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高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题库

一、选择题（每题4分，共20分）

1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9

解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，

||=.

2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）

A ）{-1,1,5}.

B ） {-1,-1,5}.

C ） {1,-1,5}.

D ）{-1,-1,6}.

解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.

3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ）

A ）-i -2j +5k

B ）-i -j +3k

C ）-i -j +5k

D ）-2i -j +5k

解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .

4. 求两平面和的夹角是：（C ）

A ）2π

B ）4π

C ）3

π D ）π 解由公式（6-21）有，因此，所求夹角．

5. 求平行于轴，且过点和的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）．

解由于平面平行于轴，因此可设这平面的方程为因为平面过、两点，所以有

解得，以此代入所设方程并约去，便得到所求的平面方程

6．微分方程()043

='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

A ．3

B ．4

C ．5

D ． 2

7．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为(A )。

A ．3

B ．5

C ．4

D ． 2

8．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( B )。

A ．x y 2=

B ．2x y =

C ．x y 2-=

D ． x y -= 9．微分方程3

3y y ='的一个特解是( B)。

A ．13+=x y

B ．()32+=x y

C ．()2C x y +=

D ． ()31x C y += 10．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解(C)。

A ．0=+'y y

B ．02=+'y y

C ．0=+y y n

D ． x y y cos =+'' 11．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的(A)，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 12．y y ='满足2|0==x y 的特解是( B)。

A ．1+=x

e y B ．x

e y 2= C ．2

2x e y ?= D ． x e y ?=3 13．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( C )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 14．下列微分方程中，( A )是二阶常系数齐次线性微分方程。 A ．02=-''y y B ．032=+'-''y y x y C ．045=-''x y D ． 012=+'-''y y

15．微分方程0=-'y y 满足初始条件()10=y 的特解为( A )。 A ．x e B ．1-x e C ．1+x e D ． x e -2

16．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( C )。 A ．1=y B ．x y = C ．x y sin = D ． x e y =

17．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( C )。 A ．x y 2=' B ．x y 2='' C ．x y 2='，()31=y D ． x y 2=''，()31=y 18．下列微分方程中，可分离变量的是( B )。 A ．

e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dx

--=(k ,a ,b 是常数)

C ．

x y dx

=-sin D ． x e y xy y ?=+'2 19．方程02=-'y y 的通解是( C )。

A ．x y sin =

B ．x e y 24?=

C ．x e C y 2?=

D ．x e y = 20．微分方程

0=+x

dy y dx 满足4|3==x y 的特解是( A )。 A ．2522=+y x B ．C y x =+43 C ．C y x =+22 D ． 722=-y x 21．微分方程

=?-y x

dx dy 的通解是=y ( B )。 A ．x

B ．Cx

C ．C x +1

D ． C x +

22．微分方程0=+'y y 的解为( B )。

A ．x e

B ．x e -

C ．x x e e -+

D ． x e -

23．下列函数中，为微分方程0=+ydy xdx 的通解是( B )。

A ．C y x =+

B ．

C y x =+22 C ．0=+y Cx

D ． 02=+y Cx 24．微分方程02=-dx ydy 的通解为( A )。

A ．C x y =-2

B ．

C x y =- C ．C x y +=

D ．C x y +-= 25．微分方程xdx ydy sin cos =的通解是( D )。 A ．C y x =+cos sin B ．C x y =-sin cos C ．C y x =-sin cos D ． C y x =+sin cos 26．x e y -=''的通解为=y ( C )。

A ．x e --

B ．x e -

C ．21C x C e x ++-

D ．21C x C e x ++-- 27．按照微分方程通解定义，x y sin =''的通解是( A )。 A ．21sin C x C x ++- B ．21sin C C x ++- C ．21sin C x C x ++ D ． 21sin C C x ++

一、单项选择题

2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C

A. 若0

lim (,)x x

y y f x y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0

lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处

z x ??和z

y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处

z x ??和z

??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22

y ??.

6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-r r ，则a b =r

r g （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2

5．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2），则→

→?AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2； 6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3），则||→

→

+AB MA =（ B ）

(A);2-

(B) ; (C)2; (D)-2;

7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)D

F x y d σ??为二次积分的正确

方法

是_________. D

A. 20(,)a

a a

dx f x y dy -??

