第九章 多元函数积分学总结
第九章多元函数积分学
（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）
1、三重积分的引入：
三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦）
问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。
2、三重积分的计算：
（1）作图,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。
（2）计算
三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球
面坐标系转换），接下来我们一一归纳之……
投影区域较简单
两个变量的函数，且化成累次积分后容易计算出积分的值。
σ是x一型区域：
若xy
()z y x f ,,仅是
z 的表达式或是常数()()dxdy z g dz dv z g D d
c
=???
Oxy平面上的投影区域是圆域或圆域的一部分（或被积函数中含有面坐标系下的计算。（另外两个坐标平面同样适用）
在柱面坐标系下，一般总是先积z，后积
若立体V是由以原点为心的球面围成的立体或是由以原点为球心的球面与以原点为顶点的维面围成的主x+）。此时用球面坐标系下的计算。
体，（或被积函数中含有2y
最后积θ，而且在大多数情况下，ρ
因子哦。
3、 第一类曲线积分概念的引入：
第一类曲线积分是一直曲线的线密度函数，来求解曲线的质量，当线密度函数恒为常数1时，积分的结果就是我们在微积分一当中遇到过的解曲线弧长的问题。关建是把曲线Γ表示成参数方程，并且找出参数的区间
[]βα,即可化成t 的一元函数定积分。
总结看来共有五种类型：设平面第一类曲线积分为
()?Γ
ds y x f ,
（1）若()().,
,
:βα≤≤??
?==Γt t y y t x x 则()()()()()().,,,22??'+'=Γβα
dt t y t x t y t x f ds y x f
（2）若(),,:
b x a x y ≤≤=Γ?则()()()()??'+=Γ
b
a
dx x x x f ds y x f .1,,2??
（3）若(),,:d y c y x ≤≤=Γψ则()()()()?
?'+=Γ
d c
dy y y y f ds y x f .1,,2ψψ
（4）若(),,:βθαθ≤≤=Γr r
即()().,sin ,cos βθαθθθθ≤≤==r y r x 则
()()()()()()??
'+=Γ
β
α
θθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f
(5)另外也可以表示为r 的函数，但是这种方法不常用 以上各种转化的目标是将积分最终转化为 一元函数的定积分，小心公示运用过程中的平方和开放
4、第一类曲面积分的引入：
第一类曲面积分是已知曲面的面密度函数，来求曲面的的质量
()()().1,,,,,2
2????
'+'+==xy
d z z y x z y x f Q dS z y x f y x S
σσ
若曲面()()xy z x z x y y S σ∈=,,,:，则
()()()??
????
?
????+??? ????+=zx
d z y x y z z x y x f dS z y x f S
σσ.1,,,,,2
2
若曲面()(),,,,:yz z y z y x x S σ∈=则
()()()??
????
?
????+???? ????+=yz
d z x y x z y z y x f dS z y x f S
σσ.1,,,,,2
2
这里的各种转化实质上是将将积分转化为二重积分，所以在选择变量的时候要注意好究竟在哪一个坐标平面上的积分更好积一些 两个第一类积分都是的被积函数往往都是可以化简的
5.点函数积分的基本性质
设
()()P g P f ,在有界闭区域Ω上都可积，有
性质1 ()()[]()().???Ω
Ω
Ω
Ω±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f
性质2
()()??Ω
Ω
Ω=Ωd P f k d P kf （k 为常数）
。
上面两条性质称为线性运算法则。 性质3 ()()()???ΩΩΩ
Ω+Ω=Ω2
1
d P f d P f d P f ，其中Ω=Ω?Ω
21
，且1Ω与2Ω无公共内
点。
性质4 若()Ω∈≥P P f ,0，则().0?Ω
≥Ωd P f
若
()()0,0≠≥P f P f ，且()P f 连续，Ω∈P ，则().0?Ω
>Ωd P f
性质5 若()()P g P f ≤，Ω∈P ，则()().??Ω
Ω
Ω≤Ωd P g d P f
若
()()()()P g P f P g P f ≠≤,，且()()P g P f ,连续，Ω∈P ，则()().??Ω
Ω
Ω<Ωd P g d P f
性质6
()().??Ω
Ω
Ω≤Ωd P f d P f
性质7 若
()P f 在积分区域Ω上的最大值为M ，最小值为m ，则().Ω≤Ω≤Ω?Ω
M d P f m
性质8（中值定理） 若
()P f 在有界闭区域Ω
上连续，则至少有一点
Ω
∈*P ，使得
()()
.Ω=Ω*Ω
?
