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高中数学湘教版必修一知识点

高中数学必修 1 知识点

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念：

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

（ 1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性

3、集合的表示：{ ? } 如{我校的篮球队员} ， { 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 }

（1）用拉丁字母表示集合： A={ 我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定

的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{ 不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式 x-3>2 的解集是 {x ∈R| x-3>2} 或 {x| x-3>2} （ 3）

图示法

4、常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N* 或 N+整数集Z有理数集Q实数集R

5、“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如： a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作a∈

A ，相反， a 不属于集合 A 记作a A

6、集合的分类：

1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系———子集

对于两个集合 A 与 B ，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B

注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2） A 与 B 是同一集合。

反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B 或 B A

集合 A 中有 n 个元素 ,则集合 A 子集个数为 2n.

2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x 2 -1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B ，即： A=B AB且BA

①任何一个集合是它本身的子集。 A A ②真子集 :如果 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或B A)

③如果 A B, B C,那么 A C

④如果A B同时B A那么 A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集．

记作 A∩ B( 读作” A 交 B” )，即 A∩ B={x|x ∈ A ，且 x∈ B} ．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作： A ∪ B( 读作” A 并 B ” )，即 A ∪B={x|x ∈ A ，或 x∈B} ．

3、交集与并集的性质：A∩ A = A ，A ∩ φ = φ , A ∩ B = B ∩A ，A ∪ A = A ，A ∪ φ= A , A ∪ B = B

∪A.

4、全集与补集

（ 1）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全

集。通常用 U 来表示。

（ 2）补集：设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即 A S），由 S 中

所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做

S 中子集 A 的补集（或余集）。

记作： C S A ，即 C S A ={x | x S 且 x A}

（ 3）性质：⑴ C U (C U A)=A⑵(C U A) ∩A= Φ⑶ (C U A) ∪A=U

CsA

(4)(C U A) ∩ (C U B)=C U (A ∪ B)(5)(C U A) ∪ (C U B)=C U(A ∩ B)

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称 f ：A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作：y=f(x) ， x∈ A ．其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的

定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈ A } 叫做函数的值域．

注意： 1、如果只给出解析式y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个

式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充：

能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算

结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 .（ 6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

注意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决

定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函

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数）。

（ 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字

母无关。相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备 ) 值域补充

(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函

数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

画法：

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法：

常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换

Ⅰ、对称变换 :

（ 1）将 y= f(x) 在 x 轴下方的图象向上翻得到y= ∣ f(x) ∣的图象如：书上P21例5

（ 2） y= f(x) 和 y= f(-x) 的图象关于 y 轴对称。如y a x与y a x

a 常用的函数表示法及各自的优点：

u=y y=f[

1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离

g(x)=f(u)g(x)]

散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作

增增增

垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点。

2解析法：必须注明函数的定义域；

增减减

3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函减增减

数的解析式；观察函数的特征；减减增

4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特

征．

注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变

量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不

同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，

值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果 y=f(u),(u ∈ M),u=g(x),(x ∈ A), 则 y=f[g(x)]=F(x) ， (x∈ A)称为f是g的复合函数。

（ 3） y= f(x) 和 y= -f(x) 的图象关于x 轴对称。如y log a x与 ylog a x log 1 x7．函数单调性

（ 1）．增函数

Ⅱ、平移变换 :由f(x)得到f(x a)左加右减；由 f(x) 得到 f(x)a上加下减设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1， x2，当(3) 作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题x1

的速度；发现解题中的错误。间；

4．区间的概念如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1

5．映射注意： 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2、必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1

的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应 f ：A B 为从（ 2）图象的特点

集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f： A B ”如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的 )单给定一个集合 A 到 B 的映射，如果a∈ A,b∈ B.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象(3). 函数单调区间与单调性的判定方法

说明 :函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合 A 、 B 及对应法则 f 是确定的；(A) 定义法：

②对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A的对应关系一般是 1 任取 x1， x2∈D ，且 x1

③对于映射 f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并(B) 图象法 (从图象上看升降 )

且象是唯一的；（Ⅱ）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要(C) 复合函数的单调性：复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x) ，y=f(u) 的单调性密切相求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。关，其规律如下：

6、函数的表示法：复合函数单调性：口诀：同增异减

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注意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 .

