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线性空间和线性变换

故 T U A U A A ))((11*--=,

令 T U A P )(1-=，则P 可逆，且P P A T =*，所以*A 为正定矩阵.

例28(1999.Ⅲ) 设A 为n m ?实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ，试证：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵.

证因为 B A A E A A E B T T T T =+=+=λλ)(，所以B 为n 阶实对称矩阵，且对任意的实n 维向量x ，有

,)()(A Ax x A A E x B x T T T T T T T +=+=λλ

当0x ≠时，有

0,T x x > 0)(>A Ax T ，于是当0λ>时，0=>x B x T T ，所以B 为正定矩阵.

例29(1999.Ⅰ) 设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B 为n m ?实矩阵，T B 为B 的转置矩阵，试证：AB B T 为正定矩阵的充分必要条件是R (B )=n .

证必要性

设AB B T

为正定矩阵，则对任意的实n 维列向量0x →

→

≠，有 ()0T T

AB x →

→

>，即0)()(>x B A x B T .

于是当0x ≠时，有0Bx ≠，

因此齐次线性方程组B x =0只有零解，故n B R =)(.

充分性

因为AB B B A B AB B T T T T T ==)(，所以AB B T 为实对称矩阵，

若R (B )=n ，则B x =0只有零解，从而对任意的实n 维列向量0x ≠均有0Bx ≠, 又A 为正定矩阵，所以对任意的实n 维列向量0Bx ≠，有

0)()(>x B A x B T

于是当0x ≠时，有()0T

AB x →→

>，

故 AB B T 是正定矩阵.

目标测试题

一、填空题

1. 设312,32a αβ-????

????==????????-????，且αβ与正交，则a =_______. 2. 设560100121A ??

??=-??

??-??

，则A 的特征值为___________. 3．(1998.Ⅰ) 设A 为n 阶矩阵，0≠A ，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若λ为A 的一个特征值，则E A +2*)(必有特征值_________.

4. 已知二次型31212

32221

2224x x x tx x x x f ++++=为正定二次型，则t =_______. 5.(2002.Ⅰ) 已知二次型3231212

32221

444)(x x x x x x x x x a f +++++=经正交变换y P x =可化为21

6y f =，则 ._____=a 二、选择题

1. 已知三阶矩阵A 有特征值=1λ-1，=2λ2，=3λ-3，，则*5A 的特征值是( ). (A )-30, 15, -10， (B )-5, 10, -15，

(C )-6, 12, -18， (D )-1, 2, -3.

2.(1995.Ⅰ) 设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1

231-???

??A 有一个特征值等于

( ).

(A )34, (B )43 , (C )21 , (D )4

3.(1992.Ⅴ) 矩阵?????

????

???=11

11111111

111

A 的非零特征值为______. (A )1 , (

B )2 , (

C )3 , (

D )4.

4. 已知二次型322322214332x x x x x f +++=经正交变换可化为标准形2

222152y y y f ++=，则在条件12

32221=++x x x 下，二次型f 的最大值为( ).

(A )2 , (B )10, (C )5 , (D )18.

5. 已知二次型31212

322212224x x x tx x x x f ++---=是负定的，则t 的取值为( ).

(A )2t <， (B )2t >， (C

)t > (D

)t <三、计算题

1. 求矩阵??

?????=122212221A 的特征值及特征向量. 2. 问下列各对矩阵是否相似？

(1) ??????????=300030003A ，??

????????=300130013B ； (2) ??????????=300020001A ，??

?????=300120011B . 3. 设A =??

?????----242422221, 求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵. 4. 用正交变换把二次型()2

3222312121321585442,,x x x x x x x x x x x x f +-+-+=化成标准形，并写出相应的正交矩阵.

5.(1997.Ⅳ) 设矩阵A 与B 相似，且

,33242111??????????----=a A ??

?????=b B 00020002， (1) 求a ,b 的值；

(2) 求可逆矩阵P ，使B AP P =-1. 四、证明题

1. 设A 是n 阶方阵，则零是A 的特征值的充分必要条件是0=A .

2. 已知A A T =，证明2A E +为正定矩阵.

