裂项相消万能公式口诀

裂项相消万能公式口诀

1、裂项相消的公式

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

1/(√daoa+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

n·n!=(n+1)!-n!

2、裂项法求和

(1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]

(2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

(3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

(5) n·n!=(n+1)!-n!

(6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

(7)1/[√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n

(8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n]

3、数列求和的常用方法

1、分组法求数列的和：如an=2n+3n

2、错位相减法求和：如an=n·2^n

3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如an= n

5、求数列的最大、最小项的方法：

①an+1-an=……如an= -2n2+29n-3

0) 如an=

③an=f(n) 研究函数f(n)的增减性如an= an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差数列中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.

(2)当a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.

7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。真题训练：

裂项相消法公式大全

裂项相消法公式大全 裂项相消法是一种数学方法，用于解决等差数列、等比数列以及无理数列的求和问题。该方法的基本思想是将等差数列、等比数列以及无理数列的每一项分别裂项，然后将裂项相消，从而得到等差数列、等比数列以及无理数列的和。 以下是裂项相消法的一些公式: 1. 等差数列求和公式: Sn = n * (a1 + an) / 2 其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。 2. 等比数列求和公式: Sn = (n/2) * (a1 * an) / (an + a1) 其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。 3. 无理数列求和公式: 对于无理数列，可以将每一项裂项，然后相消。例如，对于无理数列π*(n+1)/n，可以将π*(n+1)/n 裂项为π/n 和 (n+1)*π/n，然后将两项相消。 4. 等差数列裂项公式: a[n+1] - a[n] = (n+1-n)*a1 其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

5. 等比数列裂项公式: a[n+1]/a[n] = (a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n]) 其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。 6. 无理数列裂项公式: π*(n+1)/n - π/n = (n+1-n)*π 其中，π*(n+1)/n 是数列的第 n+1 项，π/n 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。 以上是裂项相消法的一些公式，可以根据实际需要选择合适的公式进行求解。

裂项相消万能公式口诀

裂项相消万能公式口诀 1、裂项相消的公式 1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] 1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] 1/(√daoa+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) n·n!=(n+1)!-n! 2、裂项法求和 (1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)] (2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] (3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]} (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) (5) n·n!=(n+1)!-n! (6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)] (7)1/[√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n

(8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n] 3、数列求和的常用方法 1、分组法求数列的和：如an=2n+3n 2、错位相减法求和：如an=n·2^n 3、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 4、倒序相加法求和：如an= n 5、求数列的最大、最小项的方法： ①an+1-an=……如an= -2n2+29n-3 0) 如an= ③an=f(n) 研究函数f(n)的增减性如an= an^2+bn+c(a≠0) 6、在等差数列中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.

裂项相消法公式求和公式

裂项相消法公式求和公式 在数学中，求和公式是一个非常基础的概念，它用于将一系列的数值相加，得到它们的总和。裂项相消法是求和公式的一种常见方法，在这种方法中，我们通过将相邻的项相减，以消去一些项，从而简化求和公式。本文将详细介绍裂项相消法的公式和使用方法。 裂项相消法公式 裂项相消法公式是一个非常重要的求和公式，它可以用来求解一些较为复杂的求和问题。这个公式的具体形式如下： $$\sum_{i=1}^{n}a_i=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^{n}(a_i+a_{n- i+1})-\sum_{i=1}^n(a_i-a_{n-i+1})\right]$$ 这个公式看起来比较复杂，但实际上它非常简单。其中，$\sum_{i=1}^{n}a_i$表示从1到n的所有$a_i$的和，而$\sum_{i=1}^{n}(a_i+a_{n-i+1})$和$\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{n-i+1})$分别表示将$a_i$和$a_{n-i+1}$相加和相减后的总和。根据裂项相消法的原理，这两个总和相减后，可以得到原始的$a_i$的和。 使用裂项相消法求和 使用裂项相消法求和的具体方法非常简单，只需要按照公式进行计算即可。以下是一个具体的例子：

$$\sum_{i=1}^{5}i^3$$ 我们可以使用裂项相消法来计算这个求和式。首先，我们可以将这个求和式写成两个总和的形式： $$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{5}i^3&=\frac{1}{2}\left[\sum_{i =1}^{5}(i^3+(6-i)^3)-\sum_{i=1}^{5}(i^3-(6- i)^3)\right]\\&=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^{5}(i^3+(6-i)^3)-\sum_{i=1}^{5}(2i^3-3i^2\times6+3i\times36- 2\times6^3)\right]\end{aligned}$$ 然后，我们可以使用简单的代数运算来计算这两个总和： $$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{5}(i^3+(6- i)^3)=2\times\sum_{i=1}^{5}(i^3+108- 18i^2)\\=&2\times(\sum_{i=1}^{5}i^3+540- 18\sum_{i=1}^{5}i^2)\\=&2\times(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 +540- 18\times(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2))\\=&2\times(1+8+27+6 4+125+540- 18\times55)\\=&2\times(775)=1550\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{5}(2i^3- 3i^2\times6+3i\times36-

