19.1.2函数的图象第一课时

19.1.2 函数的图象

教学目标

（一）教学知识点

１．了解函数图象的一般意义，初步学会用列表、描点、连线画函数图象．２．学会观察、分析函数图象信息．

（二）能力训练要求

１．提高识图能力、分析函数图象信息能力．

２．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力．

（三）情感与价值观要求

１．体会数学方法的多样性，提高学习兴趣．

２．认识数学在解决问题中的重要作用从而加深对数学的认识．

教学重点:初步掌握函数图象的画法;通过观察、分析函数图象获取信息．教学难点：分析概括图象中的信息．

教学方法：自主─探究、归纳─总结．

教具准备：多媒体演示．

教学过程：

一．情境引入

由心电图和投篮时篮球划过的优美弧线引入课题。

二．探究新知

活动一：了解函数图象的一般意义，初步学会画函数图象

你能写出正方形的边长x与面积S的函数关系式，并确定自变量x的取值范围吗？

1.引导学生写出函数关系式从式子。

2.动画演示图象生成过程。

活动设计意图：引导学生了解函数图象的生成过程，了解函数的意义，得出图象可以按“列表——描点——连线”三个步骤来画出。

活动二：解读图象信息

1.下图是自动测温仪记录的图

象，它反映了北京的春季某天气温T

如何随时间t 的变化而变化.你从图

象中得到了哪些信息?

引导学生从两个变量的对应关系

上认识函数，体会函数意义；可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间；

在某些时间段的变化趋势；认识图象的直观性及优缺点；总结变化规律……．因为时间t对应气温Ｔ是唯一值，所以气温T是时间t的函数,这个图是这个函数的图象.由图象可知:1.这一天中凌晨4时气温最低-3℃,14时气温最高8℃;2.从0时至4时气温呈下降状态,即温度随时间的增长而下降,从4时到14时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下降状态.3.我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少;4.（口述）如果长期观察这样的气温图象,我们就能得到更多信息,掌握更多气温的变化规律.

活动设计意图：１．通过图象进一步认识函数意义．２．体会图象的直观性、优越性．３．提高对图象的分析能力、认识水平．４．掌握函数变化规律．

2.例下面的图象反映的过程是:小明从家里出发去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间，y表示小明离他家的距离,小明家、菜地、玉米地在同一条直线上.

根据图象回答下列问题：

１．菜地离小明家多远？小明走到

菜地用了多少时间？

２．小明给菜地浇水用了多少时

间？

３．菜地离玉米地多远？小明从菜

地到玉米地用了多少时间？

４．小明给玉米地锄草用了多长时间？

５．玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？

（拓展问题：小明在哪个时间段的某一时刻距家 1.5千米？目的是让学生知道已知函数值来求自变量，可能不止一个值）

引导学生分析图象、寻找图象信息，特别是图象中有两段平行于x?轴的线段的意义．结论：

１．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，?小明走到菜地用了15分钟．

２．由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟．

３．由纵坐标看出，菜地离玉米地0．9千米．由横坐标看出，?小明从菜地到玉米地用了12分钟．

４．由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟．

５．由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米．由横坐标看出，?小明从玉米地走回家用了25分钟．所以平均速度为：2÷25=0．08（千米／分钟）．设计意图：１．进一步提高识图能力．２．按要求从图象中挖掘所需信息，并自理信息．

活动三：巩固练习

1.为参加赣州市撤地设市十周年庆祝大会文

艺汇演,上犹合唱队分两组从同一条路前往赣州.

甲组乘坐大客车,乙组乘坐小轿车.已知甲组比乙

组先出发, 汽车行驶的路程S(千米)和行驶时间t

(分)之间的函数关系如图所示,给出下列说法：①

上犹到赣州的路程为55千米;②甲组在途中停留了5分钟;③甲、乙两组同时到达贛州;④相遇后,乙组的速度小于甲组的速度.根据图象信息,以上说法正确的有①、② .（拓展：从图象中还能获得哪些信息？）

设计意图：体现地方特色，热爱生活，爱我家乡，爱我赣州教育。

2.(08年哈尔滨)小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走过的路程S(米)与他行走的时间t(分)之间的函数关系用图象表示正确的是（）．

（变式：把题中“小亮行走过的路程”改为“小亮离学校的路程”）

3. (09年重庆)如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（）.