第六章线性空间和线性变换

内容提要

线性空间

线性空间：设V 是一个非空集合，R 是实数域，在V 中定义两种运算

(1) 加法对任意两个元素,V αβ∈，总存在唯一的一个元素V γ∈与之对应，称为α与

β的和，记为γαβ=+，并满足以下四条运算规律：

(Ⅰ) αββα+=+；

(Ⅱ) ()()

αβγαβγ++=++；

(Ⅲ) V 中存在零元素0，对任一V α∈，都有0αα+=；

(Ⅳ) 对任意V α∈，存在V β∈，使得0αβ+=，βα称为的负元素，记为βα=-. (2) 数量乘法（简称数乘）对任意元素V β∈及任意实数R ∈λ，总存在唯一的元素V δ∈与之对应，称为λ与α的积，记为δλα=，并满足以下四条运算规律：

(Ⅴ) 1αα=；

(Ⅵ) ()()λμαλμα=； (Ⅶ) ()λμαλαμα+=+； (Ⅷ) (

)

λαβλαλβ+=+.

则称集合V 为R （实数域）上的线性空间（或向量空间），简称线性空间（或向量空间）.V 中的元素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量.

凡是满足以上八条运算规律的加法及数乘运算，称为线性运算；凡定义了线性运算的集合一定为线性空间.

子空间：设V 是一个线性空间，W 是V 的一个非空子集，如果W 对于V 中所定义的加法和数乘两种运算仍构成一个线性空间，则称W 为V 的子空间.

设V 为线性空间，W 是V 的子空间的充分必要条件是W 对于V 中的两种运算保持封闭，即

(ⅰ) 若,,W W αβαβ?∈+∈则； (ⅱ) 若,,W R W αλλβ?∈∈∈则.

基与维数：在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12,,,n ααα，且V 中任一向

量均可由12,,,n ααα线性表示，则称12,,,n ααα是线性空间V 的一个基. 其中n 称为线性

空间V 的维数.

维数为n 的线性空间称为n 维线性空间，记为n V .

线性空间同构：设V 与'V 是两个线性空间，如果存在V 到'V 的一个一一对应的映射f 满足：

(ⅰ) ()()()f f f αβαβ+=+； (ⅱ)

()()f f λαλα=.

其中,,R αβ∈ 则称V 与'V 同构, 而f 称为同构映射.

同构映射f 具有的性质： (ⅰ) ).()(0)0(f f f -=-=， (ⅱ) V 中的向量12,,,n ααα线性相关当且仅当'V 中的向量组 )( )()(21n f f f ααα，，，线

性相关.

两个线性空间V 与'V 同构的充分必要条件是它们的维数相同. 基变换与坐标变换坐标：设12,,

,n ααα是线性空间V n 的一个基，对于任一元素n V α∈，总有唯一确定的一

组有序数n x x x , , ,21 ，使

n n x x x αααα 2211+++= ，

则称有序数组12,,

,n x x x 为向量α在12,,,n ααα这个基下的坐标，记为

). , , ,( ) , , ,(2121n T n x x x x x x 或过渡矩阵：设12,,

,n ααα与12,,,n βββ是线性空间n V 的两个基，且它们的关系为

?????

??+++=+++=+++=.

2211n

2222112212211111n nn n n n n n n c c c c c c c c c αααβαααβαααβ

利用矩阵的运算，上式可表示为

，C n n ) , , ,() , , ,(2121αααβββ = 其中

1112

12122

212n n n n nn c c c c c c C c c c ??

????=???

???

?, 则称矩阵C 为从基12,,,n ααα到12,,,n βββ的过渡矩阵.

坐标变换公式：设n V 中的向量α在12,,

,n ααα下的坐标为 ) , , ,(21T n x x x ，在基

12,,,n βββ下的坐标为 ) , , ,(21T n y y y ，且，C n n ) , , ,() , , ,(2121αααβββ = 则有坐标变换公式

11221n n y x y x C y x -????????????=????????

????????

，或1122n n x y x y C x y ????

????

????=????

????????????.

变换：设有两个非空集合A , B ，如果对于A 中任一元素α按照一定规则，总有B 中一个确定的元素β和它对应，则称这个对应规则为从集合A 到集合B 的一个变换（或映射），记作T ，并记()T βα=, 称α为源，β为像，A 为源集，像的全体组成的集合为像集.

线性变换：设V n , U m 分别是实数域上的n 维和m 维线性空间，T 是一个从V n 到U m 的变

换，如果T 满足

(ⅰ) 对于任意,n V αβ∈，有)()()(βαβαT T T +=+； (ⅱ) 对于任意n V α∈，任意)()(αλαλλT T R =∈，有.

则称T 为从V n 到U m 的线性变换.

