生成函数(母函数)
C语言中产生随机数的方法
C语言中产生随机数的方法 引例：产生10个[100-200]区间内的随机整数。 #include
特征函数
特征函数 (概率论) 维基百科，自由的百科全书 跳转到：导航, 搜索 在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量： ， 其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。 用矩母函数M X（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X 在虚数轴上求得的矩母函数。 与矩母函数不同，特征函数总是存在。 如果F X是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出： 。 在概率密度函数f X存在的情况下，该公式就变为： 。 如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。 R或R n上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足f X(x) = f X(-x)）是实数，因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。
目录 [隐藏] ? 1 性质 ? 2 连续性 o 2.1 反演定理 o 2.2 博赫纳-辛钦定理/公理化定义 o 2.3 计算性质 ? 3 特征函数的应用 o 3.1 矩 o 3.2 一个例子 ? 4 多元特征函数 o 4.1 例子 ? 5 矩阵值随机变量 ? 6 相关概念 ?7 参考文献 [编辑]性质 [编辑]连续性 主条目：勒维连续定理 勒维连续定理说明，假设为一个随机变量序列，其中每一个都有特征函数，那么它依分布收敛于某个随机变量： 当 如果 当 且在处连续，是的特征函数。 勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。
MATLAB随机数生成
2009年03月20日星期五 03:25 P.M. rand(n):生成0到1之间的n阶随机数方阵 rand(m,n):生成0到1之间的m×n 的随机数矩阵 (现成的函数) 另外: Matlab随机数生成函数 betarnd 贝塔分布的随机数生成器 binornd 二项分布的随机数生成器 chi2rnd 卡方分布的随机数生成器 exprnd 指数分布的随机数生成器 frnd f分布的随机数生成器 gamrnd 伽玛分布的随机数生成器 geornd 几何分布的随机数生成器 hygernd 超几何分布的随机数生成器 lognrnd 对数正态分布的随机数生成器 nbinrnd 负二项分布的随机数生成器 ncfrnd 非中心f分布的随机数生成器 nctrnd 非中心t分布的随机数生成器 ncx2rnd 非中心卡方分布的随机数生成器 normrnd 正态（高斯）分布的随机数生成器 poissrnd 泊松分布的随机数生成器 raylrnd 瑞利分布的随机数生成器 trnd 学生氏t分布的随机数生成器 unidrnd 离散均匀分布的随机数生成器 unifrnd 连续均匀分布的随机数生成器 weibrnd 威布尔分布的随机数生成器 (From:https://www.wendangku.net/doc/da16611447.html,/question/30033707.html) matlab生成随机数据 matlab本身提供很多的函数来生成各种各样的随机数据： normrnd 可以生成一定均值和标准差的正态分布 gamrnd 可以生成gamma分布的伪随机数矩阵 chi2rnd 可以生成卡方分布的伪随机数矩阵 trnd 可以生成t分布的伪随机数矩阵 frnd 可以生成f分布的伪随机数矩阵 raylrnd 可以生成rayleigh分布的伪随机数矩阵
概率论上的母函数
概率论上的母函数（genera t ing fucnc t ion ）定义： 若随机变量ξ取非负整数值，且相应的分布列为： （ 0，1，2） （ p 0，p 1，p 2 ） 则p k *s k （k 从0到无穷）的和为s 的函数，此函数称为的母函数。 特征函数 (概率论) 在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X 是任何具有该分布的随机变量： ()()itX X t E e ?= 其中t 是一个实数，i 是虚数单位，E 表示期望值。 用矩母函数M X (t )来表示（如果它存在），特征函数就是iX 的矩母函数，或X 在虚数轴上求得的矩母函数。 ()()()X iX X t M t M it ?== 与矩母函数不同，特征函数总是存在。 如果F X 是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出： ()()itX itx X E e e dF x ∞ -∞ =? 在概率密度函数f X 存在的情况下，该公式就变为： ()()itX itx X E e e f x dx ∞ -∞ =? 如果X 是一个向量值随机变量，我们便取自变量t 为向量，tX 为数量积。 R 或R n 上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行 积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足f X (x ) = f X (-x )）是实数，因为从x >0所获得的虚数部分与从x <0所获得的相互抵消。 性質 连续性