（ 4）判断函数的单调性常用的结论 ①函数

f (x) 与 y

f ( x)

的单调性相反；

y 1

②当函数 y

f ( x) 与函数 y

f ( x)

的单调性相反；

f ( x)

恒为正或恒有负时，

③函数

f (x) 与函数 y

f ( x) C （ C 为常数）的单调性相同；

④当 C > 0（C 为常数）时， y f (x) 与 y

C f ( x)

的单调性相同；当 C < 0（C 为常数）时， y

f ( x) 与 y C f (x)

的单调性相反； ⑤函数 f ( x) 、 g( x) 都是增（减）函数，则 f ( x) g(x) 仍是增（减）函数；

⑥若 f (x)

0, g( x) 0 且 f ( x) 与 g( x) 都是增（减）函数，则

f ( x) g( x)

也是增（减）函数；

若 f ( x) 0, g( x) 0 且

f ( x) 与

g ( x)

都是增（减）函数，则

f (x) g(x)

也是减（增）函数；

⑦设 f (x)

0 ，若 f (x) 在定义域上是增函数，

则 n

f ( x) 、 k

f ( x)(k 0) 、 f n ( x)(n 1) 都是

增函数，而

f ( x)

是减函数 .

8．函数的奇偶性（ 1）偶函数

一般地，对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个

x ，都有 f( －x)=f(x) ，那么 f(x) 就叫做偶函数．

（ 2）奇函数

一般地，对于函数

f(x) 的定义域内的任意一个 x ，都有 f( －x)= — f(x) ，那么 f(x) 就叫做奇函数．

注意： 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

函数可能没有奇偶性 ,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任

意一个 x ，则－ x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于

y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称

．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否

关于原点对称； 2 确定 f( －x) 与 f(x) 的关系； 3 作出相应结论：若

f( － x) = f(x) 或 f( － x)－f(x) =

0，则 f(x) 是偶函数；若 f( － x) = －f(x) 或 f( － x)＋ f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称，(1)再根据定义判定 ; (2) 有时判定 f(-x)= ± f(x)

比较困难，可考虑根据是否有 f(-x) ± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)= ± 1 来判定 ; (3) 利用定理，或借助函数的

图象判定 .

函数奇偶性的性质

① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反

②奇函数的图象关于原点对称 , 偶函数的图象关于

y 轴对称 .

③若 f ( x) 为偶函数，则 f ( x)

f ( x) f (| x |) .

④若奇函数 f (x) 定义域中含有

0，则必有 f (0) 0 .

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数

F (x) 与一个偶函数

G( x) 的和（或差）” . 如设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数，

则 F ( x)

f ( x) f ( x)

，

f (x) f ( x) .

G( x)

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”

⑦既奇又偶函数有无穷多个（ f ( x) 0 ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

9、函数的解析表达式

（ 1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们

之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（ 2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等， A 、如果已知函数解析

式的构造时，可用待定系数法；

B 、已知复合函数 f[g(x)] 的表达式时，可用换元法，这时要注意

元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法； C 、若已知抽象函数表达式，则常用解

方程组消参的方法求出

f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本 p30 页）

（ 1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

（ 2）利用图象求函数的最大（小）值；

（ 3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：

负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 =0。

注意： (1) ( n a ) n a

(2) 当 n 是奇数时，

a ，当 n 是偶数时，

a, a 0

| a |

a,a

2．分数指数幂

a m (a

正数的正分数指数幂的意义，规定：

a n

0, m, n N , 且n 1)

m (a

正数的正分数指数幂的意义：

0, m, n N , 且 n 1)

0 的正分数指数幂等于

0， 0 的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

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（ 1）a r a s a r s(a0, r , s R)

