第5讲 实数的完备性
第五讲 实数的完备性
I 基本概念与主要结果 一 实数空间
1 无理数的定义
人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后由于开方与不可公度问题①发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定义．事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分．为了让实数与数轴上的点一一对应起来，充满全数轴，必须用别的方法．
方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限不循环小数定义为无理数．
一个无限不循环小数x ，取其n 位小数的不足近似值n α与过剩近似值n β，n α与n β均为有理数，且0101
→=
-n
n n αβ（∞→n ）
，[]n n n x βα,∈．可见以无限不循环小数定义无理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定理，即承认它是正确的．
历史上引进无理数的传统方法有两种：戴德金（Dedekind ）分割法和康托（Cantor ）的有理数列的基本序列法．
戴德金分割法具有很强的直观性，其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置，假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段，那么全体有理数被分为左、右两个子集B A ,．如果折断处是有理点，那么它不在左子集，就在右子集，这样分割就确定了一个有理数，即A 的最大数或B 的最小数．如果A 中没有最大数，B 中也没有最小数，这个分割就确定了直线上的一个“空隙”，称之为无理数，显然它是有序的，可定义其四则运算（可参见北京大学数学系沈燮昌编写的《数学分析》，高等教育出版社，1986年）．
康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近代数学中是十分有用的，影响深远②．
定义1 有理数列{}n x 称为是基本列，若0>?ε，0>?N ，当N n m >,时，有
①
毕达哥拉斯（公元前约580~约500）：古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收300门徒组织了一个“联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义．在西方首次提出勾股定理，并把数的概念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序”，这里的数指的是自然然及自然数之比，即“有理数”，而且这种思想一直占统治地位，然而勾股定理的提出，导致这种理想的破灭，即以1为直角边的等腰直角三角形的斜边长是多少？这一问题后来称之为“不可公度”问题，引起整个世界（哲学界和数学界）的恐慌，称之为第一次数学危机，此问题直到十九世纪末才被解决．
②
从古至今，数学的发展大致经历了五个时期： （1）萌芽时期（公元前600年以前）；
（2）初等数学时期（公元前600年到17世纪中叶）：欧氏几何、算术、初等代数、三角等； （3）变量数学时期（17世纪中叶到19世纪20年代）：微积分的建立、解析几何、运动观点等； （4）近代数学时期（19世纪20年代到20世纪40年代）；（日前大学中的主要数学课程） （5）现代数学时期（20世纪40年代以来）：显著特点：计算机的广泛应用．
ε<-n m x x （1） 定义2 两个有理数基本序列{}n x 和{}n
x '称为是等价的，若 ()0lim ='-∞
→n
n n x x （2） 将相互等价的基本列作为一类，称为一等价类．有理数a 可表为基本列的极限，如常数列{}∞
=1n a ．这样可以认为：一个等价类与一个实数对应，当此序列对应的不是有理
数时，称之为无理数．
此定义的实质是：让每个基本列（有理数）都有极限，这样保证了极限运算的封闭性，称这种性质为完备性．
2 实数空间的定义
公理1 （域公理）R z y x ∈?,,，有
（1）交换律：x y y x +=+，x y y x ?=?； （2）结合律：()()z y x z y x ++=++，
()()z y x z y x ??=??；
（3）分配律：()z x y x z y x ?+?=+?；
（4）两个特殊元素0与1：R x ∈?，有
x x =+0，x x =?1；
（5）每个R x ∈，关于“+”的逆元x -，关于“·”的逆元1
-x （此时0≠x ），有
()0=-+x x ，11=?-x x
公理2（全序公理）与“+”、“·”运算相容的全序公理 （1）R y x ∈?,，下列三种关系
y x <，y x =，y x >
有且仅有一个成立；
（2）传递性：若y x <，z y <，则z x <；
（3）与“+”相容性：若y x <，则R z ∈?，有z y z x +<+； （4）与“·”相容性：若y x <，0>z ，则z y z x ?
公理3（阿基米德（Archimedes ）公理）0>?x ，0>y ，N n ∈?，使得y nx ≥． 公理4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界． 由此可定义：
定义3 实数空间是这样的集合R ，在其上定义了“+”、“·”运算，以及序关系“<”，满足上述四组公理，R 中的元素称为实数．
二 实数基本定理
1 基本定理
定理1（Dedekind 确界定理）任何非空数集E ，若它有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界．
定理2（单调有界定理）单调有界数列必收敛． 定理3（Cauchy 收敛准则）数列{}n x 收敛的充要条件是：0>?ε，0>?N ，当N
n m >,
时，有ε<-n m x x ．
定理4（Bolzano-Weierstrass 致密性定理）有界数列必有收敛子列． 定理5（Weierstrass 聚点定理）有界无穷点集至少有一个聚点． 定理6（Cantor 区间套定理）任何闭区间套必有唯一的公共点．
定理7（Heine-Borel 有限覆盖定理）闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖． 说明：定理1~6属于同一类型，它们都指出：在一定条件下，便有某一种“点”的存在．这种点分别是：确界（点）、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点．定理7属于另一类型，它是前六个定理的逆否形式，不论用前6个定理来分别证明定理7，还是用定理7分别证明前6个定理，都可用反证法来证明，而前6个定理都可以直接推出．
2 重要概念
定义1（确界）设R S ?，若R ∈?η满足： （1）R x ∈?，η≤x ，即η是S 的上界；
（2）0>?ε，S x ∈?0，使得εη->0x ，即εη-不是S 的上界． 则称η是S 的上确界，记为S sup =η．
若R ∈?ξ，满足： （1）S x ∈?，有ξ≥x ；
（2）0>?ε，S x ∈?0，有εξ+<0x ； 则称ξ是S 的下确界，记作S inf =ξ．
即：上确界是最小的上界，下确界是最大的下界．
定义2 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质：
（1）[][]11,,++?n n n n b a b a ， ,3,2,1=n ； （2）()0lim =-∞
→n n n a b ；
则称[]{}n n b a ,为闭区间套，简称区间套．
定义3 设R S ?，若R ∈?ξ，使ξ的任何邻域()δξ,U 均含有S 中无穷多个点，称ξ为S 的一个聚点．
定义3＇ 设R S ?，R ∈ξ，若ξ的任何去心领域内都含有S 中异于ξ的点，即
()φδξ≠,0U S ，称ξ是S 的一个聚点．
定义3〃 设R S ?，若存在彼此互异的点列{}S x n ?，使得ξ=∞
→n n x lim ，称ξ为S 的
一个聚点．
定义4 设R S ?，H 为开区间构成的集合．若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，即S x ∈?，H I ??，使I x ∈，称H 是S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S ．若H 中开区间的个数是无限（有限）的，称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．
3 七个定理的环路证明
例1 确界定理?单调有界定理．
证 不妨设数列{}n a 是单调增有上界，由确界定理知具有上确界，记为{}n a sup =α，
显然α就是其极限．事实上，0>?ε，由上确界定义知，N a ?，使εα->N a ，由单增性知，当N n ≥时，有
αεα≤≤<-n N a a ，
εα<-n a ，
即 α=∞
→n n a lim ．
例2 单调有界定理?闭区间套定理．
证 设[]{}n n b a ,是一区间套，则{}n a 单增有上界，由单调有界定理知{}n a 有极限ξ，且
ξ≤n a ， ,2,1=n ．由区间套的定义知ξ=∞
→n n b lim ，又{}n b 单减有下界，所以 ξ≥n b ，
,2,1=n ．此说明
n n b a ≤≤ξ， ,2,1=n ．
下证ξ是唯一的，设1ξ变满足上式，即n n b a ≤≤1ξ， ,2,1=n ，则有
