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实变函数(复习资料,带答案)

《实变函数》试卷一

一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（）

（A ）1lim n k n n k n A A ∞

∞

→∞

===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞

∞

==→∞

=??;

（C ）1lim n k n n k n

A A ∞

∞

→∞

===??; （D ）1lim n k n k n

n A A ∞

∞

==→∞

=??;

2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='

(D) P P =ο

3、下列说法不正确的是（）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B)

{}sup ()n n

f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n

f x 是可测函数;（D ）若

()()n f x f x ?,则()f x 可测

5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数

（C ）)('

x f 在],[b a 上L 可积 (D)

-=b a

a f

b f dx x f )()()('

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则

E =______,o

E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都

_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为

[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例

说明.(5分×4=20分)1、设

E ?是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E

3、若|()|f x 是可测函数，则(f x

4．设()f x 在可测集E ,()0E f x ∈>，则

()0E

f x >?

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设2,()1,x x f x x ?=??为无理数为有理数()x 在[]0,1上是否R -

可积，是否L - 2、（8分）求0

ln()lim x

x n e n

∞-+?

五、证明题（6分×4+10=341、（6分）证明[]0,1c . 2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞意常数,{|()}a E x f x a =≥3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则

lim 0n n

n me ?=.

5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ?，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理

试卷一（参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1．? 2、[]0,1； ? ； []0,1 3、

***()()m T m T E m T CE =?+?

4、充要

5、11|()()|n i i i f x f x -=??

-????∑成一有界数集。

三、1．错误2分例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密5分

2．错误2分例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ，故其为不可数集 5分 3．错误例如：设E 是[],a b 上的不可测集，

[],;

(),,;

x x E f x x x a b E ∈??=?

-∈-?? 则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数…

4．错误0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =? 四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集……..3分因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]

120,101

()3

f x dx x dx ==?? (8)

分

2．解：设ln()()cos x

n x n f x e x n -+=

，则易知当n →∞时，()0n f x → 2分

又因'

2ln 1ln 0t t

t t -??=< ???

，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，

ln()ln()ln 3ln 3(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++……4分从而使得ln 3

|()|(1)3

x n f x x e -≤+………………………6分

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有

lim ()lim ()0n n n

f x dx f x dx ∞

∞

==??…………………8分

五、1．设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =?=?

B M B ∴??Q 是无限集，可数子集 ………………2分

.A A M M ∴?Q :是可数集， (3)

分

(\),(\),()(\),(\),

B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=?=?=????=?=Q 且………..5分

,.E B B c ∴∴=:…………………………6分

2．,{},lim n n n x E E x x x →∞

'?∈=则存在中的互异点列使 (2)

分

,()n n x E f x a ∈∴≥Q ………………….3分

()()lim ()n n f x x f x f x a →∞

∴=≥Q 在点连续，

x E ∴∈………………5分

E ∴是闭集.………………………….6分

3. 对1ε=，0δ??，使对任意互不相交的有限个

(,)(,)i i a b a b ?

当1

()n

i i i b a δ=-<∑时，有1

()()1n

i i i f b f a =-<∑………………2分

将[,]a b m 等分，使11

i i i x x δ-=-<∑，对

:T ?101i x z z -=

()()1k i i i f z f z -=-<∑，所以

()f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函数……………….5分

所以1

()1,i

i x x f V -≤从而()b

f m V ≤，因此，()f x 是[,]a b 上的有界

变差函数………..6分 4、()f x 在E 上可积

lim (||)(||)0n mE f n mE f →∞

?≥==+∞=……2分

据积分的绝对连续性，0,0,,e E me εδδ?>?>??<，有

|()|e

f x dx ε

对上述0,,,(||)k n k mE f n δδ>??>≥<，从而

|()|n

n e n me f x dx ε?≤

即lim 0n n

n me ?=…………………6分 5．,n N ?∈存在闭集()1

,,()2

n n n F E m E F f x ?-<

在n F 连续…………2分

令1n k n k F F ∞

∞

===UI ，则,,,()