如果V n =U m ，则T 是从V n 到自身的一个线性变换，称为V n 中的线性变换. 线性变换T 的基本性质：

(ⅰ) ).()()(ααT T T -=-=， (ⅱ) 任给12,,

,m αααn V ∈，有

).()()()(22112211m m m m T T T T αλαλαλαλαλαλ+++=+++ (ⅲ) 若12,,

,m ααα线性相关，则)( , ),( ),(21m T T T ααα 也线性相关.

(ⅳ) 线性变换T 的像)(n V T 是n V 的一个子空间，称为线性变换T 的像空间. (ⅴ) 使)(=αT 的α的全体

}0)( ,==T V S n T ，也是n V 的子空间. T S 称为线性变换T 的核.

线性变换的矩阵：设12,,,n ααα是线性空间V n 的一个基，T 是V n 中的一个线性变换，

若基向量的像被基线性表示为

???

?+++=+++=+++=.

)(,

)(,)(22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T αααααααααααα 记

))( , ),( ),(() , , ,(2121n n T T T T αααααα =，上式可表示为

A T n n ) , , ,() , , ,(2121αααααα =，其中

???

???????=nn n n n n a a a a a a a a a A (2)

22221

11211 则称矩阵A 为线性变换T 在基12,,,n ααα下的矩阵.

线性变换在不同基下的矩阵之间的关系：设T 是线性空间V n 中的线性变换，T 在V n 的两个基12,,

,n ααα和12,,,n βββ下的矩阵分别为A 、B ，且

C n n ) , , ,() , , ,(2121αααβββ =，则1B C AC -=，即A 与B 相似.

例题分析

例1 全体n 阶对称矩阵构成集合，对于矩阵的加法和数乘是否构成线性空间.

分析要证一集合对于某加法，数乘构成线性空间，只须验证该集合对于所定义的加法与数乘运算是否封闭的.

解设全体n 阶对称矩阵构成集合为V ，且设A 、B ∈V ，R λ∈，则

，

B B A A T T == , 于是，B A B A B A T T T +=+=+ )(

，

A A A T T λλλ==)( 所以，V A V

B A ∈∈+λ ,

又由矩阵的加法、数乘满足的规律可知八条运算规律成立，

故 V 构成线性空间.

例2 验证与向量T )1 ,0 ,0(不平行的全体3维的向量，对于向量的加法和数乘运算不构成线性空间.

分析只需验证对于加法或数乘运算不封闭即可.

证设V 表示一切与向量T )1 ,0 ,0(不平行的向量构成的集合，令 α=T )0 ,0 ,3(，β=T )1 ,0 ,3(-

则 α，β∈V ,

但 α+β=T )1 ,0 ,0(? V ,

所以 V 对向量的加法和数乘不构成线性空间.

例3 说明集合V ={(a , b ) | a, b ∈R }对于下面定义的加法和数乘，能否构成线性空间，

(1) (a , b )+ (c , d ) =(a , b ), k (a , b )= (ka , kb ), k ∈R ; (2) (a , b ) + (c , d )= (a+c , b+d ), k (a , b )= (ka , 0), k ∈R . 解 (1) 由于(a , b ) + (c , d ) =(a , b ), 所以 (c , d )+ (a , b ) =(c , d ) ,

于是当,a c b d ≠≠当，有 (a , b ) + (c , d )≠(c , d ) +(c , d )，

即加法不满足交换律，因此V 对定义的加法和数乘不构成线性空间.

(2) )5 ,3()0 ,3()0 ,31()5 ,3(1≠=?=?, 因此V 对于定义的加法和数乘不构成线性空间.

例4 W 是由所有与给定的n 阶实矩阵M 可交换的实矩阵构成的集合，证明：W 是R n

n ?的子空间.

分析要证线性空间V 的非空子集是V 的子空间，只需验证该子集对V 中所定义的加法、数乘运算保持封闭的.

证设EM ME n E =阶单位矩阵，则

为，所以V E ∈，即W 非空集.

，，于是有

，，，则，任取M A AM MA A M M B A BM AM MB MA B A M BM MB AM MA R V B A )()()()( )()( , λλλλλ===+=+=+=+==∈∈

所以 V A V B A ∈∈+λ，，即W 对R n n ?中的加法、数乘封闭. 故W 是R n n ?的子空间.

例5 举例说明下列集合不是R 22?的子空间

(1) W 是由所有行列式值为0的二阶实矩阵构成的集合； (2) V 是由所有满足A 2=A 的二阶实矩阵构成的集合. 解 (1) W 不是子空间. 例如，设

A =?

