第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点综述

第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

教学重点： 解析函数的洛朗展式与孤立点

教学难点： 解析函数的洛朗展式与孤立奇点的分类

教学基本要求：掌握洛朗定理、解析函数孤立奇点的三种类型和整函数与亚纯函数的概念；能熟练求一个解析函数在其孤立奇点的洛朗展式；能熟练判断各种奇点的类型．

§1解析函数的罗朗展式

1 双边幂级数 形如

?

()()()()2

01212

2

n

n n c z a c c z a c z a c c z a z a ∞

=-∞

---=+-+-+

+

++--

∑

的级数称为双边幂级数

? 正则部分是幂级数，故收敛圆

()

0z a R R -<≤≤+∞

对于主要部分 ()

1

n

n n c z a ∞

--=-∑， 可作代换

()1

z a ξ=

-成为一幂级数212C C ξξ--++

它

的收敛区域为

1

r ξ<

，z a r ->

因此当r R <时，两者有公共的收敛区域即圆环： r z a R

<-<　.在此圆环内有

()()()

12n

n

n f z f z c z a ∞

=-∞

+=

-∑.

定理5.1 设双边幂级数()

n

n n c z a ∞

=-∞

-∑

的收敛圆环为

()

:0,H r z a R r R <-<≥≤+∞

则（1）（5.1）在H 内绝对收敛且内闭一致收敛于

()()()

12f z f z f z =+

（2）()

f z 在H 内解析

（3） 级数在H 内可逐项求导任意次. 2、解析函数的罗朗展式

定理5.2（罗朗定理）在圆环内解析的函数必可展开成双边幂函数其中

()()

()

11

2012n n f c d i a n ξξπξ+Γ=

-=±±? ，，，

且展式唯一.

定义5.1 （5.2）称为在点的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边的级数则称为罗朗级数.

注意 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形.

例5.1 将函数

()()()1

12f z z z =

--在下列三个区域内

（1）圆

1

z <

（2）圆环

12

z << （3）圆环2z <<+∞

内求

()

f z 的罗朗展式.

解：首先

()()()11

21f z z z =

-

--

（１） 在圆1z <内1

2

z <

()1011

12121 12n

n n f z z z z ∞

+==-

-??

- ???

?

?=- ??

?∑ （２）在圆环12z <<内有11z <，1

2z <故 ()1

011011111

1

2112111221

2n n n n n n n n

n n f z z z z

z z z

z z

∞∞-==∞

∞

+===-?-?

--=--=--∑∑∑∑

（3）在圆环2z <<+∞上11z <，2

1

z <故

()001111

21

111211n n n

n n f z z z z z

z z z z ∞∞===?-?

--=-∑∑ 12

21n n n z -∞

=-=∑

3、孤立奇点邻域内的罗朗展式 定义5.2 若

()

f z 在奇点a 的某一去心邻域内解析，则称a 为 的

()

f z 一个孤立奇点.若

a 为()f z 的一个孤立奇点，则必存在数R ，使在a 的去心邻域 {}:0K a z a R -<-< 内

()

f z 可展成罗朗级数.

例5.2 求

()()()1

12f z z z =

--在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式

解：有两个奇点1z =和2z =.在1z =的（最大）去心邻域011

z <-<内

()()()

11

1211

11111n

n f z z z z z z z ∞

=-=

+

--=----=----∑ ＋

１

在2z =的（最大）去心邻域021

z <-<内 ()()()()

11

221122n n

n f z z z z z ∞

==

-

--+=----∑１

§2解析函数的孤立奇点 1孤立奇点的三种类型 定义5.3 设a 是

()

f z 的孤立奇点，

（1） 若主要部分为0，则称a 是

()

f z 的可去奇点.

（2）若主要部分为有限多项，则称a 是

()

f z 的极点，此时主要部分的系数必满足

0m c -≠，()0m p c -+=此时m 称为极点a 的级，亦称为m 级极点.

若主要部分有无限多项，则称a 是()

f z 的本性奇点.