勒维连续定理 勒维连续定理说明，假设1()1n n X ∞ ==为一个随机变量序列，其中每一个X n 都有特征函数?n ，那么 它依分布收敛于某个随机变量X ： D n X X ??→当 n →∞ 如果 pointwise n ??????→ 当 n →∞ 且? (t )在t =0处连续，?是X 的特征函数。 莱维连续定理可以用来证明弱大数定律。 反演定理 在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特 征函数。 给定一个特征函数?，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F ： 1 ()()()lim 2itx ity X X X e e E y E x t dt it τ τ τ?π --+- →+∞--=? 一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说， 它的绝对值的积分可能是无穷大。[1] 博赫纳-辛钦定理/公理化定義 博赫纳定理 任意一个函数?是对应于某个概率律μ的特征函数，当且仅当满足以下三个条件： 1. ? (t )是连续的； 2. ? (0)=1； 3. ? (t )是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与? (t )>0不等价）。 計算性质 特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X 1、X 2、……、X n 是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且 1 n n i i i S a X ==∑
C语言生成随机函数
程序有一个参数，表示生成的密码的长度 运行的时候要加上，比如./password 8 我写的很简单，参数没做检查，你应该自己去完善一下。 #include
勒让德函数母函数及其在静电场中的应用
勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用 指导教师：娄宁 二000级物理（1）班：洪世松
勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用 一. 勒让德多项式的母函数引入的必要性及引入方法 1. 勒让德多项式的母函数引入的必要性 ⑴.勒让德多项式的由来 通过《高等代数》和《数学物理方法》课程的学习，我们知道勒让德多项式是在球坐标系下、满足边界条件()πθ,01=±=x 时求解拉普拉斯方程02=ψ?时的解，在求解的过程中，根据对称性的不同，我们将所要研究的问题分三种情况进行考虑： 其一是所研究的问题不具有对称性。拉普拉斯方程02=?U 在这种情况下的解是缔合勒让德函数，其具体的表示形式为：() []()()θθcos cos 12 /2 m l m l m P P x =-=Θ，其中m ＝0、1、2、3，…，l 。式中当m ＝0时，缔合勒让德多项式就简化为勒让德多项式()θcos l P 。 其二是所研究的问题具有轴对称性。其解的形式为勒让德多项式的形式，即 ()θcos l P ＝() ()()()k l l k l k x k l k l k k l 22 /0 !2!!2!221-=----∑，其中?? ????2l 表示的是不超过2l 的最大整数，即： ? ? ???2l ＝ r 的函数，而与θ无关，其解是勒让德多项式的最简形式，此时方程的解就可以直接写为：∑∞ =+??? ? ?+=ψ01 l l l l l r B r A ，其中l =0,1,2,……。 由上面三种情况分析可以看出，随着问题对称性的不同，求解问题的解也有所不同。从无对称性到轴对称性再到球对称性，所研究问题也在逐渐简化，其解也由缔合勒让德函数简化为勒让德函数再简化为1。 ⑵.对所研究问题的对称性的讨论 以静电场为例，我们分析一下勒让德多项式所要求的轴对称性和根据坐标系的选择而确定的变量（r,θ） ()θ,r E
随机数生成函数C
随机数生成函数srand() rand() 2007年12月11日星期二01:42 如果srand每次输入的数值是一样的，那么每次运行产生的随机数也是一样的，srand（n） for（10） rand（） 也就是说，以一个固定的数值作为种子是一个缺点。通常的做法是以这样一句代码srand((unsigned) time(NULL));来取代，这样将使得种子为一个不固定的数，这样产生的随机数就不会每次执行都一样了。 1,先看一个例子 ＃include