???0101, B =??????-0010, 则 |A |=0, |B |=0，所以A ，B ∈W ，

但 A +B =???

???-0111, 从而 |A +B |=0111-=1≠0, 所以 A +B ?W , 即W 对于R 22?中的加法不封闭. 故W 不是R 22?的子空间.

(2) W 不是子空间. 例如，设

A =??

???0001, 则 A 2

=??????0001??????0001=??

???0001=A ，所以A ∈V ，但 2A =?

????0002, 从而 (2 A )2=4 A 2=4A ≠2A , 所以V A ?2，即V 对于乘法不封闭. 故 V 不是R 22?的子空间.

例6 设V 1,V 2是线性空间V 的子空间，证明：V 1与V 2的交V 1?V 2仍是V 的子空间. 证因为V 1，V 2都是V 的子空间，所以V 1，V 2都有和V 中一样的零元, 因而∈V 1?V 2，所以V 1?V 2非空.

任取 α、β∈ V 1?V 2，k R ∈, 则α∈ V 1且α∈ V 2、β∈ V 1且β∈ V 2，所以 α+β∈ V 1且α+β∈ V 2，

k α∈ V 1 且k α∈ V 2.

从而 α+β∈ V 1?V 2，k α ∈V 1?V 2 , 即V 1?V 2对于V 中的加法、数乘封闭，故V 1?V 2为V 的子空间.

例7 设V r 是n 维线性空间V n 一个子空间, 12,,,r ααα是V r 的一个基，证明： V n 中

存在元素12,,

,r r n ααα++，使12,,,r ααα, 12,,,r r n ααα++成为V n 的一个基.

证因为V r ≠V n ，12,,,r ααα 是V r 的一个基，

所以必有1r α+∈V n ，且1r α+?V r ，使得12,,,r ααα,1r α+线性无关，否则若12,,,r ααα,1r α+线

性相关，则1r α+可由12,,,r ααα线性表示，从而1r α+∈V r 与1r α+? V r 矛盾，

记12,,

,r ααα, 1r α+生成V n 的r +1维子空间为V 1+r .

若V n = V 1+r ，结论成立.

若V n ≠ V 1+r ，则存在2r α+∈V n ，且2r α+? V 1r +，使得12,,,r ααα, 1r α+,2r α+线性无关,

如此下去,一定存在12,,,r r n ααα++∈ V n ，使得12,,,r ααα, 12,,

,r r n ααα++线性无关，

即12,,

,r ααα, 12,,,r r n ααα++为V n 的一组基.

例8 证明：1ε=??????1111,2ε=??????-0110,3ε=??????-0011,4ε=?

?????0001是线性空间R 2

2?的一个基，并求A =??

???5432在该基下的坐标. 证先证1ε,2ε,3ε,4ε线性无关设44332211=+++εεεεk k k k ，即

???=??????+??????-+??????-+??????000000000004

2211

k k k k k k k k k ，于是

???????==+=--=++

.0 ,0,0,

01213

21431k k k k k k k k k

解之得 12340k k k k ====，所以1234,,,εεεε线性无关.

再证,22?∈?

?????=R d c b a B 对任意 B 可由1234,,,εεεε线性表示设,44332211εεεεk k k k B +++= 则

???

???+--++=??????121321431k k k k k k k k k d c b a ，于是

???????==+=--=++

. ,,,1213

21431d k c k k b k k k a k k k (1)

其系数行列式

,010

00100110

1111

01≠-=-- 所以非齐次线性方程组(1)有唯一解，故B 可由1234,,,εεεε线性表示，因此1234,,,εεεε是线性空间22?R 的一个基.

,44332211εεεεk k k k A +++=又设则有

??????

?==+=--=++

.5 ,4,3,21213

21431k k k k k k k k k 解之得 12345,1,3,6k k k k ==-==-，

因此A 在基1ε,2ε,3ε,4ε下的坐标为.)6 ,3 ,1 ,5(T --

例9 设12,,,s ααα是线性空间V 的s 个向量，证明：12,,,s ααα的最大线性无关组是

生成子空间L (12,,

,s ααα)的一个基.

证设向量组A ：1s α, 2s α,…, r s α是向量组B ：12,,,s ααα的一个最大线性无关组,

则向量组A 线性无关，且B A 与等价.

任取α∈L (12,,

,s ααα)，则α可由向量组B 线性表示，从而可由向量组A 线性表示，故

向量组A 为向量空间L (12,,,s ααα)的一个基，即12,,

,s ααα的最大线性无关组是生成子空

间L (12,,

,s ααα)的一个基.