2、可去奇点的判断

定理5.3 设a 为()

f z 的孤立奇点，则下述等价： （1）在a 的主要部分为0； （2）()()

lim z a

f z b →=≠∞

（３）()

f z 在点a 的某去心邻域内有界. 证： （1）?（2）由（1）有

()()()()

2

0120f z c c z a c z a z a R =+-+-+<-<

因此 ()()

0lim z a

f z c →=≠∞

（2）?（3）即例1.27

（3）?（1）考虑主要部分的系数()()1

1

2n n f c d i a ξξ

πξ--+Γ=

-?其中

:a ξρ

Γ-=，ρ

可任意小，故

()

1

112122n

n n n f c d a

M

M ξξ

π

ξπρρπρ--+Γ

-+≤-≤

??=?

()012,

n c n -=?= ，

4极点

定理5.4 若a 以点

()

f z 为孤立奇点，则下述等价

（1）a 是m 级极点，即主要部分为(

)1

0m

m m

c c c z a

z a ---++

≠--

（２）

()

f z 在点a 的去心邻域内有

()()

()

m

z f z z a λ=

-

且

()z λ解析且()0a λ≠

（３）()()1

g z f z =

以a 为m 级零点.

定理5.5 ()

f z 的孤立奇点a 为极点的充分必要条件是()lim z a

f z →=∞

5、本性奇点

定理5.6 ()f z 的孤立奇点a 为本性奇点的充分必要条件是()()lim z a b f z →??≠?∞??

有限数

定理 5.7 若z a =为

()

f z 之一本性奇点，且在点a 的充分小去心邻域内不为零，则

z a =亦必为()1

f z 的本性奇点.

如：0z =为1z

e 的本性奇点，0z =亦为1z

e -的本性奇点.

6、毕卡定理 定理5.8 若z a =为

()

f z 的本性奇点，则对任意数A （可以是∞），都有一个收敛的点

列{}n z 使()lim n n f z A →∞=

定理5.9（毕卡大定理） 若z a =为

()

f z 的本性奇点，则对每一个A ≠∞，除掉可能一个

值

0A A

=外，必有趋于a 的无限点列 {}n z 使()n f z A =

§3解析函数在无穷原点的性质

定义 5.4 设函数()

f z 在无穷远点（去心）邻域

{}:N r z -∞≤<+∞

内解析，则称∞

为

()

f z 的一个孤立奇点.

作变换1z ξ=，于是函数

()()()

1f f z ?ξξ??== ???在去心邻域内

{}1

0:0K r ξ-<<

解

析.即0ξ=是

()?ξ的一孤立奇点，依此可规定∞的类型.

定义5.5 若0ξ=为

()?ξ的可去奇点、m 级极点或本性奇点，则我们相应地称z =∞

为()

f z 的可去奇点、m 级极点或本性奇点.

类似于有限孤立奇点的分类，可以对z =∞的主要部分的项数对进行分类.z =∞主要部分为1n

n

n b z

∞

=∑ 例5.6 求出

（1）()tan 11z z --，（２）1

sec

1z -的奇点（包括∞），并确定其类别.

解：（1）

()()()()tan 1sin 111cos 1z z z z z --=

---所以1z =为可去奇点. 110122k z k k π?

?=++=±± ???，，，，

为一级极点z =∞为非孤立奇点（因z =∞是k z

的聚点）

（2）

11

sec

1

1cos 1z z =

--令

1112k z π?

?=+ ?-??，得该函数的所有奇点为1z =，z =∞，

1

10112k z k k π=

+=±??+ ???，，，，k z 是一级极点1z =是非孤立奇点，因是k z 的聚点.至于z =∞应是可去奇点. 例5.7 若

()

f z 在

0z a R

<-<内解析，且不恒为零，又若有一列异于a 但却以a 为聚点

的零点，试证a 必为

()

f z 的本性奇点.

证： z a =是的孤立奇点，且不能是可去奇点，若不然，令()0

f a =则在

z a R

-<内解

析且由假设有以a 为聚点的一列零点.由零点的孤立性，()

f z 必恒为0， 这与题设矛盾.

其次

z a =也不能是()f z 的极点，否则0M ?>有0δ>，使当0z a δ<-< 时()f z M >，这亦与题设矛盾.故z a =只能是()f z 的本性奇点.

