初三中考数学二次函数较难题解析
二次函数的图像考点:
开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.
二次函数:y=ax 2
+bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)
一般式:y=ax 2
+bx+c ,三个点
顶点式:y=a (x -h )2
+k ,顶点坐标对称轴
顶点坐标(-2b
a
,244ac b a -).
顶点坐标(h ,k )
a b c 作用分析
│a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小,│a │越小,开口越大,
a ,
b 的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y 轴,当a ,b 同号时,对称轴x=-2b
a
<0,
即对称轴在y 轴左侧,当a ,b?异号时,对称轴x=-2b
a
>0,即对称轴在y
c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c>0时,与y 轴交于正半轴;c<0时,与y?轴交于负半轴,以上a ,b ,c 的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出.
交点式:y=a(x- x 1)(x- x 2),(有交点的情况) 与x 轴的两个交点坐标x 1,x 2 对称轴为2
2
1x x h +=
一、二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点)
1.把二次函数的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2
-+=x y 则原二次函数的解析式为
2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与抛物线y= - 2x 2
相同,这个函数解析式为________。
3.如果函数1)3(2
32
++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______
4.(08绍兴)已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线2
1y x =-上,下列说法中正确的是( )
A .若12y y =,则12x x =
B .若12x x =-,则12y y =-
C .若120x x <<,则12y y >
D .若120x x <<,则12y y >
5.(兰州10) 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为
322
--=x x y ,则b 、c 的值为
A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2
6.抛物线5)43()1(2
2
+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M =
7.二次函数52
-+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则m 的取值范围是 8.函数245
(5)21a a y a x
x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数.
9.抛物线2
)13(-=x y 当x 时,Y 随X 的增大而增大
10.抛物线42
++=ax x y 的顶点在X 轴上,则a 值为
11.已知二次函数2
)3(2--=x y ,当X 取1x 和2x 时函数值相等,当X 取1x +2x 时函数值为
12.若二次函数k ax y +=2
,当X 取X1和X2(21x x ≠)时函数值相等,则当X 取X1+X2时,函数值为
13.若函数2)3(-=x a y 过(2.9)点,则当X =4时函数值Y =
14.若函数k h x y ---=2)(的顶点在第二象限则,h 0 k 0
15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是1.且过(3.0)点求解析式
16.将121222
--=x x y 变为n m x a y +-=2
)(的形式,则n m ?=_____。
17.已知抛物线在X 轴上截得的线段长为6.且顶点坐标为(2,3)求解析式(讲解对称性书写)
二、一般式交点式中考要点
18.如果抛物线y=x 2
-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于( ) (A )8 (B )14 (C )8或14 (D )-8或-14
19.二次函数y=x 2
-(12-k)x+12,当x>1时,y 随着x 的增大而增大,当x<1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( ) (A )12 (B )11 (C )10 (D )9
20.若0
-+=bx x y 的图象的顶点在 ( A ) (A )第一象限(B )第二象限 (C )第三象限(D )第四象限
21.不论x 为何值,函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( )
>0,△>0 >0, △<0 <0, △<0 <0, △<0
22.已知二次函数)1(3)1(2
-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为
23.二次函数432
--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转180度的图象的解析式为
24. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个,交点坐标为_______。
25.已知二次函数222
--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点,则K 的取值范围是
26.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。
27.抛物线y=(k-1)x 2
+(2-2k)x+1,那么此抛物线的对称轴是直线_________,它必定经过________和____
28.若抛物线
2
2y x x a =++的顶点在x 轴的下方,则a 的取值范围是( ) A.1a >
B.1a <
C.1a ≥
D.1a ≤
29.抛物线y=3x-x 2
+4与x 轴交点为A ,B ,顶点为C , (1)求△ABC 的面积。
(2)若在抛物线上有一点D ,使△ABD 的面积是△ABC 的面积的一半。求D 点坐标(得分点的把握)
30.已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)(-1,0)与y 轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。
= ax 2
+bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ,OA=2,OB=1 ,OC=1,求函数解析式
三、二次函数极值问题
58.二次函数
2
y ax bx c =++中,2b ac =,且0x =时4y =-,则( ) A .