（动画演示：目的是让学生加深理解）

三．归纳小结：通过这节课的学习,你有哪些收获与体会……

四．布置作业：

1.必做题：课本107面第7题;

2.选做题：课本例2补充问题：小明何时距家1.5千米？（写出计算过程）

五．板书设计

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈

例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性

例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________

一次函数概念图像及性质

一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k b - , 0）两点 三、截距 定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0k ，且0>b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、二、三象限 （2）当0>k ，且0b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、二、四象限 （4）当0

一、概念 例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） （A ）1)1(32+-=x y （B ）x x y 1+ = （C ）x y 3-= （D ）x y 5-= 例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43= （2）x y 2 2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x 例3. 下列说法中，不正确的是（ ） （A ）一次函数不一定是正比例函数 （B ）不是一次函数就一定不是正比例函数 （C ）正比例函数是特殊的一次函数 （D ）不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是（ ） （A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数 （B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例 （C ）在1=xy 中，y 与x 1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值

一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象和性质 一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0） （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： (1)图象的位置: (2)增减性 k>0时，y随x增大而增大 k<0时，y随x增大而减小 4．求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： ①利用一次函数的定义 构造方程组。 ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程。 二、例题举例： 例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。 证明：∵与成正比例， 设=a(a≠0的常数), ∵y=, =(k≠0的常数), ∴y=·a=akx， 其中ak≠0的常数， ∴y与x也成正比例。 例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解：依题意，得 解得 n=-1， ∴=-3x-1,

第17讲函数图象与系数的关系

第17讲函数图象与系数的关系 【课标要求】 1.理解圆及有关要领了解弧、弦、圆心角的关系。 2.探索圆的有关性质；了解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征。 3.探索并了解垂直于弦的直径性质。 4.了解三角形的外心。 【命题趋势】 函数对于初学者来说，概念难理解，性质难掌握。遇到有关函数的问题时，往往感到很生疏，无从下手，中考题中常出现的由函数图像确定函数解析式中系数的符号，或由函数解析式中系数的符号确定图像在平面直角坐标系中的大致位置等问题，同学们因没能很好地掌握其规律而容易丢分，其实。初中阶段介绍的三种函数：一次函数(包括正比例函数)、二次函数、反比例函数，这些函数的解析式中系数的符号。均可由它们的图像在平面直角坐标系中的大致位置来确定。 【考点透析】 考点1：由函数解析式系数或其符号确定图象位置 中考中考查此知识点主要是把二次函数、一次函数和反比例函数结合起来放到同一直角坐标系中考查，并考查分类讨论思想的灵活运用。 [例1]二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是（） [答案] D [解析]这一类题是考察数学逻辑推理能力．题目中a，b，c均是变量，字母多不知从何下手考虑．考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0，c)，也就是说两个图象的交点中有一个应在y轴上，从而否定了A．和B．，且c ＞0．其次考虑完字母c后，再考虑a的取值．若a＞0，则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C．；再检验D．，从二次函数图象知a＜0，且c＞0，直线y=ax+c与x 轴交点应在原点右边，所以D．是正确的．考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维 考点2：由函数图象确定解析式的系数符号 中考考查该知识点主要是通过观察图象确定函数解析式的系数，或是通过函数解析式系数判断函数图象的大致位置，主要以选择填空题为主。 [例2]如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示， 那么代数式b+c-a与零的关系是 [ ] A．b+c-a=0；B．b+c-a＞0；C．b+c-a＜0；D．不能确定．

正弦函数的图像和性质(一)

正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法： 描点法 步骤：列表→描点→连线 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法

观察的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点： ______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样，只是位置不同，因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动（每次移动个单位）就可以得到的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 （1） （2） 例2、在上，利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 （1） （2）

正弦函数的图像和性质

1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标 系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h

一次函数图象和性质

6.3一次函数图象和性质（2） 太谷三中王琴平 教学目标 知识与技能目标 1.了解一次函数两个变量之间的变化规律； 2.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质. 过程与方法目标： 1.经历对一次函数图象变化规律的探究过程，在探究中学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略； 2.在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想； 3.通过对一次函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力. 情感与态度目标： 1.在一次函数图象及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神； 2.在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体验. 教学重点