n n n k

x F k x F n k x F f x ∞

=?∈??∈??≥∈?在F 连续………4分

又对任意k ,()[()][()]n n n k

n k

m E F m E F m E F ∞∞

==-≤-?=?-

()2

n k n k

m E F ∞

=≤-<

∑………………………….6分故()0,()m E F f x -=在F E ?连续…………..8分

又()0,m E F -=所以()f x 是E F -上的可测函数，从而是E 上的

可测函数……………………..10分

《实变函数》试卷二

一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（）

(A) M (B) N (C) M N ? (D) ? 2. 下列说法不正确的是( )

(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集；

4. 下列断言中( )是错误的。

（A ）零测集是可测集；（B ）可数个零测集的并是零测集；

（C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集；

5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（）是正确

的

(A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ?在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -?-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -?-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-?∞-在广义可积在a,+可积二. 填空题(3分×5=15分)

1、设11

[,2],1,2,n A n n n

=-=L ，则=∞→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o

P =-________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11

______i i i i m S mS ∞

∞==??

? ???∑

4、鲁津定理：

__________________________________________

5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原

因或举出反例.(5分×4=20分)

1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

四.解答题(8分×2=16分)

1、设,()1,x x f x x ?=??为无理数为有理数

，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，

是否L -可积，若可积，求出积分值。2、求极限

0lim sin 1n nx nxdx n x →∞

五.证明题(6分×3+ 82? =34分)

1.(6分) 1、设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.

2.(6分) 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

3. （6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4.（8分）设函数列()n f x (1,2,)n =L 在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x 。

5.（8分）设()f x 在[],E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ?，使|()()|b

a f x x dx ?ε-

（答案及评分标准）一、1，C 2, C 3, B 4, C 5,

二、1，()0,2 2，c ；0 ；? 3， ≤ 4，设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ?，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。

5，对任意0,0εδ>?>，使对[],a b 中互不相交的任意有限个开区间(),,1,2,,,i i a b i n =L 只要()1n

i i i b a δ=-<∑，就有

|()()|n

i i i F b F a ε=-<∑

三、1．错误记(0,1)中有理数全体

12{,,}R r r =L 1

2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ????+=??=??==??=?L 为，

中无理数，

显然[01]0111?-是，到（

，）上的映射。……………5分 2．正确…设i E 为零测度集， **1

0()0i i i m E m E ∞∞

==≤≤=∑U ，所

以，*1

()0i i m E ∞==U 因此，1

i i E ∞

=U 是零测度集。……………5分

3．错误。例如：取(0,),E =+∞作函数列：

1,(0,]()1,2,0,(,)n x n f x n x n ∈?==?∈+∞?

显然()1,n f x →当x E ∈。但当01σ<<时，

[|1|](,)n E f n σ-≥=+∞

且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1.……5分

4．错误……2分例如：cos ,01,()20,0.

x x f x x

x π?

<≤?

=??=?显然是[]0,1的连续函数。

如果对[]0,1取分划1111

:0122132

T n n <

<<<<<-L ，

则容易证明21111

|()()|n

i i i i f x f x i

-==-=∑∑，从而得到10

()V f =∞…5分

四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集…………3分

因为()f x 是有界可测函数，所以()f x 在[]0,1上是L -可积的……….6分

因为()f x 与x ..a e 相等, 进一步，[]

0,10

1()2

f x dx xdx ==

??…8分

2设322

()sin 1n nx

f x nxdx n x =+，则易知当n →∞时，()0n f x →………………2分

又22

|()|1n nx

f x n x

≤

+………………4分但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的………6分故有0

lim ()lim ()0n n n

f x dx f x dx ∞

∞

==??………………8分

五、1．,()x E f x c ?∈>……………………..1分

Q ()f x 在x 点连续，∴对()0,(,),f x c U x εδ=->?当

(,)y U x δ∈时，

有()()f y f x ε-<…………………3分

()()()()f x c f y f x f x c ∴-+<-<-()f y c ∴>，y E ∴∈…5分因此(,)U x E δ?，从而E 为开集……………..6分 2．对任何正整数n ，由条件存在开集,n G E ?使

