浙江专用2021版新高考数学一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式教学案
第七章不等式
知识点
最新考纲
不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质.
一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式.
二元一次不等式(组)与简单的线性
规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题.
基本不等式
ab≤a＋b
2
(a，b＞0)
掌握基本不等式ab≤
a＋b
2
(a，b＞0)及其应用.
绝对值不等式
会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式．
了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b?b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c； (3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc， a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0?a n＞b n(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0?n a＞ n b(n∈N，n≥2)． 3．不等式的一些常用性质(1)有关倒数的性质 ①a>b，ab>0?1 a < 1 b . ②a <0 b . ③a >b >0，0 . ④0 a . (2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b > a ＋m b ＋m ；a b b －m (b －m >0)． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a b >1，则a >b .( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( ) (6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修5P74练习T3改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2 －b 2 >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.a －b >0?a >b ?a >b ?a 2 >b 2 ， 但由a 2 －b 2 >0?/ a －b >0. 2．(必修5P75A 组T2改编) 1 5－2______1 6－5(填“>”“<”或“＝”)． 解析：分母有理化有 1 5－2＝5＋2，1 6－5 ＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以 15－2 < 16－5 . 答案：< 3．(必修5P75B 组T1改编)若0 从小到 大排列为________． 解析：令a ＝13，b ＝2 3， 则2ab ＝2×13×23＝4 9 ， a 2＋ b 2＝19＋49＝59 ， 故a <2ab <12<59＝a 2＋b 2 答案：a <2ab <12 [易错纠偏] (1)乱用不等式的相乘性致错； (2)命题的必要性出错； (3)求范围乱用不等式的加法原理致错． 1．若a >b >0，c D.a d 解析：选D.因为c ac cd ，即b c >a d . 2．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析：若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝1 2.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 3．若－π2<α <β <π 2，则α－β的取值范围是________． 解析：由－π2<α<π2，－π2<－β<π 2，α<β， 得－π<α－β<0. 答案：(－π，0) 用不等式(组)表示不等关系 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工， 在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为 1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式． 【解】 设甲、乙两种产品的月产量分别为x ，y ，则由题意可知?????x ＋2y ≤400， 2x ＋y ≤500， x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N . 用不等式(组)表示不等关系 (1)分析题中有哪些未知量． (2)选择其中起关键作用的未知量，设为x 或x ，y ，再用x 或x ，y 来表示其他未知量． (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)． [提醒] 在列不等式(组)时要注意变量自身的范围． 某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元 的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式． 解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、 y 辆， 则?????40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N * .即?????4x ＋9y ≤100， x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N * . 不等式的性质及应用(高频考点) 不等式的性质及其应用是高考命题的热点．不等式性质的应用是高考的常考点，常以选 择题、填空题的形式出现．主要命题角度有： (1)判断命题的真假； (2)与充要条件相结合命题的判断； (3)求代数式的取值范围． 角度一 判断命题的真假 (1)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2 >b 2 D ．