例10 在R 3中，取两个基1α=(1,2,1)T , 2α=(2,3,3)T , 3α=(3,7,1)T ；1β=(3,1,4)T ,

2β=(5,2,1)T , 3β=T )6 ,1 ,1(-，试求坐标变换公式.

分析设从基1α,2α,3α到基1β,2β,3β的过渡矩阵为A ，且一向量在基1α,2α,3α下的坐标为T x x x ) , ,(321记成, 在基1β,2β,3β下的坐标为T y y y ) , ,(321,记成, 则坐标变换公式

为x A y y A x 1-==或.

解设基1α,2α,3α到基1β,2β,3β的过渡矩阵A ，则

(1β,2β,3β)=(1α,2α,3α)A ，

即 ??????????-614121153=?????

???131732321A ，于是

A =1

131732321-??

?????????

?????-614121153 =??????????-----11312557

18??

????????-614121153 =??

?????---81249209417127，从而 A 1

-=???????

????

?????

---49910

726313941811913,

故坐标变换公式为

x =????

?????---81249209417127y

, 或y =?????

????

?????---49910

726313941811913x .

例11 在R 4中取两个基

；，，，T T T T e e e e )1 ,0 ,0 ,0( )0 ,1 ,0 ,0( )0 ,0 ,1 ,0( )0 ,0 ,0 ,1(4321====

，，，，T T T T e e )3 ,1 ,6 ,6( )1 ,2 ,3 ,5( )0 ,1 ,3 ,0( )1 ,1 ,1 ,2(4321===-=αα

(1) 求从43214321 , , , , , ,αααα到基基e e e e 的过渡矩阵；

(2) 求向量T x x x x x ) , , ,(4321=在基4321 , , ,αααα下的坐标； (3) 求在两个基下有相同坐标的向量.

解 (1) 设从43214321 , , , , , ,αααα到基基e e e e 的过渡矩阵为A ，则有

????????????-31

121163316502=?????

???????1000010000100001

A ，故所求的过渡矩阵为

A =?????

????

???-31

12116331

6502. (2) 设向量T x x x x ) , , ,(4321=的在两组基下的坐标分别为T a a a a ) , , ,(4321=，

T b b b b ) , , ,(4321=，则a x =，且1b A a -=，

因为

A 1

-=271?????

???????-------2693718

0092391213327912,

所以

34b b b b ????

?????????

271????????????-------26937180092391213327912?????

??????4321x x x x =.272693727

189272391227332791243214143214321????

??????????++-----+--+x x x x x x x x x x x x x x (3) 设所求向量为T x x x x ) , , ,(4321=，则在基1234,,,e e e e 下的坐标为

T x x x x ) , , ,(4321=，又x 在基1234,,,αααα下的坐标也为x ，

所以 )( =-=E A A ，故x 为齐次线性方程组

??????

?=++=+++-=+++=++

.02 ,0,0632 ,06543143214

321431x x x x x x x x x x x x x x 的解.

解上述线性方程组得基础解系为

1111ξ??????=????-??

故在两组基下有相同坐标的向量为1111x k ????

??=????-??

(k R ∈).

例12 设V 为n 阶对称矩阵对矩阵的加法与数乘构成的线性空间，P 为n 阶矩阵，对任意A V ∈，作变换T (A )=P T AP ，（T 称为合同变换），证明：T 是V 中的线性变换.

分析要证明一变换为线性变换，只需证明在此变换下，和的像等于像的和；数乘积的像等于像与该数的积.

证因为AP P P A P AP P T T T T T T T ==)()(，所以V A T ∈)(，即T 是V 中的变换，任取,A B V ∈,R λ∈，则,T T A A B B ==,

于是 )()()()(B T A T BP P AP P P B A P B A T T T T +=+=+=+； ),()()()(A T AP P P A P A T T T λλλλ=== 所以T 是V 中的一个线性变换.

例13 下列哪些变换是线性变换

(1) 在R 3中，T (x , y , z )=(x +y +z , 0, 0)； (2) 在C 2中，T (a , b )=(a 2, b 2).