B. 20

2(,)a

dx f x y dy ?

C. 2cos 0

(cos ,sin )a a a

d f d θθρθρθρρ-??

D. 2cos 20

(cos ,sin )a d f d π

θπ

θρθρθρρ-

8．设3ln 1

0(,)x I dx f x y dy =??

, 改变积分次序, 则______.I = B A. ln30

(,)y e dy f x y dx ?? B. ln33

0(,)y e dy f x y dx ?

C. ln33

(,)dy f x y dx ?

? D. 3

ln 1

(,)x dy f x y dx ??

9．二次积分cos 20

(cos ,sin )d f d π

θθρθρθρρ??

可以写成___________. D

A. 1

(,)dy f x y dx ??

B. 1

(,)dy f x y dx ?

C. 11

(,)dx f x y dy ?? D. 10

(,)dx f x y dy ?

10．设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分

(,,)I f x y z dx dy dz Ω

=???表示为三次积分，________.I = C

A ． 221

(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ?

B. 2

(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ?

C ． 2222

(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ?

D ． 222

(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ?

11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=?L

dx y x P ,

（ C ）

（A ） a （B ） c

（C ） 0 （D ） d

12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=?L

dy y x P ,

（ C ）

（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d

13．设有级数

∑∞

n n

,则0lim =∞

→n n u 是级数收敛的

（ D ）

(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;

．

幂

级

数

∑∞

n n

的收径半径R =

（ D ）

(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 1

15．幂级数∑∞

=11n n

x n 的收敛半径=R

（ A ）

(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 3

16．若幂级数

∑∞

n n

x a

的收敛半径为R ，则

∑∞

=+0

2n n n

x a

的收敛半径为

（ A ）

(A) R (B) 2R

17. 若lim 0n n u →∞

=, 则级数1

n n u ∞

=∑( ) D

A. 收敛且和为

B. 收敛但和不一定为

C. 发散

D. 可能收敛也可能发散 18. 若1n n u ∞

=∑为正项级数, 则( )

A. 若lim 0n n u →∞

=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21

n n u ∞

=∑收敛

C. 若21

n n u ∞=∑, 则1

n n u ∞=∑也收敛 D. 若1

n n u ∞

=∑发散, 则lim 0n n u →∞

≠

19. 设幂级数1

n n n C x ∞

=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( )

A. 绝对收敛

B. 条件收敛

C. 发散

D. 敛散性不定 20. 级数1

sin (0)!n nx

x n ∞

=≠∑

, 则该级数( ) B A. 是发散级数 B. 是绝对收敛级数

C. 是条件收敛级数

D. 可能收敛也可能发散

二、填空题（每题4分，共20分）

1. a ?b = （公式）

答案∣a ∣?∣b ∣cos()

2. a =(a x ，a y ，a z )，b=(b x ，b y ，z b z )则 a ·b = （计算）答案a x b x +a y b y +a z b z

3. .=?b a ρ

答案z

y x

z y

b b b a a a k

j i ρρρ 4. ][c b a ρ

ρρ= 答案x

y z x

a a a

b b b

c c c 5. 平面的点法式方程是答案 6.设(

y y x z -+=

2arcsin ，其定义域为 ((){}

0,1,22

≥>≤+x y y x

y x )

7.设()()

??=≠=0

00sin ,2xy xy xy

y x y x f ，则()=1,0x f (()11,0=x f )

8.()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的的条件. (充分，必要) 9.()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ??及y

z ??存在是()y x f ,在该点可微分的条件.(必要)

10.在横线上填上方程的名称

①()0ln 3=-?-xdy xdx y 方程的名称是答案可分离变量微分方程；

②()()022=-++dy y x y dx x xy 方程的名称是答案可分离变量微分方程； ③x

y dx dy x

ln ?=方程的名称是答案齐次方程；

④x x y y x sin 2+='方程的名称是答案一阶线性微分方程；

⑤02=-'+''y y y 方程的名称是

答案二阶常系数齐次线性微分方程.