结合一次函数的图象，探究一次函数的简单性质. 教学难点 一次函数图象变化规律及特点的探究过程及建立数形结合和分类讨论的思想. 教学方法：“探究—归纳—总结—运用” 教学过程： 一、温故互查（二人小组复述） 1.作函数图象有几个步骤？ 2.一次函数图象有什么特点？ 3.作出一次函数图象需要描出几个点？ 二、探究新知 （一）、正比例函数图象特征及直线倾斜程度的确定 1、在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.5x,y=x,y=3x和y=-2x的图象。（课下已完成）观察图象回答下列问题： （1）这些图象有什么特征？（口答） （2）直线y=0.5x,y=x 和y=3x哪一个与x轴正半轴的夹角最小？哪个最 大？（口答） （3）你有什么猜想？（小组交流） 2、几何画板演示归纳小结。

教师板书：正比例函数图象特征及k对直线倾斜程度的影响。 （二）一次函数图象的性质 1、在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x+4,y=3x-2,y=-x和y=-x+4的图象。(指名在白板上完成)观察图象回答下列问题： （1）图象与y轴的交点分别是多少？与哪个值有关？（口答） （2）哪些图象呈上升趋势？哪些图象呈下降趋势？与哪个值有关？（口答） （3）在函数y=2x+4的图象上任取几点，随着x值的变化y的值如何发生变化？在函数y=-x+4的图象上呢？（小组交流） （4）观察图象的位置有何特征？（小组交流） 2、几何画板演示归纳小结。 （教师板书，一次函数图象性质） 3、填表 一次函数y=kx+b(k≠0)图象性质 图象位置k＞0 k ＜0 b ＞ b=0 b ＜ b＞ b=0 b ＜ 性质k>0时y随x的增大而，图象必经过象限 k<0时y随x的增大而，图象

函数图像与系数的关系

函数的图像与系数的关系 授课地点：多媒体教室授课时间：2017-4-11 授课教师：洪剑兰 复习目标： 1、了解一次函数、二次函数之间内在的关系。 2、理解初中所学函数的图像与系数之间的关系；会根据图像位置判别系数的范围，反过来根据系数的取值来确定图像的位置。 3、通过总结归纳，逐步完善函数图像的性质和系数关系的认识，同时获得相应知识和技能。 4、培养学生积极参与、乐于探索，增强数形结合的思想意识。 复习重点： 1、深入认识函数图像与系数之间的关系。 2、能根据图像位置判别系数的范围。 3、会根据系数的取值来确定图像的位置。 复习难点：函数图像和系数关系的理解和运用。 复习准备：多媒体课件 复习过程： 一、复习旧知，总结规律 1、复习一次函数、反比例函数和二次函数的的解析式，并指明系数取值条件。 2、总结一次函数图像确定k、b取值范围 ⑴.由一次函数图象的增减性 ．．．判断k的取值 A. y随x的增大而增大（直观看从左到右呈上升趋势，经过一、三象限）?→ ←k＞0 B. y随x的增大而减小（直观看从左到右呈下降趋势，经过二、四象限）?→ ←k＜0 ⑵.由直线和y轴的交点位置 ．．．．判断b．的取值 因为直线y=kx+b与y轴交点坐标为（0，b) ，所以 A. 直线交y轴正半轴?→ ←b＞0 B. 直线交y轴负半轴?→ ←b＜0 C. 直线经过原点?→ ←b=0 【知识应用】见课件 ⑶直线与直线平行或相交的系数关系 【知识应用】见课件 3、复习反比例函数图像与性质并总结规律 A. 双曲线在一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小?→ ←k＞0 B. 双曲线在二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。?→ ←k＜0 4、复习二次函数的图像及性质、由图像可以看出：

正弦函数的图像和性质(一)

x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像的画法： 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点：______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然 后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数，所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 （ （π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样，只是位置 不同，因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像向左、向右平行移动（每次移动π2 个单位）就可以得到R sin∈ =x x y，的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 （1）x y sin 3 =（2）x y sin -1 =

一次函数的图像与性质

一次函数的性质和图像

目录一、函数的定义 （一）、一次函数的定义函数。

（二）、正比例函数的定义 二、函数的性质 （一）、一次函数的性质 （二）、正比例函数的性质 三、函数的图像 （一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 （二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 （三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是： （一次项系数）k决定图象的倾斜度。 （常数项）b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 （一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次 （二）用待定系数法确定解析式

六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。

正弦函数和余弦函数图像与性质

6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;