裂项相消的万能公式ab

裂项相消的万能公式ab 裂项相消是一个常用的代数技巧，它可以使复杂的式子化简为简单的 形式。裂项相消可用于求解各类算式，公式和方程，具有广泛的应用范围，而裂项相消的精髓就是万能公式ab。 万能公式ab又称因式相消法则，它告诉我们，如果两个式子的差可 以分解成它们的公共因子与不同因子的乘积，那么这两个式子就可以通过 裂项相消来简化。 万能公式的表达式为： ab = a - b / a - b = a + b / a + b 其中，a和b可以是任意实数或变量，a≠b。 使用万能公式ab的步骤： 1.将原式写成差的形式； 2.判断式子中是否存在公共因子，如果存在，将其提取出来； 3.将差分解成不同因子的乘积； 4.对分解后的式子进行裂项相消，将结果合并。 下面我们通过一些例子来看看万能公式ab的应用。 例1：化简（某^2-25）/(某-5) 解：将分子分母写成差的形式，即： (某^2-25)/(某-5)=(某+5)(某-5)/(某-5)

我们可以发现分子和分母中都存在(某-5)这个公共因子，将其提取出来得到： =(某+5)某[(某-5)/(某-5)] 此时我们可以使用万能公式ab进行化简： =(某+5)某[(某-5+10)/(某-5+10)]（将-5拆成-10+5） =(某+5)某[(某-5)/(某+10)] 最终结果为：(某+5)某[(某-5)/(某+10)] 例2：求解方程某/(某-3)-2/(某-3)=1/(某-3) 解：将方程化为差的形式，得到： 某/(某-3)-2/(某-3)-1/(某-3)=0 我们可以发现分母相同，可以将分子分别裂项相消，最终得到： (某-5)/(某-3)=0 因为方程的分母不能为0，所以只有当某=5时，方程成立。 例3：将(某^2+某-2)/(某^2-4某+3)化简为最简式子 解：将分子分母化成差的形式，并寻找公共因子，得到： (某^2+某-2)/(某^2-4某+3)=(某^2+3某-2某-2)/[(某-3)(某-1)] =[(某+3)(某-1)-2(某-1)]/[(某-3)(某-1)] =(某+3-2)/(某-3) =(某+1)/(某-3)

小升初裂项相消法

小升初裂项相消法 裂项相消法（拆分法）是一种数学计算方法，它将一个分数拆分成两个或两个以上的分数相减或相加，然后进行计算。这种方法也被称为拆分法。 列项相消公式有以下几种形式： 1）$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 2）$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}- \frac{1}{n+k}\right)$ 3）$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{(- 1)^{k+1}}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)$ 4） $\frac{1}{n(n+1)(n+k)}=\frac{1}{k}\left[\frac{1}{n(n+1)}- \frac{1}{(n+k)(n+k+1)}\right]$

5） $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)}- \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$ 另外，还有以下形式： 6）$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 数列是按一定次序排列的一列数，每个数叫做这个数列的项。数列的项数就是数列中数字的个数。 等差数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。这个常数叫做等差数列的公差。 等差数列的和可以用以下公式计算：和=（首项+末项）×项数÷2. 等差数列的项数可以用以下公式计算：项数=（末项-首项）÷公差+1.