随机数生成原理 实现方法 不同编程语言的随机数函数
1-0：Microsoft VC++产生随机数的原理： Srand ( )和Rand( )函数。它本质上是利用线性同余法，y=ax+b(mod m)。其中a，b，m都是常数。因此rand的产生决定于x，x被称为Seed。Seed需要程序中设定，一般情况下取系统时间作为种子。它产生的随机数之间的相关性很小，取值范围是0—32767（int），即双字节（16位数），若用unsigned int 双字节是65535，四字节是4294967295，一般可以满足要求。 1-1：线性同余法： 其中M是模数，A是乘数，C是增量，为初始值，当C=0时，称此算法为乘同余法；若C ≠0，则称算法为混合同余法，当C取不为零的适当数值时，有一些优点，但优点并不突出，故常取C=0。模M大小是发生器周期长短的主要标志，常见有M为素数，取A为M的原根，则周期T=M-1。例如： a=1220703125 a=32719 （程序中用此组数） a=16807 代码： void main( ) { const int n=100; double a=32719,m=1,f[n+1],g[n],seed; m=pow(2,31); cout<<"设置m值为"< 结题报告 矩母函数与拉普拉斯变换 一 实验原理 1.拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是分析连续时间信号的重要手段。对于当t ∞时信号的幅值不衰减的时间信号，即在f(t)不满足绝对可积的条件时，其傅里叶变换可能不存在，但此时可以用拉氏变换法来分析它们。连续时间信号f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)的定义为： 0()()st F s f t e dt ∞ -=? 拉氏反变换的定义为： 1()()2j st j f t F s e ds j σωσωπ+-=? 显然，上式中F(s)是复变量s 的复变函数，为了便于理解和分析F(s)随s 的变化规律，我们将F(s)写成模及相位的形式：()()()j s F s F s e ?=。其中，|F(s)|为复信号F(s)的模，而()s ?为F(s)的相位。由于复变量s=σ+jω，如果以σ为横坐标（实轴），jω为纵坐标（虚轴），这样，复变量s 就成为一个复平面，我们称之为s 平面。从三维几何空间的角度来看，|()|F s 和()s ?分别对应着复平面上的两个曲面，如果绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉氏变换F(s)随复变量s 的变化情况 2.矩母函数 一个与随机变量X 相关的矩母函数是一个参数s 的函数MX(s)，定义如下： MX(s)=E[exp(sX)] 更具体地，当X 是一个离散型随机变量时，相关矩母函数为 M(s)=+exp(sx)pX(x) 当X 是连续型时，有 M(s)=+exp(sx)fX(x)dx 不难发现，概率密度函数的矩母函数与概率密度函数的拉普拉斯变换是基本相同的，只是拉普拉斯变换使用exp(-sx)而非exp(sx)。 考虑一个连续型随机变量X ，根据定义 M(s)=+exp(sx)fX(x)dx 在M(s)定义式两边取s 的导数d/ds M(s) = d/ds + exp(sx)fX(x)dx=+d/ds exp(sx)fX(x)dx = +xexp(sx)fX(x)dx 上述等式对s 任何取值都成立。考虑s=0时的特殊情况，有 d/ds M(s)|s=0 = +xfX(x)dx = E[X] 更广泛地，如果我们对M(s)取n 次s 的导数，通过类似的计算有 dn/dsn M(s)|s=0 = +xnfX(x)dx = E[Xn] 同时，我们也知道矩母函数具有可逆性：假定随机变量X 的矩母函数MX(s)满足：存在一个正数a ，对在区间[-a,a]中的任意s ，MX(s)都是有限的，则矩母函数MX(s)唯一地决定X 的分布函数。（证明略去） Excel的随机数函数 1、生成随机数字(1)生成随机数比较简单，=rand()即可生成0-1之间的随机数；(2)如果要是整数，就用=int(rand())*10，表示0至9的整数，以此类推；(3)如果要生成a与b 之间的随机实数，就用=rand()*(b-a)+a，如果是要整数就用=int(rand()*(b-a))+a；稍微扩充一下，就能产生固定位数的整数了。注意：如果要使用函数rand()生成一随机数，并且使之不随单元格计算而改变，可以在编辑栏中输入“=rand()”，保持编辑状态，然后按F9，将公式永久性地改为随机数。不过，这样只能一个一个的永久性更改，如果数字比较多，也可以全部选择之后，另外选择一个合适的位置粘贴，粘贴的方法是点击右键，选择“选择性粘贴”，然后选择“数值”，即可将之前复制的随机数公式产生的数值（而不是公式）复制下来！ 