01→-≤-n n a b ξξ（∞→n ）
． 即ξξ=1．
例3 闭区间套定理?有限覆盖定理．
证 设H 为[]b a ,的一个无限开覆盖，假设定理结论不成立，即不能用H 中有限个开区间覆盖[]b a ,．将[]b a ,等分成两个子区间，则其中至少有一个半区间不能被H 中有限个区间覆盖，记之为[]11,b a ，将[]11,b a 等分成两个小区间，则其中至少有一个半区间不能被H 中有限个区间覆盖，记之为],[22b a ，如此下去便得一闭区间套[]{}∞
=1,n n n b a ，其中每一个区间
不能被H 中有限个开区间所覆盖．由闭区间套定理，存在唯一的点[]n n b a ,∈ξ，
,2,1=n ．由于H 是[]b a ,的覆盖，故()H ∈?βα,，使得()βαξ,∈，由保序性立得：当n 充分大时，βα<< 为真． 例4 有限覆盖定理?聚点定理． 证 设R S ?是有界无限点集，则[]R b a ??,，b a ,为有限实常数，使得[]b a S ,?．若 S 存在聚点，则该聚点必属于[]b a ,（容易证明[]b a ,之外任何一点都不是S 的聚点，因此只需证明：若S 不存在聚点，则矛盾． 事实上，假设S 不存在聚点，即[]b a ,中任一点都不是S 的聚点，由聚点定义， []b a x ,∈?，0>?x δ，使得()x x U δ,中只含有S 中有限个点，记()[]{}b a x x U H x ,,∈=δ，显然H 是 []b a ,的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在有限个邻域覆盖[]b a ,，从而亦覆盖了S ．由()x x U δ,的性质立得S 中只有有限个点，矛盾． 例5 聚点定理?柯西收敛准则． 证 设{}n x 是R 中任一数列，满足条件：0>?ε，0>?N ，N m n >?,，有 ε<-m n x x ． （3） 由此易证{}n x 是有界的（事实上，对,0,11>?=N ε 当1N n >时，有111<-+N n x x ， 从而 111+<+N n x x ，取=M {} 1,,,m a x 1121+N N x x x x ，则.1,≥≤n M x n ），记 {} ,2,1==n x S n ，则S 为有界集．若S 为有限集，则S 中至少有一个元素在{}n x 中出现 无限多次，取此构成一常数子列{} k n x ，则它是收敛的，设其极限为a ，即a x k n =，由条件（3）可得数列{}n x 收敛于a ．若S 是无限集，则由聚点定理知S 至少有一个聚点，设为α， 则有 α=∞ →m n x lim ． 事实上，由聚点的等价定义知，存在S 中彼此互异的点列（从而是{}n x 的一子列）{} k n x ，有 α=∞ →k n k x lim ． 又k k n n n n x x x x -+-≤-αα，由（3）式立得α=∞ →n n x lim ． 例6 聚点定理?致密性定理． 证 设{}n x 是有界数列，记{} ,2,1==n x S n ，若S 为有限集，则由例5的证明过程知存在收敛子列．若S 为无限集，则存在聚点，由聚点的等价定义立明（过程如例5）． 例7 致密性定理?柯西收敛准则． 证 设{}n x 满足柯西收敛准则中的条件，则{}n x 是有界数列，则必存在收敛子列，由此可证整个数列收敛（参见例5）． 例8 柯西收敛准则?确界定理． 证 设S 为非空有上界数列，由实数的阿基米德性质，对任何正数α，存在整数αk ，使 得αααλk ?=为S 的上界，而()1-=-ααααλk 不是S 的上界，即S ∈'?α，使得 ()ααα1->'k ． 今分别取n 1= α， ,2,1=n ，则存在n ，使得n λ为S 的上界，但n n 1 -λ不是S 的上界．于是，S a ∈?， n a λ≤， ,2,1=n （4） +∈?Z n ，n a '?，有 n a n n n 1 ->'≥λλ， ,2,1=n （5） 由此易得? ?? ?? ?≤-n m n m 1,1max λλ，于是，0>?ε，0>?N ，N m n >?,，有 ελλ<-m n ， 由柯西收敛准则知{}n λ收敛，记λλ=∞ →n n lim ．下证λ是S 上确界．由（4）易得λ是其上界．其次，0>?δ，由01→n 得0>?N ，当N n >，有δλδ λλ->->-2 1n n n ，由（5）知：S ∈'?α，有δλλα->- >'n n 1 ．此说明λ为S 的上确界． 4 闭区间上连续函数性质的证明 定理1（有界性定理）若函数()x f 在[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界． 证 由连续函数的局部有界定理：[]b a x ,∈?，()x x U δ,?及0>x M ，有 ()x M x f ≤，()[]b a x U x x ,, δ∈， 构造开覆盖()[]{ } b a x x U H x ,,∈=δ，由有限覆盖定理立明． 定理2（最值定理）若函数f 在[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大、最小值． 证 由定理1知f 在[]b a ,上有界，故由确界定理，f 在[]b a ,的值域[]()b a f ,有上确界 M ，下证：[]b a ,∈?ξ，使()M f =ξ．若不然，则[]b a x ,∈?，有()M x f <．令 ()() x f M x g -=1 ，[]b a x ,∈ 易见()x g 为[]b a ,上正的连续函数，故()x g 在[]b a ,上有上界，设为G ，则有 ()() G x f M x g ≤-=<1 0，[]b a x ,∈． 解之得 ()G M x f 1 -≤，[]b a x ,∈．这与M 为f 在[]b a ,上的上确界矛盾． 定理3（零点定理）设f 在[]b a ,上连续，且()()0 ()00=x f ． 证 不妨设()0b f ）．记()[]{} b a x x f x E ,,0∈>=，显然E 非空，且E 是有界集，从而E 有下确界，记E x inf 0=．下证()00=x f ． 事实上，由极限保号性知：0>?δ，使 ()0 ()0>x f ，[]b b x ,δ-∈；（δ-≤?b x 0） 由此易得b a x ,0≠，即()b a x ,0∈． 其次，若()00≠x f ，不妨设()00>x f ，则由连续函数的局部保号性得：()η,0x U ? []b a ,?，使在其内()0>x f ，特别地020>??? ? ? -ηx f ，E x ∈-20η，这与0x 是E 的下确界 矛盾．故必有()00=x f ． 思考题（哈尔滨工大2002）设 19211949199719992002)(x x x x x x f -++-=. 证明：)1,0[∈?ξ，使得 ).1,(,0)(,0)(ξξ∈>=x x f f 定理4（一致连续定理）若f 在[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上一致连续． 证 由f 在[]b a ,上连续知，[]b a x ,∈?，0>?ε，0>?x δ，()[]b a x U x x ,, δ∈'?， 有 ()()2 ε < -'x f x f （5） 构造[]b a ,的一个开覆盖[]? ?? ???∈??? ??=b a x x U H x ,2,δ，由有限覆盖定理，存在H 的一个子覆 盖 ?? ? ???????=???? ? ?=k i x U H i i i ,,2,12,* δ， 覆盖了H ，记02min 1>? ?? ?? ?=≤≤i k i δδ，于是，对任何[]b a x x ,,∈'''，则x '必属于*H 中某个开区间，设??? ? ?∈'2,l l x U x δ，即2l l x x ε<-'，此时有 i l l x x x x x x δ<-'+'-''≤-'' 由（5）得()()2 ε < -'l x f x f ，()()2 ε < -''l x f x f ，从而得()()ε<''-'x f x f ． 4 例题选讲 例9 用区间套定理证明定理1-5． 证 都可用二等分方法证明． （1）确界定理 设R E ?为非空有上界数集，M 为E 的一个上界．若E 有最大值，则最大值即为上确界，若E 无最大值，任取E x ∈0，将[]M x ,0二等分，若右半区间中含有E 中点，则记右半区间[]11,b a ，否则记左半区间为[]11,b a ，然后将[]11,b a 二等分得[]22,b a ，则至少有一个半区间含有E 中点，记之为[]22,b a ，如此下去，得一闭区间套[]{}n n b a ,，其每一闭区间[]n n b a ,均含有E 中点，由闭区间套定理，存在唯一的公共点[]n n b a ,∈ξ， ,2,1=n ． 下证ξ=E sup ． 由[]n n b a ,的构造知：E x ∈?，有n b x ≤，ξ=≤∞ →n n b x lim ，即ξ是E 的上界；又0>?ε， εξξ->=∞ →n n a lim ，则0>?N ，使εξ->N a ，由[]N N b a ,的构造知：[]N N b a x ,0∈?， E x ∈0，εξ->≥N a x 0，此说明ξ=E sup ． （2）单调有界定理 设M x n ↑，则M x n ≤，用同样的方法割分[]M x ,1即可证之． （3）Cauchy 收敛准则 满足Cauchy 收敛准则条件的数列（基本列）一定是有界数列，即R M m ∈?,，使M x m n ≤≤， ,3,2,1=n ．然后对[]M m ,进行二等分，选含有{}n x 无穷多项的那一半区间 为[]11,b a ，如此下去，由闭区间套立明． （4）致密性定理 同方法（3）． （5）聚点定理 同方法（3）． 