高中数学 2.1数列的概念教学案 新人教版必修5

第二章数列

课题 §2.1.1数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 （第1课时） ●教学目标

知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣 ●教学重点

数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点

根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义） 上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序. 从而引出数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课

⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式：

,,,,,321n a a a a ，或简记为

{}n a ，其中n a 是数列的第n 项

结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31

”

是这个数列的第“3”项，等等

下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

项 1 51

41312

1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：

n a n 1

=

来表示其对应关系

即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式：如果数列

{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那

么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以

是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|

21cos |π+=n a n .

⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数

()

n a f n =，

当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，… 6．数列的分类：

1）根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2）根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 [范例讲解] 例1 根据下面数列

{}n a 的通项公式，写出前5项：

（1）

n a n n

a n n n ?-=+=

)1()2(;1

分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前

5项

解：（1）;

65

;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======a a a a a n (2) ;

5;4;3;2;21

.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n

例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）1，3，5，7； （2）;51

5;414,313;2122222----

（3）-211?，321?，-431?，541

?.

解：

（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1 ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1， ∴它的一个通项公式是：

1

2-=n a n ；

（2）序号：1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓

项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1

即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，∴它的一个通项公

式是：

1)1(2+-=

n n n a n ； （3）序号 211

1 ?-

↓ 321 3 ?-↓

431 3 ?-↓

541 4 ?-

↓

‖ ‖ ‖ ‖

)11(11)1(1

+?- )12(21)1(2+?- )13(31)1(3+?- )12(21

)1(2

+?-

这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，

所以它的一个通项公式是：

)1(1)1(+-=n n a n

n

Ⅲ.课堂练习

课本[练习]3、4、5

[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 32, 154, 356, 638, 9910

, ……；

(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； (5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….

解：(1) n a ＝2n ＋1； (2) n a ＝)12)(12(2+-n n n ； (3) n a ＝2)1(1n

-+；

(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,

∴n a ＝n ＋2)1(1n

-+；

(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……， ∴

n

a ＝(－1)

1

+n n(n ＋1)

Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式。 Ⅴ.课后作业

课本习题2.1A 组的第1题

§2.1.1数列的概念与简单表示法 【课前预习】

1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是

A 、19

B 、 20

C 、 21

D 、22 2、观察下面数列的特点，用适当的数填空 （1） ，14 ，19 ，1

16 ， ；

（2）32 ，54 ， ，1716 ，33

32 ， 。

3 .已知数列

{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a = .

4 根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。

（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为 .

（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为 .

（3）数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为 .

5.已知数列{}n a 满足12a =-，

1221n

n n a a a +=+

-，则4a = .

1 C

2 （1）1，251

（2）6465,

89 3.29

4. （1）an=)

101

1(9

7n -;（2）an=2+2·(-1)n+1 （3）22(3)11n n a n +-=+ 5.25- 【课内探究】

1 展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？

（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an}

（3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。 3 数列的表示方法

（1）函数y=7x+9 与y=3 x ，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？ （2）定义数列{an}的通项公式

（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？

（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。 4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1，-1/2，1/3，-1/4； （2）2，0，2，0． 【课后提高】

1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是 .

2.数列{an}中，a1=1,对于所有的n ≥2，n ∈N*都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5= .

3.数列-1,58，-715，924

，…的一个通项公式是 .

4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n 的代数式表示）

5.若数列{an}的通项公式an=2

)1(1

+n ，记f （n ）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)

，试通过计算

f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)= (用含n 的代数式表示）.

6.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

（1）32，154，356，638，9910

，… （2）21，2，29，8，225

，…

（3）5，55，555，5 555，55 555，… （4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，… （5）1，3，7，15，31，…

（3）联想

个n 999=10n-1,

则an= 个n 555=95

个n )999(=95(10n-1),

即an=95

(10n-1).

（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，

则an=5sin 2

n .