二次函数图像与系数的关系

教学设计—— 二次函数的系数与图像 长葛六中刘晓金 目标：1、通过观察二次函数的图像的形成过程，导出二次函数的图像与系数的关系。 2、理解和探索相关二次函数的图像之间的关系。 3、会用学习的知识判断相关二次函数的图像之间的关系。 4、运用相关知识解决平移、对称、翻转图像的抛物线解析式。 重点：1、探索和总结二次函数的图像与系数之间的关系。 2、运用相关知识解决问题。 难点：运用相关知识解决问题。 学法：1、通过观察发现相关知识。 2、通过合作探索知识的运用。 教法：运用课件对知识由浅入深地进行展示，不断引导学生观察、探索、总结和应用。 教学过程 一、课堂导入 1、导言：不同的二次函数，图像也不相同，即使有时形状相同，在坐标系中的位置也不尽相同。你知道这是为什么吗？本节我们就一起来探讨一下。 （展示幻灯片1） 2、展示本节教学主要过程。 （展示幻灯片2） 二、师生互动过程 1、a的符号与抛物线开口方向

①、学生在练习本上画出y=x2,y=-x2的草图，观察抛物线的开口方向。 ②、（展示幻灯片3） ③、学生对着幻灯片，检查自己的发现。 ④、总结出：a＞0时抛物线开口方向向上，a＜0时抛物线开口方向向下。 ⑤、练习在抛物线y=(k-1)x2+x+1中k 时开口向上，k 时开口向下。 2、a的绝对值与图像开口的大小 ①、导言：我们知道二次函数的图像虽然是抛物线，但是形状却不尽相同，这究竟是为什么呢？ ②、（展示幻灯片4）引导学生认真观察不同函数图像的形状（开口大小）与什么相关联？ ③、引导学生总结出：a的绝对值相等，抛物线开口方向不同，大小相同。 ④、练习k取时，抛物线y=(k+3)x2-x+6可以由抛物线y=2x2变化而来。 3、C与图像和y轴的交点位置 ①、（展示幻灯片5） ②、通过引导学生，使学生总结出：C=0时抛物线与y轴相交于原点；C ＞0时抛物线与y轴相交于X轴上方；C＜0时抛物线与y轴相交于x轴下方。 （C的值决定抛物线与y轴相交的位置） 4、a.b与对称轴的位置 ①、学生写出y=x2, y=x2+2x, y=x2-2x, y=-x2+2x, y=-x2-2x 中各个式子中a、b的值，并计算出ab 的值。 ②、（展示幻灯片6） ③、引导学生探讨幻灯片中各个图像的形成过程，总结出：ab＝0时对称轴与y 轴重合；ab＞0时对称轴在y轴的左边;ab＜0时对称轴在y轴的右边。

一次函数的图像及性质

一次函数的图像及性质 知识技能目标 1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标； 2.会作出实际问题中的一次函数的图象. 过程性目标 1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活； 2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题． 教学过程 一、创设情境 1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？ （一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的图象）. 2.正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过哪一点的直线？ （正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线）. 3.平面直角坐标系中，x 轴、y 轴上的点的坐标有什么特征？ 4.在平面直角坐标系中,画出函数12 1-=x y 的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方? 二、探究归纳 1.在画函数12 1-=x y 的图象时，通过列表，可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0)，这两点都在坐标轴上，其中点(0,-1)在y 轴上，点(2,0)在x 轴上，我们把这两个点依次叫做直线与y 轴与x 轴的交点. 2.求直线y ＝-2x -3与x 轴和y 轴的交点，并画出这条直线. 分析 x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0．由此可求x 轴上点的横坐标值和y 轴上点的纵坐标值． 解 因为x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0，所以当y ＝0时，x ＝-1.5，点(-1.5,0)就是直线与x 轴的交点；当x ＝0时，y ＝-3，点(0，-3)就是直线与y 轴的交点. 过点(-1.5,0)和(0，-3)所作的直线就是直线y ＝-2x -3. 所以一次函数y ＝kx ＋b ,当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，k b x -=.所以直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标是(0,b ),与x 轴的交点坐标是?? ? ??-0,k b .