()n m G E n

…1分令1

n n G G ∞

==I ，则G 是可测集……………3分

又因*()m G E -*1

()n m G E n

≤-<

对一切正整数n 成立，因而*()0m G E -=，即M G E =-是一零测度集，所以也可

测.………………5分

由()E G G E =--知，E 可测。………………6分 3、易知()()x

a g x f V =是[],a

b 上的增函数……………2分

令()()()h x g x f x =-, 则对于12a x x b ≤<≤有

1212121212121()()()()[()()]

()[()()]|()()|[()()]0

x x h x h x g x g x f x f x V f f x f x f x f x f x f x -=---=--≥---≥

所以()h x 是[],a b 上的增函数……………4分

因此()()()f x g x h x =-，其中()g x 与()h x 均为[],a b 上的有限增函数…….6分

4、因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以对于

任意的k Z +∈，存在可测集k E E ?，()n f x 在k E 上一致收敛于

()f x ，且1

(\)k m E E k

………3分令*

k k E E ∞

==U ，则()n f x 在*

E 上处处收敛到()f x ………5分

(\)(\)(\)k k k m E E m E E m E E k

∞==≤<

U ，k=1,2L 所以*(\)m E E 0=……………………8分

5、证明：设[||],n e E f n =>由于()f x 在E 上..a e 有限，故

0,()n me n →→∞….2分

由积分的绝对连续性，对任何0,N ε?>?，使

|()|4

N e N me f x dx ε

?≤<

?………4分

令\N N B E e =，在N B 上利用鲁津定理，存在闭集N N F B ?和在1R 上的连续函数()x ?使

（1）(\);4N N m B F N

<（2）N x F ∈时，()()f x x ?=，且1

sup |()|sup |()|N

x F x R x f x N ?∈∈=≤………6分

所以

\|()()||()()||()()||()||()||()()|24

N N

e B e e B F N

f x x dx f x x dx f x x dx

f x dx x dx f x x dx N me N N

?????ε

-≤-+-≤++-≤

+?+?

≤

?????…

……...8分

《实变函数》试卷三（参考答案及评分标准）

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、设1

[,2(1)],1,2,n n A n n

=+-=L ，则（ B ）

(A) lim [0,1]n n A →∞

= （B ）=∞

→n n A lim (0,1]

= （D ）lim (0,3)n n A →∞

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的（ D ）

（A ）'

[0,1]E = (B) o

E =? (C) E =[0，1] (D) 1mE =

3、下列说法不正确的是（ C ）

(A) 若B A ?，则B m A m **≤ （B ）有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测（D ）凡开集、闭集皆可测

4、设}{n E 是一列可测集，ΛΛ????n E E E 21，且

+∞<1mE ，则有（ A ）

（A ）n n n n mE E m ∞→∞==??? ???lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤???

???lim 1

（C ）n n n n mE E m ∞

→∞=

???lim 1;（D ）以上都不对

5、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数，则下面不成立的（ B ） (A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处处可导（C ）)(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数

二. 填空题(3分×5=15分)

1、设集合N M ?，则()M M N --=______N ____

2、设P 为Cantor 集，则 =P c ，mP =_0____，

P =___?_____。

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

___*

()()m T m T E m T CE =?+?_______，则称E 是L 可

测的

4、叶果洛夫定理：设}{,)(n f E m ∞<是E 上一列..e a 收敛于个

..e a 有限的函数f 的可测函数，则对任意,0>δ存在子集

E E ?δ，使}{n f 在δE 上一致收敛且δδ<)\(E E m 。

5、设)(x f 在E 上可测，则)(x f 在E 上可积的充要条

件是|)(x f |在E 上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)