例10 用定理1—5证明区间套定理． 证（1）利用确界定理 设[]{}n n b a ,是一区间套，则{}n a 单增且有界，从而有上确界ξ，由单调有界定理的证明知 []n n b a ,∈ξ， ,3,2,1=n ． （2）利用单调有界定理 由单调有界定理知n n n n b a ∞ →∞ →==lim lim ξ，且n n b a ≤≤ξ， ,3,2,1=n ．再证唯一性即可． （3）Cauchy 准则的充分性 由()0lim =-∞ →n n n a b 知{}n a 满足柯西定理的条件（这是因为当n m >时，由区间套定义知 n n n m a b a a -≤-） ，从而{}n a 收敛，设极限为ξ，则ξ即为所求． （4）致密性定理 由致密性定理知{}n a 存在收敛子列，由{}n a 的单调性知{}n a 收敛，从而得证． （5）聚点定理 令{}{}n n b a E =，则E 存在聚点，再由聚点的等价定义，仿（4）立明． 例11 用有限覆盖定理证明定理1—6． 证 用反证法． （1）证明确界定理 设R E ?，Φ≠E ，且R M ∈?，有E x ∈?，M x ≤．任取E x ∈0，考虑闭区间[]M x ,0，假若E 无上确界（最小的上界），那么[]M x x ,0∈?，有 ①当x 为E 的上界时，必有更小的上界x x <1，因而有x 的开邻域x ?，其中皆为E 的上界； ②当x 不是E 的上界时，自然有E 中点x x >2，于是有x 的开邻域x ?，其中每点都不是E 上界． 这样，[]M x ,0中每点x 都可找出一个邻域x ?，它要么属于第一类，要么属于第二类，且这些邻域[]{}M x x x ,:0∈?构成[]M x ,0的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子覆盖{}n x x x ???,,,21 ．注意，M 所在的区间应为第一类的，相邻的开区间有公共点，从而也应为第一类的，由此递推可得0x 所在区间也是第一类的．这与E x ∈0矛盾． （2）其它定理 对定理2、3、4，每点可找到开邻域x ?，使得x ?中除中心点可能与{}n x 中的项相同之外，其余与{}n x 不相交； 对定理5，每点可找到邻域x ?，除中心点可能属于集合E 之外，再无E 中点； 对定理6，每点可找到开邻域x ?，使得至少有某一个],[00n n b a 与x ?不交，从而当0n n >时，[]n n b a ,与x ?不相交． 然后利用有限覆盖定理证之． 例12（哈尔滨工大2002，北师大免试生2003，西安交大2004，，武汉理工2004华东理工1998）设()x f 在[]b a ,上有定义，并且在[]b a ,上每一点都有极限，试证()x f 在[]b a ,上有界． 证 ],[b a x ∈?，由极限的局部有界性定理知，0,0>?>?x x M δ，当),(0 x x U x δ∈时， 有.)(x M x f ≤ 构造开覆盖{} ],[),(b a x x U H x ∈=δ，由有限覆盖定理知存在有限子覆盖，不妨设为{} k i x U H i i ,,2,1),( ==*δ，相应的x M 记为k M M M ,,21，取 {})(,,)(,)(,,,max 2121k k x f x f x f M M M M =， 则],,[b a x ∈? 都有M x f ≤)(，即()x f 在[]b a ,上有界． 例13 设()x f 在[]b a ,上有定义，并且在[]b a ,上每一点的极限都存在为零．试证()x f 在[]b a ,上可积，且 0)(=? b a dx x f ． 证 设[]b a x ,0∈为任意一点，由条件知()0lim 0 =→x f x x ，即01>?ε，00>?x δ，当 000x x x δ<-<时，有()1ε } b a x x U x ,),(000∈δ构成了[]b a ,的一个开覆 盖，由有限覆盖定理，其中存在有限子覆盖{ }k i x U i x i ,,2,1),( =δ，除有限个点 {}k x x x ,,,21 之外，有 ()1ε 于是0>?ε，取()041>-=a b εε，()()(){ } 121,,,,max εk x f x f x f M >，作一分划T ，使含有k x x x ,,,21 的各小区间之总长M x i 4ε ()εεε ωωω=-+? ≤?∑''+?∑'=?∑a b M M x x x i i i i i i 1242， 其中∑'表示令k x x x ,,,21 各小区间对应项之和，∑''为其余各项之和． 由可积准则知()x f 在[]b a ,上可积．既是可积，可选取j i x ≠ξ，k j ,,2,1 =，则有 ()∑?i i x f ξ ()a b -<1ε， 由此可得 ()0=?b a dx x f ． 例14 设函数f 在[]b a ,上连续，又有{}[]b a x n ,?，使()A x f n n =∞ →lim ．证明：存在 []b a x ,0∈，使()A x f =0． 分析：{}[]b a x n ,?，则存在子列{} k n x ，其收敛，设为0x ，则[]b a x ,0∈，且有 ()() ()A x f x f x f n n n k k ===∞ →∞ →lim lim 0． 例15（安徽大学2001）设f 在[]1,0上连续，()()10f f =．证明：对任何正整数n ， []1,0∈?ξ，使得 ()ξξf n f =??? ? ? +1． 分析：当1=n 时，取0=ξ，命题成立．若1>n ，令()()x f n x f x F -?? ? ?? + =1，则有 ()01210=?? ? ??-++??? ??+??? ??+n n F n F n F F 若上式中每项均为零，则结论已成立；若不均为零，则由其和为零知其中有正有负，由零点定理立明． 例16（北京科技大学1999） 叙述数集S 的上确界的定义，并证明：任意有界数列{} {}n y x ,，总有 {}{}{}.sup sup sup n n n n y x y x +≤+ 证 若R ∈?η满足： （1）R x ∈?，η≤x ； （2）0>?ε，S x ∈?0，使得εη->0x ， 则称η是S 的上确界，记为S sup =η． 下证不等式成立．由于{} {}n y x ,都是有界数列，所以它们的上确界都存在，记 {},sup x x n ={}y y n =sup ，则y y x x n n ≤≤,，从而 1,≥?+≤+n y x y x n n ， 所以，{}{}{} .sup sup sup n n n n y x y x y x +=+≤+ 例17（北京大学1994）设函数)(x f 在],[b a 上无界，求证：],[b a ∈?ξ，使得0>?δ， )(x f 在],[),(b a U δξ上无界． 证法一 用有限覆盖定理． 假设这样的ξ不存在，即0],,[>?∈?x b a x δ，使得)(x f 在],[),(b a x U x δ上有界．构造开覆盖{} ],[),(b a x x U H x ∈=δ，由有限覆盖定理知存在有限子覆盖，不妨设为 {}k i x U H i i ,,2,1),( ==*δ，)(x f 在其上都有界，分别记为k M M M ,,21，取 {}k M M M M ,,m ax 21=， 则],,[b a x ∈? 都有M x f ≤)(，即()x f 在[]b a ,上有界，这与题设矛盾，所以结论成立． 证法二 用区间套定理． 将区间],[b a 等分为二，则由函数)(x f 在],[b a 上无界知)(x f 至少在其中一个半区间上无界（如果都是则任取一个），记为],[11b a ，将此小区间等分为二，则)(x f 至少在其中一个 半区间上无界（如果都是则任取一个），记为],[22b a ，如此继续下去得一区间套{ }],[n n b a ，)(x f 在其每一个区间上都无界．由区间套定理，,1],,[≥∈?n b a n n ξ 且 ξ==∞ →∞ →n n n n b a lim lim ， 0>?δ，当n 充分大时，有 ],[),(],[b a U b a n n δξ?， 因此，由],[n n b a 的构造知)(x f 在],[),(b a U δξ上无界． 例18（武汉大学1994）设 +∞=∞ →n n x lim ，{} ,,2,1 ==n x E n ，试证：必存在正整数p ，使得.inf E x p = 证 取{}1,m ax 1a M =，则0>?N ，当N n >时，有1a M x n ≥>，于是有 {}{}N N a a a a a a E ,,m in ,,inf inf 2121==， 而有限集必有最小值，因此，存在正整数p ，N p ≤≤1使得.inf E x p = 例19（浙江大学2004，北京科技大学）证明：若一组开区间{}n I ： ,2,1),,(==n b a I n n n ，覆盖了]1,0[，则存在一0>δ，使得]1,0[中任意两点x x ''',，满 足δ<''-'x x 时，必属于某一区间.k I 证 由有限覆盖定理知：{}n I 中存在有限个区间，不妨设为k I I I ,,,21 ，它们也覆盖了]1,0[. 将这些区间的端点从小到大排成一列，相同的点只取其一，不妨设为 m c c c <<< 21， 其中.2k m ≤ 令{ } 01,,2,1,min 1>-=-=+m i c c i i δ，则当δ<''-'∈'''x x x x ],1,0[,时，必存在k j I j ≤≤1,，使得.,j I x x ∈''' 例20（天津大学1999）利用确界原理证明：若实数列{}n x 单调递减有下界，则{}n x 必收敛，且{}.inf lim n n n n x x =∞ → 证 记{ } ,2,1==n x S n ，则数集S 有下界，由确界原理，S 有下确界，记之为a ，下证：.lim a x n n =∞ → 事实上，a 为S 的下确界，则1,≥≥n a x n ，且S x N ∈?