傅里叶级数展开的实际意义
傅里叶级数展开的实际意义
1.傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：
1)傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;
2)傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
3)正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系
数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计
算卷积的一种简单手段;
4)离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响
应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅
立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变
换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、
信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
2.图像傅立叶变换的物理意义
图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个
维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。
为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。
另外我还想说明以下几点：
1)图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明：若变换矩阵Fn原点设在中心，
其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。
2)变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最
亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。
3)傅立叶变换的提出,让我们先看看为什么会有傅立叶变换？
傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。谁是对的呢？
拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
傅里叶级数展开matlab实现
傅里叶级数展开matlab 实现给个例子说明下：将函数 y=x*(x-pi)*(x-2*pi)，在(0,2*pi)的范围内傅里叶级数展开syms x fx=x*(x-pi)*(x-2*pi); [an,bn,f]=fseries(fx,x,12,0,2*pi)%前12 项展开latex(f)%将f 转换成latex 代码an = [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] bn = [ -12, 3/2, -4/9, 3/16, -12/125, 1/18, -12/343, 3/128, -4/ 243, 3/250, -12/1331, 1/144] f = 12*sin(x)+3/2*sin(2*x)+4/9*sin(3*x)+3/16*sin(4*x)+12/ 125*sin(5*x)+1/18*sin(6 *x)+12/343*sin(7*x)+3/128*sin(8*x)+4/243*sin(9*x)+3/ 250*sin(10*x)+12/1331* sin(11*x)+1/144*sin(12*x) ans = 12\,\sin \left( x \right) +3/2\,\sin \left( 2\,x \right) +4/9\,\sin \left( 3\,x \right) +3/16\,\sin \left( 4\,x \right) +{\frac {12}{125}}\,\sin \left( 5\,x \right) +1/18\,\sin \left( 6\,x \right) +{\frac {12}{343}}\,\sin \left( 7\,x \right) +{\frac {3}{128}}\,\sin \left( 8\,x \right) +{\frac {4}{243}}\,\sin \left( 9\,x \right) +{\frac {3}{250}}\,\sin \left( 10\,x \right) +{\frac {12}{1331}}\,\sin \left( 11\,x \right) +{\frac {1}{144}}\,\sin \left( 12\,x \right) function [an,bn,f]=fseries(fx,x,n,a,b) %傅里叶级数展开% %an 为fourier 余弦项系数%bn 为fourier 正弦项系数%f 为展开表达式%f 为给定函数%x 为自变量%n 为展开系
傅里叶级数
傅里叶级数（Fourier Series ） 引言 正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 就是一个以ωπ 2为周期的函数。其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为 角频率，?为初相。 但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为)2(ωπ =T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数 )sin(n n t n A ?ω+组成的级数来表示，记为 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数。 将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项0A 称为 )(t f 的直流分量；)sin(11?ω+t A 称为一次谐波（又叫做基波） ；而)2sin(22?ω+t A ， )3sin(33?ω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。 为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ?ω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ω?ω??ωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00，则上式等号右端的级数就可以改写成 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。 1.函数能展开成傅里叶级数的条件 （1） 函数)(x f 须为周期函数； （2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但 左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点） （3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。
傅里叶级数展开