a 3 >b 3 (2)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2 2，则a D ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 【解析】 (1)A 项，c ≤0时，由a >b 不能得到ac >bc ，故不正确； B 项，当a >0，b <0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a >b 不能得到1a <1 b ，故不正确； C 项，由a 2－b 2 ＝(a ＋b )(a －b )及a >b 可知当a ＋b <0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)均不能得到a 2 >b 2 ，故不正确； D 项，a 3 －b 3 ＝(a －b )(a 2 ＋ab ＋b 2 )＝(a －b )·???? ??? ????a ＋b 22＋34b 2，因为? ????a ＋b 22＋34b 2 >0，所以可由a >b 知a 3－b 3>0，即a 3>b 3 ，故正确． (2)A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B ：当c <0时，ac >bc ?a c 2，所以c ≠0，又c 2 >0，所以a 【答案】 (1)D (2)C 角度二 与充要条件相结合命题的判断 (1)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2 <0”是“a D ．既不充分也不必要条件 (2)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【解析】 (1)(a －b )·a 2 <0，则必有a －b <0，即a <0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2 <0”是“a (2)当b <0时，显然有a >b ?a |a |>b |b |； 当b ＝0时，显然有a >b ?a |a |>b |b |； 当b >0时，由a >b 有|a |>|b |， 所以a >b ?a |a |>b |b |. 综上可知a >b ?a |a |>b |b |，故选C. 【答案】 (1)A (2)C 角度三 求代数式的取值范围 (2020·台州高三模拟)若α，β满足??? ? ?－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3， 则α＋3β的取值范围 为________． 【解析】 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β. 则?????x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得? ????x ＝－1，y ＝2. 因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. 所以α＋3β的取值范围是[1，7]． 【答案】 [1，7] (1)判断不等式命题真假的方法 ①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质． ②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假． (2)充要条件的判断方法 利用两命题间的关系，看p 能否推出q ，再看q 能否推出p ，充分利用不等式性质或特值求解． (3)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足b ＋c ≤2a ，c ＋a ≤2b ，则b a 的取值范 围是________． 解析：因为b ＋c ≤2a ，c ＋a ≤2b ，c ＞a －b ，c ＞b －a ， 所以问题等价于不等式组?????a －b ＜c ，b －a ＜c ， c ≤2a －b ，c ≤2b －a 有解， 所以?????a －b ＜2a －b ， a － b ＜2b －a ，b －a ＜2a －b ，b －a ＜2b －a ?23＜b a ＜3 2， 即b a 的取值范围是? ?? ??23，32. 答案：? ?? ??23，32 比较两个数(式)的大小 (1)设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1]．证明：f (x )≥1－x ＋x 2 ； (2)若a ＝ln 33，b ＝ln 2 2 ，比较a 与b 的大小． 【解】 (1)证明：因为1－x ＋x 2 －x 3 ＝1－（－x ）4 1－（－x ）＝1－x 4 1＋x ，由于x ∈[0，1]，有 1－x 4 1＋x ≤ 1 x ＋1 ， 即1－x ＋x 2 －x 3 ≤ 1 x ＋1 ， 所以f (x )≥1－x ＋x 2 . (2)因为a ＝ln 33＞0，b ＝ln 2 2＞0， 所以a b ＝ ln 33·2ln 2＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8 ＝log 8 9＞1，所以a ＞b . 1．设m ＝(x ＋2)(x ＋3)，n ＝2x 2 ＋5x ＋9，则m 与n 的大小关系为( ) A ．m >n B ．m D ．m ≤n 解析：选B.m －n ＝x 2 ＋5x ＋6－(2x 2＋5x ＋9) ＝－x 2 －3<0，所以m 2．比较a 2b ＋b 2 a 与a ＋ b (a >0，b >0)两个代数式的大小． 解：因为a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2 ab ＝a 2（a －b ）＋b 2（b －a ）ab ＝（a －b ）（a 2－b 2） ab ＝（a －b ）2 （a ＋b ） ab . 又因为a >0，b >0，所以（a －b ）2 （a ＋b ）ab ≥0， 故a 2b ＋b 2 a ≥a ＋b . [基础题组练] 1．(2020·嘉兴期中)若x ＞y ，m ＞n ，下列不等式正确的是( ) A ．m －y ＞n －x B ．xm ＞yn C.x n ＞y m D ．x －m ＞y －n 解析：选A.对于B ，x ＝1，y ＝－2，m ＝－1，n ＝－2时不成立， 对于C ，x ＝1，y ＝－2，m ＝－1，n ＝－2时不成立， 因为x ＞y ，m ＞n ，所以x ＋m ＞y ＋n ，所以m －y ＞n －x .A 正确， 易知D 不成立，故选A. 2．(2020·义乌质检)设α∈? ????0，π2，β∈? ?????0，π2， 那么2α－β3的取值范围是( ) A.? ????0，5π6 B.? ????－π6，5π6 C ．(0，π) D.? ?? ??－π6，π 解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π 6 ， 所以－π6≤－β3≤0，所以－π6<2α－β 3 <π. 3．设实数x ，y 满足0＜xy ＜1且0＜x ＋y ＜1＋xy ，那么x ，y 的取值范围是( ) A ．x ＞1且y ＞1 B ．0＜x ＜1且y ＜1 C ．0＜x ＜1且0＜y ＜1 D ．x ＞1且0＜y ＜1 解析：选C.?????xy ＞0，x ＋y ＞0??????x ＞0， y ＞0.又x ＋y ＜1＋xy ，所以1＋xy －x －y ＞0，即(x －1)(y －1)＞0，所以?????x ＜1，y ＜1或?????x ＞1，y ＞1(舍去)，所以? ????0＜x ＜1， 0＜y ＜1. 4．(2020·温州校级月考)下列不等式成立的是( ) A ．若|a |＜b ，则a 2 ＞b 2 B ．若|a |＞b ，则a 2 ＞b 2 C ．若a ＞b ，则a 2 ＞b 2 D ．若a ＞|b |，则a 2 ＞b 2 解析：选D.