>?,0ε，使得ε+时，有 ε+<≤a x x N n ， 从而当N n >时，有 ε<-a x n ， 即.lim a x n n =∞ → 例21（四川大学）用有限覆盖定理证明连续函数的零点定理：若函数)(x f 在],[b a 上连续，且0)()( 证 用反证法。假设),(,0)(b a x x f ∈?≠，则由函数的连续性知： 0),,(>?∈?x b a x δ，)(x f 在],[),(b a x U x δ上恒正或恒负，令{}],[),(b a x x U H x ∈=δ，则H 为],[b a 的一 个开覆盖，由有限覆盖定理知存在有限子覆盖，不妨设为k i x U i i ,,2,1),,( =δ，并且可设i x 彼此不同（若j i x x ,相同，则只保留较大的领域，它们同样覆盖],[b a ），这样可把i x 从小到大重心排列，不失一般性，设k x x x <<< 21，于是，),(11δx U a ∈，这样，)(x f 在 ],[),(11b a x U δ上与)(a f 同号。又φδδ≠),(),(1122x U x U ，所以，)(x f 在),(22δx U 与)(a f 同号，依次类推，)(x f 在这k 个领域内都与)(a f 同号，而),()(k k x U b f δ∈，即得)(b f 与)(a f 同号，矛盾，因此，至少存在一点),(b a c ∈，使得.0)(=c f 例22（厦门大学2002）设函数)(x f 在有限区间I 上有定义，满足：,0,>?∈?δI x 使得)(x f 在),(δx U 内有界。 （1） 证明：当],[b a I =时，)(x f 在I 上有界； （2） 当),(b a I =时，)(x f 在I 上一定有界吗？ 证（1）由有限覆盖定理立明。 （2）不一定。如函数x x f 1 )(= 在)1,0(满足假设，但)(x f 在)1,0(上无界。 例23（华中师大）用闭区间套定理证明：若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上有界。 证 用反证法。假设)(x f 在],[b a 上无界，将区间],[b a 等分为二，则)(x f 至少在其中 一个半区间上无界，记这样的区间为],[11b a （若)(x f 在两个半区间上都无界，任选其一），将],[11b a 等分为二，则)(x f 至少在其中一个半区间上无界，记这样的区间为],[22b a ，如此 下去得一区间套{}],[n n b a ，)(x f 在每一个区间上都是无界的。由区间套定理， ],[n n b a ∈?ξ，.1≥n 又)(x f 在ξ连续，则)(x f 在ξ的某领域)(ξU 内有界，而当n 充分大时，)(],[ξU b a n n ?，这与],[n n b a 的构造矛盾，因此)(x f 在],[b a 上有界。 例24 设{}n x 单调数列。若{}n x 存在聚点，则必是唯一的，且为{}n x 的确界。 证 不妨设{}n x 是单增的。 若{}n x 无界，则+∞=∞ →n n x lim ，于是，,0,>?∈?N R A 当N n >时，有2+>A x n . 这样，领域)1,(A U 内至多含有{}n x 中有限项，因此A 不是{}n x 的聚点，由A 的任意性知{}n x 没有聚点，这与假设条件矛盾，因此{}n x 为有界数列，由单调有界定理知： {}n n n n x x sup lim =∞ →， 设ξ是{}n x 的一个聚点，则{}n x 必存在一个子列收敛于ξ，由海涅定理知 {}n n x sup =ξ，此说明聚点若存在，则必是唯一的，且为{}n x 的确界。 例25 设函数f 在],[b a 上递增，满足 b b f a a f ≤≥)(,)(， 证明：],[0b a x ∈?，使得.)(00x x f = 证 若 a a f =)( 或 b b f =)(，则命题已成立，故可设b b f a a f <>)(,)(. 记 )(2 1 ],,[],[11111b a c b a b a +==. 若)(11c c f =，则已得证；若11)(c c f <，则取 ],[],[1122c a b a =；若11)(c c f >，则取],[],[1122b c b a =. 按此方法继续下去，可得一区间套{ }],[n n b a . 若在此过程中某一],[n n b a 的中点n c ，使得n n c c f =)(，则命题已成立，否则有： .,2,1,)(,)( =<>n b b f a a f n n n n （1） 由区间套定理，.,2,1],,[0 =∈?n b a x n n 下证：.)(00x x f = 倘若00)(x x f >，则由{}n b 递减趋于0x 和极限的保序性得：)(0x f b n <，而0x b n ≥，由f 的递增性得n n b x f b f >≥)()(0，这与（1）式矛盾. 类似可证00)(x x f <时也矛盾，故命题成立. 例26（北京师大2003）设{} b x a x f ≤≤=)(sup α. 证明：存在b x a n ≤≤，使得 .)(lim α=∞ →n n x f 证 由上确界定义，],[,01b a x n n ∈?>=?-ε，满足： ,2,1,)(1=<<--n x f n n αα.由此立得.)(lim α=∞ →n n x f 例27（北京大学、云南大学）设{})(x f n 是),(b a 上的连续函数列，并且),(0b a x ∈?，数列{})(0x f n 都是有界的. 证明：{})(x f n 在),(b a 的某一非空子区间上一致有界 证 反证法. 假设{})(x f n 在),(b a 内任何非空子集上非一致有界，则),(1b a x ∈?， +∈?Z n 1，有1)(11>x f n . 又1n f 连续，根据连续函数的保号性知，存在),(1b a ??，1?为 闭子区间，有 .,1)(11?∈>x x f n {})(x f n 在1?上非一致有界，所以存在12?∈x ，+∈Z n 2，12 n n >，有2)(22>x f n ，由保 号性知，存在12???，2?为闭子区间，且限定2?的长度不超过1?长度的一半，有 .,2)(22?∈>x x f n 如此下去得一闭区间套： ???????n 21， 在k ?上， ,2,1,)(=>k k x f k n . 由闭区间套定理得， ,2,1,0=?∈?k x k .从而有 ,2,1,)(0=>k k x f k n 这与{})(0x f n 有界矛盾，故结论成立. 练习题5 1（安徽大学2002）叙述数列收敛的柯西收敛原理，并证明之。 2（上海交大1998）判断：若数列的任一子列都存在收敛子列，则数列必收敛。 3（华东化工学院1997）叙述有限覆盖定理，并用之证明任何有界无穷数列必有收敛子列。 4（首都师大2000）用闭区间套定理证明：闭区间上连续函数一定有界。 5（首都师大2001）用致密性定理证明：闭区间上连续函数一定有界。 6（首都师大2004）用实数连续性定理证明：闭区间上连续函数一定有界。 7（北方交通大学2003）利用单调有界定理证明：非空有上界数集一定有上确界。 8（北方交通大学2004）证明：闭区间上连续函数一定有界。 9（中国矿业大学1998）利用区间套定理证明聚点定理。 10（中国矿业大学1999，）利用区间套定理证明有限覆盖定理，并举例说明当闭区间换成开区间时结论不成立。 11（中国矿业大学2000）利用致密性定理证明数列的柯西收敛准则。 12（中国矿业大学2001）叙述有限覆盖定理，并用之证明：闭区间上连续函数必一致连续。 13（中国矿业大学2002）利用区间套定理证明有限覆盖定理。 14（中国矿业大学北京研究生部2001）利用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数必一致连续。 15（广西大学2002）叙述确界原理和聚点定理。试举例说明：在有理数集内，确界原理和聚点定理一般不成立。 16（西北大学）（1）利用确界原理证明连续函数零点定理； （2）利用有限覆盖定理证明致密性定理。 17（四川大学）利用有限覆盖定理证明连续函数的零点定理。 18（华中师大2000）用区间套定理证明闭区间上连续函数有界性定理。 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1.1确界存在定理的证明 (1) 1.2 确界存在定理证明单调有界定理 (3) 1.3单调有界定理证明区间套定理 (3) 1.4 区间套定理证明有限覆盖定理 (4) 1.5有限覆盖定理证明聚点定理 (4) 1.6聚点定理证明致密性定理 (5) 1.7致密性定理证明柯西收敛准则 (5) 1.8柯西收敛准则证明确界存在定理 (6) 致谢 (7) 参考文献 (7) 关于实数完备性相关定理等价性的研究 数学与应用数学专业学生xxx 指导教师 xxx 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理。与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的。本文主要是讨论证明这七个定理的等价性。在这里我们首先论证确界存在定理，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”。 