二次函数图像与系数关系含答案

二次函数图像与系数关系 一．选择题（共9小题） 1．（2013?义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中， 正确的是（） A．①②B．③④C．①④D．①③ 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：计算题；压轴题． 分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断； ②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入 （3a+b），并判定其符号； ③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值 范围； ④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， ∴根据图示知，当x＞3时，y＜0． 故①正确； ②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0． ∵对称轴x=﹣=1， ∴b=﹣2a， ∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0． 故②错误； ③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0）， ∴﹣1×3=﹣3， ∴=﹣3，则a=﹣． ∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣． 故③正确；

④根据题意知，a=﹣，﹣=1， ∴b=﹣2a=， ∴n=a+b+c=c． ∵2≤c≤3， ∴≤c≤4，即≤n≤4． 故④错误． 综上所述，正确的说法有①③． 故选D． 点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 2．（2013?烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（） A．①②B．②③C．①②④D．②③④ 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析：根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断 ③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的 增大而增大即可判断④． 解答：解：∵二次函数的图象的开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1， ∴﹣=﹣1， ∴b=2a＞0，

二次函数图象特征与系数关系专题

二次函数图象特征与系数关系专题 一、知识要点： 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)系数符号的确定 1、a 由抛物线开口方向确定?????00 a a 开口向下开口向上 2、b 由对称轴x= -a 2b 和a 的符号确定??? ???????-???000002000002b - b a b a a b b a b a a ，则，则，则，则 3、c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴的???00 c c 负半轴，则正半轴，则 4、b2-4ac 的符号由抛物线与x 轴（或坐标轴）的交点个数确定： ①与x 轴的交点个数?? ???=-==-=-时，方程无实数根；没有交点，数根时，方程有两个相等实；个交点，实数根时，方程有两个不相等；个交点，004b 0y 0410042222y ac ac b y ac b ②与坐标轴交点个数?? ???-=--；个交点，；个交点，；个交点，0410******** ac b ac b ac b 5、根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号： 常见①x=1时，a +b +c 的符号；②x=-1时，a -b+ c 的符号；③x=2时，4a+2b+c 的符号；④x=-2时，4a-2b+c 的符号；……. 6、由对称轴公式x= - a 2 b ，可确定2a+b 的符号或对称轴有具体数值是确定相关代数式的符号；如：x= -a 2b =-3 2时，可确定4a-3b 的符号；有时与相关成立的等式或不等式结合，确定运算后代数式的符号。 二、专题练习 1. 如图1，是二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，根据图中信息，下列结论正确是（ ） ① a b c >0； ②b< a+ c ；③2a+b=0；④a +b

1.5正弦函数的图像与性质基础练习题

1.5正弦函数的图像与性质基础练习题 一、单选题 1．已知函数()sin 022f x x ππ??????=+<< ???????的图象过点0,2? ?? ，则()f x 图象的一个对称中心为（ ） A ．1,03?? ??? B ．()1,0 C ．4,03?? ??? D ．()2,0 22sin 0x -≥成立的x 的取值集合是（ ） A ．()32244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? B ．()72244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? C ．()52244x k x k k Z π πππ?? -≤≤+∈???? D ．()572244x k x k k Z π πππ?? +≤≤+∈???? 3．函数π ()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．π 2 4．函数sin 26y x π?? =+ ???的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 5．函数1sin y x =-的最大值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1- 6．已知函数()()sin 2f x x ?=+的图像关于直线3x π =对称，则?可能取值是( ). A ．2π B ．12π - C ．6π D ．6π- 7．函数sin 26y x π? ? =+ ???的一条对称轴是（ ） A ．6x π =- B ．0x = C ．6x π = D ．3x π =

8．函数2sin y x =的最小值是（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 9．已知集合{}20M x x x =-≤， {}sin ,N y y x x R ==∈，则M N =（ ） A ．[]1,0- B ．()0,1 C ．[]0,1 D ．? 10．已知函数()sin()()2f x x x R π =-∈，下面结论错误的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 在区间0, 2π??????上是增函数 C ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D ．函数()f x 是奇函数 11．函数()sin 4f x x π? ?=+ ??? 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．4πx =- B ．4x π = C ．2x π = D ．x π= 12．函数12sin()24y x π=+ 的周期，振幅，初相分别是( ) A ．,2,44ππ B ．4,2,4π π-- C ．4,2,4π π D ．2,2,4π π 二、填空题 13．函数sin 2y x =的最小正周期为_____________ 14．函数1sin 223y x π??=+ ?? ?的最小正周期是_______ 15．y ＝3sin 26x π??- ???在区间0,2π?? ????上的值域是________. 三、双空题 16．设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是 32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 17．函数sin 24y x π??=+ ???的对称轴为_________，对称中心为_____________. 四、解答题 18．已知函数2sin 23y x π? ?=+ ??? .