若|a |＜b ，则a 2 ＜b 2 ，故A 错误；若a ＝b ＜0，则|a |＞b ，则a 2 ＝b 2 ，故B 错误； 若－a ＝b ＜0，则a ＞b ，则a 2 ＝b 2 ，故C 错误； 若a ＞|b |，则a 2 ＞b 2 ，故D 正确．故选D. 5．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a ＞b ，则ac 2 ＞bc 2 B ．若a c ＞b c ，则a ＞b C ．若a 3＞b 3 且ab ＜0，则1a ＞1b D ．若a 2＞b 2 且ab ＞0，则1a ＜1b 解析：选C.当c ＝0时，可知A 不正确；当c ＜0时，可知B 不正确；由a 3 ＞b 3 且ab ＜0知a ＞0且b ＜0，所以1a ＞1 b 成立，C 正确；当a ＜0且b ＜0时，可知D 不正确． 6．已知实数a ，b ，c .( ) A ．若|a 2 ＋b ＋c |＋|a ＋b 2 ＋c |≤1，则a 2 ＋b 2 ＋c 2 <100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2 <100 C ．若|a ＋b ＋c 2 |＋|a ＋b －c 2 |≤1，则a 2 ＋b 2 ＋c 2 <100 D ．若|a 2 ＋b ＋c |＋|a ＋b 2 －c |≤1，则a 2 ＋b 2 ＋c 2 <100 解析：选D.取a ＝10，b ＝10，c ＝－110，可排除选项A ；取a ＝10，b ＝－100，c ＝0，可排除选项B ；取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，可排除选项C.故选D. 7．(2020·严州模拟)若a 10， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1 8．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1 b 同时成立的条件是________． 解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1 a ， 即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b . 所以a ＜b 和1a ＜1 b 同时成立的条件是a ＜0＜b . 答案：a ＜0＜b 9．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm ，要求菜园的面积不小于216 m 2 ，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________． 解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即? ????15－x 2 m ，根据题意知 ???? ?0 ???? 15－x 2≥216. 答案：?????0 ???? 15－x 2≥216 10．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 解析：因为f (x )过原点，所以设f (x )＝ax 2 ＋bx (a ≠0)． 由? ??? ?f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得?????a ＝1 2[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]， 所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又? ????1≤f （－1）≤2，3≤f （1）≤4， 所以6≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即f (－2)的取值范围是[6，10]． 答案：[6，10] 11．(2020·嘉兴期中)已知a ，b 是正数，且a ≠b ，比较a 3 ＋b 3 与a 2 b ＋ab 2 的大小． 解：(a 3 ＋b 3 )－(a 2 b ＋ab 2 ) ＝(a 3 －a 2 b )＋(b 3 －ab 2 )＝a 2 (a －b )＋b 2 (b －a ) ＝(a －b )(a 2 －b 2 )＝(a －b )2 (a ＋b )， 因为a ≠b ，a ＞0，b ＞0， 所以(a －b )2(a ＋b )＞0， 所以a 3 ＋b 3 ＞a 2 b ＋ab 2 . 12．已知a ＞b ＞0，m ＞0且m ≠a .试比较：b a 与b －m a －m 的大小． 解：b a － b －m a －m ＝b （a －m ）－a （b －m ）a （a －m ）＝m （a －b ） a （a －m ） . 因为a >b >0，m >0. 所以a －b >0，m (a －b )>0. (1)当a >m 时，a (a －m )>0， 所以 m （a －b ） a （a －m ） >0， 即b a －b －m a －m >0， 故b a > b －m a －m . (2)当a m （a －b ） a （a －m ） <0， 即b a － b －m a －m <0，故b a a －m . [综合题组练] 1．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知a >0且a ≠1，则“a b >1”是“(a －1)b >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.由a b >1??????a >1，b >0或?????00??????a －1>0，b >0或? ????a －1<0， b <0，又a >0且 a ≠1，所以“a b >1”是“(a －1)b >0”的充要条件． 2．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b 2 a b ) B.b 2a C ．a ＋1b D ．log 2(a ＋b ) a 解析：选B.根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝1 8，log 2(a ＋b )＝ log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b 2 a . 3．已知存在实数a 满足ab 2 >a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 解析：因为ab 2 >a >ab ， 所以a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ， 即? ????b 2 >1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2 <1 即? ????b 2 <1，b >1，无解． 综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1) 4．已知1≤lg(xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，则lg x 2 y 的取值范围是________． 