函数练习题答案
第一章
函数
1、用区间表示满足下列不等式的所有x 的集合
(1)3||≤x ； ]3,3[-
(2)1|2|≤-x ； ]3,1[
(3)ε<-||a x ； ),(εε+-a a
(4)5||≥x ； ),5[]5,(+∞--∞
(5)2|1|>+x . ),1()3,(+∞--∞
2、用区间表示满足下列点集,并在数轴上表示出来：
(1)}2|3||{<+=x x A ； )1,5(--
(2)}3|2|1|{<-<=x x B . )5,3()1,1( -
3、求下列函数的自然定义域 (1)2112++-=x x
y ； 解：?
??≥+≠-02012x x ????-≥±≠21x x ?),1()1,1()1,2[)(+∞---= f D . (2)2
1arcsin -=x y ； 解：
12
1≤-x ?2|1|≤-x ?]3,1[)(-=f D . (3)1
||)3ln(--=x x y ； 解：?
??>->-01||03x x ????><1||3x x ?)3,1()1,()( --∞=f D .
(4)6
712arccos 2---=x x x y . 解：??
???>--≤-0617122x x x ????>+-≤-0)2)(3(712x x x ????>-<≤≤3 243x x x 或－ ?]4,3()2,3[)( --=f D .
4、确定函数?????<<-≤-=.2||1
,1,1|| ,1)(22x x x x x f 的定义域并作出函数图形. 解：函数的定义域为 )2,2()(-=f D .其图形为 图形> plot(max((max(1-x^2,0))^(1/2),x^2-1),x=-2..2);
5、下列各函数中哪些是周期函数？对周期函数指出其周期
(1) x y 2sin =; 解：2
2cos 1sin )(2x x x f y -===,由于 )(2
2cos 12)22cos(1)(x f x x x f =-=+-=+ππ, 所以, x y 2sin =是以π为周期的周期函数.
注：x T x T x T 2cos )
22cos()(2cos 22π=+=+令
(2) )cos(θω+=t y (θω,为常数);
解：)cos()(θω+==t x f y ,由于 )cos()2cos()2(θωθπωωπ
+=+±=+t t t f ,
所以, )cos(θω+=t y 是以
ωπ2为周期的周期函数.
注：)cos()cos()(2θωθωωπω+++=+=t T t T t f T 令
(3) x
y 1cos =. 解：x
x f y 1cos )(==不是周期函数.因为假设有T ,使得)()(x f T x f =+, 那么 x
T x 1cos 1cos =+?πk x T x 211+=+ (k 为某整数) ?)(2T x x k T x x +++=π?)(2T x x k T +=π
? 0=k ?0=T .
6、设)(x f 为定义在),(l l -内的奇函数,若)(x f 在),0(l 内单调增加,证明)(x f 在)0,(l -内也单调增加.
解：)0,(21l x x -∈
↑)(x f ),0(l ,)()(12x f x f -<-∴,
又)(x f 为奇函数,则
)()()()(2211x f x f x f x f =--<--=,
所以)(x f 在)0,(l -内也单调增加.
7、指出下列函数的复合过程
(1)x y 2cos =；
解：u y cos =,x u 2=.
(2)x e y 1=；
解：u e y =,x
u 1=
.
(3)x e y 3sin =；
解：u e y =,3v u =,x v sin =.
(3))]12arcsin[lg(
+=x y ；
解：u y arcsin =,v u lg =,12+=x v .
4、(1)设12cos )(sin +=x x f ,求)(cos x f . 解：由于2sin 222
2cos 12)(sin 2+-=+-?-=x x x f , 可见22)(2+-=t t f ,所以x x x f 22sin 22cos 2)(cos =+-=.
解2：令x t sin =,则221)sin 21(12cos )(22+-=+-=+=t x x t f ,
所以x x x f 22sin 22cos 2)(cos =+-=.
(2)设221)1(x
x x x f +
=+,求)(x f . 解：由于2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f , 可见2)(2-=t t f , 所以2)(2-=x x f .
解2：令x x t 1+=,则22)1(1)(2222-=-+=+=t x
x x x t f , 所以2)(2-=x x f .
5、已知x x x f -=3)(,x x 2sin )(=?,求)]([x f ?,)]([x f ?.
解：x x x f x f 2sin 2sin )2(sin )]([3-==?,
)(2sin ][)]([33x x x x x f -=-=??.