二次函数图象特征与系数关系专题

二次函数图象特征与系数关系专题 一、知识要点： 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)系数符号的确定 3、C 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在 y 轴的丿正半轴， 则 d 负半轴， 则"O 4、 b2-4ac 的符号由抛物线与 X 轴(或坐标轴)的交点个数确定： 。个交点，b 2-4ac?O ; y = O 时，方程有两个不相等 实数根 ① 与X 轴的交点个数1个交点，b 2-4ac=O ; y =O 时，方程有两个相等实 数根 没有交点，b 2-4ac O; y =O 时，方程无实数根 3个交点，b 2 - 4ac a O ； ② 与坐标轴交点个数 2个交点，b 2 - 4ac = O ; 1 个交点，b 2-4ac O; 5、 根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号： 常见①x=1时，a +b +c 的符号；②x=-1时，a -b+ C 的符号；③x=2时，4a+2b+c 的符号；④ x=-2 时，4a-2b+c 的符号； ......... . K 6、 由对称轴公式X=- 一，可确定2a+b 的符号或对称轴有具体数值是确定相关代数式的符 2a 号；如：X=- =-时，可确定4a-3b 的符号；有时与相关成立的等式或不等式结合，确 2a 3 定运算后代数式的符号。 二、专题练习 ①b 2-4ac >O :② abc >O :③ 8a+c >O ;④ 9a+3b+c V O 2 3、 如图3,二次函数y=ax +bx+c 的图象中，根据图中信息，下列结论正确是( ) 1、a 由抛物线开口方向确定 开口向上=a a O 开口向下=a γ O K 2、b 由对称轴X=-和a 的符号确定 2a So, IaY 0, b 2a Y O 」 a ■ 0, a 0, 2 1.如图1 ,是二次函数y=ax +bx+c ( a ≠0的图象，根据图中信息，下列结论正确是( ) ① a b C >O ; ② b< a+ c ;③2a+b=O :④a +b

培优一次函数图像及性质

培优： 一次函数图像及性质 【基础知识概述】 一、函数的图象： 把—个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象. 二、正比例函数的图象及性质： 1．正比例函数y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是过(0，0)，(1，k)两点的一条直线． 2．当k ﹥0时，y 值随x 的值的增大而增大；（图象经过一、三象限） 当k ﹤0时，y 值随x 的值的增大而减小。（图象经过二、四象限） 3．|k|越大直线越靠近y 轴，|k|越小直线越靠近x 轴。 三、一次函数的图象及性质： 1．一次函数y=kx+b(k ，b 为常数，k ≠0)的图象是过(0，b),(k b - ，0)两点的一条直线． 2．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升。 ① 当k>0,b>0时,一次函数图象过一、二、三象限， ② 当k>0,b ＜0时,一次函数图象过一、三、四象限， 3．当k<0时，y 随x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降。 ① 当k<0,b>0时,一次函数图象过一、二、四象限， ② 当k<0,b<0时,一次函数图象过二、三、四象限， 【例题巧解点拨】 例1、① 函数25+-=x y 与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ； ② 已知一次函数y= ax+4与y = bx-2的图象在x 轴上相交于同一点, 则b a 的值是__________. 变式训练：1.已知函数y= -x+m 与y= mx-4的图象的交点在x 轴的负半轴上,那么m 的值___. 2.若函数y=-x-4与x 轴交于点A ，直线上有一点M ，若△AOM 的面积为8，则点M 的坐标 ． 3.（2011衡阳）如图，一次函数y=kx+ b 的图象与x 轴的交点坐标为（2，0）， 则下列说法：①y 随x 的增大而减小； ②b>0； ③关于x 的方程kx+b=0的解为x=2． 其中说法正确的有 ． 例2、已知函数y= -2x-6。 ① 求当x= -4时，y 的值，当y= -2时，x 的值。 ② 画出函数图象； ③ 求出函数图象与坐标轴的两个交点之间的距离； ④ 如果y 的取值范围-4≤y ≤2,求x 的取值

正弦函数的图像与性质教案

《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案） 神木职教中心 数学组 刘伟 教学目标：1、理解正弦函数的周期性； 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图； 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质； 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间； 5、初步理解“数形结合”的思想； 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等 教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像； 2、利用函数图像观察正弦函数的性质； 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想 教学难点：正弦函数性质的理解和应用 教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾 终边相同角的诱导公式： )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =，[]π2,0∈x （1）、列表

（2）、描点 （3）、连线 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…， [][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相 同 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=- 所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在??????++- ππ ππ k k 22, 22 是增函数，在?? ? ???++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-