解 (1) 设α=(x 1, y 1, z 1)，β=(x 2, y 2, z 2)为R 3中任意两个向量，R k ∈，则 α+β=(x 1+ x 2, y 1+ y 2, z 1+ z 2)，于是 T (α+β)=T (x 1+ x 2, y 1+ y 2, z 1+ z 2) = ((x 1+ x 2)+(y 1+ y 2)+(z 1+ z 2), 0, 0) = ((x 1+y 1+z 1)+(x 2+ y 2+ z 2), 0, 0) = (x 1+y 1+z 1，0，0)+(x 2+ y 2+ z 2, 0, 0)

= T (x 1, y 1, z 1)+ T (x 2, y 2, z 2) = T (α)+T (β)；

T (k α)= T (kx 1, ky 1, kz 1)

= (kx 1+ky 1+kz 1, 0, 0) = (k (x 1+y 1+z 1), 0, 0) =k (x 1+y 1+z 1, 0, 0) =kT (x 1, y 1, z 1) = kT (α)，

故T (x , y , z )= (x+y+z , 0, 0)是R 3中的线性变换.

(2) 设α=(1, i ) ，) ,1(i --=，则α+β=(0, 0)，于是 T (α+β)=T (0, 0)=(02, 02)=(0, 0). 而 T (α)=T (1, i )=(12, i 2))1 ,1(-=，

T (β)=)1 ,1())( ,)1(() ,1(22-=--=--i i T ， T (α)+T (β))2 ,2()1 ,1()1 ,1(-=-+-=，

于是 T (α+β)≠T (α)+T(β)，

故T （a , b ）=（a 2, b 2）不是C 2中的线性变换.

例14 证明：线性变换空间V 的一个变换T 是线性变换的充分必要条件为对α、β∈V ，k ，l ∈K ，有T (k α+ l β)=kT (α)+l T (β).

证充分性若T (k α+l β)=kT (α)+lT (β)，则当k =l =1时，有T ((α+β)=T (α)+T (β)；当l =0时，有T (k α)= kT (α)，

故T 是V 的线性变换.

必要性若T 是V 的一个线性变换，则 T (k α)= kT (α)，T (l β)= lT (β)，

于是 T (k α+l β)= T (k α)+ T (l β)=kT (α)+lT (β).

例15函数集合

V ={α=(a 2x 2+a 1x+a 0)e x | a 2 , a 1, a 0∈R }

对于函数的线性运算构成3维线性空间，在V 中取一个基x

x x e xe e x ===3221,,ααα ，

求微分运算D 在这个基下的矩阵.

分析要求线性变换在某个基下的矩阵，只需将基像用基线性表示. 解因为

D (x 2 e x )=2 xe x + x 2 e x =1(x 2 e x )+2(xe x )+0 e x , D (x e x ) =1e x + x e x =0(x 2 e x )+1(xe x )+1 e x , D (e x ) =e x =0(x 2 e x )+0(xe x )+1 e x . 所以微分运算D 在基321,,ααα　下的矩阵为

A =??

?????110012001. 例16 2阶对称矩阵的全体

V ={A =??

??23

x x x x x 1, x 2, x 3∈R }对于矩阵的线性运算构成3维线性空间，在V 中取一个基

A 1=??????0001，A 2=??????0110，A 3=??????1000，在V 中定义合同变换T (A )=??????1101A ?

???1011，求T 在基A 1，A 2，A 3下的矩阵. 解因为

T (A 1)=??????1101??????0001??????1011=??????1111=1 A 1 +1A 2 +1A 3， T (A 2)=??????1101??????0110?

?????1011=??????2110=0 A 1 +1A 2 +2A 3， T (A 3)=??????1101??????1000??????1011=??????1000=0 A 1 +0A 2 +1A 3，所以线性变换T 在基A 1，A 2，A 3下的矩阵为

A =??

?????121011001. 例17 T 是线性空间R 3中的由下式给出的线性变换T (x 1, x 2, x 3)= (0, x 1, x 2)， (1) 求T 在基e 1=(1, 0, 0)，e 2=(0, 1, 0)，e 3=(0, 0, 1)下的矩阵； (2) 求T 在基ε1=(1, 0, 0)，ε2=(0, 1, 1)，ε3=)1 ,1 ,0(-下的矩阵. 解 (1) 因为

T (e 1)=T (1, 0, 0)=(0, 1, 0)=0e 1+ e 2+ 0e 3，

T (e 2)=T (0, 1, 0)=(0, 0, 1)=0e 1+0e 2+ e 3，

T (e 3)=T (0, 0, 1)=(0, 0, 0)=0e 1+0e 2+ 0e 3，

所以Ｔ在基e 1, e 2, e 3下的矩阵为

=A ??

??????010001000. (2) 因为从基e 1, e 2, e 3到基ε1, ε2, ε3的过渡矩阵为

110

11C ????=-??????，所以线性变换Ｔ在基ε1, ε2, ε3下的矩阵为

1B C AC -=

?????