习题1-4
2、下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？
(1) x x e y 2sin 2+-=;
解：此函数显然是初等函数.
(2) )cos 2
12ln(x x y -+=;
解：此函数显然是初等函数.
(3) ???<≥-=.
0 ,3,0 ,1x x y 解：此函数不是初等函数.
(简单的判断:因为函数不连续,由后面知识知函数不是初等函数)
(4) ???<<+-≤≤-+=.
10 ,12,01 ,1x x x x y 图形> plot([x+1,-2*x+1],x=-1..1);
解：令1+=x u ,12+-=x v ,11≤≤-x ，有
2
||},min{v u v u v u y --+== 2
)]12()1[()12()1(2
+--+-+-++=x x x x 2
)3(22
x x --=, 11≤≤-x ，故此函数是初等函数.
3、函数???>≤-=.1
,,1 ,2x x x x y 能用一个解析式表示吗？为什么？ 图形> plot([2-x,x],x=-1..3);
解：令x u -=2,x v =,有
2
||},max{v u v u v u y -++== 2])2[()2(2x x x x --++-=1)1(2
)22(222
+-=-+=x x , 故此函数能用一个解析式表示,当然是初等函数.
4、由x
y 2=的图形作下列函数的图形
(1) x y 23?=; 图形> plot([3*2^x,2^x],x=-2..2);
(2) 42+=x y ; 图形> plot([2^x+4,2^x],x=-2..2);
(3) x y 2-=; 图形> plot([-2^x,2^x],x=-2..2);
(4) x y -=2. 图形> plot([2^(-x),2^x],x=-2..2);
5、由x y lg =的图形作下列函数的图形
(1) x y lg 3=;
图形> plot([3*ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-2.5..2);
(2) 2lg x y =;
图形> plot([2*ln(abs(x))/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=-2..2,-2.5..2); (3) x y lg =; 图形> plot([1/2*ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-1..1); (4) x
y 1lg =. 图形> plot([-ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-1..1);
6、由x y sin =的图形作下列函数的图形
(1) x y 2sin =; 图形> plot([sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);
(2) x y 2sin 2=; 图形> plot([2*sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);
(3) x y 2sin 21-=; 图形> plot([1-2*sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);
习题1-5
1、某运输公司规定货物的吨公里运输价为:在a 公里以内,每公里k 元;超过a 公里,超过部分每公里k 5
4元.求运价m 和里程s 之间的函数关系. 解：??
???>-+≤≤=. ),(54,0 ,a s a s k ka a s ks m
2、拟建一个容积为v 的长方体水池,设它的底为正方形,如果池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍,试将总造价表示成底边长的函数,并确定此函数的定义域. 解：依题意,设底边长为x ,四周单位面积造价为a ,则水池高为
2
x v , 那么总造价为 )2(242222x
v x a x v x a ax y +=?
??+=, ),0(+∞∈x .
3、设一矩形面积为A ,试将周长s 表示为宽x 的函数,并求其定义域.
解：依题意,矩形的长为
x A ,于是周长s 为 )(2x
A x s +=, ),0(+∞∈x .
4、在半径为r 的球内嵌入一圆柱,试将圆柱的体积表示为其高的函数,并确定此函数的定义域.
解：依题意,设圆柱的高为h ,圆柱的半径为2
2)2(h
r -,那么圆柱的体积为 )4()2(2
2222h r h h h r y -=?????
?-=ππ, )2,0(r h ∈.
5、用铁皮做一个容积为v 的圆柱形罐头筒,试将它的全面积表示成底半径的函数,并确定此函数的定义域.
解：依题意,设底半径为r ,则圆柱形底面积为2r π,高为2r
v π,那么全面积为 )(222222r
v r r v r r S +=?+=ππππ, ),0(+∞∈r .
6、按照银行规定,某种外币一年期存款的年利率为%2.4,半年期存款的年利率为%0.4,每笔存款到期后,银行自动将其转为同样期限的存款,设将总数为A 单位货币的该种外币存入银行,两年后取出,问存何种期限的存款能有较多的收益？多多少？
解：依题意,半年期存款两年后本利和为4
1%)0.45.01(?+=A A ,
一年期存款两年后本利和为22%)2.41(+=A A ,由于 A A A A A 00333184.0%)0.45.01(%)2.41(4212=?+-+=-.
所以, 一年期存款有较多的收益,多A 00333184.0.