关键词：实数集完备性基本定理等价性证明 Research about the equivalence theorems of completeness of real numbers Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics .Bing Liu Tutor Shixia Luan Abstract: Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. Fundamental Theorems of seven related about completeness of the set of real numbers，which are existence theorem of supremum, monotone defined management,interval sequence theorem,Bolzano-Weierstrass theorem, convergence point theorem,Heine-Borel theorem and Cauchy convergence rule are Equivalent. This paper is to discuss the proof of the equivalence of the seven theorems. Here we first Prove the existence theorem of supremum, then prove the other correlative theorems based of existence theorem of supremum and form a ideal proof “loop”. Key words: set of real numbers，completeness，fundamental theorem，equivalence，proof. 引言： 我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本定理从不同的角度描述了实数的基本性质。并且这七个基本定理是相互等价的，在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。本文的论证结构为确界存在定理证明单调有界定理证明区间套定理证明有限覆盖定理证明聚点定理证明致密性定理证明柯西收敛准则证明确界存在定理。 1实数完备性相关定理的论证 1.1确界存在定理的证明 第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 教学目的与要求： 1）进一步加深对实数集上下确界、数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，为掌握本章有关内容做好准备； 2）掌握区间套、聚点等重要概念； 3）熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解其实质意 4）能应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法，显著提高学生的分析论证能力。 教学重点，难点： 熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解和掌握其证明思想；应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法, 提高学生的分析论证能力 教学内容： 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义1 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质： （i ）;,2,1],,[],[11 =?++n b a b a n n n n (ii)0)(lim =-∞ →n n n a b , 则称[]{},,n n b a 为闭区间套，或简称区间套． 这里的性质（i ）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式： 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ (1) 定理7.1（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得.,2,1],,[ =∈n b a n n ξ即 .,2,1, =≤≤n b a n n ξ （２） 分析 即要证明闭区间列 ,2,1],,[=n b a n n 有唯一的公共点，所以首先我们要至少找到一个公共点，由（1）式和单调有界定理可以知道数列{}n a 和{}n b 都存在极限，我们只要 一.七大定理循环证明: 1.单调有界定理→区间套定理 证明：已知n a ≤1+n a （?n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞ →n lim n a = r ， 同理可知{n b }存在极限，设∞ →n lim n b =r ' ，由∞ →n lim （n n a b -）=0得r r '-=0 即r r '= ?n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴?n ，有n a ≤r ≤n b 。 下面证明唯一性。 用反证法。如果不然。则? 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤ 对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <， 令 2 2 1'r r r += 显然 2 '1r r r << ? A r ∈'， B r ∈'， 这与B A |是R 的一个分划矛盾。 唯一性得证。定理证完。 2.区间套定理→确界定理 证明：由数集A 非空，知?A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知 ?b 是A 的上界，记[1a ，1b ]=[a ， b ]，用1a ，1b 的中点2 1 1b a +二等分[1 a ，1 b ]，如果2 11 b a +是A 的上界， 则取[2a ，2 b ]=[1 a ，2 11 b a +]；如果2 11 b a +不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[2 1 1b a +，1 b ]；用2 a ，2 b 的中点2 22 b a +二等分[2a ，2 b ]……如此继 续下去，便得区间套[n a ，n b ]。其中n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。由区间套定理可得，?唯一的 ∞ =∈1],[n n n b a r ， 使∞ →n l i m n a =∞ →n lim n b = r 。A x ∈?， 第七章实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：12学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（3学时）教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1. ⅰ> 对 , 有 , 即 , 亦即后一个闭区间 包含在前一个闭区间中 ; ⅱ> . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 2. Cantor 区间套定理: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy 列 : ⑴ . ⑵ . . .. . 实数完备性定理的证明及应用 学生：xxx 学号： 数学与信息科学学院数学与应用数学专业 指导老师：xxx 职称：副教授 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性 Testification and application about Real Number Completeness Abstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval. Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence 引言 在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实 第七章实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理 一、问题提出 定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即 中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成 的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）． 