11. 在空间直角坐标系{O ;k j i ρ

ρρ,,}下，求P (2,－3,－1)，M (a , b , c )关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a , b , c )关于xOy 平面的对称点坐标为(a , b , －c )，

M (a , b , c )关于yOz 平面的对称点坐标为(－a , b , c )， M (a , b , c )关于xOz 平面的对称点坐标为(a ,－b , c )， M (a , b , c )关于x 轴平面的对称点坐标为(a ,－b ,－c )， M (a , b , c )关于y 轴的对称点的坐标为(－a , b ,－c )， M (a , b , c )关于z 轴的对称点的坐标为(－a ,－b , c ). 类似考虑P (2,－3，－1)即可.

12.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？

（1-=+ （2+=+

（3=+ （4+=-

（5-=-

[解]：（1）,-=+；

（2）,+=+

（3≥且,-=+

（4）,+=-

（5）,≥-=-

13.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面；（2）单位圆

（3）直线；（4）相距为2的两点

二、填空题

1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.

2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则

)1,0('x f =____0______.

3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是

()()????=D

d d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,

4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是

()()??????Ω

=dz d d z f dxdydz z y x f ?ρρ?ρ?ρ,sin ,cos ,,

5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=

6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9D

dxdy π=??, 则a = 3 。

7．设D 由曲线sin ,a a ρθρ==所围成, 则D

dxdy =

??234

a π 8．设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2D

dxdy =??6π

9．设()y x f ,在[0， 1]上连续，如果()31

dx x f ，

则()()??1

dy y f x f dx =_____9________.

10．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则

()L

x y ds +=?

11．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，

则 ().___________=-?L

ds y x 0

12．等比级数∑∞

n n

aq )0(≠a 当 1q < 时，等比级数∑∞

n n aq 收敛.

13．当__1ρ>__时，-p 级数∑

∞

=11

n p n

是收敛的.

14．当_________时,级数()

∑∞

=--11

1n p

n n 是绝对收敛的. 1ρ> 15

．若(,)f x y =则(2,1)_________.x f = 12,

16．若2

(,)(1)arccos 2y f x y xy x x

=+-, 则(1,)_________.y f y = 23y

17．设x y u z =, 则_________.du = ln ln x y xy z y xdx x zdy dz z ?

?++ ???

18．设ln x

z y

=, 则22__________.z x ?=? ln 2

ln (ln 1)x

y y y x

- 19. 积分2220y x dx e dy -??的值等于_________. 41

(1)2

e --,

20.设D 为园域222x y a +≤, 若()228D

x y dxdy π+=??, 则_______.a = 2

21.设2I dxdydz Ω

=???, 其中2222:,0x y z a z Ω++≤≥, 则_______.I =

a π

三、是非题

（每题4分，共20分）

1. 初等函数的定义域是其自然定义域的真子集. ( ⅹ )

2. sin lim

1x x

→∞=. ( ⅹ )

3. 22

lim

x x x →∞-=-+. (ⅹ )

4. 对于任意实数x , 恒有sin x x ≤成立. (ⅹ )

5. 0x

y =是指数函数. ( ⅹ )

6. 函数()log 01a y x a = <<的定义域是()0, +∞. (ⅹ )

7. 23log 3log 21?=. (√ )

8. 如果对于任意实数x R ∈, 恒有()0f x '=, 那么()y f x =为常函数. (√ ) 9. 存在既为等差数列, 又为等比数列的数列. ( √ ) 10. 指数函数是基本初等函数. (√ ) 11.

0x →=. ( √ ) 12. 函数3

34y x x =++为基本初等函数. (√ ) 13. 1

a x dx x C a +=

++?

. ( ⅹ ) 14. ()arcsin x π+是基本初等函数. ( ⅹ ) 15. sin x 与x 是等价无穷小量. (ⅹ ) 16. 1x

e -与x 为等价无穷小量. ( ⅹ )

17. 若函数()f x 在区间[],a b 上单调递增, 那么对于任意[],x a b ∈ , 恒有()0f x '>. ( ⅹ )

18. 存在既为奇函数又为偶函数的函数. ( ⅹ )

19. 当奇函数()f x 在原点处有定义时, 一定成立()00f =. (√ )

20. 若偶函数()[]()

1,1y f x x = ∈- 连续, 那么函数()()()

1,1y f x x '= ∈- 为奇函数. (√ )

21. 若奇函数()[]()

1,1y f x x =∈- 连续, 那么函数()()()

1,1y f x x '= ∈- 为偶函数. (√ )