2、产生随机字母随机小写字母：=CHAR(INT(RAND()*26)+97) 随机大写字母：=CHAR(I NT(RAND()*26)+65) 随机大小写混合字母：=CHAR(INT(RAND()*26)+if(INT(RAND()*2) =0,65,97)) 3、随机不重复数字序列的生成方法 (1)在A1-A52间填入"=INT(RAND()*52)+1"，产生1-52间的随机数，注意这里是有重复的 (2)在B1-B52间填入1-52 (3)在C54-BB54填入1-52 (4)在C1填入"=IF(ROW()=C$54,I NDEX(B$1:B$52,INDEX($A$1:$A$52,C$54)),IF(ROW()=INDEX($A$1:$A$52,C$54),INDEX (B$1:B$52,C$54),B1))"。分项解释： a:ROW()=C$54，如果当前行等于当前交换所排的序号 b:INDEX(B$1:B$52,INDEX($A$1:$A$52,C$54))，返回在B1到B52中选择A1:A 52中的第C54个值 c:IF(ROW()=INDEX($A$1:$A$52,C$54)，否则的话，如果当前行等于A1:A52中第C54个值，则： d:INDEX(B$1:B$52,C$54)，返回B1:B52中的第C54个值 e:若以上条件都不满足，则返回B1 (5)将C1复制到C1:BA52这个区域里面，在BA1: BA52中，我们就得到了一个不重复的随机序列， excel的生成随机数的函数用法 excel的生成随机数的函数用法： 生成随机数函数使用步骤1：首先介绍一下如何用rand()函数来生成随机数(同时返回多个值时是不重复的)。 如下图所示，在单元格中输入=rand()，回车后单元格即返回了一个随机数字。 生成随机数函数使用步骤2：rand()函数返回的随机数字的范围是大于0小于1。因此，也可以用它做基础来生成给定范围内的随机数字。 生成随机数函数使用步骤3：生成制定范围的随机数方法是这样的，假设给定数字范围最小是a，最大是b，公式是：=a+rand()*(b-a)。 生成随机数函数使用步骤4：举例来说，要生成大于60小于100的随机数字，因为(100-60)*rand()返回结果是0到40之间，加上范围的下限60就返回了60到100之间的数字。 生成随机数函数使用步骤5：上面rand()函数返回的0到1之间的随机小数，如果要生成随机整数的话就需要用randbetween()函数了，如下图该函数生成大于等于1小于等于100的随机整数。 生成随机数函数使用步骤6：这个函数的语法是这样的：=randbetween(范围下限整数，范围上限整数)，结果返回包含上 下限在内的整数。注意：上限和下限也可以不是整数，并且可以是负数。 生成随机数函数使用步骤7：rand()和randbetween()是生成随机数的基础函数，也可以灵活变通。比如说要生成0.01至1之间包含两位小数的随机数，则可用下图的公式实现： 看了excel的生成随机数的函数用法还看了：1.excel用函数产生随机数的方法 2.怎么利用excel2010的自带的函数生成随机数 3.怎样用excel随机生成数字 4.excel怎么生成随机数 5.excel2010生成随机数的方法 6.excel2007怎么使用randbetween随机数函数 7.随机数函数randbetween在excel中的使用 matlab 全部的随机数函数 （一）Matlab内部函数 a.基本随机数 Matlab中有两个最基本生成随机数的函数。 1．rand() 生成（0,1）区间上均匀分布的随机变量。基本语法： rand([M,N,P ...]) 生成排列成M*N*P... 多维向量的随机数。如果只写M，则生成M*M矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。一些例子： rand(5,1) %生成5个随机数排列的列向量，一般用这种格式 rand(5) %生成5行5列的随机数矩阵 rand([5,4]) %生成一个5行4列的随机数矩阵 生成的随机数大致的分布。 x=rand(100000,1); hist(x,30); 由此可以看到生成的随机数很符合均匀分布。(视频教程会略提及hist()函数的作用) 2．randn() 生成服从标准正态分布（均值为0，方差为1）的随机数。基本语法和rand()类似。 randn([M,N,P ...]) 生成排列成M*N*P... 多维向量的随机数。如果只写M，则生成M*M矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。一些例子： randn(5,1) %生成5个随机数排列的列向量，一般用这种格式 randn(5) %生成5行5列的随机数矩阵 randn([5,4]) %生成一个5行4列的随机数矩阵 生成的随机数大致的分布。 