（5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，… ∴an=2n-1

故所求数列的通项公式为an=2n-1. 课题

§2.1.2数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 （第２课时） ●教学目标

知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与

n

a 的关系

过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点

根据数列的递推公式写出数列的前几项

●教学难点

理解递推公式与通项公式的关系

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[复习引入]

数列及有关定义

Ⅱ.讲授新课

数列的表示方法

通项公式法

如果数列{}

n

a

的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个

数列的通项公式。

如数列的通项公式为；

的通项公式为；

的通项公式为；

图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为

纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以

这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项

随项数由小到大变化而变化的趋势．

递推公式法

知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．

模型一：自上而下：

第1层钢管数为4；即：1?4＝1+3

第2层钢管数为5；即：2?5＝2+3

第3层钢管数为6；即：3?6＝3+3

第4层钢管数为7；即：4?7＝4+3

第5层钢管数为8；即：5?8＝5+3

第6层钢管数为9；即：6?9＝6+3

第7层钢管数为10；即：7?10＝7+3

若用

n

a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且

1

(3+=n a n ≤n ≤7）

运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地

求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即41=a ；114512+=+==a a ；1

15623+=+==a a

依此类推：

1

1+=-n n a a （2≤n ≤7）

对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 定义：

递推公式：如果已知数列

{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a

与它的前一项1-n a （或前n

项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：

)

83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用

表示

第一项，用 表示第一项，……，用

表示第 项，依次写出成为

4、列表法

．简记为

．

[范例讲解]

例1 设数列{}n a 满足11111(1).n n a a n a -=?

?

?

=+>??写出这个数列的前五项。

解：分析：题中已给出

{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：

111-+

=n n a a

解：据题意可知：3211,211,123121=+==+

==a a a a a ，58

,3511534==+=a a a

[补充例题]

例2已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a

．

法一：21=a 2

2222=?=a 323222=?=a ，观察可得 n n a 2=

法二：由

n

n a a 21=+ ∴

1

2-=n n a a 即

21

=-n n

a a

∴

1

1

2322112------=????n n n n n n n a a

a a a a a a

5．数列的前n 项和： 数列

{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .

1S 表示前1项之和：1S =1a

2S 表示前2项之和：2S =21a a +

……

1-n S 表示前n-1项之和：

1-n S =

1

321-++++n a a a a

n

S 表示前n 项之和：

n S =

n

a a a a ++++ 321.

∴当n ≥1时n

S 才有意义；当n-1≥1即n ≥2时

1

-n S 才有意义.

3．n

S 与

n

a 之间的关系：

由

n

S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，

n a =

n S -

1

-n S ，

即n a =??

?≥-=-)2()1(11n S S n S n n .

说明：数列的前n 项和公式也是给出数列的一种方法. 三、例题讲解

例3已知数列{}n a 的第1项是1，以后的各项由公式

11

1-+

=n n a a 给出，写出这个数列的前5

项

分析：题中已给出

{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：

111-+

=n n a a

解：据题意可知：

123121131,12,12a a a a a ==+

==+=

5

8

,3511534==+

=a a a

例4已知数列

{}n a 中，n

a a a a a n n n (3,2,1212

1--+===≥3），试写出数列的前4项

解：由已知得

23

3,73,2,123412321=+==+===a a a a a a a a

例5已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a

．

法一：21=a 2

2222=?=a 323222=?=a ，观察可得 n n a 2=

法二：由

n

n a a 21=+ ∴

1

2-=n n a a 即

21

=-n n

a a

∴ 1

12322112------=????n n n n n n n a a

a a a a a a

∴

n

n n a a 2211=?=-

例6 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式：

⑴

n

S =n 2

+2n ； ⑵

n

S =n 2

-2n-1. 解：⑴①当n ≥2时，

n a =

n S -1

-n S =(n 2

+2n)-[(n-1)2

+2(n-1)]=2n+1；

②当n=1时，1a =1S =12

+2×1=3； ③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3， ∴

n

a =2n+1为所求.