二次函数典型例题解析与习题训练

又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414 m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，41 4 m -）． （2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时，顶点在x 轴上方． （3）令x=0，则y=m ． 即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m ． 当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ） 在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4． ∴ 1 2 │m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8． 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处． 例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m

为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标． 【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值． （2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积． （3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=3 2EP，②EH=2 3 EP． 【解答】（1）解方程x2－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由m

复变函数 第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 第一阶 解析函数的罗朗展式 一、双边幂级数 212 00102002 00()()()()() n n n n n c c c z z c c z z c z z c z z z z z z ∞ --=-∞ -=+-+-+-+ ++--∑L L 定理 双边幂级数 () n n n c z z ∞ =-∞ -∑的收敛圆环为:H r z a R <-<，则该级数满足 （1） 在H 内绝对且内闭一致收敛于函数()f z 。（2）函数()f z 在H 内解析 （2） 在H 内可逐项求导 （4）可沿H 内的曲线逐项积分。 定理 在圆环:H r z a R <-<内解析的函数()f z 可展为双边幂级数 () n n n c z z ∞ =-∞ -∑，其中 11() 2() n n f c d i a ζζπζ+Γ= -? （0,1,2,n =±±）Γ为圆环内的圆周a ζρ-=，并且展式是唯一的。 例如 将函数1 ()(1)(2) f z z z = --在以下三个圆环内展成罗朗展式 （1）1z <， （2）12z << （3）21z <<+∞。 解11()21 f z z z = --- （1）10 111111()()(1)2112212 n n n f z z z z z z ∞ +== -=-=-----∑。 （2）1101011111111111()()1212222112n n n n n n n n n z z f z z z z z z z z z ∞∞∞∞ -+===== -=-=-=-----∑∑∑∑。 （3）1002111111121121()212111n n n n n n n n f z z z z z z z z z z z z -∞∞∞ ===-=-=-=-=----∑∑∑。 二、 解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式 定义 如果函数()f z 在z a =点的去心邻域0z a R <-<内解析，点a 是奇点，则称a 是()f z 的孤立奇点。 如果z a =为()f z 的孤立奇点，则必存在正整数R ，使得()f z 在z a =点的去心邻域0z a R <-<内展为罗朗展式。

浅谈复变函数中有限孤立奇点的类型判断

浅谈复变函数中有限孤立奇点的类型判断 桂林电子科技大学!王会勇 !摘!要"本文就工科复变函数课程中有关孤立奇点类型判断的教学提出了建议" !关键词"极点!判断!解析 !!留数与留数定理是复变函数课程中的重要内容!同时也是 一个难点"在实际的教学中!笔者发现!很多学生在完成’留数 定理在定积分计算上的应用(部分的学习后!对本章内容感觉 很生涩!并难于下手解题"笔者调查发现!多数同学反映此部 分的难点在于对孤立奇点的类型的判断和计算极点处的留数 两方面"这与现行通用教材%如文献#和文献)&中对该部分的 总结和选取有关"根据实际的教学经验!并参考相关文献!笔 者建议该部分教学内容和顺序简列如下$

简捷报数起卦 佛山科学技术学院!谭伟良 !摘!要"本文介绍一些报数快速起卦的八卦预测方法!文中透露了一些起卦等预测方面的奥妙" !关键词"易!起卦!预测!占卜 #C什么是报数起卦 本文重点介绍报两数起卦$要起卦时!想一下有关要预测的事!然后报或想出两个数!其中小的数除以E余数作外%上&卦!大的数除以E余数作内%下&卦!报或想出的两个数的和除以Q余数作动爻位"报数起卦法还有一数时辰法#两数时辰法和二数多数法" "C报数起卦法的特点和注意事项 报数起卦法不用知方向!纯两数起卦法则连时间也不用知道#不用时辰的运算!相当吸引人"用两数时辰法计算变爻位的方法设定了所问事物的存在值由所报两数和时辰三部分的组成!而纯两数起卦法则设定了所问事物的存在值分别由报出的两数组成"由于各个人的敏感点不一定相同!因工作或体育爱好而习惯腰#身转动的人!可能容易体会到转动身体起卦!%用多方向或方位起卦时!如果提问包含的时间和空间太长#太大或界定不太清楚!则变数很多!身体转很多次)一个多爻变的卦相当于一口气起了多个卦!可根据变爻出现先后分为多个卦&!方向和报数两种方法灵活运用也行"天机不可泄露!就像还没有到站的时候不要下车一样!什么时候出现什么都有一定的规则或惯性或过程!所以知道某些预测结果时!不要轻易泄露!以知而不太知#不太执着等技巧调整自我!以保安全!请参考本人其他文章" )C介绍某些重要原理 %#&设定原理$设起卦的方法为