?????-???????

???????

???

?-=1101100010100010000000

121212121

??????????-????

??????

??-=11011000100000212

12121

?????

???????---=212

121212100

0．例18 说明xOy 平面上变换T ??????y x =A ???

???y x 的几何意义，其中

(1) A =??????-1001 ，(2) A =???

???1000， (3) A =??????0110 ，(4) A =?

????-0110. 解 (1) T ??????y x =?????

?-1001??????y x =???

???-y x ，这个变换表示源与像关于y 轴对称.（如图1）

第一章线性空间与线性变换

第一章线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ．一、线性空间的定义及性质定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质：对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+．则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间．需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．

1.什么是线性空间什么是线性变换线性变换

1. 什么是线性空间？什么是线性变换？线性变换的秩如果小于空间的维数将会怎样？平方的秩？ 2. 描述一下密度矩阵的特征，纯态和混合态的区别（表现在密度矩阵的秩） 3. 什么是U 变换，U 变换对应的矩阵满足什么样的特点。U 矩阵一定是可对角化的吗？对应欧氏空间的正交变换有什么特点？正交变换对应的矩阵的矩阵元一定是实的吗？ 4. 什么是厄米算符，厄米算符的物理意义？对应的矩阵具有什么样的特点？厄米算符的本征值具有什么样的特征？厄米算符对应的矩阵的矩阵元是实的吗？厄米算符是否可以表示成实矩阵，特点是什么？互相对易的厄米算符具有共同的本征态，具有共同本征态的算符一定是对易的吗？具有共同本征值的呢？厄米算符的和是厄米算符吗？厄米算符的乘积呢？直积呢？不对易的厄米算符一定不可交换吗？ 5. exp （A ）exp （B ）＝exp （A+B ）？LnA 怎么计算？ 6. 简单介绍一下三种picture 的物理意义，态的特征，算符的特征。为什么采用这三种picture ，只有这三种picture 吗？你觉得相互作用picture 可以用在什么地方？Heisenberg picture 的波函数不随时间演化，本征态呢？与哈密顿量对易算符的本征态呢？本征值怎么样？ 7. 传播子的物理意义？路径积分与惠更斯原理有什么联系吗？两个光子能够叠加吗？最小作用原理和路径积分的联系。 8. 什么是态的纠缠？什么是直积态？ 9. 量子力学的五大假设是什么？什么是测量假设？测量假设可以从量子力学的其它假设推导出来吗？能够从态演化过程推导出来吗？它是一个物理过程吗？ 10. EPR 佯谬讲了一些什么内容？说明了什么物理本质？ 11. Bell 不等式怎么写？它有什么作用？2),(),(),(),(≤-++=''''b a b a b a b a u u E u u E u u E u u E S 12. 在quantum teleportation 中，对于粒子1的初态10βαψ+=，如果根据粒子1和2的Bell 基测量结果推知粒子3的量子态为10βαψ-=，10αβψ+=以及10αβψ-=，怎么样才能是粒子3的态恢复到粒子1原来的量子态？ 13. 什么是定态？第二次作业中的2.2题中的(e)小问, 为什么在上一次测量x μ得到0μ+之后隔一个时间间隔t ?再测量x μ，得到0μ+的几率并不完全等于1？ 1). 若体系的H 不显含时间t ，在初始时刻（t=0）体系处于某一个能量本征态)()0,(E ψψ=，其中),(),(t r E t r H E E ψψ=，则 ]/exp[)(),( iEt t E -=ψψ

线性变换和矩阵

§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使

A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ?? ? ?? ? ?+++=+++=+++=. , , 22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ??? ??? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ?? ?+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是

