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2017高考数学应用题

A 1

18．(本题满分16分)

如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3。点C 为OB 上一点（不包含端点O 、

B ），同时点

C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。设细绳的总长为y

（1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；

（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。

18. （Ⅰ）解：在Rt △COA 1中，

cos 2

CA ，θtan 2=CO ， ………2分 θθ

tan 22cos 2

331-+?

=+=CB CA y = 2cos )sin 3(2+-θ

θ（40π

θ<<）……7分

（Ⅱ）θ

θθθθθ222/

cos 1

sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ，

令0='y ，则3

sin =θ ………………12分当31sin >

θ时，0>'y ；3

sin <θ时，0<'y ， ∵θsin =y 在]4

0[π

上是增函数

∴当角θ满足3

sin =θ时，y 最小，最小为224+；此时BC 222-=m …16分

19．由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月每月销售量()P t （单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()Q t （单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．

（1）请分别写出()P t ,()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年3到6月份的销售额最大的月份？

（2）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M （包括边界），求5z x y =-的最大值；

（3）由（2），将动点(,)P x y 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1233

x y ≤-≤类比为2

313x y

≤≤），试列出(,)P x y 所满足的条件，并求出相应的最大值．

（

图

）

（图2）

19.解(Ⅰ)503,136,()1169,7912

t t t t P t t t t t -+≤≤??-<≤?

=?-+<≤??-<≤?

()(4)6(012)16

Q t t t =-

-+≤≤．

()()(1)[(4)6]16

P t Q t t t ?=---+ （36)t <≤ '23

(()())[(3)33]16

P t Q t t ?=-

--0>在(3,6]t ∈恒成立，所以函数在]6,3(上递增当t =6时，max [()()]P t Q t =34.5． ∴6月份销售额最大为34500元． (Ⅱ) ??

?≤-≤≤+≤7

111

5y x y x ，z =x —5y ．

令x —5y=A (x +y )+B(x —y )，则??

?=-=???

?-=-=+3

51B A B A B A ， ∴z =x —5y=—2(x +y )+3(x —y )．由10)(222-≤+-≤-y x ,21)(33≤-≤y x ， ∴1911z -≤≤,则(z )max =11 ．

(Ⅲ)类比到乘法有已知??

???≤≤≤≤7111

5y x xy ,求5y x z =的最大值．由5y x =(xy )A

·(y x )B ??

?=-=????-=-=+3

251B A B A B A ．∴251)(12112

≤≤-xy ,343)(13≤≤xy ∴25

343

1211≤≤z ，则(z )max = 25343 ．

18．（本题满分15分）

如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层1111EFGH E FG H -转动α，如图乙，设α的对边长为x ．

（1）试用α表示x ；

（2）求魔方增加的表面积的最大值．

18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．解：（1）由题意得3sin tan x x x αα

+=，

解得()

3sin 0 1sin cos x ααααπ=

∈++2

，，，（6分）（2）魔方增加的表面积为2

8tan x S α

=?，由（1）得()

72sin cos 0 (1sin cos )

S αααααπ=

∈2++，，，（10分）

令(

)

(

sin cos 1t t αααπ=+=+∈4

，，则()(

)(

36123613611081(1)

t S t t -=

=-?-=-++≤

t =即απ=4时等

号成立），

答：当απ=4

时，魔方增加的表面积最大为108-（15分）

17．（本题满分15分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆柱，且该仓库的总高度为5m ．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/2m 、100元/2m ，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？

17．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．

解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为θ，且()

π0 4

θ∈，，（2分）

H 1E

1F （图甲） 1G 1H

E '

F '

N M x F

（图乙） H '

则该仓库的侧面总造价[]152π55(1tan )1002π54002cos y θθ??=??-?+???????

()

2sin 50π3+cos θθ

-=，（8分）

由22sin 150π0cos y θθ??-'== ???

得1sin 2θ=，即π6θ=，（13分）经检验得，当π6θ=时，侧面总造价y 最小，此时圆锥的高度为53m ．（15分）

（法二）设圆锥的高为x m ，且()0 5x ∈，，（2分）

则该仓库的侧面总造价[]212π55(1)1002π5254002y x x ??=??-?+???+?????

()

2150π+10π225x x =+-，（8分）

由(

)

2210π

1025

x y x '=-=+得53x =，

（13分）经检验得，当533x =时，侧面总造价y 最小，此时圆锥的高度为533m ．（15分）

3. 在一个六角形体育馆的一角 MAN ，用长为a 的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知

120A =∠，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点．

(1) 若BC =a =20, 求储存区域面积的最大值；

(2) 若AB =AC =10,在折线MBCN 选一点D ，使20=+DC BD ，求四边形储存区域DBAC 的最大面积. 解：(1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>

由222202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-，

得22

202022cos1204sin 60

xy ≤=-. 2222112020cos 60201003

sin1202sin 60cos 60.