（2）(a r )s a rs(a0,,s)

r R

（ 3）( b)r r b r (a0,b0,r)

a a R

注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如[(12) 2] 212而应= 2 1

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y a x叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0 且 a≠ 1

2、指数函数的图象和性质

图

像

定义域 R ,值域（0，+∞）

（ 1 ）过定点（ 0 ， 1 ） ,即 x=0时， y=1

(2)在 R 上是减函数(2) 在 R 上是增函数

性

（3）当 x>0 时 ,00 时 ,y>1;

质

当 x<0 时 ,y>1当 x<0 时 ,0

图象特征函数性质

向 x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R

函数图象都在x 轴上方函数的值域为 R+共图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数性函数图象都过定点（ 0 ，1 ）过定点（ 0， 1 ）

自左向右看，图象逐渐下降减函数

在第一象限内的图象纵坐标都小于1当 x>0时 ,0

0<在第二象限内的图象纵坐标都大于1当 x<0时 ,y>1 a<1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，

到了某一值后减小速度较

慢；

自左向右看，图象逐渐上升增函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1当 x>0时 ,y>1;

a>在第二象限内的图象纵坐标都小于1当 x<0时 ,0

1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，

到了某一值后增长速度极

快；

注意：指数增长模型： y=N(1+p)

指数型函数： y=ka

的同侧；当 b<0 时， a,N 在 1 的异侧。

3 考点：（ 1） a =N, 当 b>0 时， a,N 在 1

（ 2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。

（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。

（4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用 x=1 去截图象得到对应的底数。

(5) 指数型函数： y=N(1+p) x简写： y=ka x

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果a x N ，那么数x叫做以a为底N的对数，记作： x log a N （ a—底数， N—真数，log a N—对数式）

说明： 1. 注意底数的限制，a>0 且 a≠ 1； 2.真数 N>0 3. 注意对数的书写格式．

2、两个重要对数：

log10N 记为 lg N

（ 1）常用对数：以10 为底的对数 ,；

（ 2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数, log e N记为ln N．

结论：（ 1）负数和零没有对数

（ 2） log a=1, log 1=0特别地，lg10=1,lg1=0 , lne=1, ln1=0

a a

(3)对数恒等式： a log a N N

（二）对数的运算性质

如果 a > 0 ， a1，M>0， N>0有：

1、log a（M N ） log a M log a N两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和

log a M log a N

、 log a两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

3、 log a M n n log a M（ n R）一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍说明 :

1)简易语言表达 : ”积的对数 =对数的和”??

2)有时可逆向运用公式

3)真数的取值必须是 (0,＋∞ )

4) 特别注意：log a MN log a M log a N

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log a M N log a M log a N

注意：换底公式 log a b log c b lg b

a 0, a1,c0, c 1,b0 log c a lg a

利用换底公式推导下面的结论

① log a b1② log a b log b c log c d log a d ③ log a m b n n

log a b

log b a m

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数y log a x (a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（ 0，+∞）．

注意：（ 1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如： y log a x 1 ，y log a x 2 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

（ 2）对数函数对底数的限制：a>0，且 a≠1

2、对数函数的图像与性质：对数函数y log a x (a>0，且a≠1)

0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1

y y

图

像0(1,0)x

0(1,0)x

定义域：（ 0 ，＋∞）值域： R

过点 (1 ,0),即当 x＝ 1时 ,y ＝ 0

性在(0,+∞ ) 上是减函数在(0,+∞ ) 上是增函数

质当 x>1时， y<0当 x>1时， y>0

当 x=1时， y=0当 x=1时， y=0

当 00当 0

重要结论：在 log b 中，当 a ,b 同在 (0,1)或 (1,+ ∞ )内时，有

log b>0;

当 a,b 不同在 (0,1)内，或不同在(1,+∞ ) 内时 ,有 log b<0 .

a 口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.