22. 偶函数与奇函数的乘积为奇函数. (√ ) 23. 奇函数与奇函数的乘积为偶函数. ( √ )

24. 若函数()f x 为奇函数, 那么一定成立()00f =. (√ ) 25. 若函数()f x 为偶函数, 那么一定成立()00f '=. ( ⅹ )

26. ()()

sin cos x x π'+=. (ⅹ )

27. sin cos sin 2x x x =. (ⅹ ) 28. ()x

a a '=. (ⅹ )

29. ()sin sin x x x π+=. ( ⅹ )

30. 单调函数一定存在最大值与最小值. ( ⅹ ) 31. 单调函数一定存在反函数. (√ )

32. 互为反函数的两个函数的图像关于直线y x =对称. ( √ )

33. 若定义域为[]0,1 的函数()f x 存在反函数, 那么()f x 在区间[]0,1 上单调. ( √ )

34. 22

lim 212

n n x n →∞+=+. (√ )

35. 对于任意的,a b R +

∈, 恒有a b +≥√ )

36. 函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )

37. 若函数()f x 在其定义域内处处有切线, 那么该函数在其定义域内处处可导. (ⅹ ) 38. 空集是任意初等函数的定义域的真子集. (ⅹ ) 39.

sin

i x +∞

=∑为初等函数. (ⅹ )

40. 对于任意的x R ∈, 恒有1x +≥. ( ⅹ ) 41. 左右导数处处存在的函数, 一定处处可导. ( ⅹ )

下列题（1．×；2．×；3． √；4．×；5．√）

1．任意微分方程都有通解。( × )

2．微分方程的通解中包含了它所有的解。(× )

3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( √ ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。(×)

5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=

2ln 2

(C 为任意常数)。(√ ) 下列是非题（1．×；2．√；3．√；4．×；5．×）

1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。( )

2．若()x y 1，()x y 2都是()()x Q y x P y =+'的特解，且()x y 1与()x y 2线性无关，则通解可表为()()()()[]x y x y C x y x y 211-+=。( )

3．函数x x e e y 21λλ+=是微分方程()02121=+'+-''y y y λλλλ的解。( ) 4．曲线在点()y x ,处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是C x y +='2(C 是任意常数)。( )

5．微分方程y x e y -='2，满足初始条件0|0==x y 的特解为12

12+=x

y e e 。( ) 是非题（1．×；2．√；）

1．只要给出n 阶线性微分方程的n 个特解，就能写出其通解。

2．已知二阶线性齐次方程()()0=?+'?+''y x Q y x P y 的一个非零解y ，即可四、计算证明题（每题10分，共40分）

1、判断积数收敛性∑∞

=-1

!2)1(2

n n

n 解： 12lim )!

1(2

2lim lim 12)1(122

>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n

由比值法，级数∑∞

=-1

!2)1(2

n n n

n 发散 2．ydy x xdy ydx 2

解：两边同除以2

x ，得：

ydy x xdy

ydx =-2

c y x y

d +-=221

即c y x y =+2

3．

x y

dx dy -=

解：两边同除以x ，得

y x y dx

dy -

令u x y

= 则dx

u dx dy += 即

dx du

u dx dy +=u

u -=1 得到

()2ln 2

1y c u -=，

即2

ln 21??

? ??-=y c y x

另外0=y 也是方程的解。

4．()01=-+xdy ydx xy

解：0=+-xydx xdy ydx

xdx y xdy

ydx -=-2

得到c x y x d +-=???

??2

21 即

c x y x =+2

1 另外0=y 也是方程的解。

5．求方程052=+'+''y y y 的通解.

解: 所给方程的特征方程为

0522=++r r

i r i r 21,2121--=+-=

所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x

+=-.

6.求.

解

7．求方程032=-'+''y y y 的通解.

