φ--Φ-=?

?????? ??-Φ-??? ?

?-Φ-=??

??--≤--=≤-=≥ X P X P X P 四、习题

1. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞平均为7300，均方差为700，利用切贝谢夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率。

2. 利用切贝谢夫不等式确定当掷一枚均匀硬币时，需掷多少次能保证使得正面出现频率在～之间的概率不小于。

3. （1）一复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损

坏的概率为，为了使整个系统起作用，至少有85个部件工作，求整个系统工作的概率。

（2）一复杂的系统，由n 个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为，且必须有80%的部件工作时才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性为。

4. 设Xi （i =1,2,…,100）是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为λ=1的泊松分布，试计算

?????∑=1001120i i X P 5.一大批种子中良种占6

，利用下列两种方法，估计在任意选出的6000粒种子中良种所占的比例与

比较上下不超过1%的概率。（1）切贝谢夫不等式；（2）中心极限定理。 6. 某车间有200台车床，每台车床由于各种原因常常要停车，假定各车床的停车或开车是相互独立的。若每台车床的开工率为，开工时，需要消耗的电能为E ，问发电厂至少要供给这个车间多少电能，才能以%的概率保证这个车间不致因供电不足而影响生产。

7. 设甲地到乙地之间有两种交通工具，汽车和轮船，每位旅客以

43的概率选择乘汽车，4

1的概率选择乘轮船。假设有800位旅客同时由甲地出发至乙地，若要求在100次中有98次有足够的座

位，问这两种交通工具各应设多少座位。

8. 在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险，在一年里这些人死亡率为，参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元，死亡时，家属可以从保险公司领取2000元的抚恤金。（1）求保险公司一年中获利不小于40000元的概率；（2）保险公司亏本的概率。

五、习题答案与提示

1.解以随机变量X 表示每毫升含的白细胞数，由题意E (X )=7300,D (X )=7002

{}{}

(){}().

2100700121001210021007300210094005200222=-=-≥-=--=X D X E X P X P X P

2. 解设需要投掷n 次，以随机变量X 表示n 次投掷中出现正面的次数，由题意得

()()4,2,21,~n X D n X E n B X ==??

??，

{}

(){}()

(),

4100

101.0411.011.06.04.06.04.022

n n

n X D n X E X P n X n P n X P -=-=-≥-==?

???

要使 9.06.04.0≥?

??? n X P ，只需 9.04100

1≥-

，解得n ≥250. 3. （1）以随机变量X 表示100个部件中正常工作的部件数，则X ～B （100,）。由德莫佛一拉普拉斯定理知

()1,0~1

.09.01009.0100.N X d

a ???-，从而 {}10085≤≤X P

()()95.067.133.31.09.01009.01001001.09.01009.01001

.09.01009.010085≈Φ-Φ≈???-≤???-≤??????-=X P

（2）设X 表示在n 个部件中正常工作的部件数，则X ～B （n ,）。

依题意就是要确定n ，使

{}95.08.0=≤≤n X n P ，

由德莫佛一拉普拉斯定理知

()1,0~1

.09.09.0.N n n X d

a ???-，从而=P{≤X ≤n}

()

1333.0231311.09.09.01.09.09.01

.09.09.08.0-Φ=?

??-Φ-??? ??Φ≈??

?????-≤

??-≤??-=n n n n n

n n n X n n n P

解得 975.0)333.0(=Φn ，

查正态分布函数表得 35,96.1333.0==n n 。

4. 解因为Xi （i=1,2……100）服从泊松分布，所以

()()()100,2,1,1,1 ===i X D X E i i

∑==1001

i i X X ，则()()100100

==∑=i i X E X E ，

()()100100

==∑=i i X D X D 。

由中心极限定理知

()1,0~100

100

.100

N X

a i i

∑=-，

???

???????--=??????∑∑==10010012010010012010011001 i i i i X P X P

9772.0)2(=Φ=。

5. 解以X 表示6000粒种子中的良种数，则

??? ?