7、某工厂生产某种产品,年产量为x ,每台售价250元,当年产量600台以内时,可以全部售出, 当年产量超过600台时,经广告宣传又可再多售出200台,每台平均广告费20元,生产再多,本年就售不出去了,建立本年的销售总收入R 与年产量x 的函数关系.
解：(1)当6000≤≤x 时, x R 250=；
(2)当800600≤ (3)当800>x 时,19600012000800230=+?=R . 所以?? ???>≤<+≤≤=.800 ,196000,800600 ,12000 230,6000 ,250x x x x x R 习题1-6 1、某厂生产录音机的成本为每台50元,预计当以每台x 元的价格卖出时,消费者每月购买x -200台,请将该厂的月利润表达为价格x 的函数. 解：依题意,月收入为)200(x x R -=,成本为)200(50x C -=,则月利润为 )50)(200()200(50)200(--=---=-=x x x x x C R L . 2、当某商品价格为P 时,消费者对该商品的月需求量为P P D 20012000)(-=. (1)画出需求函数图形； (2)将月销售额(即消费者购买此商品的支出)表达为价格的函数； (3)销售额的图形,并解释其经济意义. 解：(1) 图形> plot(12000-200*p,p=0..61); (2)月销售额220012000)()(P P P D P P R -=?=. (3) 图形> plot(12000*p-200*p^2,p=0..61); 由于180000 )30(20020012000)(22+--=-=P P P P R ,于是 ①当商品价格不超过30时,月销售额随价格上涨而增加； ②当商品价格达到30时,月销售额随价格达到最大180000； ③当商品价格超过30时,月销售额随价格上涨而减少； ④当商品价格达到60时,因无需求量而使得月销售额0. 3、报纸的发行量以一定的速度增加,三个月前发行量为32000份,现在为44000份. (1)写出发行量依赖于时间的函数关系,并画出图形； (2)2个月后的发行量是多少？ 解：(1)依题意,报纸的发行量每月增加40003 3200044000=-份,若以现在为时间起点,用x 表示报纸发行的月份数,那么发行量为 440004000+=x y . 图形> plot(4000*x+44000,x=0..2); (2)2个月后的发行量是520004400024000=+?=y 份. 4、某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元,固定成本为7500元,可变成本为每台60元. (1) 要卖多少台手掌机,厂家才可保本(收回投资)？ (2) 卖掉100台的话,厂家赢利或亏损了多少？ (3) 要获得1250元利润,需要卖多少台？ 解：依题意,设手掌机卖掉x 台,则厂家赢利为 750050)607500(110-=+-=-=x x x C R L . (1)令0750050=-=x L ,有150=x ,即要卖150台手掌机,厂家才可保本. (2)因2500750010050-=-?=L ,可见卖掉100台的话,厂家亏损2500元. (1)令1250750050=-=x L ,有175=x ,即要获得1200元利润,需要卖175台. 5、有两家健身俱乐部,第一家每月会费300元,每次健身收费1元, 第二家每月会费200元,每次健身收费2元,若只考虑经济因素,你会选择哪一家俱乐部(根据年每月健身次数决定)？ 解：依题意,设每月健身次数为x 次,则第一家与第二家消费费用差额为 x x x y -=+-+=100)2200()300(. 所以,当每月健身次数小于100次时,0>y ,说明第一家比第二家消费费用要高,当然选择第二家,否则应选择第一家. 6、设某商品的需求函数与供给函数分别为P P D 5600)(=和10)(-=P P S . (1)找出均衡价格,并求此时的供给量与需求量； (2)在同一坐标中画出供给与需求曲线； (3)何时供给曲线过P 轴,这一点的经济意义是什么？ 解：(1)令)()(P S P D =,即105600-=P P ,得均衡价格80=P . 此时的供给量7080 5600)80(==D ,需求量701080)80(=-=S . (2) 图形> plot([5600/p,p-10],p=8..100); (3)令010)(=-=P P S ,得10=P ,说明只有当商品的价格超过10时,才有厂家愿意生产并提供该商品出售. 7、某化肥厂生产某产品1000吨,每吨定价为130元,销售量在700吨以内时,按原价出售,超过700吨时超过的部分需打9折出售,请将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出. 解：设总销售量为Q 吨, 销售总收益为R 元,依题意有 (1)当7000≤≤Q 时, Q R 130=； (2)当1000700≤ 9100117)700(%90130700130+=-??+?=Q Q R . 所以? ??≤<+≤≤=.1000700 ,9100117,7000 ,130Q Q Q Q R 8、某饭店现有高级客房60套,目前租金每天每套200元则基本客满,若提高租金,预计每套租金每提高10元均有一套房间空出来,试问租金定为多少时,饭店房租收入最大？收入多少元？这时饭店将空出多少套高级客房？ 解：依题意,设每套租金提高n 10元,59,,2,1,0 =n ,饭店房租收入为 1200040010)60)(10200(2++-=-+=n n n n R 16000)20(102+--=n . 可见,当20=n 时, 房租收入达到最大16000=R 元, 此时每套租金为4002010200=?+元, 这时饭店将空出20=n 套高级客房. 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a 1. 已知函数()f x =3231ax x -+, 若()f x 存在唯一的零点0x , 且0x ＞0, 则a 的取值范围为 A ．（2, +∞） B ．（-∞, -2） C ．（1, +∞） D ．（-∞, -1） 2. 如图, 圆O 的半径为1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点, 角x 的始边为射线OA , 终边为射线OP , 过点P 作直线OA 的垂线, 垂足为M , 将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x , 则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 3. 设函数()f x , ()g x 的定义域都为R, 且()f x 是奇函数, ()g x 是偶函数, 则下列结论正确的是 A ．()f x ()g x 是偶函数 B ．|()f x |()g x 是奇函数 C ．()f x |()g x |是奇函数 D ．|()f x ()g x |是奇函数 4. 函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称, 则()y f x =的反函数是 A ．()y g x = B ．()y g x =- C ．()y g x =- D ．()y g x =-- 5. 已知函数f （x ）＝????? －x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0 , 若|f （x ）|≥ax , 则a 的取值范围是 A ．（－∞, 0] B ．（－∞, 1] C ．[－2, 1] D ．[－2, 0] 6. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++, 下列结论中错误的是 A ．0x R ?∈, 0()0f x = B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点, 则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点, 则0'()0f x = 7. 设3log 6a =, 5log 10b =, 7log 14c =, 则 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．