二次函数典型例题解析

二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y

解析函数的孤立奇点类型判断及应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 摘要孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。关键词孤立奇点可去奇点极点本质奇点判断留数计算 前言 在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。 在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函

数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．

解析函数的孤立奇点

..解析函数的孤立奇点

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第五章 教学课题：第二节 解析函数的孤立奇点 教学目的：1、掌握孤立奇点的三种类型； 2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理； 3、归纳奇点的所有情况； 4、充分理解关于本性奇点的两大定理。 教学重点：孤立奇点的三种类型 教学难点：孤立奇点的三种类型的判定定理 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗级数为工具，研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质。 教学过程： 1、解析函数的孤立奇点： 设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-

复变函数的孤立奇点及其应用(小学期论文)

复变函数的孤立奇点及其应用 数学科学学院 数学与应用数学专业 指导教师： xxx 摘要:本文讨论了孤立奇点的定义、判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用。 关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数 孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1 孤立奇点的定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是 )(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点. 2 孤立奇点的判别方法 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re 2)(1 z f s i dz z f n k a z C k ∑?===π.一般 来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的 洛朗级数中1 01---）（z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求 留数更为有利.例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. 2.1 函数在极点处留数 法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则 )()(lim ]),([Re 000 z f z z z z f s z z -=- 法则2：设) () ()(z Q z P z f = ，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的

商品利润问题与二次函数典型例题解析

商品利润问题与二次函数典型例题解析 知识链接复习： 1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元 解：设每千克应涨价x 元，读题完成下列填空 问题一：涨价后每千克盈利 元； 问题二：涨价后日销售量减少 千克； 问题三：涨价后每天的销售量是 千克； 问题四：涨价后每天盈利 元 根据题意列方程得： 解方程得： 因为商家涨价的目的是 ；所以 符合题意。 答： 。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是 新知解析： 例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少 解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得： y=（35-x ）（50+2x ）=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答：当降价5元时 销售额最大为1800元。 此类习题注意要点： 1、根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。 例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱 解：设当张价X 元时租金为y 元，根据题意得：y=（100-10 ×2 x ）（10+x ）=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5

解析汇报函数地孤立奇点类型判断及指导应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。 关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算 前言 在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究容可以对以后学习此部分容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。 在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。 本文通过对已学知识的回顾总结，和相关资料的查阅，在老师的指导下自拟题目，将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明，通过分析、整理、归纳、总结，对其进行更深入的研究。 正文 一、孤立奇点的定义及类型 （一）定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{(即除去圆心a 的某圆)解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点。 如果a 为函数)(z f 的一个孤立奇点，则必存在正数 R ，使得)(z f 在点a 的去心邻域 R a z a K <-<-0:}{ 可展成洛朗级数。

二次函数知识点总结与典型例题讲解

二次函数知识点总结及典型例题讲解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1 x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的性质

二次函数知识点总结及典型例题

二次函数知识点总结及典型例题 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法： 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这 样表示。 三、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

§2解析函数的孤立奇点解读

§2 解析函数的孤立奇点 一、教学目标或要求： 掌握解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理的叙述和证明 重点：解析函数的孤立奇点的分类 难点: 许瓦兹引理的叙述和证明 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习： 4－7 §2 解析函数的孤立奇点 1. 孤立奇点的三种类型 若为 的孤立奇点，则 在点的某去心邻域 内可以展开成 Laurent 展式 。 定义5.3 设点a 为函数)(z f 的孤立奇点： (1)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分为零（即Laurent 展式不含负幂项），则称点a 为)(z f 的可去奇点； (2)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为 0,) ()(1 1 )1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称点a 为)(z f 的m 级（阶）极点； (3)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点a 为)(z f 的本性奇