⑵①当n ≥2时，

n a =

n S -1

-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2

+2(n-1)-1]=2n-3；

②当n=1时，1a =1S =12

-2×1-1=-2； ③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，

∴n a =??

?≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求.

Ⅲ.课堂练习 课本P36练习2 Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：

1．递推公式及其用法；

2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n 项）之间的关系.

Ⅴ.课后作业

习题2。1A 组的第4、6题

§2.1.2数列的概念与简单表示法 课前预习

1.数列 ,1,0,1,0,1的一个通项公式是 （ ）

A.

()2111

+--=

n n a B.

()2111

+-+=

n n a C.

()2

11--=

n

n

a D. ()211n

n a ---=

2.已知

31=--+n n a a ，则数列

{}n a 是 （ ）中学

A. 递增数列

B. 递减数列

C. 常数列

D. 摆动数列

3.数列{}n a 的通项公式为n

n a

n

2832-=，则数列

{}n a 各项中最小项是 （ ）

A. 第4项

B. 第5项

C. 第6项

D. 第7项

4.已知数列的通项公式为15

82+-=n n a n ，则3 （ ）

A. 不是数列

{}n a 中的项 B. 只是数列{}n a 中的第2项 C. 只是数列

{}n a 中的第6项 D. 是数列{}n a 中的第2项或第6项

5.数列 ,28,21,,10,6,3,1x 中，由给出的数之间的关系可知x 的值是（ ）中学 A. 12 B. 15 C. 17 D. 18

6.下列说法正确的是 （ ）

数列1，3，5，7可表示为{

}7,5,3,1 数列1，0，2,1--与数列1,0,1,2--是相同的数列

数列??????+n n 1的第k 项是

k 1

1+

D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集*

N 的函数

7.数列{}n a 的前n 项和

2

23n S n n =-，则n a = 。

1.B

2.A

3.B

4.D

5.B

6.C7

45

n a n =-

课内探究

1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) 1a ＝0,

1

+n a ＝

n

a ＋(2n －1) (n ∈N)；

(2) 1a ＝1, 1+n a ＝

22+n n a a (n ∈N)；

(3) 1a ＝3,

1

+n a ＝3n

a －2 (n ∈N).

解：(1) 1a ＝0, 2a ＝1,

3

a ＝4, 4a ＝9,

5

a ＝16, ∴

n

a ＝(n －1)2

;

(2) 1a ＝1,2a ＝32,3a ＝4221=, 4a ＝52, 5a ＝6231=, ∴ n a

＝12+n ;

(3) 1a ＝3＝1+20

3?, 2a ＝7＝1+21

3?,

3

a ＝19＝1+22

3?,

4a ＝55＝1+233?, 5a ＝163＝1+243?, ∴ n a ＝1＋2·31-n ;

2． ．已知下列各数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式

(1)

n

S ＝2n 2

－3n; (2)

n

S ＝n

3－2.

解：(1) 1a ＝－1,

n a =

n S -

1

-n S ＝2n 2－3n －[2(n －1)2

－3(n －1)]＝4n －5,

又1a 符合1a ＝4·1－5, ∴

n

a ＝4n －5;

(2) 1a ＝1, n a =n S -1-n S ＝n 3－2－(13-n －2)＝2·13-n ,

∴n a ＝

??

?≥?=-23211

1n n n

∴

n

n n a a 2211=?=-

课后提高

1.