1、任意多个开集之交集仍为开集。解：不成立 2分

反例：设G n =( n

n 1

1,11+--- ),n=1,2, , 每个G n 为开集

但

∞

=-=1

]1,1[n n G 不是开集. 5分

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.解：不成立反例:设E 是

Cantor 集，则0mE =，但E =c ，故其为不可数集 .5分

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。解：不成立 …2分例如：取(0,),E =+∞作函数列：1,(0,]

()1,2,0,(,)

n x n f x n x n ∈?==?∈+∞?L

显然()1,n f x →当x E ∈。但当01σ<<时，

[|1|](,)n E f n σ-≥=+∞

且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1 …5分

4、连续函数一定是有界变差函数。解：不成立 2分

例如：cos ,01,

()20,0.

x x f x x

x π?

<≤?=??=?显然是[]0,1的连续函数。如果对[]0,1取分划1111

:0122132

T n n <

<<<<<-L ，

则容易证明21111

|()()|n

i i i i f x f x i

-==-=∑∑，从而得到10

()V f =∞ ……5分

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设2,()0,x x f x x ?=??为无理数为有理数

，则()f x 在[]0,1上是否R -

可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

解：()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在0x =处连续，即不连续点为正测度集 ……..3分

因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积

的 …6分

因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，

[]12

0,10

1()3

f x dx x dx ==?? …8分 2、求极限 12

3220lim sin 1n nx

nxdx n x

→∞

解：记1

()sin 1n nx f x nx n x

+ 则)(x f n 在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R ）可积和（L ）可积. ……………..2分

又 ]1,0[,0)(lim ∈=∞

→x x f n n ……4分

22222

1|()||sin |||211n nx nx f x nx x n x n x

-=≤≤?++

Λ,2,1],1,0[=∈n x ……….6分

且21

?x 在]1,0[上非负可积,故由Lebesgue 控制收敛定理得 12

220

00lim()()lim 001n n n nx R f x dx dx n x →∞

→∞

===+??

? .8分五、证明题（6分×4+10=341、（6分）试证(0,1)~[0,1]

证明：记(0,1)中有理数全体{}Q =,令

()x ?=1

2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ????+=??=??

==??=?L 为，

显然[01]0111?-是，到（

，）上的5分所以(0,1)~[0,1] ……6分

2、（6分）设f(x)是),(+∞-∞数 c ，})(|{c x f x E >= 证明: .)(,00c x f E x >∈?即 ….1分

因f （x ）连续，故

c x f x x >?∈?>?）时，有(),(,00δδ. ………….4分

即E x ??)(0.所以0x 是E 的内点.

由0x 的任意性,E 的每一个点都是内点,从而E 为开集. 6分

3、（6分）设()f x 是可测集E 的非负可积函数，()g x 是E 的可测函数，且|()|()g x f x ≤，则()g x 也是E 上的可积函数。证明：Q |()|()g x f x ≤，

()(),()()g x f x g x f x +-∴≤≤ …………1分

[]()()()n

E E E

g x dx f x dx f x dx +

??∴≤≤?????

Q ()f x 是可测集E 的非负可积函数 ∴ lim

n →∞

()()n

n E E

g x dx f x dx +

??≤????<+∞

∴()g x +是E 上的可积函数. ….. 4分

同理，()g x -也是E 上的可积函数.

∴()g x 是E 上的可积函数。 …… 6分

4、（6分）设()f x 在E 上积分确定，且()().f x g x a e =于E ，则()g x 在E 上

也积分确定，且()()E

f x dx

g x dx =??

证明：Q ()().f x g x a e =于E

∴[]0mE f g ≠= ∴[]

[]

()()0E f g E f g f x dx g x dx ≠≠==??

∴

[]

()()()E

E f g E f g f x dx f x dx f x dx =≠=+?

[]

()()()E f g E f g E

g x dx g x dx g x dx =≠=+=?

Q ()f x 在E 上积分确定，∴()g x 在E 上也积分确定，且

()()E

f x dx

g x dx =?

5、（10分）设在E 上)()(x f x f n ?,而..)()(e a x g x f n n =成

立,Λ,2,1=n ,则有)()(x f x g n ?