定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头,其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类 ：(4)～(7) 阅读参考类 ：(8)～(10) 习题作业类 二、回顾确界原理的证明 我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） Dedekind 定理 设A/B 是R 的一个切割,则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞,(,)B ε=+∞或 (,)A ε=-∞,[,)B ε=+∞无其它可能. 1 非空有上界的数集E 必存在上确界. 证明 设}{x E =非空,有上界b ： E x ∈?,b x ≤. （1） 若E 中有最大数0x ,则0x 即为上确界； （2） 若E 中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E 的一切上界归入上类 B ,其余的实数归入下类A ,则)|(B A 是实数的一个分划. ο 1 A 、B 不空.首先B b ∈.其次E x ∈?,由于x 不是E 的最大数,所以它不是E 的上界,即 A x ∈.这说明E 中任一元素都属于下类A ； ο 2 A 、B 不漏性由A 、B 定义即可看出； ο 3 A 、B 不乱.设A a ∈,B b ∈.因a 不是E 的上界,E x ∈?,使得x a <,而E 内每一元素属于 A ,所以b x a <<. ο 4 由ο 3的证明可见A 无最大数. 所以)|(B A 是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B 必有最小数,记作c . E x ∈?,由ο1知A x ∈,即得c x <.这表明c 是E 的一个上界.若b 是E 的一个上界,则B b ∈,由此得b c ≤,所以c 是上界中最小的,由上确界定义,c 为集合E 的上确界,记作 E c sup =. 第七章实数的完备性 § 1 关于实数集完备性的基本定理 一区间套定理与柯西收敛准则 定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ）对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ）. 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增,递减. 例如和都是区间套. 但、和都不是. 区间套定理 定理7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点, 使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二聚点定理与有限覆盖定理 定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的 一个聚点. 数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间. 定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 聚点原理 :Weierstrass 聚点原理. 定理7.3 每一个有界无穷点集必有聚点. 列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理. 四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴. ⑵. 解⑴ ; 对，为使，易见只要. 于是取. ⑵ . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 , 又 . 当为奇数时, . 综上 , 对任何自然数, 有 . …… Cauchy 列的否定: 例2 . 验证数列不是Cauchy列. 证对, 取, 有 . 因此, 取,…… 三 Cauchy收敛原理: 定理数列收敛是Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原 则给出证明 ) 实数完备性定理的证明及应用 学生姓名：xxx 学号：072 数学与信息科学学院数学与应用数学专业 指导老师：xxx 职称：副教授 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性 Testification and application about Real Number Completeness Abstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval. Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence 引言 在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质. 1. 基本定义[1] 关于实数连续性的基本定理 关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛ ,[n a ] n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含 在所有的区间里,即 ∞ =∈1 ] ,[n n n b a r 。 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： ε ε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。 这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 （二）实数基本定理的等价证明 一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理 证明：设数列}{n x 单调上升有上界。令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ?≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0 n ，使 a < 0n x ≤ b ，即A 、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理， A ，a R r ∈?∈?使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。 第38卷第24期2008年12月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE AND T HEORY V o l.38 No.24 D ecem.,2008 教学园地 实数系基本定理等价性的完全互证 刘利刚(浙江大学数学系,浙江杭州 310027) 摘要: 综合给出了实数系六个基本定理的等价性的完全互证方法,并归纳了各种证明方法的规律,旨在把抽象的证明转化为容易掌握的基本方法. 关键词: 实数系;连续性;等价;极限收稿日期:2005-06-10 实数系基本定理是数学分析中重要组成部分,是分析引论中极限理论的基础,也称为实数系的连续性定理.能够反映实数连续性的定理很多,它们是彼此等价的.现有的教材都是按照某一顺序将这些定理进行一次循环证明就验证了它们的等价性[1-2].虽然不同的教材对于循环证明的顺序有所不同,但每一次循环证明看起来都似乎没有关联,并没有综合归纳其中的方法技巧.这么多相互独立的证明使得不少学生都感到数学分析中这部分内容太抽象,难以理解.因而当遇到一个教材中没有给出的2个定理之间的等价性证明时就无从下手.为此,在讲述这些定理的时候,我们把这些定理的相互证明详细地整理出来,并且归纳给出了这些定理的完全互证方法与规律,使学生在学习这部分内容时不再感到无所适从. 我们使用的教材[1]中给出的实数系的六个基本定理及其描述为: 1)确界存在定理(pp .12):上(下)有界的非空数集必存在唯一上(下)确界. 2)递增(减)有界数列必有极限(pp.34). 3)闭区间套定理(pp.41):设I 1,I 2,…,I n ,…是一串有界闭区间,I 1 I 2 … I n …,且I n 的长度 I n →0,称{I n }为闭区间套.则闭区间套{I n }的交∩∞ n =1 I n 必不空且为单点集. 4)Bo lzano -Weierstrass 定理(pp.44):有界数列必有收敛子列. 5)Cauchy 收敛准则(pp.299):数列{x n }收敛 {x n }是基本数列. 6)有限开覆盖定理(pp.308):若开区间族{O }覆盖了有界闭区间[a ,b ],则从{O }中 必可挑出有限个开区间O 1,O 2,…,O n 同样覆盖了[a ,b ]:[a ,b ] O 1∪O 2∪…∪O n . 在证明之前,我们首先必须要理解这六个定理的每一个在说些什么,只要概念清楚了,并且理解其方法,证明并不难. 定理1)～5)属于同一类型,它们都指出,在某一条件下,便有某种“点”存在,这种点分别是确界(点)(定理1)),极限点(定理2)5)),公共点(定理3)),子列的极限点(定理4)).定理 第七章实数的完备性 §7.1 实数完备性的基本定理 一、问题提出 定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即 中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成 的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）． 