,

则

A.第六项

B.第七项

C.第八项

D.第九项 2. 数列

{}

n a 的前n 项积为2

n ，那么当2n ≥时，

{}

n a 的通项公式为

A.21n a n =-

B.2n a n =

C.2

2(1)n n a n += D.22(1)n n a n =-

3、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）。

（A ）an= 1－(－1)n （B ）an=1＋(－1)n ＋1

（C ）an=2sin22π

n （D ）an=(1－cosn π)＋(n －1)(n －2)

4. 在数列

{}

n a 中，12n n n a a a ++=+，122,5a a ==，则6a

的值是

A.3-

B.11-

C.5-

D.19

5. 数列31537,,,,,5211717

的一个通项公式是 。

6. 数列{}n a 的前n 项和

2

23n S n n =-，则n a = 。 7. 数列{}n a 满足212231n a a a n n +++=-+，则4510a a a ++

+= 。

8. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有___________个点.

（1） （2） （3） （4） （5）

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

。 。 。

9. 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+，数列{}n b 的前n 项和

2

32n T n n =-， （1）若

1010

a b =，求p 的值； （2）取数列{}

n b 中的第1项, 第3项, 第5项,

构成

一个新数列{}

n c , 求数列

{}

n c 的通项公式.

10.（1）已知数列{}

n a 的前n 项和公式，求

{}

n a 的通项公式

①

n

n S n 322+=；

②

1

32-?=n n S

1—4、BDDA 5、

2

32n n a n +=

+ 6、45n a n =- 7、161 8、821n n -+、

9、（1）36 （2）1211n c n =- 10 (1)41n a n =+ (2)

1

5(1)43(2,)n n n a n n N -=?=??≥∈?

等差数列教案

教学目标：

知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想

过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特

殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。

教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。

教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。 教学过程：

创设情境，课题导入

复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列：（大屏幕显示课本41页的四个例子） ⑴、0 5 10 15 20 … … ⑵、48 53 58 63

⑶、18 15.5 13 10.5 8 5.5

⑷、10072 10144 10216 10288 10360

提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。 （二）设置问题，形成概念

等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。 提出问题：等差数列的概念中的几个关键点是什么？ 数学语言：

d a a n n =--1 ）2(≥n 或 d a a n n =-+1 n

(≥1)

理解等差数列的概念是本节课的重点，为了加深对概念的理解，让学生讨论课本45页练习

第4题，教师总结。

（三）等差数列的通项公式

提出问题：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。数列⑴、⑵、⑶、⑷的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 再问：若一个无穷等差数列｛

n

a ｝，首项是1a ，公差为d ，怎样得到等差数列的通

项公式？（引导学生根据等差数列的定义进行归纳） d a a =-12 即：d a a +=12

d

a a =-23 即：

d

a d a a 2123+=+=

d

a a =-34 即：

d

a d a a 3134+=+=

… …

至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用。 此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？ （然后学生在教师的引导下一起探索另外的推导方法） 叠加法：｛

n

a ｝是等差数列，所以：

d

a a d a a d a a n n n n n n =-=-=------32211

… …

d a a =-12

两边分别相加得：d

n a a n )1(1-=- 所以：

d

n a a n )1(1-+=

迭代法：｛n

a ｝是等差数列，则：

d a a n n +=-1d a n 22+=-d

a n 33+=- = … …=d n a )1(1-+

所以：

d

n a a n )1(1-+=

由以上关系还可得：d

m a a m )1(1-+= 即：

d

m a a m )1(1-+=

则：

d

n d m a d n a a m n )1()1()1(1-+--=-+=

=

d

m n a m )(-+

即得等差数列的第二通项公式：

d

m n a a m n )(-+=

（四）通项公式的应用：

观察通项公式并提出问题：要求等差数列的通项公式只需要求谁？ 再追问：通项公式中有几个未知量？

再追问：要求其中的一个，需要知道其余的几个？ 例1、等差数列｛

n

a ｝中，

⑴已知：21=a 3=d 求n a

⑵已知：31=a 21=n a 2

=d 求n ⑶已知：81=a 276=a 求d

⑷已知：

31

=

d 87=a 求1a

（题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而打好基础。） 例2、1、求等差数列8、5、2… …的第20项 解：由81=a 385-=-=d 20=n 得：