等差数列的末项可以用以下公式计算：末项=首项+公差×（项数-1）。 以下是一些例题： 例1： $\frac{1}{1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8}=\ frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\times3\times5\times7\times}\frac{1}{9 }\right)$ 例2： $\frac{1}{2\times6\times12\times20\times30\times42\times56}=\fr ac{1}{2\times3\times4\times5\times6}\left(\frac{1}{1\times2}+\fr ac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+\frac{1 }{5\times6}+\frac{1}{6\times7}+\frac{1}{7\times8}\right)$ 例3：$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100$ 例4： $\frac{1}{3\times5\times7\times9\times11\times13}=\frac{1}{2\ti

裂项相消法的公式

裂项相消法的公式 裂项相消法是一种求解代数式的方法，可以通过对某些项进行分解，从而实现消去相同的项，从而简化计算。该方法适用于多项式和 分式，下面详细介绍一下这种方法的公式和应用。 公式： 对于多项式和分式中的一些项，如果它们的差是一个常数，那么 我们可以借助裂项相消法将它们消去。具体而言，我们可以将这些项 的和或差表示为如下形式： a / (x - p) + b / (x - q) 其中，a和b是常数，p和q是两个不同的实数。注意，这里的x 是变量，不等于p或q。这个式子可以用通分的方式表示为：(a(x - q) + b(x - p)) / ((x - p)(x - q)) 可以看出，这个式子的分母是(x - p)(x - q)，而分子是a(x - q) + b(x - p)，其中的(x - p)和(x - q)是“相消”的项，因此可以约掉，留下(a(x - q) + b(x - p))这一常数。 应用： 裂项相消法可以用于简化多项式和分式中的表达式，让计算变得 更加简便。例如，我们可以用这个方法来计算以下式子的值： 1 / (x - 2) + 2 / (x + 1)

首先，我们可以将这个式子表示为通分的形式： (1(x + 1) + 2(x - 2)) / ((x - 2)(x + 1)) 展开后，可以得到： (3x - 3) / (x^2 - x - 2) 可以看出，这个结果已经比原式简化了很多。在具体计算时，我们只需要将原式表示为上述形式，然后将分母进行分解，最终得到一个简单的代数式。 总之，裂项相消法是一种非常实用的方法，适用于求解各种代数式。通过它，我们可以将原本复杂的计算问题转化为简单的分解和化简过程，让数学计算变得更加轻松。

小学奥数裂项相消法

小学奥数裂项相消法 大家好，今天雨过天晴，正是学习的好时机。 我们来讲一下裂项相消法。 在我们的读书生涯中，裂项相消法一直陪伴着我们。毫不夸张的说，只要你学数学，总会看到它的身影。 首先，我们来介绍两个公式： 1、母积子和公式： \displaystyle \frac{b+a}{a\times b } =\frac{b}{a\times b }+\frac{a}{a\times b }=\frac{1}{a}+\frac{1}{b } \\ •分母是两个数的乘积 •分子是这两个数的和 •则可以裂项为两个分数的和 2、母积子差公式： \displaystyle \frac{b-a}{a\times b } =\frac{b}{a\times b }-\frac{a}{a\times b }=\frac{1}{a}-\frac{1}{b } \\ •分母是两个数的乘积 •分子是这两个数的差 •则可以裂项为两个分数的差 我们今天要讲的是分裂项的消除，与这两个公式有关。 下面介绍一下我们初中数学经常用到的两个基本公式： \displaystyle \frac{1}{n\times \left ( n+1 \right ) } =\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} \\\displaystyle

\frac{1}{n\times \left ( n+k \right ) } =\frac{1}{k}\left ( \frac{1}{n} -\frac{1}{n+k} \right ) \\ 那这两个基本公式和我们上面看到的母积子和、母积子差公式有什么关系呢？ 同学们可以暂停思考一下。 这里又用到了我们数学计算中非常重要的一个方法：“巧用1”，不管在以后的高中，大学的学习中，都会经常使用到这 个计算方法。 左边分子1可以表示成\displaystyle 1=n+1-n，那同学们是 不是马上就看到了母积子差公式。 根据这个思路，我们再来看\displaystyle \frac{1}{n\times\left ( n+k \right ) } ,分子1怎么表示，才能和分母产生联系？\displaystyle n+k-n=k那是不是 只要在前面乘上\displaystyle \frac{1}{k} 就搞定了？ 是的，我们只需要将分子写成\displaystyle \frac{1}{k} \left ( n+k-n \right ) ,这样我们就可以利用母积子差公式推导出常用基本公式。 记住这两个基本公式对于我们初中数学计算来说非常重要。 接下来，有了公式当然需要实战一下，看对公式掌握的怎么样？ 例1、\displaystyle \frac{1}{1\times2 } + \frac{1}{2\times3 } + \frac{1}{3\times4 } + \frac{1}{4\times5 } + \frac{1}{5\times6} + \frac{1}{6\times7}