定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头,其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类 ： (4)～(7) 阅读参考类 ： (8)～(10) 习题作业类 二、回顾确界原理的证明 我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） Dedekind 定理 设A/B 是R 的一个切割,则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞,(,)B ε=+∞或(,)A ε=-∞,[,)B ε=+∞无其它可能. 1 非空有上界的数集E 必存在上确界. 证明 设}{x E =非空,有上界b ： E x ∈?,b x ≤. （1） 若E 中有最大数0x ,则0x 即为上确界； （2） 若E 中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E 的一切上界归入上类 B ,其余的实数归入下类A ,则)|(B A 是实数的一个分划. 1 A 、B 不空.首先B b ∈.其次E x ∈?,由于x 不是E 的最大数,所以它不是E 的上界,即 A x ∈.这说明E 中任一元素都属于下类A ； 2 A 、B 不漏性由A 、B 定义即可看出； 3 A 、B 不乱.设A a ∈,B b ∈.因a 不是E 的上界,E x ∈?,使得x a <,而E 内每一元素属于 A ,所以b x a <<. 4 由 3的证明可见A 无最大数. 所以)|(B A 是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B 必有最小数,记作c . 数学分析之实数的完备性 《数学分析》教案 第七章实数的完备性 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点:本章的重点是实数完备性的基本定理的证明;难点是基本定理的应用。 教学时数:14学时 ? 1 关于实数集完备性的基本定理(4学时) 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点:实数完备性的基本定理的证明。 一(确界存在定理:回顾确界概念( Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 . 二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . - 1 - 《数学分析》教案 三. Cantor闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 ?> 对, 有 , 即 , 亦即后 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; ?> . 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, 递减. 例如和都是区间套. 但、 和都不是. 2. Cantor区间套定理: Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四( Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : - 2 - 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 (6学时) §1 关于实数完备性的基本定理 教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法. 教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理. 难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.. 学时安排: 4学时 教学方法: 讲授法. 教学过程如下: 一、区间套定理与柯西收敛准则 定义1 设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质： （1）11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++?=L （2）lim()0n n n b a →∞ -= 则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套. 定理7.1(区间套定理) 若{[,]}n n a b 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ使得 [,],1,2,n n a b n ξ∈=L ,即 ,1,2,.n n a b n ξ≤≤=L 证: 先证存在性 Q {[,]}n n a b 是一个区间套, 所以 1221,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤L L L ∴可设 lim n n a ξ→∞ = 且由条件2有 lim lim()lim n n n n n n n n b b a b a ξ→∞ →∞ →∞ =-+== 由单调有界定理的证明过程有,1,2,.n n a b n ξ≤≤=L 再证唯一性 设ξ'也满足,1,2,.n n a b n ξ'≤≤=L 那么,,1,2,.n n b a n ξξ'-≤-=L 由区间套的条件2得 lim()0n n n b a ξξ→∞ '-≤-=故有ξξ'= 推论 若[,](1,2,)n n a b n ξ∈=L 是区间套{[,]}n n a b 所确定的点,则对任给的0ε>,存在0N >,使得当 n N >时有 [,](,)n n a b U ξε? 柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N >有 本科毕业论文 题目浅谈实数的完备性 专业信息与计算科学 作者姓名唐星星 学号2013201334 单位数学科学学院 指导教师张冬梅 2017 年 5 月 教务处编 原创性声明 本人郑重声明：现提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名：日期： 指导教师签名:日期： 目录 摘要 (3) Abstract (4) 前言 (1) 1．实数完备性定理在《数学分析》中所占的地位 (2) 2. 实数集的完备性 (2) 3．实数六个基本定理的描述和证明 (2) 3．1闭区间套定 (2) 3．2．确界的叙述 (3) 3．3有限开覆盖 (5) 定理3（有限覆盖定理） (6) 聚点的定义 (7) 定理4（聚点定理） (7) 3．5致密性定理 (8) 3．6柯西收敛准则 (8) 3．7单调有界定理 (9) 4．实数循环定理的证明 (10) 4．1确界定理?闭区间套定理 (10) 4．2区间套定理?有限覆盖定理 (10) 4．3有限覆盖定理?聚点定理 (11) 4．4聚点定理?致密性定理 (11) 4．5致密性定理?柯西收敛准则 (11) 4．7单调有界?确界定理 (12) 5.实数的完备性的发展状况 (12) 6．实数完备性定理过程中的一些注示 (13) 6．1关于实数完备性定理的循环证明过程 (13) 6．2关于实数完备性定理的起点 (13) 参考文献 (16) 致谢 (17) 第五讲实数的完备性 I 基本概念与主要结果 实数空间 1 无理数的定义 人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后 由于开方与不可公度问题①发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定 义.事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分.为了让实数与数轴上 的点 对应起来，充满全数轴，必须用别的方法. 方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限 不循环小数定义为无理数. 一个无限不循环小数 x ，取其n 位小数的不足近似值 a n 与过剩近似值 久，a n 与P n 均 为有理数，且P n -叫0 （ n T 处），x j 比，（\】.可见以无限不循环小数定义 10n 无理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定 理，即承认它是正确的. 历史上引进无理数的传统方法有两种： 理数列的基本序列法. 戴德金分割法具有很强的直观性， 假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段， 果折断处是有理点，那么它不在左子集， 最大数或B 的最小数.如果 A 中没有最大数， 的一个“空隙”，称之为无理数，显然它是有序的， 系沈燮昌编写的《数学分析》，高等教育出版社， 康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近 毕达哥拉斯（公元前约 580~约500）:古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收 300门徒组织了一个 “联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义.在西方首次提出勾股定理，并把数的概 念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序” ，这里的数指的是自然然及自然数 戴德金（ Dedekind ）分割法和康托（Cantor ）的有 其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置, 那么全体有理数被分为左、右两个子集 就在右子集，这样分割就确定了一个有理数， A,B .