点． 依定义，点0=z 为z z sin 的可去奇点，点0=z 为2e z z 的二级极点，点1=z 为z z -1sin 的本性奇点． 2. 可去奇点 定理5.3 若点a 为)(z f 的孤立奇点，则下列三个条件是等价的： (1) 在点 的主要部分为0； (2) (3) 在点 的某去心邻域内有界。 证 由于 且 在 内解析，从而连续，故 。 由于 ,故 取 ，则 , 即得。 设 ， 考虑 在 的 主要部分 则

复变函数论 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 §1 解析函数的洛朗展式 教学目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 难点：解析函数的洛朗展式的证明. 课时：2学时 定义5.1 级数 1 01()()()n n n n n C C C z a C C z a z a z a +∞ --=-∞ -=???+ +???+++-+???--∑(5.1) 称洛朗()Laurent 级数，n C 称为(4.22)的系数. 对于点z ，如果级数 01() ()()n n n n n C z a C C z a C z a +∞ =-∞ -=+-+???+-+???∑ (5.2) 收敛于1()f x ，且级数 1 ()()n n n n n C C C z a z a z a +∞ --=-∞ -=???+ +???+ --∑ (5.3) 收敛于2()f x ，则称级数(4.22)在 点z 收敛，其和函数为1()f x +2()f x 当0n C -=(1,2,)n =???时，(5.1)即变为幂级数. 类似于幂级数，我们有 定理5.1 设()f z 在圆环12:D R z a R <-<12(0)R R ≤<<+∞内解析，则在D 内 ()()n n n f z C z a +∞ =-∞ = - ∑ (5.4) 其中1 1() 2()n n f z C dz i z a π+Γ= -? (0,1, )n =±??? (5.5) :z a ρΓ-=，且12R R ρ<<，系数n C 被()f z 及D 唯一确定. (5.4)称为()f z 的洛朗展式. 证明：对:z H ?∈作1:1z a ρΓ-=，2:2z a ρΓ-=，（其中12r R ρρ<<<） 且使z D ∈：12z a ρρ<-<，（如图5.1）由柯西积分公式，有

初中二次函数知识点详解及典型例题

知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程02 =++c bx ax 有 实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数 c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点

第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点 上一章主要介绍了函数在解析点的邻域(圆)内，可以展开成通常的幂级数,但在奇点的领域内 则不能，例如函数 在点，现在我们考虑挖去了奇点的圆 环 ，并讨论在圆环内解析函数的级数展开。这样将得到推广的幂级数——Laurent （罗朗）级数。 它既可以是函数在孤立奇点去心领域内的Laurent展式，反过来，以它为工具就便于研究解析函数在孤立奇点去心领域内的性质。 Taylor级数与Laurent级数都是研究解析函数的有力工具。 第一节解析函数的罗朗展式 教学课题：第一节解析函数的洛朗展式 教学目的：1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质； 2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系； 3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数 教学重点：掌握洛朗级数的展开方法 教学难点：掌握洛朗级数的展开方法 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：洛朗级数是推广了的幂级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。 教学过程： 1、双边幂级数 在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数 ... ) ( ... ) ( ) ( 2 2 1 + - + + - + - + - - - - - - n n n z z z z z z β β β β 其中,... ,..., , , 1 0n z - - β β β是复常数。此级数可以看成变量 1 z z- 的幂级数；设这幂级数的收敛半

