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人教版高中数学选修1-1教案学案：3.1.1变化率问题

变化率问题

课前预习学案

一、

预习目标

了解平均变化率的定义。

二、预习内容

[问题1] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________

当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________ [问题2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )

与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________

[问题3]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，

分母是区间两端点间的_______的差。（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。

[问题4] 平均变化率=??x f 12)()(x x x f x f --表示什么?

三、提出疑惑

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

h t

f (x 1)

△y =f (x 2)-f (x 1)

△x = x 2-x 1

f (x 2x 1

x 2

一、学习目标

知道平均变化率的定义。会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。二、学习过程

学习探究探究任务一：

问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?

问题2：高台跳水，求平均速度

新知：平均变化率

：2121()()f x f x f

x x x

-?=

试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即

x ?= 或者2x = ，x ?就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，

函数的变化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它们的比值y

??，则上式就表示

为，此比值就称为平均变化率.

反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.

典型例题

例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +?+?作曲线的割线，求出当0.1x ?=时割线的斜率.

例2 已知函数2

()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]

有效训练

练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6.

练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.

反思总结

1.函数()f x 的平均变化率是

2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：

（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率

当堂检测

1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（） A ．0()f x x +? B ．0()f x x +?

C ．0()f x x ?

D ．00()()f x x f x +?-

3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（）

T(月)

W(kg) 6

12 11

A ．6t +?

B ．96t t

+?+

? C ．3t +? D ．9t +?

4.已知21

2s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______

5. 2

23y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____

6、已知函数12)(2

-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ?，+1(f x ?）），求

课后练习与提高

1、已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），

试求此一次函数的表达式。

2. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？

2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52t

V t -=?（单位：3

cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率.

3.1.1变化率问题

教学目标知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学重点：平均变化率的含义

教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。教学过程：情景导入：

展示目标: 知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。检查预习:见学案

合作探究：

探究任务一：

问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?

问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?

交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。精讲精练：