4
y =-最大 B .
4
y =-最小
C.
3
y=-
最大D.
3
y=-
最小
59.已知二次函数
2
2)3
(
)1
(-
+
-
=x
x
y,当x=_________时,函数达到最小值。
60.二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时,y随着x的增大而增大,当x<1时,y随着x的增大而减小,则k的值应取()
(A)12 (B)11 (C)10 (D)9
61.(2008年潍坊市)若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数
()
A.有最大值
B..有最大值
C.有最小值
D.有最小值
62.若二次函数
2
()
y a x h k
=-+的值恒为正值, 则 _____.
A.
0,0
a k
<> B. 0,0
a h
>>
C.
0,0
a k
>> D. 0,0
a k
<<
四、 形积专题.
63.(09年陕西省) 如图,在平面直角坐标系中,OB ⊥OA ,且OB =2OA ,点A 的坐标是(-1,2). (1)求点B 的坐标;(相似)
(2)求过点A 、O 、B 的抛物线的表达式;
(3)连接AB ,在(2)中的抛物线上求出点P ,使得S △ABP =S △ABO .
64.(09武汉)如图,抛物线2
4y ax bx a =+-经过(10)A -,、(04)C ,两点,与x 轴交于另一点B . (1)求抛物线的解析式;
(2)已知点(1)D m m +,在第一象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接BD ,点P 为抛物线上一点,且45DBP ∠=°,求点P 的坐标.
65. (09烟台市中考变式) 如图,抛物线2
3y ax bx =+-与x 轴交于A B ,两点,与y 轴交于C 点,且经过点(23)a -,,对称轴是直线1x =,顶点是M . (1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ,在抛物线上是否存在这样的点P ,使以点P A
C N ,,,为顶点的四边形为平行四边形若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
66.(3)若圆P 是三角形ABM 的外接圆,求外心P 的坐标
(4)设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ,在线段BD 上任取一点E (不与B D ,重合),经过A B E ,,三点的圆交直线BC 于点F ,试判断AEF △的形状,并说明理由;
五、二次函数应用利润问题
67.(贵阳市)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格调查,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱. (1)求平均每天销售量y (箱)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式.(3分)
(2)求该批发商平均每天的销售利润w (元)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式.(3分) (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润最大利润是多少(4分)
68.(2009·洛江)我区某工艺厂为迎接建国60周年,设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,其中工艺品的销售单价x (元 ∕ 件)
与每天销售量y (件)之间满足如图3-4-14所示关系.
(1)请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量; (2)①试求出y 与x 之间的函数关系式;
②若物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过45元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大最大利润是多少(利润=销售总价-成本总价)。
D
C
B A 25m
六、二次函数应用几何面积问题+存在性问题
69.(2007年韶关市)为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m )的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围住(如图4).若设绿化带的BC 边长为xm ,绿化带的面积为ym 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)当x 为何值时,满足条件的绿化带的面积最大
70.如图,有长为24m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m ),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x m ,面积为S m 2
. (1)求S 与x 的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45 m 2的花圃,AB 的长是多少米 (3)能围成面积比45 m 2
更大的花圃吗如果能,请求出 最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
71.(08 重庆)已知:,抛物线与y 轴交于点C (0,4),与x 轴交于点A 、
B ,点A 的坐标为(4,0)。 (1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q 是线段AB 上的动点,过点Q 作QE ∥AC ,交BC 于点E ,连接CQ 。当△CQE 的面积最大时,求点Q 的坐标;
72.(3)若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,
点D的坐标为(2,0)。问:是否存在这样的直线,使得△ODF是等腰三角形若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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部分答案
57. -1<x<3
64
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68.