（其中，底指底数，真指真数，大于0 指 log b 的值）

3、如图，底数 a 对函数y log a x 的影响。

规律 :底大枝头低,头低尾巴翘。

4考点：

Ⅰ、 log a b, 当 a,b 在 1 的同侧时 , log a b >0；当 a,b 在 1 的异侧时 , log a b <0 Ⅱ、对数函

数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较

对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（ 1）的知识不能解决的插进

1(=log a a)进行传递。

Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。

Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=log a a ，用 y=1 去截图象得到对应的底数。

Ⅴ、 y=a x(a>0 且 a ≠ 1) 与 y=log a x(a>0 且 a ≠ 1) 互为反函数，图象关于y=x 对称。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法:

(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断 .

(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1和 0.

6比较大小的方法

(1)利用函数单调性(同底数 )；(2)利用中间值（如:0,1.）； (3)变形后比较；(4)作差比较

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y x 的函数称为幂函数，其中x

是自变量，α 为常数．

2、幂函数性质归纳．

（ 1）所有的幂函数在（0， +∞）都有定义，并且图象都过点（1，

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1）；

（ 2）α >0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α >1时，幂函数的图象下凸；当0<α <1 时，幂函数的图象上凸；

（ 3）α <0 时，幂函数的图象在（0， +∞）上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于 +∞时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴．

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y=f(x), 使 f(x)=0的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与 x 轴交点的横坐标）

2、函数零点的意义：方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x 轴有交点 ? 函数 y=f(x) 有零

点

3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0, 那么函数y=f(x)在区间（ a,b）至少有一个零点c，使得 f( c)=0, 此时 c 也是方程f(x)=0的根。

4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：

（ 1）（代数法）求方程f(x)=0的实数根；

（ 2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x) 的图象联系起来，并利用

函数的性质找出零点．

二、二分法

1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数f(x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

2、用二分法求方程近似解的步骤:

⑴确定区间 [a,b], 验证 f(a)f(b)<0 ，给定精确度ε；

⑵求区间 (a,b)的中点 c;

⑶计算 f(c),

①若 f(c)=0, 则 c 就是函数的零点；

②若 f(a)f(c)<0, 则令 b=c（此时零点x0∈ (a,c)）

③若 f(c)f(b)<0, 则令 a=c（此时零点x0∈ (c,b)）

(4) 判断是否达到精确度ε ：即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值为a(或 b);否则重复⑵ ~⑷

3、一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a>0）的根的分布

两个根都在（ m,n )内两个有且仅有一个在x 1∈ (m,n) x 2 ∈(p,q)

（ m,n)内

m n

n p q

n x m

0 f ( m)0

m b n

f(m)f(n)<0

f ( n)0

2 a

f ( p)0

f( m )0

f( n )0 f ( q)0

两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K ，一个根大于

k x k

f(k)<0

b b

k k

2 a 2 a

f ( k )0 f ( k )0

第 11 页共 4 页（高二数学）第12页共4页（高二数学）

高一地理必修一知识点总结湘教版_高一地理必修一知识点总结

高一地理必修一知识点总结湘教版_高一地理必修一知识点总结高一地理必修一知识点总结湘教版_高一地理必修一知识点总结在高一的地理学习阶段，对每一个知识点进行总结，有利于我们的学习和掌握。下面是烟花美文网xx为大家收集整理的高一地理必修1知识点总结，相信这些文字对你会有所帮助的。高一地理必修1知识点总结第一章1、天体系统的级别总星系银河系河外星系太阳系地月系2、地球上生命存在的条件稳定的太阳光照条件比较安全的宇宙环境因为日地距离适中，地表温度适宜平均气温为15度因为地球的质量和体积适中，地球能吸引大气形成大气层氮、氧为主形成并存在液态水3、太阳活动对地球的影响1太阳活动的标志黑子、耀斑2影响影响电离层，干扰无线电短波通讯;产生磁暴现象和极光现象;影响地球气候。 4、地球自转的地理意义昼夜交替昼半球和夜半球的分界线晨昏线圈与赤道的交点的时间分别是6时和18时太阳高度是0度晨昏圈所在的平面与太阳光线垂直;地方时差东早西晚，经度每隔15度相差1小时。沿地表水平运动物体的偏移赤道上不偏，北半球右偏、南半球左偏。偏向力随纬度的增大而增大。