x=randn(100000,1); hist(x,50); 由图可以看到生成的随机数很符合标准正态分布。 b.连续型分布随机数 如果你安装了统计工具箱（Statistic Toolbox)，除了这两种基本分布外，还可以用Matlab内部函数生成符合下面这些分布的随机数。 3．unifrnd() 和rand()类似，这个函数生成某个区间内均匀分布的随机数。基本语法 unifrnd(a,b,[M,N,P,...]) 生成的随机数区间在(a,b)内，排列成M*N*P... 多维向量。如果只写M，则生成M*M矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。一些例子： 求教:我的电子表格中rand()函数的取值范围是-1到1,如何改回1到0 回答：有两种修改办法： 是[1－rand()]/2， 或[1＋rand()]/2。 效果是一样的，都可生成0到1之间的随机数 电子表格中RAND()函数的取值范围是0到1，公式如下： =RAND() 如果取值范围是1到2，公式如下： =RAND()*(2-1)+1 RAND( ) 注解： 若要生成a 与b 之间的随机实数： =RAND()*(b-a)+a 如果要使用函数RAND 生成一随机数，并且使之不随单元格计算而改变，可以在编辑栏中输入“=RAND()”，保持编辑状态，然后按F9，将公式永久性地改为随机数。 示例 RAND() 介于0 到1 之间的一个随机数（变量） =RAND()*100 大于等于0 但小于100 的一个随机数（变量） excel产生60-70随机数公式 =RAND()*10+60 要取整可以用=int(RAND()*10+60) 我想用excel在B1单元个里创建一个50-80的随机数且这个随机数要大于A1单元个里的数值，请教大家如何编写公式！ 整数：=ROUND(RAND()*(80-MAX(50,A1+1))+MAX(50,A1+1),0) 无需取整数：=RAND()*(80-MAX(50,A1))+MAX(50,A1) 要求: 1,小数保留0.1 2,1000-1100范围 3,不要出现重复 =LEFT(RAND()*100+1000,6) 至于不许重复 你可以设置数据有效性 在数据-有效性设 =countif(a:a,a1)=1 选中a列设有效性就好了 其他列耶可以 急求excel随机生成数字的公式，取值要在38.90-44.03之间，不允许重复出现，保留两位小数，不允许变藏 =round(RAND()*5+38.9,2) 公式下拉 Excel随机数 Excel具有强大的函数功能，使用Excel函数，可以轻松在Excel表格产生一系列随机数。 1、产生一个小于100的两位数的整数，输入公式=ROUNDUP(RAND()*100,0)。 RAND()这是一个随机函数，它的返回值是一个大于0且小于1的随机小数。ROUNDUP 函数是向上舍入数字，公式的意义就是将小数向上舍入到最接近的整数，再扩大100倍。 2、产生一个四位数N到M的随机数，输入公式=INT(RAND()*(M-N+1))+N。 这个公式中，INT函数是将数值向下取整为最接近的整数；因为四位数的随机数就是指从1000到9999之间的任一随机数，所以M为9999，N为1000。RAND()的值是一个大于0且小于1的随机小数，M-N+1是9000，乘以这个数就是将RAND()的值对其放大，用INT 函数取整后，再加上1000就可以得到这个范围内的随机数。[公式=INT(RAND()*(9999-1000+1))+1000] 3、Excel函数RANDBETWEEN是返回位于两个指定数之间的一个随机数。使用这一个函数来完成上面的问题就更为简单了。要使用这个函数，可能出现函数不可用，并返回错误值#NAME?。 选择"工具"菜单，单击"加载宏"，在"可用加载宏"列表中，勾选"分析工具库"，再单击"确定"。接下来系统将会安装并加载，可能会弹出提示需要安装源，也就是office安装盘。放入光盘，点击"确定"，完成安装。 现在可以在单元格输入公式=RANDBETWEEN(1000,9999)。 最后，你可以将公式复制到所有需要产生随机数的单元格，每一次打开工作表，数据都会自动随机更新。在打开的工作表，也可以执行功能键F9，每按下一次，数据就会自动随机更新了。 浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用 申广君 （安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003） [摘 要] 正确认识和理解基本概念是学好概率论的前提和基础。本文浅析了对特征函数、母函数的概念的认识和理解，并举例说明了它们在解决问题中的应用。 ［关键词 特征函数 母函数 应用 ［中图分类号］O174 ［文献标识码］A 概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，用随机变量来描述随机现象，使得概率论从研究定性的事件及其概率扩大为研究定量的随机变量及其分布，从而扩充了研究概率论的数学工具，特别是便于使用经典分析工具，使得概率论真正成为一门数学学科。