解所给方程的特征方程为 0322

=-+r r 其根为 1,321=-=r r

所以原方程的通解为 x x

e C e

C y 231+=- 8.证明

()()()

2220,0,lim

y x y x y x y x -+→极限不存在

8)因为()

1lim

=-+=→y x y x y x y

x x ,()

0lim

220=-+=→y x y x y x x

y x 所以极限不存在

9.证明()()4

0,0,lim y x xy y x +→极限不存在

9)设y 2

=kx ，1lim 242202

+=+=→k k

y x xy ky

x y 不等于定值，极限不存在 10.计算σ

d xy D

?? 其中D 是由直线y

1、x 2及y x 所围成的闭区域

解画出区域D

可把D 看成是X

型区域

1x 2 1y x 于是

????=2

11][x

dx xydy d xy σ??-=?=213

112)(21]2[dx x x dx y x x 8

9]24[212124=-=x x

注积分还可以写成??????==21

x D

ydy

xdx xydy dx d xy σ

11．dx

=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：

=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2

x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2

x .

12. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy

dy=-11+x dx 两边积分: -y

1=-ln|x+1|+ln|c| y=

)1(|ln 1

+x c

另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=

)1(|ln 1

+x c

13. 0)2()(2=-++dy y x dx y x 解： 1=??y M ，x

??=1 . 则

N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程。凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x 得：C y xy x =-+233

1 14． 0)4()3(2=---dy x y dx x y

解： 1=??y M ，1=??x

. 则

y M ??=?? . 所以此方程为恰当方程。凑微分，0432=--+ydy dx x xdy ydx

得 C y xy x =+-232

15. 求xy

xy y x 11lim

)

0 ,0(),(-+→

解

)

11()11)(11(lim

11lim

)0 ,0(),()

0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x

16. 求z

x 23xy y 2在点(1 2)处的偏导数

解

y x x

z 32+=??

y x y

z 23+=??

823122

1=?+?=??==y x x

722132

1=?+?=??==y x y

17. 设z x 3y

3xy

xy 1 求22x z ??、33x

z ??、x y z ???2和y x z ???2

解 y

y y x x

z --=??32233 x xy y x y

z --=??2392

2226xy x

z =?? 2336y x

z =??

196222--=???y y x y x z 196222--=???y y x x

y z

18. 验证函数22ln y x z +=满足方程02

222

=??+??y z x z

证因为)

ln(21ln 2222y x y x z +=+= 所以 2

x x x z +=?? 2

x y

y z +=??

222222222222)

()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+?-+=??

222222222222)

()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+?-+=??

因此 0)

()(22222222222222=+-++-=??+??y x x y y x y x y z x z

19. 计算函数z x 2y y 2的全微分解因为xy x

z 2=?? y x y z 22+=??

所以dz 2xydx (x 22y )dy

20. 函数z 3x 24y 2在点(0 0)处有极小值当(x y )(0 0)时 z 0 而当(x y )(0 0)时 z 0 因此

z 0是函数的极小值 21.函数22y x z +-=在点(0

0)处有极大值

当(x y )(0 0)时 z 0 而当(x y )(0 0)时 z 0 因此z 0是函数的极大值

22. 已知三角形ABC 的顶点分别是 A (123)、B (34

5)、C

(247)求三角形ABC 的面积解根据向量积的定义可知三角形ABC 的面积

→→→→

||2

1sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ?=∠=? 由于→

AB (222)

→

(124)因此 →

→

212

22k j i =?AC AB 4i

6j 2k

于是 14

2)6(42

1|264|2

1222=+-+=+-=?k j i ABC S

23. 设有点A (1 2 3)和B (2 1 4) 求线段AB 的垂直平分面的方程

解由题意知道所求的平面就是与A 和B 等距离的点的几何轨迹设M (x y z )为所求平面上的任一点则有

|AM ||BM | 即 2

22222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x

等式两边平方然后化简得

2x 6y 2z 70

这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程所以这个方程就是所求平面的方程

24. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即 x 2y 3z 80

25.求通过x 轴和点(4 3 1)的平面的方程

解平面通过x 轴一方面表明它的法线向量垂直于x 轴即A 0 另一方面表明它必通过原点即D 0 因此可设这平面的方程为 By Cz 0

又因为这平面通过点(4 3 1) 所以有

C 0 或 C 3B

将其代入所设方程并除以B (B 0)

便得所求的平面方程为

y 3z 0 26.求直线L 1:1341

1+=-=

-z y x 和L 2:1

222-=-+=z y x 的夹角解两直线的方向向量分别为s 1

(1 4

1)和s 2

1) 设两直线的夹角为则

2221)1()2(21)4(1|

)1(1)2()4(21|cos 2

22222==-+-+?+-+-?+-?-+?=

所以4

例1 求幂级数

)1( 32)

1(1321

???+-+???-+-=--∞

=-∑n

x x x x n x n n n n n

的收敛半径与收敛域

解因为11

11lim ||lim 1=+==∞→+∞→n

n a a

n n n n ρ

所以收敛半径为11==

当x 1时幂级数成为∑∞

=--1

1)1(n n n

是收敛的

当x 1时

幂级数成为∑∞

=-1

)

1(n n

是发散的因此收敛域为(1, 1]

例2 求幂级数∑

∞

=0!