径是R 。如果0R <<+∞，那么不难看出，此级数在R z z 1 ||0>-内绝对收敛并且内闭一致收敛，在R z z 1 ||0< -内发散。同样，如果+∞=R ，那么此级数在0||0>-z z 内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在0z z =没有意义。于是根据定理2.3，按照不同情形，此级数分别在 0||)0(1 ||010>-+∞<<=> -z z R R R z z 及内收敛于一个解析函数。 2、解析函数的洛朗展式: 更一般地，考虑级数 ,)(0 ∑+∞ -∞ =-n n n z z β 这里0,(0,1,2,...)n z n β=±± 是复常数。当级数 ,)()(1 00 0∑∑-∞ -=+∞ =--n n n n n n z z z z ββ 及 都收敛时，我们说原级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z ) (0 β收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。 设上式中第一个级数在20||R z z <-内绝对收敛并且内闭一致收敛，第二个级数在10||R z z >-内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别20||R z z <-及10||R z z >-在内解析。又设21R R <，那么这两个级数都在圆环201||:R z z R D <-<内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z ) (0β在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解 析函数。我们称级数∑+∞ -∞ =-n n n z z ) (0 β为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环D 内的解析 函数，我们也有 定理5.1 （洛朗定理）设函数f (z )在圆环：)0(||:21201+∞≤<≤<-

复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质

万方数据

万方数据

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复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质 作者：何彩香， 张晓玲， HE Caixiang， ZHANG Xiaoling 作者单位：大理学院数学与计算机学院,云南大理,671003 刊名： 大理学院学报 英文刊名：JOURNAL OF DALI UNIVERSITY 年，卷(期)：2010，09(4) 被引用次数：0次 参考文献(12条) 1.钟玉泉复变函数论 2003 2.西安交通大学高等数学教研室复变函数 2005 3.何彩香复函数极点的运算性质 2004(5) 4.张元林积分变换 2006 5.何彩香.姚恩瑜.葛浩带有宵禁限制的动态最短费用路问题 2008(4) 6.何彩香.姚恩瑜带硬宵禁限制的动态最短费用路问题的讨论 2007(4) 7.何彩香.姜秀燕.施冰有宵禁限制的时间最短路 2006(6) 8.何彩香.胡竞湘.李汝烯有宵禁限制的成本最短路问题 2006(3) 9.顾作林.闫心丽.方影高等数学 2008 10.毛宗秀.姚金华高等数学 2005 11.何彩香.寸仙娥带硬宵禁限制的动态最短费用路逆问题的讨论 2008(8) 12.Cai-Xiang He.Shao-Ming Wang The math model and algorithm for the dynamic minimum time path problem with curfews 2008(2) 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/da9579329.html,/Periodical_dlxyxb201004003.aspx 授权使用：中国科学技术大学(zgkxjsdx)，授权号：8e5f20b4-183e-47d1-8915-9df800c027a2 下载时间：2010年9月21日

二次函数典型例题50题

选择 1.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=1 2 2. 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有 （ ） A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.二次函数y= a (x+m)2-m (a ≠0) 无论m 为什么实数，图象的顶点必在 ( ) A.直线y=-x 上 B. 直线y=x 上 C.y 轴上 D.x 轴上 4. 如图2，抛物线 ，OA=OC ，下列关系中正确的是 ( ) A ．ac+1=b B ．ab+1=c C ．bc+1=a D ．b a +1=c 5.如图6，是二次函数的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的阴影部分面积为S ，则S 取值最接近（ ）． A.4 B.16 3 C.2π D.8 6．如图7，记抛物线 2 1y x =-+的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份，设分点分别为1P ，2P ，…1n P -，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点 2 y ax bx c =+ +21 2 2y x =- +

1Q ，2Q ，…1n Q -，再记直角三角形11OPQ ，122PP Q 的面积分别为1S ，2S ，这样就有 21312n S n -=，22342n S n -= ，…；记121 n W S S S -=+++… ，当n 越来越大时，你猜想W 最 接近的常数是（ ） A. 23 B. 12 C. 1 3 D.14 7.定义[]为函数 的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于； ③ 当m < 0时，函数在x >时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 8. （2010宿迁改编）如图11，在矩形ABCD 中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边线段 MP=A ， 设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP=x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ） ,,a b c 2 y ax bx c =++3138 23 41 C B A D

解析函数的孤立奇点类型判断及应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。 关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算 前言 在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。 在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。 本文通过对已学知识的回顾总结，和相关资料的查阅，在老师的指导下自拟题目，将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明，通过分析、整理、归纳、总结，对其进行更深入的研究。 正文 一、孤立奇点的定义及类型 （一）定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{(即除去圆心a 的某圆)内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点。