49

)3()120(820-=-?-+=a

2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？

解：由51-=a 4)5(9-=---=d 得1

4)1(45--=---=n n a n

由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得： 14401-=-n 成立

解得：100=n 即401-是这个数列的第100项。

例3、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4km ）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km 处的车费记为：2.111=a 公差2.1=d 当出租车行至目的地即14km 处时，n=11 求11a 所以：2.232.1)111(2.1111=?-+=a 例4：数列

5

3-=n a n 是等差数列吗？

（引导学生根据等差数列的定义求解，就是看

1--n n a a )

2(≥n 是不是一个与n 无关的常数。）

[]3

5)1(331=---=--n n a a n n 所以：｛

n

a ｝是等差数列

引申：已知数列｛

n

a ｝的通项公式

q

pn a n +=，其中p 、q 为常数，这个数列是等差数列

吗？若是，首项和公差分别是多少？

（指定学生求解） 解：取数列｛n

a ｝中任意两项

n

a 和

1-n a )

2(≥n

[]q n p q pn a a n n +--+=--)1()(1p

q p pn q pn =+--+=)(

它是一个与n 无关的常数，所以｛n

a ｝是等差数列？

并且：q p a +=1 p d =

小结：上节课我们已学习过数列是一种特殊的函数，那么由此题启示，等差数列是哪一类函数？等差数列是关于正整数ｎ的一次函数，还可以是常数函数，当ｄ＝０的时候。

通过例三，我们能否总结一下，到目前为至我们有哪些方法来判断一个数列是等差数列？ （学生讨论、回答，教师补充） 一是利用定义：

d a a n n =--1 ）2(≥n 或 d a a n n =-+1 n

(≥1)

二是利用通项公式：

q

pn a n += )(R p ∈ 是关于ｎ的一次函数或常数函数。

课堂检测反馈：

求等差数列10、８、６… 的第２０项。

－20是不是等差数列０、3.5、－7… 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。 等差数列｛n a ｝中，已知：105=a 3112=a 求1a 和d

等差数列｛n a ｝中，已知：6

5=a

15

8=a 求14a

等差数列｛

n

a ｝中，已知：

9

61=+a a 74=a 求3a 、9a

（五）课时小结：

（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结） 等差数列的定义：

d a a n n =--1 ）2(≥n 或 d a a n n =-+1 n

(≥1)

等差数列的通项公式：

d

n a a n )1(1-+=或

d

m n a a m n )(-+=

（六）课后作业：

课本45页习题2．2（A 组）3、4

高中数学《函数的概念》公开课优秀教学设计三

1.2.1 函数的概念 教学设计 一、教材分析： 本节内容为《1.2.1函数的概念》 ，是人教A 版高中《数学》必修一《1.2函数及其表示》的第一课.函数是中学数学最重要的基本概念之一，在初中，学生已经学习过函数的概念，它是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式.后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制.如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究.例如： 对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x 的物理意义是什么．但用集合、对应的观点来解释，就十分自然．函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具．函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法． 二、学情分析： 在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数比较抽象，但是函数现象大量存在于学生的周围，教科书选用了运动、自然界、经济生活中的实际例子进行分析，从实例中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念，对学生的抽象、归纳能力要求比较高，能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解. 三、教学目标: (一)知识与技能 理解函数的定义，能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素. （二）过程与方法 通过三个实例共性的分析到函数概念的形成，再对三个实例进行拓展，让学生对函数概念进行辨析，体现从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，渗透了归纳推理，实现了感性认识到理性认识的升华. （三）情感、态度与价值观 通过从实际问题中抽象概括函数的概念，培养学生的抽象概括能力，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，感受数学的抽象性和简洁美. 四、教学重点与难点： （一）教学重点 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，并能用集合与对应的语言来刻画函数. （二）教学难点 函数概念的理解及符号“)(x f y =”的含义. ?? ?=.01)(是无理数时，当是有理数时， ，当x x x f