解析:(1)观察图象可直接得出销售单价定为30元和40元时相应的日销售量分别为400件和500件.
(2)①因为图象过(30,500)、(40,400)两点,所以利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式;
②表示出利润与销售单价之间的函数关系式,利用函数的增减性分析求解. 图3-4-14
解:(1)500件和400件;
(2)①设这个函数关系为y= k x+b
∵这个一次函数的图象经过(30,500)、(40,400)这两点,
∴
50030
40040
k b
k b
=+
?
?
=+
?
解得
10
800
k
b
=-
?
?
=
?
∴函数关系式是:y=-10x+800
②设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元,依题意得
W=(x-20)(-10x+800)
=-10(x-50)2+9000
∵-10<0,∴函数图象为开口向下的抛物线.
其对称轴为x=50,又20 在对称轴的左侧,W的值随着x值的增大而增大 ∴当x=45时,W取得最大值,W最大=-10(45-50)2+9000=8750 答:销售单价定为45元∕件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大,最大利润为8750元。 规律小结:利用二次函数解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量,用函数表达式表示出它们之间的关系;(3)利用二次函数的有关性质求解;(4)检验结果的合理性,写出问题的答案. 解:(1)由题意,得) 解得 所求抛物线的解析式为:. (2)设点的坐标为,过点 作轴于点 . 由,得, . 点的坐标为. ,. , ., 即.. . 又, 当时, 班级 姓名 学号 成绩 一、精心选一选 1.下列运算正确的是( ) A.()11a a --=-- B.( ) 2 3624a a -= C.()2 22a b a b -=- D.3 2 5 2a a a += 2.如图,由几个小正方体组成的立体图形的左视图是( ) 3.下列事件中确定事件是( ) A.掷一枚均匀的硬币,正面朝上 B.买一注福利彩票一定会中奖 C.把4个球放入三个抽屉中,其中一个抽屉中至少有2个球 D.掷一枚六个面分别标有1,2,3,4,5,6的均匀正方体骰子,骰子停止转动后奇数点朝上 4.如图,AB CD ∥,下列结论中正确的是( ) A.123180++=o ∠ ∠∠ B.123360++=o ∠ ∠∠ C.1322+=∠∠∠ D.132+=∠ ∠∠ 5.已知24221 x y k x y k +=??+=+?,且10x y -<-<,则k 的取值范围为( ) A.112 k -<<- B.102 k << C.01k << D. 1 12 k << 6.顺次连接矩形各边中点所得的四边形( ) A.是轴对称图形而不是中心对称图形 B.是中心对称图形而不是轴对称图形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形 D.没有对称性 7.已知点()3A a -,,()1B b -,,()3C c ,都在反比例函数4 y x = 的图象上,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a b c >> B.c b a >> C.b c a >> D.c a b >> 8.某款手机连续两次降价,售价由原来的1185元降到580元.设平均每次降价的百分率为x ,则下面列出的方程中正确的是( ) A.2 1185580x = B.()2 11851580x -= C.( )2 11851580x -= D.()2 58011185x += 9.如图,P 是Rt ABC △斜边AB 上任意一点(A ,B 两点除外),过P 点作一直线,使截得的三角形与Rt ABC △相似,这样的直线可以作( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4A. B. C. D. A B D C 3 2 1 第4题图 P 第9题图 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. 初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 (1)有理数:是初中数学的基础内容,中考试题中分值约为3-6分,多以选择题,填空题,计算题的形式出现,难易度属于简单。 考察内容:复数以及混合运算(期中、期末必考计算)数轴、相反数、绝对值和倒数(选择、填空)。 (2)整式的加减:中考试题中分值约为4分,题型以选择和填空题为主,难易度属于易。 考察内容: ①整式的概念和简单的运算,主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式,平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 (3)一元一次方程:是初一学习重点内容,主要学习内容有(归纳、总结、延伸)应用题思维、步骤、文字题,根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分,题型主要以选择和填空题为主,极少出现简答题,难易度为易。 考察内容: ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型:追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 (4)几何:角和线段,为下册学三角形打基础 初一下册 相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 (1)相交线和平行线:相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空,选择题形式出现。分值为3-4分,难易度为易。 考察内容: ①平行线的性质(公理) ②平行线的判别方法 ③构造平行线,利用平行线的性质解决问题。 (2)平面直角坐标系:中考试题中分值约为3-4分,题型以选择,填空为主,难易度属于易。 考察主要内容: ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 (3)二元一次方程组:中考分值约为3-6分,题型主要以选择,解答为主,难易度为中。 考察内容:①方程组的解法,解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 (4)不等式和不等式组:中考试题中分值约为3-8分,选择,填空,解答题为主。 主要考察内容: ①一元一次不等式(组)的解法,不等式(组)解集的数轴表示,不等式(组)的整数解等,题型以选择,填空为主。 ②列不等式(组)解决经济问题,调配问题等,主要以解答题为主。 ③留意不等式(组)和函数图像的结合问题。 1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF.(初二) 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD=∠PDA=150. 如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形, CC1、DD1的中点. 求证:四边形A2B2C2D2 是正方形.(初二) 4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD=BC,M、N 分别是AB、CD的中点,AD、BC 的延长线交MN 于E、F.求证:∠DEN=∠F. 