裂项相消法公式大全

裂项相消法公式大全 裂项相消是高中数学中常见的技巧，可以用来简化复杂的分式、方程式等等。以下是一些常见的裂项相消法公式： 1. $\dfrac{a}{b-c}-\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{2ac}{b^2-c^2}$ 2. $\dfrac{a+b}{c}-\dfrac{a-b}{c}=\dfrac{2ab}{c^2}$ 3. $\dfrac{x}{(x+a)(x+b)}- \dfrac{x}{(x+b)(x+c)}=\dfrac{ab}{(x+a)(x+b)(x+c)}$ 4. $\dfrac{a}{x(x-a)}+\dfrac{b}{x(x-b)}=\dfrac{a+b}{x^2-ab}$ 5. $\dfrac{1}{ab}(\dfrac{1}{a-x}- \dfrac{1}{b+x})=\dfrac{2x}{a^2-x^2}-\dfrac{2x}{b^2-x^2}$ 6. $\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}-\dfrac{x-1}{x^2-2x-3}=-\dfrac{2}{x-1}$ 7. $\dfrac{1}{x(x-1)(x-2)(x-3)}=\dfrac{6}{x-3}-\dfrac{15}{x- 2}+\dfrac{10}{x-1}-\dfrac{1}{x}$ 8. $\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{-1}{x}+\dfrac{2}{x+1}- \dfrac{1}{x+2}$ 9. $\dfrac{x}{(x-a)(x-b)}+\dfrac{y}{(x-b)(x-c)}+\dfrac{z}{(x- c)(x-a)}=\dfrac{(x+y+z)}{(x-a)(x-b)(x-c)}$ 以上公式只是其中的一部分，裂项相消的技巧需要经常练习才能掌握。

小升初裂项相消法

裂项相消法（拆分法） 一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相 加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。 二：列项相消公式 （1）111(n 1)1 n n n =-++ （2） ()11k n n k n n k =-++ （3）1111()(n )n k n n k k =-⨯++ （4） ()()()()()1111121122n n n n n n n ⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪+++++⎝⎭ （5）11a b a b a b +=+⨯ （6）22a b b a a b a b +=+⨯ 三：数列 （1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。 (2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。依次叫做这个数列的第一项（首项）、第 二 项、、、、、、第n 项（末项）。 （3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。 四：等差数列 （1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。而这个常数叫做等差数列的公差。 （2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 （3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1 （4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）

例1、 1111111 12233445566778 ++++++ ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 例2、1111111 261220304256 ++++++ 例3、 111111111 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 612203042567290110 例4、 111111 133557799111113 +++++ ⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 例5、11111 315356399 ++++例6、 11111 1+3+5+7+9 315356399

裂项相消的万能公式ab

裂项相消的万能公式ab 裂项相消是一种在代数式中进行变量替换的方法，通过适当的变换， 可以简化复杂的表达式，从而更方便地进行计算。裂项相消的万能公式 ab是一个可以用来快速化简代数式的公式，它的形式如下： ab = (a - b)(a + b) 这个公式可以用于快速化简一些特定形式的代数式，特别是涉及到两 个变量相乘的情况。在数学中，我们经常会遇到一些形如ab的表达式， 使用万能公式ab可以帮助我们简化这些表达式，使得计算更加简洁和高效。 万能公式ab的使用方法相当简单，只需要将表达式中的ab用公式进 行替换即可。例如，如果我们有一个表达式为3ab，我们可以使用万能公 式ab来化简它，得到如下结果： 3ab = 3(a - b)(a + b) 通过这种替换，我们可以将原表达式化简成一个更简洁的形式。在许 多情况下，使用万能公式ab都能够有效地化简代数式，使得计算更加简 便和高效。 当然，万能公式ab并不仅限于两个变量相乘的情况，它还可以用于 一些更复杂的表达式。例如，当我们面对一个表达式为2a^2b - 3ab^2时，我们同样可以使用万能公式ab来进行化简。具体步骤如下： 2a^2b - 3ab^2 = 2(a^2 - b^2)b - 3ab^2 = 2(a - b)(a + b)b - 3ab^2

通过使用万能公式ab，我们可以将原表达式化简成更简洁的形式，从而更方便进行计算和分析。 总之，万能公式ab是一种在代数式化简中十分有用的工具。通过使用这个公式，我们可以快速化简一些复杂的代数式，使得计算更加简便和高效。然而，需要注意的是，万能公式ab并不适用于所有的代数式，而是针对特定形式的代数式。因此，在具体使用中，我们需要根据实际情况判断是否合适应用这个公式。