初三中考压轴辅助线习答案

初中数学辅助线的添加浅谈

人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

作辅助线的方法

一：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）

五：面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，

大多数为“面积找底高，多边变三边”。

六:特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明

七：梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰。 （2）梯形外平移一腰

三角形中作辅助线的常用方法举例

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1：已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.

A B

C

D

E

N M 11-图A

B

C

D

E

F G

2

1-图

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 。 分析：因为∠BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。

分析：要证BE ＋CF ＞EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE ，CF ，EF 移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN ，FN ，EF 移到同一个三角形中。

四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例如：如图4-1：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF

A

B

C

D

E

F G

1

2-图A

B

C

D E

F

N

1

3-图1234

五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

例如：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD ＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

六、截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC

＞PB－PC。

分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN 等于AC，得AB－AC＝BN，再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。

A

B

C

D

N

M

P

1

6-

图

1

2

1

4-

图

A

B

C

D

E F

M

1

23

4

A

B C

D

E

七、延长已知边构造三角形：

例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC

分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图8-1：AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB=CD 。

分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。

A

B

C

D

E

1

7-图O

A

B

C

D

1

8-图1

2

3

4

九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：如图9-1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE

分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。

十、连接已知点，构造全等三角形。

例如：已知：如图10-1；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。 分析：要证∠A ＝∠D ，可证它们所在的三角形△ABO 和△DCO 全等，而只有AB ＝DC 和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB ＝DC ，AC ＝BD ，若连接BC ，则△ABC 和△DCB 全等，所以，证得∠A ＝∠D 。

十一、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图11-1：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。

分析：由AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，想到如取AD 的中点N ，连接NB ，NC ，再由SAS 公理有△ABN

≌△DCN ，故BN ＝CN ，∠ABN ＝∠DCN 。下面只需证∠NBC ＝∠NCB ，再取BC 的中点M ，连接MN ，则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM ，所以∠NBC ＝∠NCB 。问题得

证。

1

9-图D

C

B

A E

F 1

2D

C

B A 1

10-图O

1

11-图D C

B

A M N