证明:记][n n n g f E E ≠=,由题意知0=n mE

由0)(1

=≤?∑∞

=∞

=n n n n mE E m 知0)(1

=?∞

=n n E m …2分

对任意0>δ,由于]|[|)(]|[|1

σσ≥-???≥-∞

=f f E E f g E n n n n

从而有

])|[|(])|[|()(]|[|1σσσ≥-=≥-+?≤≥-∞

=f f E m f f E m E m f g mE n n n n n

又因为在E 上)()(x f x f n ?,故

0])|[|(lim =≥-∞

→σf f E m n n ……8分

所以0])|[|(lim ])|[|(lim 0=≥-≤≥-≤∞

→∞

→σσf f E m f g E m n n n n

于是: 0])|[|(lim =≥-∞

→σf g E m n n

故在E 上有)()(x f x g n ? ……10分

《实变函数》试卷四（参考答案及评分标准）

一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设P 为Cantor 集，则 C

（A ）=P ?0 (B) 1=mP (C) P P ='

(D) P P =ο

2. 下列说法不正确的是( C )

(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点(B)

0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚

点(C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚(D) 内点必是聚点

3.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C ) (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积

4. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ????L L ，则有（B ）

（A ）1lim n n n n m E mE ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E mE ∞=→∞??

?= ???

（C ）1lim n n n n m E mE ∞=→∞

?= ???;（D ）以上都不对

5.设)(x f 为],[b a 上的有界变差函数,则下面不成立的( D )

(A))(x f 在],[b a 上L 可积 (B))(x f 在],[b a 上R 可积 (C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D))(x f 在],[b a 上绝对连续

二. 填空题(3分×5=15分)

1、设11

[,2],1,2,n A n n n

=-=L ，则=∞→n n A lim _（0，2）________。

2、设E R ?,若,E E ?'则E 是闭集；若0

E E ?，则E 是开__集；若'E E =，则E 是___完备_____集.

3、设{}i S 是一列可测集，则11

______i i i i m S mS ∞

∞==??

?≤ ???∑

4、鲁津定理：___设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ?，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<________，则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切划分，

使11|()()|n i i i f x f x -=??

-????∑成一有界数集，则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、A 为可数集，B 为至多可数集，则A ?B 是可数集.

解：成立 2分因A 可数,所以可设A={a 1,a 2,…,a n ,…},

又B 至多可数,设B={b 1,b 2,…,b n }(当B 有限时),或 B={b 1,b 2,?,b n,?}(当B 可数时) 当B 有限时,

{}ΛΛΛ,,,,;,,,2121n n a a a b b b B A =?

当B 可数时,{}ΛΛ,;,,,,2211n n a b a b a b B A =? 所以B A ?可数. ……5分 (注:可分φ=?B A 和φ≠?B A 讨论,没讨论不扣分,主要考察排序方法).

2、若0=mE ，则0=E m .

解：不成立. …….2分

反例：E 为]1,0[中的全体有理点集，则有0=mE ，而

1=E m ……5分

注：其余例只要正确即可。

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数解：不成立.…………………………2分

例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;

(),,;

x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-??

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………5分

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则

()0E

f x >?

解：不成立.………………………………2分

0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =?…5分

四.解答题(8分×2=16分) 1、（8分）设

,()1,x x f x x ?=??为无理数

为有理数

，则()f x 在[]0,1上是否

R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。解：()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连

续，即不连续点为正测度集…………………..3分

因为()f x 是[]0,1上的有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分

因为()f x 与x ..a e 相等，进一步，[]

0,10

1()2

f x dx xdx ==

??…8分

2、（8分）求0ln()lim cos x

n x n e xdx n ∞

-+?

解：设ln()()cos x

n x n f x e x n

-+=，

则易知当n →∞时，()0n f x → …………………………..2分又因'

2ln 1ln 0t t

t t -??=< ???