傅里叶级数展开傅里叶级数其实是一种三角级数。三角级数的一般形式是 ∑∞=++10)sin cos (2a n n n nx b nx a 其中0a ，n a ，n b （n=1,2，···）都是实数。 现在能否把一个任意周期为2π的函数表示为一系列正弦函数之和呢？这样表示有什么条件吗？且听慢慢分辨。 现在的焦点就是把一个周期为2π的函数f （x ）表示为： ∑∞=++=10)sin cos (2a )(f n n n nx b nx a x [1] 这样的形式。 现在有两个问题： 1.在什么条件下把f （x ）展开成[1]的形式： 2.0a ，n a ，n b 如何确定。 由三角函数系的正交性可知，三角函数系中任意两个相同的函数之积在[-π，π]上积分不为零；任意两个不相同的函数之积在[-π，π]上积分为零。 接下来可以这样推导0a ，n a ，n b 的值 第一步：对[1]两边同时在[-π，π]上积分有： ∑∫∫∫∫∞=++=1---0-dx] sin b dx cos [dx 2a dx )(f n n n nx nx a x πππππ πππ=π0a ， 故0a =∫πππ-dx x f 1）（第二步：对[1]两边同时乘以cosnπ然后在[-π，π]上积分有：∑∫∫∫∫∞=++=1---0-]d cos sin b d cosn cos [d cosn 2a d cosn )(f n n n x nx nx x x nx a x x x x x πππππππ π得， ），（）（∫==πππ-n 2,1n cosnxdx x f 1a ?第三步：对[1]两边同时乘以cosnπ然后在[-π，π]上积分有： ∑∫∫∫∫∞=++=1---0-]d sin sin b d sinn cos [d sinn 2a d sinn )(f n n n x nx nx x x nx a x x x x x πππππ πππ得， ），（）（∫==πππ-n 2,1n sinnxdx x f 1b ?那么什么条件下才能有以上展开呢？
c语言实现傅里叶级数展开
#include return false; } int main(void) { double l=-3.1415926; double u=3.1415926; double st; double x,sum; int ps,n; printf("请输入区间个数:"); scanf("%d",&ps); st=(u-l)/ps; printf("请输入傅里叶展开的项数:"); scanf("%d",&n); printf("请输入你要求的数:"); scanf("%lf",&x); printf("x^2的傅里叶展开得到的结果为:"); sum=Getb(l,u,st,ps)/2+Geta(l,u,st,x,n,ps); printf("%lf\n",sum); if(!text(sum,x)) { printf("验证结果不相符，可能傅里叶级数展开有错!\n"); } else { printf("验证结果相符,傅里叶级数展开正确!\n"); } return 0; } 周期方形信号的傅里叶级数展开 提出问题： 用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。 设周期为1的方波信号由以下函数给出 ?? ???<=>=-<>=<->=+=)2且1(1)1且0()0且1(1)x (x x x x x x x x x f 。 利用Matlab 软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。 问题背景： 在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Matlab 软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。 知识基础： 周期函数的傅里叶级数展开，Matlab 软件 实验过程： 对于周期为2π函数()f t , 满足Dirichlet 条件，则可展为傅里叶级数 经过傅里叶变换得到： ?????????--- +- =∑∑∑∞∞∞111)) 1(2sin(21)2sin(2 1))1(2sin(2 1)(x k x k x k x f πππ 将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab 软件，编写程序如下： clear;clc;x=linspace(-1,2,3000); y=(x+1).*(x<0)+x.*(x>=0&x<1)+(x-1).*(x>=1&x<=2); y1=0; 01()(cos sin ).2n n n a f t a nt b nt ∞==++∑1()cos n a f t ntdt πππ -=?1()sin n b f t ntdt πππ-=? 0,1,2n =L 1,2,3n =L for k=1:10; y1=y1+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x+1)).*(x<0); end y1=1/2-y1; y2=0; for k=1:50; y2=y2+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*x).*(x>=0 & x<1); end y2=1/2-y2;y3=0; for k=1:100; y3=y3+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x-1)).*(x>=1&x<=2); end y3=1/2-y3;plot(x,y1)hold on plot(x,y2) plot(x,y3)plot(x,y,'r') axis equal 此图当x 属于(-1,0)时，傅里叶级数取了前10项 此图当x 属于(0,1)时，傅里叶级数取了前50项 此图当x 属于(1,2)时，傅里叶级数取了前100项 红线代表实际函数，蓝线代表傅里叶级数展开函数 拓展练习： 1. 可将周期2π扩展为任意周期T ,则此时方波信号的角频率2/T ωπ=，当方波信号 ()f t 满足Dirichlet 条件时，则可展为傅里叶级数： 01()(cos sin ).2n n n a f t a n t b n t ωω∞==++∑ 0 02()d T a f t t T =? 傅里叶级数展开的实际意义 1.傅立叶变换的物理意义 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。 傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。 在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类： 1)傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子; 2)傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 3)正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系 数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计 算卷积的一种简单手段; 4)离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响 应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅 立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变 换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、 信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 2.图像傅立叶变换的物理意义 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。 如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。 傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个 第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 线性表出而得．不妨称 2{1,,,,,}n x x x L L 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数 定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积， 1 1 (),cos ()cos d k a f x kx f x kx x π π π π -= = ? 0,1,2,k =L ；周期方形信号的傅里叶级数展开
傅里叶级数展开的实际意义
傅里叶级数课程及习题讲解范文