分布函数是用来完整地描述随机变量分布规律（取值及取值规律）的最基本的方法，特征函数是概率论中的一个重要分析工具，它和分布函数之间存在一一对应的关系，可以使用特征函数来分析研究随机变量，并且可以大大简化有关随机变量的一些计算和证明，然而在研究仅取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便。可是在教学过程中发现，不少学生对特征函数和母函数的概念没有正确认识，甚至出现一些错误的认识和理解，从而导致计算的盲目性。本文主要探讨了对特征函数与母函数的概念的认识和理解，并通过实例介绍了它们的一些应用，以期对学习概率论能起到一定的指导作用。 一、特征函数 （一）特征函数的定义及性质 设X 是一个实值随机变量，其分布函数为)(x F ，则称itX e 的数学期望itX Ee 为随机变 量X 或其分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ?，即)()(x dF e Ee t itX itX X ?+∞∞ -==?，其 中1-=i ， R t ∈。 分析 按照定义，特征函数是一个实变量的复值函数。由于对任意实数R t ∈，都有 1)(sin )(cos ||22=+=tX tX e itX ，所以任何随机变量的特征函数总是存在的。并且它能把 寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，还能把求分布的各阶原点矩（积分运算）转换成微分运算，特别地它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题。下面介绍特征函数的主要性质 性质1 如果随机变量n X X X ,...,,21相互独立，则有∏==∑ =n i X X t t i n i i 1 )()(1 ?? 。 分析 特征函数的这一性质在证明随机变量列的极限问题时将发挥重要作用，然而这一性质的逆不成立。在教学中我们举如下例子来说明逆不成立，以此来加深学生对此性质的理解。 例1设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ???<<-+=.,01||,1||)],(1[41 ),(22其他； y x y x xy y x p ， 可以证明Y X +的特征函数等于Y X ,的特征函数的乘积，但是X 与Y 并不相互独立。 性质2 如果随机变量X 有n 阶（原点）矩，则它的特征函数可微分n 次，并且有 n k i EX k X k k ,...,2,1),0()() (=-=? 成立。 分析 性质2表明，如果已知随机变量的特征函数，且其矩存在，则可以通过对特征函数微分来求得随机变量的矩，这比由分布函数通过积分求矩要简单的多。 （二）特征函数的应用举例 1求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算 在概率论中，独立随机变量和的问题占有“中心”地位，用卷积公式去处理独立随机变量和的问题是常用的方法但相当复杂，然而可以很方便的运用特征函数相乘求得独立随机变量和的特征函数，由此大大简化了处理独立随机变量和的难度。 C语言如何产生随机数 1. 基本函数 2. 使用方法 rand()函数返回0到RAND_MAX之间的伪随机数(pseudorandom)。RAND_MAX常量被定义在stdlib.h头文件中。其值等于32767，或者更大。 srand()函数使用自变量n作为种子，用来初始化随机数产生器。只要把相同的种子传入srand()，然后调用rand()时，就会产生相同的随机数序列。因此，我们可以把时间作为srand()函数的种子，就可以避免重复的发生。如果，调用rand()之前没有先调用srand()，就和事先调用srand(1)所产生的结果一样。 每次运行都将输出：1 7 4 0 9 4 8 8 2 4 每次运行都将输出：1 7 4 0 9 4 8 8 2 4 例2的输出结果与例1是完全一样的。 每次运行都将输出：4 0 1 3 5 3 7 7 1 5 该程序取得的随机值也是在[0,10）之间，与srand(1)所取得的值不同，但是每次运行程序的结果都相同。 该程序每次运行结果都不一样，因为每次启动程序的时间都不同。另外需要注意的是，使用time()函数前必须包含头文件time.h。 3. 注意事项 求一定范围内的随机数。 如要取[0,10)之间的随机整数，需将rand()的返回值与10求模。 那么，如果取的值不是从0开始呢？你只需要记住一个通用的公式。 要取[a,b)之间的随机整数（包括a，但不包括b)，使用： (rand() % (b - a)) + a 伪随机浮点数。 要取得0～1之间的浮点数，可以用： rand() / (double)(RAND_MAX) 如果想取更大范围的随机浮点数，比如0～100，可以采用如下方法: rand() /((double)(RAND_MAX)/100) 其他情况，以此类推，这里不作详细说明。 