求证:△PBC 是正三角形.(初二) 3、 B C A2、 M 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于 M . 1)求证:AH =2OM ; 2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及 D 、E ,直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: 设 MN 是圆 O 的弦,过 MN 的中点 A 任作两弦 BC 、 DE ,设 CD 、 EB 分别交 MN 于 P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 如图,分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG ,点P 是 EF 的中点. 4、 G N 求证:点P 到边AB的距离等于AB的一半. F 1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F. 求证:CE=CF.(初二) 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE. 求证:PA=PF.(初二) 4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于 B、D.求证:AB=DC,BC=AD.(初三)E 2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.求证: AE=AF.(初二) 2020中考数学压轴题100题精选 (附答案解析) 【001 】如图,已知抛物线2(1)y a x =-+(a ≠0)经过点 (2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结 BC . (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长. 【002】如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B 时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t 秒(t>0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是; (2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S 与 t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C 成 为直角梯形?若能,求t (4)当DE经过点C 时,请直接 图16 【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式; 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 初三中考数学二次函数较难题解析 二次函数的图像考点: 开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 二次函数:y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0) 一般式:y=ax 2+bx+c ,三个点 顶点式:y=a (x -h )2+k ,顶点坐标对称轴 顶点坐标(-2b a ,244ac b a ). 顶点坐标(h ,k ) a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小,│a │越小,开口越大, a , b 的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y 轴,当a ,b 同号时,对称轴x=- 2b a <0,即对称轴在y 轴左侧,当a ,b?异号时,对称轴x=-2b a >0, 即对称轴在y c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c>0时,与y 轴交于正半轴;c<0时,与y?轴交于负半轴,以上a ,b ,c 的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出. 交点式:y=a(x- x 1)(x- x 2),(有交点的情况) 与x 轴的两个交点坐标x 1,x 2 对称轴为2 2 1x x h += 一、二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点) 1.把二次函数的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与抛物线y= - 2x 2相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ 4.(08绍兴)已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线21y x =-上,下列说法中正确的是( ) A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =- C .若120x x <<,则12y y > D .若120x x <<,则12y y > 经典难题(一) 1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二) 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点. 求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二) 连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F 与A2E 并延长相交于Q 点, 连接EB2并延长交C2Q 于H 点,连接FB2并延长交A2Q 于G 点, 由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ,EB2= AB= BC=FC1 ,又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 , 可得△B2FC2≌△A2EB2 ,所以A2B2=B2C2 , 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 , 同理可得其他边垂直且相等, 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。 A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F . 求∠DEN ,不是吧,这求不出来的吧,是不是求证:∠DEN =∠MFC . 连接AC,取AC 中点G,连接MG,NG ∵N,G 是CD,AC 的中点 ∴GN ‖AD,GN=0.5DA ∴∠GNM=∠DEN 同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC ∵AD=BC ∴MG=NG ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN =∠MFC 经典难题(二) 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O (1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: B 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,四边形ABCD 中,∠BCD =∠D =90°,E 是边AB 的中点.