1n n x n !

1 !31!21132???++???++++n x n x x x

的收敛域

解因为0)!1(!lim !

1(1

lim

||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ

所以收敛半径为R 从而收敛域为(, )

例3 求幂级数

∑∞

!n n x n 的收敛半径

解因为

+∞=+==∞→+∞

→!

1(lim ||

lim 1n n a a n n n n ρ

所以收敛半径为R 0 即级数仅在x 0处收敛

例5 计算

?+L

x xydx 22 其中L 为抛物线y x 2

上从O (0

0)到B (1 1)的一段弧

解因为

x x

Q y P 2=??=??在整个xOy 面内都成立

所以在整个xOy 面内积分?+L dy x xydx 22与路径无关

???+++=+AB OA L dy x xydx dy x xydx dy x xydx 222222

2==?dy

讨论设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L 的方向为逆时针方向问

022=+-?L y x ydx

xdy 是否一定成立？

提示这里22y x y P +-=

和22y x x Q +=在点(0 0)不连续

因为当x

0时

P y x x y x Q ??=+-=??2222

2)( 所以如果(0 0)不在L 所围成的区域内

则结论成立而当(0 0)在L 所围成的区域内时结论未必成立

例6 验证在整个xOy 面内 xy 2

dx x 2

ydy 是某个函数的全微分并求出一个这样的函数

解这里P xy

Q x 2

因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数且有

P xy x Q

??==??2

所以在整个xOy 面内 xy 2

dx x 2ydy 是某个函数的全微分

取积分路线为从O (0 0)到A (x 0)再到B (x y )的折线则所求函数为 ?+=

)

,()0 ,0(2

2),(y x ydy x

dx xy y x u 2

2y x ydy x

ydy x y

=+=??

高等数学下试题及参考答案

高等数学下试题及参考答案内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =

2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是（） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

同济版高等数学下册练习题附答案

第八章测验题一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠，则平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 .

高等数学试卷含答案下册

高等数学II 试题一、填空题（每小题3分，共计15分） 1．设(,)z f x y =由方程xz xy yz e -+=确定，则 z x ?= ? 。 2．函数 23 2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大。 3．L 为圆周2 2 4x y +=，计算对弧长的曲线积分?+L ds y x 22= 。 4．已知曲线23 ,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则点P 的坐标为或。 5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为 210()01x f x x x -<≤?=? <≤?，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于。二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设) ,(y x f 连续，交换二次积分 1 201(,)x I dx f x y dy -=??的积分顺序。 2．计算二重积分D ，其中D 是由y 轴及圆周22 (1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域。 3．设Ω是由球面z =z =围成的区域，试将三重积分 222()I f x y z dxdydz Ω =++???化为球坐标系下的三次积分。 4．设曲线积分[()]()x L f x e ydx f x dy --?与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且(0)1f =，求()f x 。 5．求微分方程2x y y y e -'''-+=的通解。三、(10分)计算曲面积分 2 y dzdx zdxdy ∑ +??，其中∑是球面 2224(0)x y z z ++=≥的上侧。四、(10分)计算三重积分()x y z dxdydz Ω ++???，其中Ω由2 2z x y =+与1 z =围成的区域。五、(10分)求22 1z x y =++在1y x =-下的极值。六、(10分)求有抛物面22 1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。

高等数学下册期末考试题及答案

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；

高数下试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

高等数学下册试题及答案解析

高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++??∑ds y x )122（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数∑∞ =+1)1(1n n n 的与为。二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件就是( ) (A)),(y x f 在),(00y x 处连续; (B)),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时,就是无穷小; (D)0)()(),(),(lim 2200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A)y x +; (B)x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω= zdV I 等于( ) (A)4 ???20201 03cos sin ππ ???θdr r d d ;