第六章线性空间与线性变换

第六章线性空间与线性变换柴中林 (A) 1. 检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：（1）全体n 阶上三角矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。（2）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对向量的加法和数乘运算。（3）平面上的全体向量对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k 。a =0 . 2. 设V 1和V 2都是线性空间V 的子空间，如果V 1∪V 2也是的子空间，求证有：V 1 V 2或V 2 V 1。 3. 检验下列各向量集合是否是R 3的子空间：（1）},0|),,{(213211R x x x x x x V i ∈≥=, （2）}(|),,{(3212有理数）Q x x x x V i ∈=. 4. R 4中，求向量ξ在基α1，α2，α3，α4下的坐标，已知：（1）α1（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， ξ=（1，2，1，1）。（2）α1（1，1，0，1）， α2=（2，1，3，-1）， α3=（1，1，0，0）， α4=（1，1，-1，-1）， ξ=（0，0，0，1）。 5. R 4中，求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，并求向量ξ在指定基下的坐标。已知：（1）α1=（1，0，0，0）， α2=（0，1，0，0）， α3=（0，0，1，0）， α4=（0，0，0，1）， β1=（2，1，-1，1）， β2=（0，3，1，0）， β3=（5，3，2，1）， β4=（6，6，1，3）。 ξ=（1，2，1，1）在基β1，β2，β3，β4下的坐标。（2）α1=（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， β1=（1，1，0，1）， β2=（2，1，3，1）， β3=（1，1，0，0）， β4=（0，1，-1，-1）。 ξ=（1，0，0，-1）在基α1，α2，α3，α4下的坐标。 6. 向量α、β、γ满足0321=++γβαk k k ，且k 1k 2≠0, 求证向量组α、β和向量组β、γ生成相同的向量空间。 7. 判断下面所定义的变换，哪些是线性变换，哪些不是：（1）在线性空间V 中，T （ξ）=ξ+α，其中α∈V 是一已知向量, （2）在R 3 中， T T x x x x x x x T ),,()),,((233221321+=, （3）在R 3中，T T x x x x x x x x T ),,2()),,((13221321+-=, （4）在P[x]n 中，T(f (x ))=f (x +1). 8. 证明线性变换将一个子空间变为一个子空间。 9. 已知矩阵A 与B 相似，C 与D 相似，证明： ???? ??C A 00与???? ??D B 00相似。 10. 设α1，α2，α3，α4是4维线性空间V 的一组基, 线性变换T 在这组基下的矩阵为: ??????? ??--------=7113102/52/92/1323133425T ,

第六章线性空间与线性变换.

第六章线性空间与线性变换 1.验证: (1)2阶矩阵的全体S i ； ⑵主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2； (3)2阶对称矩阵的全体S 「对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 解(1)设A,B 分别为二阶矩阵，则A,B S i 显然 (A B) S i ,k A S i ,从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. 0 0 1 是S 1的一个基. a b de A B ⑵设 c a , f d A,B S 2 (a d) c b ka kb A B S 2 kA S 2 c a a d kc ka 1 0 0 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 1 0 是 ?个基. ⑶设A, B S 3 ，则 T A A,B T B (A B)T A T B T A B ，从而(A B) S 3 (kA) kA 从，故kA S 3，所以对于加法和乘数运算构成线性空间. 2.验证：与向量(0,0,1) 不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解设V 与向量(0,0,1)不平行的全体三维向量，设「1 (1,1,0) r 2 ( 1,0,1)，则「1,「2 V .但「1 「2 (0,0,1) V 即 V 不是线性空间. 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 3 0 1 是S 3的一个基. 1 并写出各个空间的一个基.

3 .设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则 U V . 证明设1 2 r 为U 的一组基，它可扩充为整个空间 V 的一个基，由于dim(U) dim(V)从而i 2 r 也为V 的一个基，贝卩：对于x V 可以表示为x ki 1 k 2 2 kr r .显然，x U ，故V U ，而由已知知U V ，有U V . 4 .设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间，a 1, a r 是V r 的一个基.试证：V n 中存在元素a r 1, a n ，使印， a 2, a r 冃仆，a n 成为V n 的一个基. 证明设r n ,则在V n 中必存在一向量a r 1 V r ,它不能被ai ，a 2, a r 线性表示，将 a r 1 添加进来，则a i ，a 2，a 3， a r 1是线性无关的.若 r 1 n ,则命题得证，否则存在a r 2 L(a 1,a 2, ,a r 1)则 a 1,a 2, ,a r 2线性无关，依此类推，可找到n 个线性无关的向量 a 1，a 2，，a n ，它们是V n 的一个基. 5 .在 R 3 中求向量 (3,7,1) 在基 1 (1,3,5) , 2 (6,3,2), 3 (3,1,0/ 下的坐标. 解 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0O1) 1 6 3 A 3 3 1 ( T T (1 , 2 , T )(:, T 2 , ；)A 5 2 0 X 1‘ X 1 2 6 3 x 1 X 2' A 1 X 2 5 15 8 x 2 坐标变换公式： X 3‘ X 3 9 28 15 X 3 X 1' 2 6 3 3 33 X 2‘ 5 15 8 7 82 故所求为X 3' 9 28 15 1 154 ? 所求坐标为33, 82,154