61,6000~B X ，

()().

65000

65616000,10006

6000=??==?

=X D X E

（1）利用切贝谢夫不等式估计

{}(){}().

7685.06

36005000160

16060100001.061

60002=?-=-≥-=-=?

?????-X D X E X P X P X P （2）利用中心极限定理估计

()1,0~6

50001000.N X d

a -，

{}.9624.0660006065000606500060650001000

60100001.0616000=?

??????????

?-Φ-?????????

???Φ≈?????

????????-=-=?

?????- X P X P X P

6. 解以X 表示200台车床中开车的台数，则X ～B (200，，依题意就是要确定K ，使

{}.999.00≥≤≤K X P

由德莫佛一拉普拉斯定理知().1,0~4

.06.02006.0200.N X d

a ???-

因而

{}.

93.612093.6120481200??

? ??-Φ≈???

??-Φ-???? ?

?-Φ≈≤≤K K K X P

要使 ,999.093.6120≥??

??-ΦK 查表得

.142,1.393

.6120

≥≥-K K

故供给这个车间142E 的电能即可。

7. 解以X 表示乘汽车的人数，则??

? ??43,800~B X ，设汽车上应设置K 个座位，满足

{}.98.00=≤≤K X P

由德莫佛一拉普拉斯定理得

()1,0~4

14380043800.N X d a ?

-， {}????

???????

????-Φ-?????????

??????-Φ≈≤≤41438004380004143800438000K K X P ??

? ??-Φ≈25.12600K ，

得 .98.025.12600=??

??-ΦK

查表得

.626,

06.225

.12600

==-K K

即汽车上至少要设置626个座位，类似可得轮船上要设置226个座位。

8. 解以X 表示一年中死亡的人数，则X ～B (10000,。保险公司每年收入10000×10=100000元，支出2000X 元，由德莫佛一拉普拉斯定理得

().1,0~161

.310999.010********

.010000.N X X npq np

X b

a -=???-=-

（1）P {保险公司获利不少于40000}

{}

{}{}()().

9993.0163.33271.6161.310.0161.3103030030400002000100000≈-Φ-Φ≈??

??Φ-???

??-Φ=≤≤=≤=≥-=X P X P X P

（2）P {保险公司亏本}=P {2000X ＞100000}

{}{}{}

0008.0163.3100163.310501500150150=????????? ??-Φ-??

? ??-Φ-≈≤≤-=≤-=X P X P X P

概率论与数理统计：中心极限定理

中心极限定理无论随机变量12,,,, n X X X 服从什么分布，当n 充分大时，其和的极限分布是正态分布，这就是我们今天要讲的中心极限定理。定理 5.5（独立同分布中心极限定理）设随机变量12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2 (),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,则随机变量之和1 n i i X =∑的标准化变量 n i n X n Y μ -= ∑ 的分布函数()n F x 对于任意X 满足 2/2lim ()lim d ()n i x t n n n X n F x P x t x μΦ-→∞→∞ ?? -??? =≤==????? ∑? 定理 5.5表明,对于均值为,μ方差为2 0σ>的独立同分布的随机变量的和1 n i i X =∑的标准化随机变量,不论12,,,, n X X X 服从什么分布,当n 充分大时,都有 ~(0,1)n i n X n Y N μ-= ∑近似 , 从而,当n 充分大时 21 ~(,)n i i X N n n μσ=∑近似. 定理5.5′ 设随机变量列12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2, i =,令1 1n n i i X X n == ∑,则当n 充分大时 ~(0,1)N 近似 ,即2~(,/)n X N n μσ近似. 例5.3 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100 g,标准差是10 g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2 kg 的概率. 解设i X 为第i 个螺丝钉的重量,,100,,2,1 =i Y 为一盒螺丝钉的重量,则

大数定律与中心极限定理及其应用

重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用分院数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）班级 10数本1班学号201006034109 姓名张永东指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日

目录摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的内涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1）证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理及其应用论文