P f d P f ()()Ω
Ω
=?Ω
*d P f P f 称为函数
()P f 在Ω上的平均值。
（对于中值定理的理解就是求平均值的过程，在连续函数范围内必有一个函数的函数值可取到平均值）
6.对称区域上点函数的积分 （1）设3R ?
Ω，Ω或曲线或曲面或立体。
（i ）若21Ω+Ω=Ω，且21,ΩΩ关于Oxy 平面对称，则
()()()()()()???
??=-Ω-=-=Ω??
ΩΩ
.,,,,,,2,,,,,,,
01
是偶函数关于即当是奇函数关于即当z f z y x f z y x f d P f z f z y x f z y x f d P f
（ii ）若43Ω+Ω=Ω，且43,ΩΩ关于Oyz 平面对称，则
()()()()()()???
??=-Ω-=-=Ω??
ΩΩ
.,,,,,,2,,,,,,,
03
是偶函数关于即当是奇函数关于即当x f z y x f z y x f d P f x f z y x f z y x f d P f
（iii ）若65Ω+Ω=Ω，且65,ΩΩ关于Ozx 平面对称，则
()()()()()()???
??=-Ω-=-=Ω??
ΩΩ
.,,,,,,2,,,,,,,
05
是偶函数关于即当是奇函数关于即当y f z y x f z y x f d P f y f z y x f z y x f d P f
简单地说，若3R ?
Ω关于坐标平面对称，当()P f 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0；
是偶函数时，为平面一侧区域积分的2倍。
若2R ?
Ω关于坐标轴对称，当()P f 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0；是偶函数时，则为该轴
一侧区域积分的2倍。
同理可得，若
3R ?Ω关于z
轴对称，当
()()z y x f z y x f ,,,,-=--时，积分为
0；当
()()z y x f z y x f ,,,,=--时，积分为
z 轴一侧区域上积分的2倍。若Ω关于原点对称，当
()()z y x f z y x f ,,,,-=---时，积分为
0；当
()()z y x f z y x f ,,,,=---时，积分为原点一侧区
域上积分的2倍
6.应用（求重心（质心、形心），求转动惯量，求引力）
重心公式
设密度函数为()()z y x P ,,μμρ
==连续，求空间形体3R ?Ω的重心坐标（Ω是曲线、曲面
或空间立体），设Ω的重心坐标为
().,,z y x
()()()(),lim
1
1
M
xd P d P xd P P x
P x n i i
i n
i i
i
i
???∑∑Ω
Ω
Ω
==→Ω
=
Ω
Ω=
?Ω?Ω=μμμμμλ
同理 ()(),,M
zd P z M
yd P y ??Ω
Ω
Ω
=
Ω
=
μμ ()z y x ,,是Ω的重心。
特别=ρ常数时，.,,Ω
Ω
=
Ω
Ω
=
Ω
Ω
=
???Ω
Ω
Ω
zd z yd y xd x 其中M 是Ω的质量，Ω是Ω的大小。
当=ρ
常数时，Ω关于Oxy 平面对称知，z 关于z 是奇函数，有0=Ω?
Ω
zd ，则.0=z 同理，当=ρ常数时，Ω关于Ozx 平面对称，则
.0=y 当=ρ常数时，Ω关于Ozy 平面对称，则.0=x
同理，当2R ?