5、地球公转的地理意义1昼夜长短的变化北半球夏半年，太阳直射北半球，北半球各纬度昼长夜短，纬度越高，昼越长夜越短。夏至日北半球各纬度的昼长达到一年中的最大值，北极圈及其以北的地区，出现极昼现象。北半球冬半年，太阳直射南半球，北半球各纬度夜长昼短，纬度越高，夜越长昼越短。冬至日北半球各纬度的昼长达到一年中的最小值，北极圈及其以北的地区，出现极夜现象。春分日和秋分日，太阳直射赤道，全球各地昼夜等长，各为12小时。赤道全年昼夜平分。南半球的情况与北半球的相反。 2正午太阳高度的变化同一时刻，正午太阳高度由太阳直射点向南北两侧递减，夏至日，太阳直射北回归线，正午太阳高度由北回归线向南北两侧递减，此时北回归线及其以北各纬度达到一年中的最大值，南半球各纬度达最小值。冬至日，太阳直射南回归线，正午太阳高度由南回归线向南北两侧递减，此时南回归线及其以南各纬度达到一年中的最大值，北半球各纬度达最小值。春分日和秋分日，太阳直射赤道，正午太阳高度自赤道向两极递减。 3四季的变化昼夜长短和正午太阳高度随着季节而变化，使太阳辐射具有季节变化的规律，形成了四季北半球季节的划分3、4、5月为春季，6、7、8为夏季，9、10、11为秋季，12、1、2为冬季。 6、地球的圈层结构以地表为界分为内部圈层和外部圈层。

高一数学必修1知识点总结

高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

高中数学必修五知识点详细解答附答案

姓名____________ 20XX 年____月_____日第___次课正、余弦定理一。知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系；（2）在直角三角形中，sinA= a c ,sinB= b c ?c=sin a A ,c=sin b B ? sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C 二。学习提纲： <一>.正弦定理：（1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即： sin a A =sin b B =sin c C （2）证明： j r C ①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明：证明：（如图）当?ABC 为锐角三角形时， A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π，j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ，j r 与CA u u u r 的夹角为2π +A ；设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r ∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2 π +A )=0 ∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin b B 同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin c C 当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin c C （3）正弦定理的变形： ①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a ：b:c=sinA:sinB:sinC ③ sin a A =sin b B =sin c C =2R （R 为?ABC 外接圆的半径） ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R （二）余弦定理：（1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2 a =2 b +2 c -2bccosA; 2 b =2 a +2 c -2accosB; 2 c =2 a +2 b -2abcosC 变形：2 sin A=2 sin B+2 sin C-2sinBsinCcosA 2 sin B=2 sin A+2 sin C-2sinAsinCcosB 2 sin C=2 sin A+2 sin B-2sinAsinBcosC 求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222b 2a c ab +- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +- (2)勾股定理：2 c =2a +2b 推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222 a b c >+ （3）三角形的面积公式： ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=1 2 acsinB ③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R (4)对于任意的三角形，都有：sinA>0

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案（完整版）第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；