解析：由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg x y ≤2得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2， 而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2 y ≤5. 答案：[－1，5] 5．(2020·金华十校联考)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5 折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家 更优惠． 解：设该单位职工有n 人(n ∈N * )，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －4 5nx ＝14x －120nx ＝14x ? ???? 1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n >5时，y 1 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 6．设不等式x ＋y ≤a x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立，求实数a 的最小值． 解：原题即a ≥ x ＋y x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立， 设A ＝ x ＋y x ＋y ， A 2＝x ＋y ＋2xy x ＋y ＝1＋2xy x ＋y ≤2， 当x ＝y 时等号成立，因为A ＞0， 所以0＜A ≤ 2，即A 有最大值 2. 所以当a ≥ 2时，x ＋y ≤a x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立． 所以a 的最小值为 2. 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点26 基本不等式 一、选择题 1．（2015·四川高考文科·T9)设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤?? +≤??+≥? ，则xy 的最大值为（ ） (A) 252 (B) 492 (C) 12 (D)14 【解题指南】利用基本不等式解题 【解析】选A 由条件得：()25y x ≤-。于是，()2 52525222x x xy x x +-??≤-≤= ? ?? 。xy 当且仅当5,52x y = =时取到最大值252。经验证，5 ,52 x y ==在可行域内。故选A 。 2．.(2015·四川高考理科·T9)如果函数f(x)=21(m-2)x 2 +(n-8)x+1(m ≥0,n ≥0)在区间[21,2]上单调递减, 那么mn 的最大值为 ( ) A.16 B.18 C.25 D. 2 81 【解析】选 B.)(x f '=(m-2)x +n-8=0得28---=m n x .当m>2时,抛物线的对称轴为2 8 ---=m n x ,据题意,2 8 --- m n ≥2,即2m+n ≤12. 因为62 22≤+≤n m mn ,所以m · n ≤18,由2m+n=12且2m=n 得m=3,n=6.当m<2时,抛物线开口向下,根据题意得:-2128≤--m n ,即2n+m ≤18,因为92 22≤+≤m n mn ,所以m ·n ≤281,由2n+m=18且2n=m 得 m=9(舍).要使得mn 取最大值,应有2n+m=18(m<2,n>8),所以m ·n=(18-2n)·n<(18-2×8)×8=16,所以最大值为18. 3.(2015·福建高考文科·T5) 若直线 +=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b 的最小值等 于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解. 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 基本不等式 【考点梳理】 1．基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)? ?? ??a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x ＜ 54，则f (x )＝4x －2＋145 x -的最大值为________． (2)函数y ＝ x －1 x ＋3＋x －1 的最大值为________. [答案] (1) 1 (2) 1 5 [解析] (1)因为x ＜5 4 ，所以5－4x ＞0， ＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋1 4x －5的最大值为1. (2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2 ＋1， 所以y ＝ t t 2 ＋1＋3＋t ＝ t t 2 ＋t ＋4 . 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝ 1 t ＋4t ＋1 ， 因为t ＋4 t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝ 1t ＋4t ＋1 ≤1 5， 即y 的最大值为1 5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋ 1 x －2 ＋2≥2（x －2）× 1 x －2 ＋2＝4，当 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a＋b 2 (a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤ a＋b 2 (a，b＞0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a ②a <0b >0，0 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 高中数学必修（5）不等式专题检测 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ） A ．c b c a -≥+ B ．bc ac > C ． 02 >-b a c D ．0)(2 ≥-c b a 2．若0< B ．a b a 1 1>- C ．3 131b a < D ．3 2 3 2b a > 3．若关于x 的不等式m x x ≥-42 对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3-≤m B ．3-≥m C ．03≤≤-m D ．03≥-≤m m 或 4．已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有 （ ） A ．最小值 21 和最大值1 B ．最小值 4 3 和最大值1 C ．最小值21和最大值4 3 D ．最小值1 5．