Ω（Ω是曲线或平面区域），设密度函数()()y x P ,μμρ==连续，设重心坐标
为
(),,y x 有 ()().,M
yd P y M
xd P x ??Ω
Ω
Ω
=
Ω
=μμ当=ρ常数时， .,Ω
Ω
=
Ω
Ω
=
??Ω
Ω
yd y xd x
=ρ常数，Ω关于x 轴对称，有,0=y Ω关于y 轴对称，有.0=x
转动惯量（转动惯量的定义是质量乘以到转轴距离的平方，具有可加性）
若3
R ?Ω（Ω是空间曲线或曲面或立体），
若2R ?Ω（Ω是平面曲线或平面区域），
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时，
不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
用MATLAB算多元函数积分
用MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的，因此只要能正确的得出各累次积分的积分限，便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域，当其形状较复杂时，要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难，此时，可以借助MATLAB 的三维绘图命令，先在屏幕上绘出Ω的三维立体图，然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转，并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影： view(0,0),向XOZ 平面投影； view(90,0),向YOZ 平面投影； view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法，一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例11.6.1计算zdv Ω ???，其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域 解 首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形，画圆锥曲面的命令可以是： syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前，为保持先画的图形不会被清除，需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内： [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图:
由该图很容易将原三重积分化成累次积分： 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分： clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分，其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分，因此可完全类似的使用int 命令进行计算，并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简： factor （ans ） ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
第八章多元函数微分学自测题答案
《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学 一． 填空题 1.3ln 3xy y ； 2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3 131 +； 二． 选择题 2.D ； 4.D ； 三.解答题 1.解 2 2 222222222211 )221(1y x y x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++= +++=??. 2. 解 22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2 22 2111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 2 22 2 22222222) ()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-=???=???. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''-- =--=-=??z x z x F F x z z x . 5. 解 '22'1f x y yf x z -=??, )1(1)1(''22' '212'22''12''11'12f x xf x y f x f x xf y f y x z +--++=???
=''223 ' '11'22'11f x y xyf f x f -+- . 6. 解 令?????=+-==-+=,063, 09632 '2 'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66' '+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy , 在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值; 在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 8. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy V z = ,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令 ??? ????=-==-=,02,022' 2' y V x S x V y S y x 得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3 33 04 22V V V V z =?=.
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有
向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k ?1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即?k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫ f (z )dz c =lim δ 0 ∑ f (?k )n k ?1 ?z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c ?.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 （1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则 ∑2= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理 解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈o I 时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点 致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时， ()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的
多元函数微分学总结
`第八章多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于 这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24 (,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++，
最新多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
2多元函数积分学.docx
2.多元函数积分学 K考试内容》（数学一） 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》（数学一） 1 ?理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3?理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念，并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 K考试要求』（数学二） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 K考试要求》（数学三） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》（数学四） 同数学三
2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）极坐标法（r型简单区 域；&型简单区域）一般变换法 几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域 投影法（先定积分后二重积分） 截面法（先二重积分后定积分）柱坐标法；球坐标法；一般变换法 儿何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分 第一类曲线积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：参数化法 儿何应用：弧长 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法 曲线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）； 全微分的原函数；场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）；斯托克 斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