当然，本文取伪随机浮点数的方法只是用来说明函数的使用办法，你可以采用更好的方法来实现。 举个例子，假设我们要取得0～10之间的随机整数（不含10本身）： 大家可能很多次讨论过随机数在计算机中怎样产生的问题，在这篇文章中，我会对这个问题进行更深入的探讨，阐述我对这个问题的理解。 首先需要声明的是，计算机不会产生绝对随机的随机数，计算机只能产生“伪 §1 母函数（生成函数）简介 对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。母函数又称生成函数(Generating function)。 母函数的定义 ● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数 )1(0 ≤∑∞ =s s a n n n 为}0,{≥n a n 的母函数。 ● 定义：设X 为取值于非负整数集的随机变量，分布律为 {},0,1,2, k P X k p k ===，则称 1)(?)(0≤==∑∞ =s s p s E s g k k k X 为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。 一些常用分布的母函数 （1） 若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+= （2） 若 ~()X P λ，则) 1()(-=s e s g λ （3） 若)(~p G X ，则qs ps s g -=1)( 母函数的基本性质 （1）X 的母函数与其分布律是一一对应的，且有! )0()(k g p k k = （2）设非负整数值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑== n k k X Y 1 的母函数为： )()()()(21s g s g s g s g n Y = （3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有： （a ）)1()(g X E '= （b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''== 母函数的应用 （4） 设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑== n k k X Y 1 的分布。 （5） 设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。 （6） 设 2 1,X X 独立，且 ~(),1,2 i i X P i λ=，证明 )(~2121λλ++Po X X 。 §2 特征函数 1． 特征函数的定义 ● 定义：如果Y X ,均为概率空间),,(P ∑Ω上的实值随机变量，则称Y i X +=ξ为一复 随机变量，且定义复随机变量的数学期望为EY i EX E +=ξ。 由以上定义，有}{sin }{cos }sin {cos }{X t iE X t E X t i X t E e E X t i +=+=。 ● 定义：若随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则称： )()sin (cos ?)(?)(x dF tx i tx x dF e Ee t X X itx itX ??∞ ∞ -∞∞ -+===? 为随机变量X 的特征函数（c.f.） ● 特征函数其实就是随机变量函数的数学期望。 ● 特征函数的简单性质 （1）由于1≤itX e ，所以对任意随机变量，特征函数都有意义 （2）特征函数是一实变量的复值函数 （3）特征函数只与分布函数有关，因此又称为某一分布的特征函数 （4）若X 的特征函数为)(t ?，则bX a +的特征函数为)(}exp{ bt ita ?函数 （5）1)0(=? （6）对离散型的随机变量X ，其分布率为 2,1}{===j p x X P j j ，则其特征函数为∑∞ == 1 }exp{)(j j j itx p t ?，若是连续型随机变量，概率密度为)(x f ，则其特征函数为 §4 多元正态分布* 一、 一、密度函数和特征函数 二、性质 本章补充与注记 多元分布以多元正态分布最为重要，在多元分析中多元正态分布更为其立论之本.这一节就借助多元特征函数详细讨论多元正态分布的定义和性质. 对二元的场合已在前面陆续推导过其大部分结果，这里用矩阵的方法对一般n 元情形进行讨论. 一、密度函数和特征函数 第二章§3已经给出n 元正态分布N (a , B)的密度函数 p (x ) =??? ???-'---)()(21exp ||)2(1 12/12/a x B a x B n π. (1) 它确实是密度, 因为p (x ) >0, 且由于B 正定对称，故存在非奇异阵L ，使B=LL ',故 dx a x L L a x B dx x p n n R n R ??????