，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，

ln()ln()ln 3ln 3(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++………4分从而使得ln 3

|()|(1)3

x n f x x e -≤+………………………6分

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有

lim ()lim ()0n n n

f x dx f x dx ∞

∞

==??…………8分

五.证明题(6分×3+ 82? =34分)

1、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任

意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

证明：,{},lim n n n x E E x x x →∞

'?∈=则存在中的互异点列使….2分

,()n n x E f x a ∈∴≥Q …………….3分

()()lim ()n n f x x f x f x a →∞

∴=≥Q 在点连续，

x E ∴∈…………………………5分

E ∴是闭集.……………….6分

2.(6分) 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

证明：对任何正整数n ，由条件存在开集,n G E ?使

()n m G E n

…1分令1

n n G G ∞

==I ，则G 是可测集 …3分

又因*()m G E -*1

()n m G E n

≤-<

对一切正整数n 成立，因而*()0m G E -=，

即M G E =-是一零测度集，所以也可测.…………5分

由()E G G E =--知，E 可测。 6分

3.（6分）设)}({x f n 为E 上可积函数列，e a x f x f n n

.)()(lim =.

于E ，且?

n k dx x f |)(|，k 为常数，则)(x f 在E 上可积.

由e a x f x f n n

.)()(lim =于E 得e a x f x f n n

.|)(||)(|lim =于E .1

分

再由Fatou 引理

??∞<≤≤=∞→∞

→E

E E

n n n n k dx f dx f dx f ||lim ||lim || ….4分

所以 |f(x)|可积.又f(x)可测,因此f(x)可积. ..6分 4.（6分）设函数列()n f x (1,2,)n =L 在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x .

证明：因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以

对于任意的k Z +∈，存在可测集k E E ?，()n f x 在k

E 上一致收敛于()f x ，且1

(\)k m E E k

<…2分

令*1

k k E E ∞

==U ，则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ……4分

(\)(\)(\)k k k m E E m E E m E E k

∞

==≤<

U ，k=1,2L 所以*(\)m E E 0=………6分

5.（10分）试用Fatou 引理证明Levi 定理.

证明：设{}n f 为可测集q R E ?上的一列非负可测函数，且在E 上有Λ,2,1),()(1=≤+n x f x f n n ，令

)(lim )(x f x f n n

= …………2分

由{}n f 为单调可测函数列知，)(x f 可测，且)()(x f x f n ≤ 于是

≤E

n dx x f dx x f )()(

从而 ??≤E

n n

dx x f dx x f )()(lim …（*） ……6分

另一方面，因{}n f 为可测集q R E ?上的一列非负可测

函数，由Fatou 引理知

dx x f dx x f dx x f E

n n

???

≤=)(lim )(lim )( （**） …8分

由（*）、（**）两式即证

??=E

n n

dx x f dx x f )()(lim ….…10分

实变函数论课后答案第三章1

实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零，故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限），令()(),f x m E a x b *=?<< ，则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤，则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.

实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（5）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立）二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则（）（A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点

实变函数论课后答案第五章1

实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可

测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,

实变函数测试题1-参考答案

本试题参考答案由08统计班15号李维提供有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+，则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞?ε，存在E 上. 有界的可测函数)(x g ，使得 ε<>-]0|[|g f mE 。 10、求证 1 2 01 11 ln 1()∞ ==-+∑?p n x dx x x p n , (1)p >-。解答： 1. 解：()∞=∞ →,0lim n n A ；设()∞∈,0x ，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即n A x 2∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得n n A x ∞ →∈lim 又显然()∞?∞ →,0lim n n A ，所以()∞=∞ →,0lim n n A 。

实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]

2011级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。（×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在

实变函数论试题及答案

实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<，证明E 是可测集。证明：对任何正整数n ，由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ，对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时，一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。

实变函数引论参考答案曹怀信第二章

。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ．解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ．解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此，有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ．解令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?．解取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集．证明因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠，从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可

实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（4）本科一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则（） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =

(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案

试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

(0195)《实变函数论》网上作业题及答案

[0195]《实变函数论》第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集参考答案：B

[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集

C:可数集参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1

实变函数习题解答

第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且 x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B 且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B ②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C) ③(A－B)－C＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D) (A－B)＝A I B A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB) ＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B (A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB) ＝(A I CB)Yφ＝A－B ②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C) ＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]＝ A I(B－C) ③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C) ＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C) ＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD) ＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D)

实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<，证明E 是可测集。证明：对任何正整数n ，由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ，对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。证明因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ，且()n f x 是单调的。因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。

实变函数试题库及参考答案

实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上二、选择题 1．下列集合关系成立的是（） 2．若n R E ?是开集，则（） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（）三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限

4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （） 2. 可数个可测集的并是可测集. （） 3. 相等的集合是对等的. （） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （）五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题

第三版实变函数论课后答案

1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明：若() B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈，则 ()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有 () x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-，所以c A B A B -?. 另一方面， c x A B ?∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-，所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理 9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证：若x A λλ∈∧ ∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧）成立知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈，这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的（4）： ()()( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证：若 () x A B λ λλ∈∧ ∈ ，则有 'λ∈∧ ，使 ''()( )()x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来，若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈或者x B λλ∈∧ ∈ . 不妨设x A λλ∈∧ ∈，则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = . 证：( )c x A λλ∈∧ ?∈，则x A λλ∈∧ ? ，故存在'λ∈∧ ，'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ?? 从而有( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 反过来，若c x A λλ∈∧ ∈ ，则'λ?∈∧使'c x A λ?，故'x A λ?， x A λλ∈∧ ∴? ，从而()c x A λλ∈∧ ∈

实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案

第一章习题参考解答 3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？解：若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?. 反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故, C B A ?-)(?)(C B A --. 最后证，C B A C B A ?-?--)()( 事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(. A A C B A C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?. 反过来，若A C ?，则因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??- 另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而 C B A C B A ?-?--)()( 于是，)()(C B A C B A --=?- 4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A x A x x A ,0,1)(χ，假设 n A A A ,,,21是一集列，证明：（i ）)(inf lim )(inf lim x x n n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n m N n n n A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf =≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n m N b A n χχ

第三版实变函数论课后答案

1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件就是A B ?、证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立、反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U 、总有()x B A A ∈-U 、故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。证毕 2. 证明c A B A B -=I 、证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I 、另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I 、综合上两个包含式得c A B A B -=I 、证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I 、证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(? λ∈∧)成立知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I 、定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有' λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U 、反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U 、不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有' λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U 、故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U 、综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧ =I U 、证:() c x A λλ∈∧ ?∈I ,则x A λλ∈∧ ?I ,故存在' λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧ ?I U 、反过来,若c x A λλ∈∧ ∈U ,则' λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴?I ,从而()c x A λλ∈∧ ∈I ()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ∴?I U 、证毕定理9:若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升,即1n n A A +?(相应地1n n A A +?)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ∞ →∞ ==U (相应地)1 lim n n n A ∞ →∞ ==I 、证明:若1n n A A +?对n N ?∈成立,则i m i m A A ∞ ==I 、故从定理8知

实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案本科、题 1设A, B为集合，贝U ABUB_AUB （用描述集合间关系的符号填写） 2?设A是B的子集，贝U A_B （用描述集合间关系的符号填写） 3?如果E中聚点都属于E，则称E是闭集 4.有限个开集的交是开集 5?设E i、E2是可测集，则m EUE2 _mE! mE?（用描述集合间关系的符号填写） n * _ 6?设E ?是可数集，则m E=0 7?设f x是定义在可测集E上的实函数，如果 a ?1, E x f x a是可测集，则称f x在E上可测8可测函数列的上极限也是可测函数 9?设f n x f x , g n x g x ，贝V f n X g n x f X g x 10 ?设f x在E上L可积，贝y f x在E上可积 11 ?设A, B为集合，则B A U A A （用描述集合间关系的符号填写） 12?设A 2k 1 k 1,2丄，则A=a （其中a表示自然数集N的基数） 13?设E ?n，如果E中没有不属于E，则称E是闭集 14 ?任意个开集的并是开集 15?设E1、E2是可测集，且E1 E2，则mE1 mE2 16.设E中只有孤立点，贝U m E =0 17?设f x是定义在可测集E上的实函数，如果a ?1, E x f x a是可测，则称f x在E上可测 18 ?可测函数列的下极限也是可测函数 19?设f n x f x , g n x g x，贝卩f n x g n x f X g X 20?设n X是E上的单调增收敛于f x的非负简单函数列，贝y E f x dx lim E n x dx 21 ?设A, B为集合，则A B UB B 22?设A为有理数集，则A=a （其中a表示自然数集N的基数） 23?设E ?n，如果E中的每个点都是内点，则称E是开集 24 ?有限个闭集的交是闭集