a b c >> 8. 若函数()2 11=,2f x x ax a x ?? ++ +∞ ??? 在是增函数，则的取值范围是 A ．[]-1，0 B ．[)+∞-,1 C ．[]0，3 D ．[)+∞,3 9. 函数()()21=log 10f x x x ??+> ??? 的反函数()1 =f x - A ．()1021x x >- B ．()1021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 10. 已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为 A ．()1,1- B ．11,2? ? -- ??? C ．()-1,0 D ．1,12?? ??? 11. 已知函数()()x x x f -+= 1ln 1 , 则y=f （x ）的图像大致为 A ． B ． 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 高考函数习题 1．[2011·沈阳模拟] 集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(1，＋∞) D．R 2．[2011·郑州模拟] 下列说法中，正确的是( ) ①任取x ∈R 都有3x >2x ；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③y ＝(3)－x 是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图像对称于y 轴． A ．①②④ B ．④⑤ 】 C ．②③④ D ．①⑤ 3．[2011·郑州模拟] 函数y ＝xa x |x | (00， 2x ，x ≤0， 则f ? ?? ??f ? ????19＝( ) A ．4 C ．－4 D ．－1 4 6．[2011·郑州模拟] 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知当x ∈(0,1)时， f (x )＝lo g 1 2 (1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( ) A ．是增函数，且f (x )<0 B ．是增函数，且f (x )>0 C ．是减函数，且f (x )<0 D ．是减函数，且f (x )>0 7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)， b ＝f ? ?? ??log 123，c ＝f －，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c 二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z ) 2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1< 指数函数与对数函数高 考题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 指数函数与对数函数（一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设232 555 32 2 555 a b c === （）,（），（） ，则a，b，c的大小关系是 （A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a 【答案】A 【解析】 2 5 y x = 在0 x>时是增函数，所以a c >， 2 () 5 x y= 在0 x>时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx与y= || log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A、B两图，| b a|>1而ax2+ bx=0的两根之和为 - b a,由图知0<- b a<1得-1< b a<0,矛盾，对于C、D两图，0<| b a|<1,在C图中两根之和- b a<-1，即 b a>1矛盾，选D。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且 11 2 a b += ，则m= （A 10（B）10 （C）20 （D）100 【答案】D 解析：选A. 2 11 log2log5log102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,10. m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a=3 log 2,b=In2,c= 1 2 5-,则 A. a 《三角函数》大题总结 1.【2015高考新课标2，理17】ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠， ABD ?面积是ADC ?面积的2倍． (Ⅰ) 求 sin sin B C ∠∠； (Ⅱ)若1AD =，DC = BD 和AC 的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2 p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos ) 1.5 m a b -=-( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4 A π =，22b a -=12 2c . （1）求tan C 的值； （2）若ABC ?的面积为7，求b 的值. 5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ?? ? . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ?? == ??? , 求ABC ?面积的最大值. 6.【2015高考天津，理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π??=-- ?? ? ，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34 p p -上的最大值和最小值. 7.【2015高考安徽，理16】在ABC ?中，3,6,4 A A B A C π ===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长. 8.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2 f x x x x π ??=- ? ? ? （1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2, 6 3ππ?? ???? 上的单调性. 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 1. 已知函数()f x =32 31ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 2. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A ．()f x ()g x 是偶函数 B ．|()f x |()g x 是奇函数 C ．()f x |()g x |是奇函数 D ．|()f x ()g x |是奇函数 4. 函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是 A ．()y g x = B ．()y g x =- C ．()y g x =- D ．()y g x =-- 5. 已知函数f （x ）＝????? －x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0 ，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是 A ．