多元函数积分学37931
第八章.多元函数积分学 在不同的问题当中，可以对多元函数的积分进行不同的定义，因此，我们需要在不同的问题背景当中来定义不同的积分概念。 二重积分。 二重积分实际上就是对二元函数求定积分，在实际问题当中，需要对二元函数进行求和计算，或者直观地说，涉及到体积的计算与具有在二维区域上的分布的物理量的计算，就需要运用二重积分的概念来进行。 因此我们对二重积分的定义，与对单变量函数的定积分的定义是完全类似的，只是这里的积分区域不是一维的，而是二维平面上的区域。这样通过把积分区域任意划分成只有公共边界的子区域，然后在每一个子区域当中任意取一点，取这点的函数值与该子区域的面积之积，再把所有的这样的乘积加起来，得到一个和式，接下来，就是我们已经很熟悉的极限过程，即使得所有子区域当中面积最大者的面积趋向于0，也就是使得子区域的数目趋向于无穷大，看和式是否存在极限，以及可能的话，这个极限是多少。这就是关于二重积分的可积性问题与二重积分的计算问题。 关于可积性的问题有下面一个简单的定理： 如果函数在一个有界闭区域上有定义并且连续，则这个函数必定在这个区域上可积。 从上面的二重积分概念的说明，可以得到与单变量函数的定积分相类似的几何说明，即被积函数所描述的曲面与其在自变量平面上的积分区域上的投影之间所夹的空间的体积。基于这样的理解，可以很容易得到如下的二重积分的性质。 （1）??+??=??+D D D gdx j fdx i dx jg if )(， 其中i ，j 为任意常数。这是二重积分的线性性质； （2），??+??=??D D fdx fdx fdx D 21 其中D D D =?21。 （3）如果在区域D 上有 ),(),(y x g y x f ≤， 则有 ??≤??D D gdx fdx ； 而对于D 上的可积函数f ，存在任意上界M 和任意下界m ，则有 MD fdx mD D ≤??≤ 其中D 为区域D 的面积。 （4）设函数f 为有界连通闭区域D 上的连续函数，则一定在这个区域上存在一点（a ，b ），使得 D b a f fdx D ),(=??； 这个性质还可以推广到比较一般的形式： 设函数g 为D 上的非负值连续函数，f 在D 上可积，则存在一个介于f 在D 上的上界
第八章多元函数微分法及其应用
第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、区域 1.邻域 设P o（x°,y。）是xoy平面上的一个点，是某一正数。与点P o（X o，y°）距离小于：的 点p（x,y）的全体，称为点p的「?邻域，记为U（P0,、），即 U（P°,、）= ｛P PPo < ｝， 也就是 U （P o,、）= ｛（X, y）丨..（X -X。）2（y - y o）2、｝。 在几何上，U（P o「J就是xoy平面上以点p o（x o,y。）为中心、：-0为半径的圆内部 的点P（x,y）的全体。 2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U（P） E， 则称P为E的内点。显然，E的内点属于E。 如果E的点都是内点，则称E为开集。例如，集合E, =｛（x, y）1 vx2+ y2￡4｝中每个点都是E,的内点，因此E,为开集。 如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E ），则称P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中，E ,的边界是圆周x2 y2 = 1和x2 y2=4o
设D是点集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于 D，则称点集D是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，｛(x, y) x + y a 0｝及｛( x, y)d
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = x ? iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 2.复数的表示 1）模：z =y/x2+y2； 2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。 3）arg z与arctan y之间的关系如下： x y 当x 0, argz=arctan工； x [ y y - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, x y y :: 0,arg z = arctan 「愿 L x 4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号 5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。 （二）复数的运算 仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y2 2.乘除法: 1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则 ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ； 乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy ?- 丫2为 -- = --------- = ----------------------- = -------------- T i -------------- Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f 2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则 3.乘幂与方根e i "'2 ； 土評匀） Z2 Z2
1）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。 2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U 阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿 （三）复变函数 1?复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2?复初等函数 1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。 注：e z是以2二i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数：Lnz=lnz i（argz 2^：）（k=0, _1,_2[|[）（多值函数）； 主值：In z = ln z +iargz。（单值函数） * 1 Lnz的每一个主值分支In z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且Inz z 注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：a b= e bLna（a = 0）；z b= e bLnz（z = 0） 注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且z b二bz b‘。 iz -iz iz -iz e -e e e sin z cosz 4）三角函数：sin z ,cos z ,t gz , ctgz = 2i 2 cosz si nz sin z,cos z 在z 平面内解析，且sin z 二cosz, cosz =—si nz 注：有界性sin z兰1, cosz兰1不再成立；（与实函数不同） z -z z - z e -e e +e 4）双曲函数shz ,chz二 2 2 shz奇函数，chz是偶函数。shz, chz在z平面内解析，且shz 二chz, chz = shz。 （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数
多元函数微分学及其应用
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
复变函数积分方法总结定稿版
复变函数积分方法总结精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ θ称为主值-π＜θ≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有
向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点k 并作和式S n =∑f ( k )n k ?1(z k -z k-1)= ∑f ( k )n k ?1z k 记z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k ≤n {S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫ f (z )dz c =lim δ 0 ∑ f ( k )n k ?1 z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c ?.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 （1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (k )n k ?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 有可设k =z k ，则 ∑2= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
多元函数微分学总结
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。