青岛农业大学本科生课程论文题目：中心极限定理及其应用姓名：学院：专业：班级：学号：指导教师： 2012 年06 月27 日

青岛农业大学课程论文任务书论文题目中心极限定理及其应用要求完成时间 2012年 07 月 02 日论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。指导教师签名：年月日

中心极限定理及其应用信息与计算科学专业（学生姓名）指导教师（老师姓名）摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量

Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable

中心极限定理

中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μ n是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n 无限大时，频率设μ n / n趋于服从参数为的正态分布。即：

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。中心极限定理案例分析案例一：中心极限定理在商业管理中的应用水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假

(完整版)大数定律及中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理【基本要求】1、了解切比雪夫不等式； 2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论； 3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。【学时分配】2学时【授课内容】 §5.1 大数定律 0.前言在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。一、切比雪夫大数定律 1

2 事件的频率稳定于概率，能否有p n lim n n =μ∞→，答案是否定的。而是用)(0}{ ∞→→ε≥-μn p n P n [依概率收敛]来刻划（弱）。或者用{}1n n P p n →∞ μ???→=[a.e.收敛] 来刻划（强）。 1.定义：设ΛΛ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有 ()1lim =<-∞ →εa X P n n ，则称序列ΛΛ,,,,21n X X X 依概率收敛于a .记为a X P n ?→? . 2．切比雪夫不等式设随机变量ξ具有有限的期望与方差，则对0>?ε，有 2 ) ())((ε ξεξξD E P ≤ ≥-或2 ) (1))((ε ξεξξD E P - ≥<- 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~()p x ξ，则有 2 2 ()()(())(())()()x E x E x E P E p x dx p x dx ξ ε ξ ε ξξξεε -≥-≥--≥= ≤ ?? 22 2 1 () (())()D x E p x dx ξξεε+∞ -∞ ≤ -= ? 该不等式表明：当)(ξD 很小时，))((εξξ≥-E P 也很小，即ξ的取值偏离)(ξE 的可能性很小。这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件 {}E ξξε-≥概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 3．定理1（切比雪夫大数定律）设}{n ξ是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在常数C ，使Λ,2,1)(=≤i C D i ξ，则对任意的0>ε，有01111 =ε≥ξ-ξ∑∑==∞→})(E n n {P lim n i n i i i n [即

中心极限定理及其应用

中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。一、两个常用的中心极限定理根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理）设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量的分布函数Fn（x）对于任意x满足（5.7）从定理1的结论可知，当n充分大时，有或者说，当n充分大时，有如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理）设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1）证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理的发展

中心极限定理的创立和发展 1141010113 万帅关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 “中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。中心极限定理的发展主要分为三个阶段。创立阶段：1733-----1853年人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理” 法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。在1812年，他先后考虑了对称的、离散的均匀分布，对称的连续分布，任意分布情形。最后，拉普拉斯在他的名著《概率的分析理论》中对任意的p证明了如下中心极限定理：【1】泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。在所有考虑的情况里，都假设随机变量是独立的。泊松证明了服从相同分布的随机变量的情况，还推广到服从不同分布的随机变量的情况。1824年，泊松证明了连续随机变量的中心极限定理，并给出了三个反例，其中包括服从柯西分布的随机变量和，这时中心极限定理不成立。受当时传统的影响，泊松没有明确阐明中心极限定理成立的条件。但是，从他的证明和例子中，可以看到，他假设每个变量的方差都是有界的，且不等于零。其他数学家也做了这方面工作，比如贝塞尔和柯西。拉普拉斯等人给出证明的前提假设是，和的分布是有限的，因此所有的矩都存在。他们把结果推广到无限情形，但没有给出证明，并隐含假定了矩的存在。以现在的观点来看，只要沿着拉普拉斯的方向继续下去，法国数学家们是可以给出中心极限定理的严格证明的，比如柯西，他知道特征函数和稳定率。从当时环境来看，大约1870年代，概率学家还处于心理上的劣势，苦于自己的研究领