高中数学必修5 数列经典例题集锦

高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{ }n b 的各项为正， 其前n 项和为n T ，且315T =，又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式， 可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >． 注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

高中数学《函数的概念》公开课优秀教学设计新版

函数的概念教学设计 教学内容分析 函数的概念是数学中最重要的概念之一，其本质是从一个非空数集到另一个非空数集的特殊对应，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型。本节课在高中数学中有着承上启下的作用，从初中运动观下的函数定义出发，过渡到使用集合语言描述了更为确切的函数定义，本节课渗透的函数思想将被应用到数学的各个分支领域。本课的教学重点是：理解函数的概念，教学难点是：函数概念及对符号的理解。 教学目标设置 知识与能力：理解函数的集合观定义，并会使用符号表示；理解函数符号；会求一些简单函数的定义域，理解对应法则；使学生提高抽象概括、分析总结、数学表达等基本数学能力。 过程与方法：创设情境，使学生经历从具体函数实例和运动观定义去解析函数的基础上，理解函数的集合观定义，进而理解法则，培养学生类比与联想的学习能力。 情感、态度和价值观：学生亲身经历了由特殊到一般的研究过程，培养了学生质疑、探究的科学精神，也培养学生唯物主义观点。 学生学情分析 教学对象：市重点高中学生。学生对函数概念并不陌生，初中的函数概念教会学生认识变量间的依存关系，并且掌握了一次函数、二次函数和反比例函数的基本性质，已经基本具备建模的能力。学生思维普遍活跃，善于表达，善于发现问题，乐于和教师交流分享他们的解题心得。但高一学生的抽象概括能力较弱，由实例到抽象的数学语言，需要教师的引领。 教学策略分析 在短短的45分钟要让学生经历函数定义发展史上100年的探究历程，学生不可能独立完成，这需要教师用材料铺好一条路，要了解学情并对学生的疑问做好预设，难度大的地方搭好梯子，本节课以“学生为主体，教师引导”教学原则来设计，着重解决了学生的几个疑问。 1、怎么从初中概念出发得到高中函数概念？ 学生的抽象概括能力还很薄弱，这使得用集合语言刻画函数概念很有难度，如果直接归纳定义学生会失去刚刚燃起的探究欲望，所以我选择从生活中的三个实例入手，用问题串引领学生完成实例的分析，在分析过程中，重点让学生体会每个例子的“变化过程”就是对应法则，初中定义的”某一区间”用集合语言描述就是定义域A，自然过渡到集合语言描述函数概念。师生共同研究得到函数定义；锻炼了学生的语言表达及思辨能力，让学生感受建立函数模型的过程和方法。 2、对应法则是指什么？

高中数学必修五数列知识点

一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=

人教版高中数学必修五教案1

第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明： （1）向量法证明 （2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点： （1） （2） （3） 知识点3 解三角形

1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点： （1） （2） （3） （4） 知识点2 余弦定理的的证明 证法1： 证法2： 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题： （1）已知三边求三角； （2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。 例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c.

1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 （1）仰角和俯角： （2）方位角： 知识点2 解三角形应用题的一般思路 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）合理选择正弦定理和余弦定理求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 （1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。 （2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。