实变函数习题

第一章习题 2、(ii) ()1 1 1n n n n n n n A B A B ∞∞∞ ===-?- 证明：对于1 1 ,n n n n x A B ∞∞ ==?∈- 11 n n n n x A x B ∞∞ ==?∈? 且 001,1,n n n x A n x B ??≥∈?≥?且对于 0001,n n n x A B ??≥∈- ()1n n n x A B ∞ =?∈- 22、具体构造[]0,1与()0,1之间的一个完全的一一映射. 解：记()0,1中的有理数点集为Q ；()0,1中的无理数点集为M ()0,1Q M = ；[]{}0,10,1Q M = ,作映射 12132,,0,1,..........n n x M x x r r r r r r +?∈→→→→→ 所以[]()0,10,1与等价 29、求证：n R 中任一集合的导集是闭集. 证明：若()E ''=Φ,则E '为闭集,否则要证明E '为闭集()E E '''?? ()x E x ''?∈?为E '的聚点(){}{}0,,V x x E εε'??>-≠Φ (){}{}1,x V x x E ε'??∈- ()(){}11,x V x x ε?∈- ()() ()110,,,2V x V x x E δδε??>?' ?∈使得 (){}{}11110,,V x x E δδ??>-≠Φ 10,δ??>()11,V x δ中含有E 的无穷多个点 ()1,V x δ?也中含有E 的无穷多个点 ()()1,,E V x E V x δε?

()x E E E '?∈''' ?? 从而E '为闭集 30、(i)设,A B 是任意的两个集合,若A B ?,则A B ''?. 证明：x A x '?∈?为A 的聚点 (){}{}0,,V x x A εε??>-≠Φ A B ? (){}{}0,,V x x B εε??>-≠Φ ?x 为B 的聚点 ?x B '∈ (ii)若A B A '??,求证：B 是闭集. 根据(i)式可知B A B ''??,则B 是闭集 32、n R 中任一集合的孤立点是至多可数的证明：先来证明1 R 中的孤立点是至多可数的记B 为1 R 中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,(){},,m n n m B r r r r Q =∈ 则B 为可数集. 设A 为1R 中的孤立点全体,则对于任意的x A ∈,则存在x 的一个以有理数为端点的邻域 (),x x αβ,使得 (){},x x A x αβ= ` 对于每一个x A ∈,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个A 中的点,故对于A 中不同的两个点对应的邻域(),x x αβ，() ,y y αβ也不同. 令(){},x x D x A α β= ∈ 则A 与D 等价,而D B ?,则D 是至多可数集,从而A 是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集. 33、若A 不可数,则A '也不可数. 证明：假设A '是至多可数集,则设B 为A 的孤立点全体,则B 为至多可数集因为()A B A A '= ,A A A ''? ,则A A ' 为至多可数集则A 为至多可数集与已知矛盾. 第二章习题 2、求证：()(){}*inf :,m E m Q E Q Q =?是开集

实变函数(复习资料,带答案)

实变函数论课后答案第三章1

实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数论课后答案第五章1

实变函数测试题1-参考答案

实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]

实变函数论试题及答案

实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章

实变函数试题库(4)及参考答案

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