中心极限定理与大数定理的关系

渤海大学学士学位论文题目: 中心极限定理与大数定理的关系系别: 渤海大学专业: 数学系班级: 2002级1班姓名：于丹指导教师：金铁英完成日期：2006年5月19日中心极限定理与大数定理的关系于丹（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。关键词：大数定理中心极限定理收敛性 The relation of the central limit theorem and large numbers law Yu Dan (Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract：The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability. This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem . Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence. 引言

中心极限定理及其意义

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题目：中心极限定理及意义课程名称：概率论与数理统计专业班级：成员组成：联系方式： 2012年5月25日摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词：随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理引言：在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，

中心极限定理证明

中心极限定理证明目录第一篇：中心极限定理证明第二篇：大数定理中心极限定理证明第三篇：中心极限定理第四篇：中心极限定理应用第五篇：中心极限定理更多相关范文正文第一篇：中心极限定理证明中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史

上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次? 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.

中心极限定理及其意义

大数定律及中心极限定理应用题

大数定律与中心极限定理应用题 1．设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？解设第i 只零件重为i X ，500,...,2,1=i ，则5.0=i EX ，21.0=i DX 设 ∑==500 1i i X X ，则X 是这些零件的总重量 250050005.0=?=EX ，5050001.02=?=DX 由中心极限定理 )1,0(~50 2500N X a - （1）)2510(≥X P =)50 25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787 (2) 设汽车载重量为a 吨 )(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50 2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150 2500≥-a 计算得 59.2511≥a 因此汽车载重量不能低于2512公斤 2．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，先从这批木柱中随机的取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率？解设X 是长度小于3m 的木柱根数，则)2.0,100(~b X 由中心极限定理 )16,20(~N X a )30(≥X P =)16 20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062 3．一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率（2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。

中心极限定理和概率统计

若{}n X 的分布函数序列{()}n F x 与X 的分布函数()F x 有，在任意连续点x ， lim ()()n n F x F x →∞ =。依概率收敛若0ε?>，有()0n n P X X ε→∞ ->???→。准确的表述是，0ε?>，0δ?>， ,N n N ?>，有()n P X X εδ-><成立（3）几乎必然收敛如果有(lim )1n n P X X →∞ ==。准确的表述是，除掉一个0概率集A ，对所有的\A ω∈Ω，有lim ()()n n X X ωω→∞ =成立。这是概率空间上的点收敛。定理1。（切贝雪夫大数律）{}n X 相互独立，且有相同的期望和方差，（不一定同分布） ()n E X u =2 ()n D X σ=，,n ? 记1 1n n i i Y X n ==∑，则P n Y u ??→。统计发生——事物某方面的定量记录事前是不确定的，发生后的数据由真值和误差两部分构成，εμ+=X 。X 是数据，μ是真值，ε是误差。导致误差的原因有： 1．系统性误差：偏离真值的本质性错误，有内在原因所致； 2．随机性误差：偏离真值的偶然性错误，没有内在原因，是纯偶然因素所致。总体就是一个特定的随机变量通过抽样，获得样本，构造样本统计量，由此推断总体中某些未知的信息从总体中抽样是自由的，且当总体数量足够大，有放回与无放回抽样区别不大，有理由认为，取得的抽样观察值是没有关系的。所以，样本在未抽取前它们是与总体X 同分布的随机变量，且是相互独立的，称此为随机样本。定义2。设1,,n x x 是取自总体X 的一组样本值， 1(,,)n g x x 是Borel 可测函数，则称随机变量1(,,)n g X X 是一个样本统计量。

大数定理与中心极限定理的关系及应用

本科生毕业论文（设计）题目大数定律与中心极限定理的关系及应用姓名学号院系数学科学学院专业数学与应用数学指导教师职称 2013年4 月16 日曲阜师范大学教务处制

目录摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)

大数定律与中心极限定理的关系及应用摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分

中心极限定理的应用

毕业论文题目中心极限定理的应用学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日

中心极限定理的应用张世军（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000）指导教师：程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation

大数定律和中心极限定理

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