高中数学必修5 用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式 在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法： 一．利用倒数关系构造数列。 例如：}{n a 数列中，若),(41 1, 21 1N n a a a n n ∈+= =+求a n n n n n b b a b == +1,1 则设+4, 即n n b b -+1＝４， n b {∴｝是等差数列。 可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311 ,2 111N n a a a n n ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,2 2,111+= =+n n n a a a a 求a n 通项公式。 3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-?+≠=--且求a n . 二．构造形如2 n n a b =的数列。 例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52 2 11∈-==+ 解：设4,4,112 -=--==++n n n n n n b b b b a b 即则 ) ,71(,429429429)4()1(25254}{2 2 11N n n n a n a n n b a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-?-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列 练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-, 求数列{ a n }的通项公式。 三．构造形如n n a b lg =的数列。 例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且),,2(,lg 2 1 lg 1N n n a a n n ∈≥=-求a n . 解：由题意得： n n n n a b a a lg 2 1 lg lg 1=∴=-可设，， 即 ,2 1 1=-n n b b 110lg 2 1 1==∴b b n ，是等比数列，公比为 )(,)2 1 ()21(111N n b n n n ∈=?=∴--. 即1)21 (1 10,)2 1(lg -=∴=-n n n n a a 练习：（选自2002年高考上海卷） 数列{ a n }中，若a 1=3,2 1n n a a =+,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。 四．构造形如m a b n n +=的数列。 例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。 解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1） 设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1 则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7, 11271,27--?=+?=∴n n n n a b 即 1271-?=∴-n n a ，)(N n ∈ 构造此种数列，往往它的递推公式形如： 的形式和2)1(,1+=+≠+?=+n a S c d a c a n n n n 。 如：a n+1＝c a n +d,设可化成a n+1+x=c(a n +x), a n+1=c a n +(c-1)x 用待定系数法得： (c-1)x ＝d

人教版高中数学必修5期末测试题

期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n

2021年高中数学必修5全册基础知识点复习提纲(全册完整版)

2021年高中数学必修5全册基础知识点复习提纲 （全册完整版） 第一章：解三角形 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===. （其中R 为AB C ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?=== sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R ?= == ::sin :sin :sin .a b c A B C ?= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。 2、余弦定理： 222222 2222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? 222 222222 cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素； ⑵已知三角形三边，求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式：

B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、三角形内角和定理： 在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+ 222 C A B π+? =- 222()C A B π?=-+. 5、一个常用结论： 在ABC ?中，sin sin ;a b A B A B >?>?> 若sin 2sin 2,.2 A B A B A B π ==+=则或特别注意，在三角函数中， sin sin A B A B >?>不成立。 第二章：数列 1、数列中n a 与n S 之间的关系： 1 1,(1),(2). n n n S n a S S n -=?=? -≥?注意通项能否合并。 2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）， 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2 a b A +?= ⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式： ()() 11122 n n n n n a a S na d -+=+ = ⑸常用性质： ①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+； ②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；

集合的概念教学设计

集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的

基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的

高中数学必修5数列知识点总结

数列 1. 等差数列 通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2.{}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+，又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列 通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:

高中数学必修5试题及详细答案

期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{a n }中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2 n 9．如果a ＜b ＜0，那么( )．

高中数学新课程创新教学设计案例函数的概念

高中数学新课程创新教学设计案例函数的概念 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

6 函数的概念 教材分析 与传统课程内容相比，这节内容的最大变化就是函数概念的处理方式．事实上，“先讲映射后讲函数”比“先讲函数后讲映射”，有利于学生更好地理解函数概念的本质．第一，在初中函数学习基础上继续深入学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；第二，直接进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念的学习上，而不必花大量精力学习映射，使其认识映射与函数的关系后才能理解函数的概念． 函数概念是中学数学中最重要的概念之一．函数概念、思想贯穿于整个中学教材之中．通过实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念． 对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念．其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质．教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解． 教学目标 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用． 2. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 3. 了解映射的概念． 任务分析 学生在初中对函数概念有了初步的认识．这节课的任务是在学生原认知水平的基础上，用集合与对应的观点认识函数，了解构成函数定义的三要素，认识映射与函数是一般与特殊的关系． 教学设计 一、问题情景 1. 一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中目标．炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度h随时间t 的变化规律是h＝294t－4.9t2，（0≤t≤60，0≤h≤4410）． 2. 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况．

人教版高二数学必修五学案(全套)

加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！ 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B = sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =

高中数学必修5教材电子课本(人教版)