已知AD =1,AB =2. (1)设BC =x ,CD =y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当∠B =70°时,求∠AEC 的度数; (3)当△ACE 为直角三角形时,求边BC 的长. 【答案】(1)()223 03y x x x =-++<<;(2)∠AEC =105°;(3)边BC 的长为 2117 +. 【解析】 试题分析:(1)过A 作AH ⊥BC 于H ,得到四边形ADCH 为矩形.在△BAH 中,由勾股定理即可得出结论. (2)取CD 中点T ,连接TE ,则TE 是梯形中位线,得ET ∥AD ,ET ⊥CD ,∠AET =∠B =70°. 又AD =AE =1,得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°.由ET 垂直平分CD ,得∠CET =∠DET =35°,即可得到结论. (3)分两种情况讨论:①当∠AEC =90°时,易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ,得∠BCE =30°, 解△ABH 即可得到结论. ②当∠CAE =90°时,易知△CDA ∽△BCA ,由相似三角形对应边成比例即可得到结论. 试题解析:解:(1)过A 作AH ⊥BC 于H .由∠D =∠BCD =90°,得四边形ADCH 为矩形. 在△BAH 中,AB =2,∠BHA =90°,AH =y ,HB =1x -,∴2 2221y x =+-, 则()223 03y x x x = -++<< (2)取CD 中点T ,联结TE ,则TE 是梯形中位线,得ET ∥AD ,ET ⊥CD ,∴∠AET =∠B =70°. 又AD =AE =1,∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°.由ET 垂直平分CD ,得∠CET =∠DET =35°,∴∠AEC =70°+35°=105°. (3)分两种情况讨论:①当∠AEC =90°时,易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ,得∠BCE =30°, 则在△ABH 中,∠B =60°,∠AHB =90°,AB =2,得BH =1,于是BC =2. ②当∠CAE =90°时,易知△CDA ∽△BCA ,又2224AC BC AB x = -- 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为63米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数 值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36) 【答案】6.4米 【解析】 解:∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米,山坡的坡角为30°. ∴DC=BC?cos30°=3 =?=米, 639 2 ∵CF=1米, ∴DC=9+1=10米, ∴GE=10米, ∵∠AEG=45°, ∴AG=EG=10米, 在直角三角形BGF中, BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米, ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米, 答:树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长,然后求得DF的长,进而求得GF的长,然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长,从而求得树高 2.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7). 【答案】32.4米. 【解析】 试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解. 试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E, 根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°. ∵AB⊥AC,CD⊥AC, ∴四边形ABEC为矩形, ∴CE=AB=12m, 在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE , ∴BE=CE?cot30°=12×3=123, 在Rt△BDE中,由∠DBE=45°, 得DE=BE=123. ∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4. 答:楼房CD的高度约为32.4m. 考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题. 3.如图(1),在平面直角坐标系中,点A(0,﹣6),点B(6,0).Rt△CDE中, ∠CDE=90°,CD=4,DE=4,直角边CD在y轴上,且点C与点A重合.Rt△CDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题: (1)如图(2),当Rt△CDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求∠BME 的度数. (2)如图(3),在Rt△CDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长. (3)在Rt△CDE的运动过程中,设AC=h,△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数关系式,并求出面积S的最大值. 1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二) 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150 . 求证:△PBC 是正三角形.(初二) 3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点. 求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二) 4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F . A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B F 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O (1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600 ,求证:AH =AO .(初二) 2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: 设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点. 求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半. 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0