224sin 604sin 604tan 60S xy ∴=≤??=== 即1003

y 四边形DBAC 面积的最大值为，当且仅当x=时取到． (2) 由20=+DC DB ，知点D 在以B ，C 为焦点的椭圆上，

∵3252

3101021=???=

?ABC S ，∴要使四边形DBAC 面积最大，只需DBC ?的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶点．由103BC =，得短半轴长5,BCD b S ?=面积的最大值为

10352532

??=. 因此，四边形ACDB 面积的最大值为503．

3.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m ．

(1)过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于,A B 两点，且与走廊的一边的夹角为(0)2

θθ<<

，将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；

(2)一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．

解：(1) 根据图得22(),(0,).sin cos 2

l BP AP π

θθθθ=+=

+∈ (2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：

()(

)()sin cos l θθθ

'''=+ 22

0sin 2cos 0cos 2sin sin cos θθθθθθ

?-??+?=+33222(sin cos )

.sin cos θθθθ-= 令()0l θ'=得，4

θ=．

当04

θ<<时，()0,()l l θθ'<为减函数；当

θ<<

时，()0,()l l θθ'>为增函数；所以当4

θ=

时，()l θ有最小值42，

因为425>，所以铁棒能水平通过该直角走廊．

19．（本小题满分16分）

如图一块长方形区域ABCD ，AD ＝2（km ），AB ＝1（km ）．在边AD 的中点O 处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF 始终为π

，设∠AOE ＝α，探照灯O 照射在长方形ABCD 部区域的面积为S ．

（1）当0≤α＜π

时，写出S 关于α的函数表达式；（2）当0≤α≤

时，求S 的最大值．（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE 自OA 转到OC ，再回到OA ，称“一个来回”，忽略OE 在

OA 及OC 反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB

边上有一点G ，且∠AOG ＝π

，求点G 在“一个来回”中，被照到的时间．

G E

19．解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．

①当0≤α≤π

时，

E在边AB上，F在线段BH上（如图①），

此时，AE＝tanα，FH＝

tan()

-，… 2分

∴S＝S正方形OABH－S△OAE－S△OHF

＝

11π

1tan tan()

224

αα

---．………… 4分

②当π

＜α＜

时，

E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），

此时，EH＝

tanα

，FH＝

3π

tan()

，… 6分

∴EF＝

3π

tan tan()

αα

．

∴S＝S△OEF＝111

3π

2tan tan()

αα

?? ?

? ?

．

综上所述，

11ππ

1tan tan(),(0),

2244

111ππ

,().

3π

2tan42

tan()

ααα

αα

---

???

?+<<

? ?

???

≤≤

………… 8分

（2）当0≤α≤π

时，S＝

11π

1tan tan()

224

αα

---，

即S

2(1tan)

21tan

=-++

．……………… 10分

∵0≤α≤π

，∴0≤tanα≤1．即1≤1＋tanα≤2．

∴

1tan

≥

D图②

D O 图①

∴S ≤2

当tan α

1时，S 取得最大值为2

． ……………… 12分（3）在“一个来回”中，OE 共转了2×3π4＝3π2

．其中点G 被照到时，共转了2×

π6＝π

．

……………… 14分

则“一个来回”中，点G 被照到的时间为π

3923π2

?=（分钟）．…… 16分

17．（本小题满分14分）

第十八届省运会将于2014年9月在市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心1O 、2O 之间的距离为10米．（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，B ，C ，D 均在圆弧上，12O O AB ⊥于点M ．设

2AO M

，求矩形的宽AB 为多少时，可使喷泉ABCD 的面积最大；

（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA NB =，24NO =米．若2[,]64

AO M ，求喷泉的面积的取值围．

、

17．（1）在直角2AO M Δ中，10sin AM θ=，210cos O M θ=，则20cos 10AD θ=+，所以矩形ABCD 的面积20sin (20cos 10)200(2sin cos sin )S θθθθθ=+=+，………4分令()2sin cos sin f θθθθ=+，0

，

则2'()2cos2cos 4cos cos 2f θθθθθ=+=+-，令'()

0f θ=，得cos

θ=0cos θ，且0

，列表如下：

（第17题图乙）

（第17题图甲）

2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；

2017年高考全国卷一文科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?

2017年高考新课标全国3卷文科数学

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A?B中元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至 2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 . 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知 4 sin cos 3 αα -=，则sin2α= A． 7 9 -B． 2 9 -C． 2 9 D． 7 9 5．设x，y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ，则z=x-y的取值范围是 A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]

6．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x ?6π )的最大值为 A ．6 5 B ．1 C ．35 D ．15 7．函数y =1+x +2sin x x 的部分图像大致为 A ． B ． C ． D ． 8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π2 D ． π4

2017高考全国3卷理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{} 22 (,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B. 2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A ．1 2 B ． 2 C ．2 D ．2 【答案】C 【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2 z -+= ===+++-，则22112z =+=，故选C. 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A. 4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（） A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80 【答案】C 【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为 ()()()()2 3 3 2 233355C 2C 240x x y y x y x y ?-+?-=，则33x y 的系数为40，故选C. 5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5 y x =，且与椭圆 22 1123 x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y - = B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22 143 x y -= 【答案】B 【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y x =，则5 b a = ① 又∵椭圆22 1123 x y + =与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22 145 x y - =，故选B. 6．设函数π ()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减【答案】D 【解析】函数()πcos 3f x x ? ?=+ ?? ?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2?? ???上先递减后递增，D 选项错误，故选D. π23π53 -π36 π x y O 7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全)

20XX 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．=++i 1i 3 A ．i 21+ B ．i 21- C ．i 2+ D ．i 2- 2．设集合{}4 2 1，，=A ，{} 042=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=B A ．{}3 1-， B. ．{}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1， 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π36 5．设y x 、满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是 A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ． 24种 D ．36种理科数学试题第1页（共4页）

2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是