高中地理湘教版(新教材)必修一知识点汇编

湘教版（新教材）高中地理必修一知识点汇编第一章地球的宇宙环境第一节地球的宇宙环境 1.天体是指宇宙间物质的存在形式。恒星（发光）、星云（发光）、行星、卫星、流星、彗星、星际物质都是天体。 2.天体系统：宇宙中的各种天体之间相互吸引、相互绕转而形成天体系统。层次如下 3.太阳系组成：八大行星距太阳由近到远的顺序是：水、金、地、火、木、土、天、海。小行星带位于火星与木星之间。 4.地球是太阳系中既普通又特殊的行星，普通性体现在其结构特征与运动特征上。 ①水星、金星、地球、火星是类地行星（离太阳近，体积、质量都较小）②木星、土星是巨行星（体积、质量巨大）； ③天王星、海王星是远日行星（距太阳远，体积、质量中等）。（了解）八大行星的运动特征：同向性（公转方向相同，都是自西向东）、共面性（公转轨道面之间的夹角都很小）、近圆性（公转轨道都是近似正圆的椭圆轨道）。 5.特殊性：地球是太阳系中唯一有生命存在的天体。地球存在生命的条件形成生命条件的原因外部条件太阳光照稳定太阳从诞生至今没有明显的变化运行轨道安全地球附近的大、小行星各行其道，互不干扰自身条件有适宜的温度日地距离和自转周期适中，地表平均气温为15℃左右有适合生物呼吸的大气地球的体积和质量适中，吸引气体形成大气层，并经过漫长的演化形成以氮和氧为主的大气有液态水地球内部放射性元素衰变和原始地球体积收缩产生热量，不断产生水汽，并随地球内部的物质运动带到地表，形成原始海洋

1.太阳能量来源：太阳内部核聚变反应；以电磁波形式传播能量；能量主要集中在可见光部分。 2.太阳辐射对地球的影响： ①为地球直接提供光、热资源； ②是地球上大气运动、水的运动及生物活动的主要动力； ③为人类提供生产、生活必需的能源，如煤、石油、天然气、水能等； 3.太阳大气的分层：从内到外依次为光球层（厚度小，我们看到的太阳光都是从光球层发出的）色球层（厚度较小，亮度较小）日冕层（厚度大，亮度小） 4.各层的太阳活动：光球层——黑子；色球层——耀斑、日珥；日冕层——太阳风；其中黑子和耀斑是太阳活动的主要标志，其周期是11年。+ 5.太阳活动对地球的影响： ①当黑子和耀斑增多时，会扰乱地球电离层，使无线电短波通讯断； ②太阳大气抛出的高能带电粒子流，会扰乱地球磁场，产生磁暴现象，使磁针不能正确指示方向； ③太阳大气抛出的高能带电粒子流在两极地区与大气碰撞产生极光现象； ④与地震、水旱灾害等有关；：影响太阳辐射的因素（重要）地球的能量，根据成因分为直接间接的太阳能（太阳能、风能、煤炭、石油等）；地球内部的化学能（地热等）；天体引力能（潮汐能）

高一数学必修一知识点整理归纳

高一数学必修一知识点整理归纳【集合与函数概念】一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：https://www.wendangku.net/doc/e02398877.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

高中数学必修五知识点总结【经典】

《必修五知识点总结》第一章：解三角形知识要点一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系（1）三角形内角和等于180°；（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角；（4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

(完整版)湘教版地理必修一知识点总结

高一地理必修I总复习必背 1.1地球的宇宙环境 1.可见宇宙：也称为“已知宇宙”，是指人类已经观测到的有限宇宙，半径约为140 亿光年。 2.天体： 3.天体系统：天体之间因万有引力相互吸引和相互绕转形成天体系统。层次划分如下图： 4.太阳系：八大行星（水金地火、木土、天海）和小行星带（火星与木星轨道之间）。类地行星巨行星远日行星 5.地球与其他七大行星绕日运行的共同特征：方向的同向性（自西向东）、运行轨道的近圆性、轨道面的共面性。 6. 外部条件：稳定的太阳光照和安全的宇宙环境自身条件：日地距离适中（1.5亿千米）——适宜的温度地球质量体积适中——适合生物呼吸的大气地球内部水汽逸出形成水圈——充足的液态水 1.2太阳对地球的影响一、太阳辐射：太阳以电磁波的形式向宇宙空间放射的能量。 1．能量来源：太阳内部的核聚变反应 2．特点：太阳辐射是短波辐射，波段分紫外光、可见光（0.4-0.76微米）、红外光。能量主要集中在波长较短的可见光部分。 3．意义：①提供光热资源，维持地表温度。②促进地球上大气运动、水循环的主要动力。③是人类生产和生活的主要能源。二、太阳活动及对地球的影响 1．太阳大气结构：从里到外分为光球层、色球层和日冕层。 2．对地球的影响：（太阳黑子是太阳活动强弱的标志，周期约为11年。耀斑是太阳活动最激烈的显示。黑子与耀斑的发生具有相关性。）外（大气层）太阳活动影响日冕太阳风产生极光色球耀斑①干扰电离层，阻断通信，②产生“磁暴”现象。里光球黑子影响气候 1.3 地球的运动比较项目自转公转示意图