-''--= --?? )()()(21exp ||)2(1)(1 12 /12/π, 作变量代换y =)(1 a x L --，则d x =dy B dy L dy L 2 /11||||||1==-， dy B y y B dx x p n n R n R 2 /1'2 /12/||}21exp{||)2(1)(?? -= π = 1 2122 2 1 1()exp()/πn k k n n y dy dy --∞∞ -∞∞ =??∑= ( ) /121 22 π k n y k e dy k =--∞ ∞ ∏?=1. 故p(x )满足密度函数的条件. 再求N (a , B) 的特征函数. 记t =(,,)t t n 1 ', 由§3的(1'3)式， f (t ) ='()n it x R e p x dx ? = dx a x B a x x it B n R n )}()(21exp{||)2(1 1 '2 /12/-'---?π. 特征函数、母函数、矩母函数 确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题 可以通过微分运算求随机变量的数字特征 1．特征函数： 设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称： (){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞?∞?∞ Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。 特征函数的性质： 1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定； 2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积； 3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ= 典型随机变量的特征函数 1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+ 2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+ 3． 几何分布：()1jt jt pe t qe Φ=? 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t e λ??Φ= 5． 正态分布2(,)N σ?：22 ()exp{}2t t j t σΦ=?? 6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt ?Φ= 7． 负指数分布：()t jt λ λΦ=? 2．母函数 研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法： 对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞ =Φ==?∑ (1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换 母函数的性质： 1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。 2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附 合泊松过程的应用) 3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ==" 通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。 3． ()1(){(1)(1)}1,2,k z z E X X X k k =Φ=??+="" 通过矩生成函数的微分可以得到随机变量的数字特征： 均值： '1{}()|z E X z ==Φ 方差： 22''''2111{}{}[{}]()|()|[()|]z z z D X E X E X z z z ====?=Φ+Φ?Φ 典型随机变量的母函数 1． 两点分布的母函数：()z q pz Φ=+ 2． 二项式分布的母函数：()()n z q pz Φ=+ 3． 泊松分布(λ)：(1)()z z e λ??Φ= 4． 几何分布：()1pz z qz Φ=?信号与系统-矩母函数与拉普拉斯变换
Excel的随机数函数
excel的生成随机数的函数用法
matlab随机数生成(全部函数)
EXCEL随机数据生成方法
浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用
C语言如何产生随机数
附录：母函数和特征函数简介
特征函数
北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数