设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11， a 与b 的大小关系 （ ） A ．a >b B ．a ---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4-a C ．12->a D ．12---x a 则实数a 的取值范围是 （ ） A ．1||a D ．2||1< 考点10 基本不等式 1、掌握基本不等式2 b a a b +≤ 。 2、能用基本不等式证明简单不等式。 3、能用基本不等式求最值问题。 基本不等式是江苏数学考纲要求的c 级要求，是江苏高考试卷重点考查的模块之一，在全国各地也经常考查到。基本不等式是求函数最值得一种重要的方式，纵观近五年江苏高考不难发现基本不等式经常与三角函数、直线和圆等结合求函数的最值。在高考中属于中档题或者难题·因此在复习中要引起学生的重视。 在学习中，要掌握运用基本不等式求函数的最值，要注意以下几点： ①掌握基本不等式满足的条件：一正、二定、三相等。 ②掌握基本不等式的一些常见变形，最终都要化成 d bx c ax ++的形式。 ③掌握基本不等式的一些常见题型和方法技巧，如三元变二元，二元变一元。以及双换元等。在多次运用基本不等式的时一定要保证等号成立的条件。 1、【2020年山东卷】.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A. 2 2 1 2 a b +≥ B. 122 a b -> C. 22log log 2a b +≥- D. ≤ 【答案】ABD 【解析】对于A ，() 2 2 2 2 2 1221a b a a a a +=+-=-+2 1211222a ? ???+ ? ≥-=， 当且仅当1 2 a b == 时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以1 1222 a b -->=，故B 正确； 对于C ，2 222221log log log log log 224a b a b ab +??+=≤==- ? ?? ， 当且仅当1 2a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为 2 112a b =+≤++=， ≤，当且仅当1 2 a b == 时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD 2、【2020年江苏卷】已知22451(,)x y y x y R +=∈，则2 2x y +的最小值是_______． 【答案】 4 5 【解析】∵224 51x y y += ∴0y ≠且4 2 2 15y x y -= ∴422 2 2 221144+5555y y x y y y y -+=+=≥，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴2 2x y +的最小值为 45 . 故答案为： 4 5 . 3、【2020年天津卷】.已知0,0a b >>，且1ab =，则 118 22a b a b +++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b ∴ ++=++++ 考点29 基本不等式 一、选择题 1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3 ）63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.2 9 C.3 D. 2 2 3 【解题指南】直接利用基本不等式求解. 【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时, 2 9263)6)(3(=++-≤ +-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23 =a 时取等号. 2. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当 xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C. 94 D.3 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212x y z +-，进而再利用基本不等式求出2 12x y z +-的最值. 【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以 22 14343xy xy x y z x xy y y x ==-++ -1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =z xy . xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=2 11122412y y ??+- ? ?≤= ? ??? . 3. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ， 则当 z xy 取得最大值时，2x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.9 8 C.2 D.94 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值. 【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以1342344322=-?≥-+=+-=x y y x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x = ， 即2x y =时取等号此时22y z =， 所以()2222222422222 22=?? ? ??-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ， 当且仅当y=2-y 时取等号. 4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2 B ．[]2,0- C ．[)2,-+∞ D ．(],2-∞- 【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式. 【解析】选D. ≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14 ,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题 5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。 【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将3x =代入即可. 【解析】由题()4(0,0)a f x x x a x =+>>，根据基本不等式4a x x +≥高中数学解不等式方法+练习题
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