方向自西向东，从北极上空看呈逆时针，从南极上空看呈顺时针。自西向东，从北极上空看呈逆时针，从南极上空看呈顺时针。周期一个恒星日：23时56分4秒一个恒星年：365天6时9分10秒。速度(1)角速度：除极点为0外，其余各地均相等，为150/h。 (2)线速度：由赤道向两极递减。位于近日点（1月初）时速度快，位于远日点（7月初）时速度慢。（1）产生昼夜更替：周期为一个太阳日（24小时）晨线（黑夜进入白天，对应日出）、昏线（白天进入黑夜，对应日落）晨线与赤道的交点所在的经线地方时为6时，昏线与赤道的交点所在的经线地方时为18时。（2）产生地方时：因经度不同而产生的不同时刻。计算：某地地方时=已知经线地方时±经度差/15（左减右加）注意画数轴解决区时的计算：确定两地所在时区,计算两地区时相差几个小时,左减右加。若同在东时区（或西时区），时区差为两个时区序号之差。若一个在东时区，一个在西时区，则时区差为时区序号之和。注意画数轴解决地方时与区时的关系：区时＝该时区中央经线的地方时。国际日期变更线:大致与1800经线重合；在日期的换算上，从右向左跨过日界线，日期加一天，从左向右跨过日界线，日期减一天。（3）使地球表面水平运动物体发生偏向：北半球右偏,南半球左偏，赤道上不偏三、自转和公转的关系（1）黄赤交角：赤道平面和黄道平面的交角。目前约为23o26′。如果黄赤交角变大，热带、寒带扩大，温带缩小。如果黄赤交角变小，温带扩大，热带、寒带缩小。（2）由于黄赤交角的存在，导致太阳直射点的回归运动，如下图：四、地球公转的意义 1、昼夜长短的变化： 1) 某时刻全球的情况：以北半球夏至日为例：太阳直射在北回归线上，北半球昼长夜短，且纬度越高，昼越长，北极圈及其以北出现极昼现象；南半球相反。 2) 北半球某地全年的情况：夏至日昼最长，冬至日昼最短。 3) 春分日和秋分日：全球昼夜平分； 4) 赤道上终年昼夜平分（赤道上的点任何时候都是6点日出，18点日落）。 5）纬度越高，昼夜长短的变化幅度越大。 2、正午太阳高度的变化： 1)日出、日落时（晨昏线上）太阳高度＝0度，白天中的地区太阳高度大于0，黑夜中的地区太阳高度小于0。一天中最大的太阳高度叫正午太阳高度，即地方时12时的太阳高度。 2) 某时刻全球的情况：正午太阳高度由直射点所在纬度分别向南北两侧递减。以北半球夏至日为例：此日全球正午太阳高度的分布规律是由北回归线分别向南北两侧递减 3) 某地全年的情况：北回归线以北地区，6月22日出现最大值，12月22日出现最小值；南回归线以南地区， 6月22日出现最小值，12月22日出现最大值；回归线之间地区，最大值出现在直射点经过该纬度的时候（即当有太阳直射的时候）。

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结第一章解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >．注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