高数下册试题库

高等数学下册试题库一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+= -且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+= =的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________ )0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则____________,__________ =??=??y z x z 14. 设,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α，因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

高等数学课后习题答案第七章

习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A (1,2,3); B (-2,3,4); C (2,-3,-4); D (3,4,0); E (0,4,3); F (3,0,0). 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限；点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上. 2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？答: 在xOy 面上的点，z =0; 在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0. 3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？答：x 轴上的点，y =z =0; y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0. 4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1 ）s = (2) s == (3) s == (4) s ==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s = x s == y s == 5z s ==. 6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则 222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++-- 解得 149z = 即所求点为M （0，0，14 9）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -

高等数学下册试题及答案解析

高等数学下册试题及答案解析一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z = ) 0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 . 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为 . 4、设曲线L 的参数方程表示为), ()()(βαψ?≤≤? ? ?==x t y t x 则弧长元素=ds . 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 = ++?? ∑ ds y x )122 （ . 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 . 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑ ∞ =+1)1(1n n n 的和为 . 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在) ,(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在) ,(00y x 处连续；（B ） ) ,(y x f x '， ) ,(y x f y '在 ) ,(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当 0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2 200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x . 2、设 ), ()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 . 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分 ???Ω =zdV I 等于（）（A ）4 ???20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；（B ） ? ??20 1 2sin π π??θdr r d d ；

高等数学下册试题(题库)及参考答案

高等数学下册试题库及答案一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， ||= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3π D ）π 解由公式（6-21）有 21112)1(211)1(1221cos 2 22222212 1=++?-++?-+?+?=??=n n n n α，因此，所求夹角321 arccos π α==． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ???=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

(完整版)《高等数学(下册)》第八章练习题及答案

《高等数学(下册)》第八章练习题一、填空题 1.________________ )sin(==dz xy z 则，设 2.设),cos(2y x z =，则 =??)2 ,1(π x z 3.函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4.设xy e z =，则=dz 5.设 y z ln z x =，则 =?zx z 二、选择题 ) 2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在是),(y x f 在该点连续的( ). (a)充分条件， (b)必要条件， (c)充要条件， (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f + =，则＝（）)1,1(-' x f . （A ），31 （B ），31- （C ），65 （D ）.65- 三、计算题方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 13 2 ???==x z x y 2、设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求 .,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,2 22 z y x e u ++=而y x z sin 2=,求 x u ??. 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线和法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。

高数下册答案

河北工程大学高等数学同步练习第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念 1. 求定义域 (1){(x,y ) 1 xy e e ≤≤}； (2)2k Z k k y x ∈,1+2≤+≤22； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}. 2.求极限 (1)00 1)2x y →→+=; (2)0 ; (3)22 2 2200 2sin 2lim 0()xy x y x y x y e →→+=+; (4)20 sin cos lim .2x y xy xy x xy →→=. 3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值 (1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222 2222 01lim 1x x k x k x k x k →--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y ,极限为0，不存在 ; (3)2222222211 00x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≤+≤+=+→+++.极限为0 . 4.因当220x y +≠时， 22 2 2220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0 lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.

第二节偏导数 1. 求下列函数的偏导数 (1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 2 2() 1()x y x y --+-. 2. 6 π. 3.11(11x y =+-==. 4. 1 2 2222 2222222222 2222222222 2222 1 ln() ln(), 2 12.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y z x y x x y x x y x y z y x y x y - =+=-+?=-=-?++?+--=-=?++?-=?+ 5. 22 2202 01 0sin , lim (,)0(0,0),1sin 00lim 1 0sin 0 0(0,0)lim 0x y x y x x x y f x y f x f x x x f y y y →→?→?→≤≤+==?-??+=??-?+?==??因为所以连续. （0，0），不存在， .

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高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， ||=. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面和的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解由公式（6-21）有，因此，所求夹角． 5. 求平行于轴，且过点和的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）．解由于平面平行于轴，因此可设这平面的方程为因为平面过、两点，所以有解得，以此代入所设方程并约去，便得到所求的平面方程 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 7．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为(A )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 8．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( B )。

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高等数学 课后习题答案第七章

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