如 即A 的 B 中也没有最小数，这个分割就确定了直线上 可定义其四则运算（可参见北京大学数学 1986 年）. 1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。 2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。 3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点 ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。 4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。 5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。 6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛?对任给的正数ε ，总存在某一个自然数N ，使得 N n m >?,时，都有ε<-||n m a a 。 一.确界原理 1.确界原理证明单调有界定理 证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记 a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N 时有a - ε < a N ≤ a n . 另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有 a - ε < a n < a + ε, 这就证得 a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界. 2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）?ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］?［ａｎ，ｂｎ］； ２） ｂｎ－ａｎ ＝ 我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，?） 存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ 毕业论文文献综述 数学与应用数学 实数完备性定理相互论证及应用 牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但是当时分析的基础还极其不完善，这导致了第二次数学危机，直接的结果就是大量优秀的数学家投身到了研究实数基础的行列中，这其中相当重要的一部分就是实数的完备性公理。 一、国内外研究的历史发展 自从毕达哥拉斯学派在公元前5世纪发现无理数以来，人们对无理数的认识经历了难以想象的历史长河，直到19世纪中叶，人类的全部智慧仅停留在有理数与个别无理数的认识阶段.19世纪后半叶，柯西与魏尔斯特拉斯建立极限理论为微积分奠定了基础，而极限理论却又是建立在实数连续性的假设之上的.为使微积分的基础更牢固，建立系统的实数理论成为数学科学发展的关键.建立实数理论的难点是给无理数下定义. 历史有时真巧合，实数的三大派理论：戴德金的“分割”、康托尔的“基本序列”、魏尔斯特拉斯的“单调有界序列”是同一年（1872年）在德国出现的.以下分别给予简单的介绍. 戴德金借助几何直观，通过以他名字命名的分割技术对有理数进行分割，巧妙而又严密的给出无理数的定义.大意如下：把有理数集Q分成与两个子集，使其满足下列三个条件： （1）； （2）中的任何一数小于中的任一数； （3）中无最大数. 称上述分解为有理数的一个戴德金分割，并记做.凡是中有最小数的分割称为第一类分割，这类分割的界数（即从有理数范围内来考虑，与之间所缺乏的数）称为无理数；有理数和无理数统称为实数.戴德金同时证明对实数作同样的分割不产生新的数.这就是实数的完备性或连续性（可用利刀切洒上金粉的细线来解释有理数的非完备性及实数的完备性）.现在人们把实数轴作为实数的几何模型，即实数与实数轴上的点一一对应，这是基于实数的连续性与直线连续性的统一。 一、问题提出 确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的 还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆 盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是：，只要 恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具． 下图中有三种不同的箭头，其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类 ：(4)～(7) 阅读参考类 ：(8)～(10) 习题作业类 下面来完成(1)～(7)的证明． 二、等价命题证明 (1)（用确界定理证明单调有界定理） (2)（用单调有界定理证明区间套定理） (3)（用区间套定理证明确界原理） *(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理） *(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理） *(6)（用聚点定理证明柯西准则） *(7)（用柯西准则证明单调有界定理） (1)（用确界定理证明单调有界定理） 〔证毕〕 (返回) (2)（用单调有界定理证明区间套定理）设区间套． §2 实数完备性的基本定理 实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。实数基本定理是 建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。 2.1 实数基本定理的陈述 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。 区间套还可表达为 , 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n 。 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减。 例2.1 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套. 但} ] 2 1 , ) 1 (1 [ {n n n +-+ 、 } ] 1 , 0 ( {和 } ] 1 1 , 1 [ {+-都不是。 推论 1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>?ε, ,N ? 当N n >时, 总有] , [n n b a ( , ) U x e ì。 推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有 n a 单增且收敛于ξ，同时n b 单减且收敛于ξ，) (∞→n 。 根据假设，对任给的0ε>，总存在自然数N ，对一切n N ≥，都有n N a a ε-≤，即在区间[],N N a a εε-+内含有{}n a 中除掉有限项外几乎所有的项。 据此，令12ε= ，则存在1N ，在区间1211,22N N a a ? ?-+??? ?上含有{}n a 中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为[]11,αβ。 再令212ε= ，则存在()21N N >，在222211,22N N a a ??-+??? ?上含有{}n a 中除有限项外几乎所有项。记[]22,αβ=222211,22N N a a ? ?-+?????[]11,αβφ≠，它也含有{}n a 中 有限项外几乎所有的项，且[]22,αβ?[]11,αβ和11 221 22 βαβα--≤=。照以上的方法，依次令34111,,,,222 n ε= ，得一闭区间列[]{},n n αβ，它的每个区间都含有{}n a 中除有限项外几乎所有的项，而且这区间列满足以下条件 [][]()11,,,2,3,,n n n n n αβαβ--?= ()1 1 02 n n n n βα--≤ →→∞ 从而由区间套定理知，存在唯一一个数[](),1,2,n n a b n ?∈= ，现在证明这个?就是数列{}n a 的极限。因为对任给0ε>，由定理2.1推论知存在自然数N ，当n N >时，便有 [](),,n n a b U ?ε?。 因此在(),U ?ε内就含有{}n a 中除有限项外几乎所有的项，这就证得lim n n a ?→∞ =。 5. Weierstrass 聚点原理关于实数完备性相关定理等价性的研究
第七章 实数的完备性
实数完备性证明
实数的完备性
实数完备性定理的证明及应用
第七章 实数完备性
第七章 实数的完备性
实数完备性定理的证明及应用
实数完备性基本定理相互证明
实数系基本定理等价性的完全互证
第七章实数的完备性
数学分析之实数的完备性
第七章 实数的完备性
浅谈实数的完备性
第5讲实数的完备性
实数完备性的六大基本定理的相互证明 共 个
实数完备性定理相互论证及应用【文献综述】
实数完备性的等价命题及证明
§2 实数完备性的基本定理