（－∞，0] B ．（－∞，1] C ．[－2，1] D ．[－2，0] 6. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是 A ．0x R ?∈，0()0f x = B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 7. 设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >>D ．a b c >> 8. 若函数()2 11=,2f x x ax a x ?? ++ +∞ ??? 在是增函数，则的取值范围是 A ．[]-1，0 B ．[)+∞-,1 C ．[]0，3 D ．[)+∞,3 9. 函数()()21=log 10f x x x ??+> ? ?? 的反函数()1 =f x - A ．()1021x x >- B ．()1021 x x ≠-C ．()21x x R -∈D ．()210x x -> 10. 已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为 A ．()1,1-B ．11,2? ?-- ??? C ．()-1,0 D ．1,12?? ??? 11. 已知函数()()x x x f -+= 1ln 1 ，则y=f （x ）的图像大致为 A ． B ． 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 指数函数与对数函数专项练习 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x ) 的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0)0(f >=?=-?=, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21 x =. (1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >， 2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是【答案】D 三角函数高考题及练习题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 三角函数高考题及练习题（含答案） 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质． 2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)． 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等． 1. 函数y ＝2sin 2? ???x －π 4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”) 函数． 答案：π 奇 解析：y ＝－cos ? ???2x －π 2＝－sin2x. 2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3 解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案． 3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，? ???|φ|<π 2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________． 答案：π4 解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π 2 ，所 以φ＝π4 . 4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间? ???0，π 3上的最大值是2，则ω＝________． 答案：34 解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在? ???0，π 3上单调递增，且在这个区间 上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝3 4 . 题型二 三角函数定义及应用问题 例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π. (1) 若点P 的坐标是??? ?12，3 2，求f(θ)的值； (2) 若点P(x ，y)为平面区域???? ?x ＋y ≥1， x ≤1， y ≤1 上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求 函数f(θ)的最小值和最大值． 解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝ 32，cos θ＝1 2 ，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π 3 ，从而求出 f(θ)＝2)． (2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ? ???θ＋π 6， ∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π 3 ，f (θ)max ＝2. (注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、 第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 指数函数与对数函数 （一）选择题（共15题） 1.（卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中 的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a 高考函数习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考函数习题 1．[2011·沈阳模拟] 集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(1，＋∞) D．R 2．[2011·郑州模拟] 下列说法中，正确的是( ) ①任取x ∈R 都有3x >2x ；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③y ＝(3)－x 是增 函数；④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图像对称于y 轴． A ．①②④ B ．④⑤ C ．②③④ D ．①⑤ 3．[2011·郑州模拟] 函数y ＝ xa x |x | (00， 2x ，x ≤0， 则f ? ????f ? ????19＝( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－1 4 6．[2011·郑州模拟] 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知当x ∈(0,1)时，f (x )＝log 1 2 (1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( ) A ．是增函数，且f (x )<0 B ．是增函数，且f (x )>0 C ．是减函数，且f (x )<0 D ．是减函数，且f (x )>0 7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝ f (lo g 47)，b ＝f ? ?? ?? log 123，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1复变函数试题及答案
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