高中数学必修5_教材电子课本（人教 版）.pdf 篇一：人教版高一数学必修一电子课本1 第一章集合和函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义和表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性和最大（小）值 1.3.2 奇偶性 第二章基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1 指数和指数幂的运算 2.1.2 指数函数及其性质 2.2 对数函数

2.2.1 对数和对数运算（一） 2.2.1 对数和对数运算（二） 2.2.2 对数函数及其性质 2.3 幂函数 第三章函数的使用 3.1 函数和方程 3.1.1 方程的根和函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3.2 函数模型及其使用1 2 3 4 5 篇二：人教版高一数学必修一至必修五教材目录 必修一、二、四、五章节内容 必修一必修四 第一章集合和函数的概念第一章三角函数1.1 集合 1.1 任意角和弧度制1.2 函数及其表示1.2 任意角的三角函数1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数 2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的使用 3.1 函数和方程3.2 函数模型及其使用必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 使用举例第二章数列

2.1 数列的概念和简单表示方法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n 项和第三章不等式 3.1 不等关系和不等式3.2 一元一次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组) 及其解法3.4 基本不等式 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像和性质1.5 函数y=Asin(?x+?) 1.6 三角函数模型的简单使用第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量使用举例第三章三角恒等变换 3.1 两角和和差的正弦、余弦3.2 简单的三角恒等变换必修二 第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间体的表面积和体积 第二章点、直线、平面间的关系2.1 空间点、直线、平面之间的位2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线和方程 3.1 直线的倾斜角和斜率3.2 直线的方程 3.3 直线的交点坐标和距离公式

1.2.1函数的概念(教学设计)(优秀经典公开课比赛教案)

1．2．1函数的概念（教学设计） 教学目的： 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点：理解函数的概念 教学难点：函数的概念 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？ 问题2：x y =与x x y 2 =是同一函数吗？ 观察对应： 300450600 90212 22 3941 1-12-23-3 3-32-21-1 149 123 123456 (1) (2)(3)(4) 开平方 求正弦 求平方 乘以2 A A A A B B B B 1 二、师生互动，新课讲解： （一）函数的有关概念 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合 {}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。

高中数学必修5数列知识点总结电子教案

高中数学必修5数列知识点总结

数列 1. 等差数列 通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2. {}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+，又10a >所以1013 a -< 故 7n = 2. 等比数列 通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=?

例. {}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________ 解析：由0n a >，242411a a a q ==，231117S a a q a q =++=，解得 1114,,22a q ==-（舍去）。所以5314 S = 3. 求数列的通项 ? 利用1n n n a S S -=-，注意n=1时的情况。 ? 形如1()(2)n n a a f n n -=+≥时，用累加法求解。 ? 形如1 ()(2)n n a f n n a -=≥时，用累乘法求解。 ? 形如1(2)n n a a m n -=+≥时，构造等差数列求解 ? 形如1(2)n n a xa y n -=+≥时，构造等比数列求解。 例.根据下列条件，求{}n a 的通项公式。 （1）数列{}n a 满足：132n n a a n +=++，且12a =。（转化后利用累加法） （2）11a =，11(2)n n n a a n n --=≥。（利用累乘法） （3）11a =，132n n a a +=+。（构造等比数列） 解析：（1）因为1323(1)1n n a a n n +-=+=+-，所以131n n a a n --=-所以 112211(31)()()()2n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+= K 当1n =时，12a =符合n a 通项公式。 （2）因为11(2)n n n a a n n --= ≥，所以122121,12 n n n a a a a n ---==-K 。 11121123n a n a a n n n -=????==K ，1a 符合通项公式。 （3）因为132n n a a +=+，所以113(1)n n a a ++=+，由11a =可知10n a +≠ 所以1131 n n a a ++=+，{}1n a +为等比数列，公比3q =， 11112,123231n n n n a a a --+=+=?∴=?-