高一数学必修一知识点整理

高一数学必修一知识点整理【导语】高一新生要作好充分思想准备，以自信、宽容的心态，尽快融入集体，适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。记住：是你主动地适应环境，而不是环境适应你。因为你走向社会参加工作也得适应社会。以下内容是为你整理的《高一数学必修一知识点整理》，希望你不负时光，努力向前，加油！【篇一】高一数学必修一知识点整理一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345} 2.集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a:A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类： 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

高中数学必修五数列知识点

一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．三、知识内容： 1.数列数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。等差数列的通项公式：如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。等差中项：如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。等差数列的性质：（1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=

人教版高中数学必修一知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

(新高考)湘教版高中必修一地理复习知识点大全

必修一：第一章宇宙中的地球第一节地球的宇宙环境一、人类对宇宙的认识（了解） .可见宇宙的范围：半径约140亿光年。【注意】：光年是表示距离的单位。1光年=94608亿千米（重要）二、多层次的天体系统（重要） 1.常见天体：宇宙间的物质。星云、恒星、行星、卫星、彗星、流星、其他星际物质等。（重要） 2.天体系统：天体之间通过万有引力和天体的永恒运动维系起来。（很重要） 3.天体系统的层次（很重要） 4.太阳系（很重要）（1）组成：太阳、行星、矮行星、小行星、彗星、流星体、卫星和行星际物质。太阳占整个太阳系质量的99.86％，太阳系的中心天体是太阳。（重要）（2）八大行星：水金地火（小），木土天海（冥）。（很重要） Ⅰ.分类：按位置分：①地内行星——水、金；②地外行星——火、木、土、天、海。按特征分：①类地行星——水、金、地、火；②巨行星——木、土；③远日行星——天、海。 Ⅱ.绕日运动特征：①共面性、②同向性、③近圆性。（重要）三、普通而特殊的行星——地球 1.普通：在八大行星中，就外观和所处的位置而言，地球毫不特殊，是一颗普通的行星。 2.特殊：目前所知道的唯一有生命的星球。 3.地球存在生命的条件及原因．．．：（很重要）（1）外在：①公转轨道的安全性；②太阳光照的稳定性。（2）内在：①日地距离适中和自转周期适中，使地球有了合适的温度，进而使液态水的存在成为可能；②地球的体积和质量（大小）适中，使地球有了合适的引力，形成恰到好处的大气厚度和大气成分。第二节太阳对地球的影响一、太阳辐射和地球（了解） 1.能量来源：核聚变反应：4H ———He+能量（重要） 2.电磁波范围：0.15~0.4微米——紫外线，0.4~0.76微米——可见光，0.76~4微米——红外线。（重要） 3.太阳常数：在地球大气上界，在日地平均距离条件下，垂直于太阳光线，1平方厘米面积上，1分钟时间内得到的太阳辐射能量（8.24焦/平方厘米·分钟）。 4.太阳辐射对地球的影响（重要） ①太阳辐射可以转化成生物化学能；②太阳辐射是地球大气运动、水循环的主要能源；③太阳辐射本身以及大气运动、水循环等为人类提供了源源不断的能源。二、太阳活动和地球（很重要） 1.太阳的外部圈层：由里向外依次是——光球层、色球层、日冕层。（很重要） 2.太阳活动：光球层——黑子；色球层——耀斑和日珥；日冕——太阳风。（很重要） 3.太阳活动的特征：①周期性：11年；②整体性：群发。（重要） 4.太阳活动对球球的影响：（很重要） ①影响地球气候，主要是气温和降水； ②影响地球电离层（即磁暴现象），干扰无线电短波通信； ③太阳风，受地球磁场作用，产生极光现象； ④可能和地震有关联。第四节地球的结构一、地球的内部圈层【注意】：地震发生时先是上下颠簸，然后是左右摇晃。而船上的船员只有上下颠簸。（很重要）总星系河外星系银河系太阳系其他恒星系地月系其他行星系（140亿光年）（1250多亿个）（2000多亿个）（地球和月球）

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高中数学必修五知识点汇总第一章解三角形一、知识点总结正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解余弦定理:

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