第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题矩阵的数值特征
（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）
一、行列式
已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|
证明一：参照课本194页，例.
证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；
从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
?
二、矩阵的迹
矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：
n n
ii i
i1i1
tr(A)a
==
==λ
∑∑，etrA=exp(trA)
性质：
1. tr(A B)tr(A)tr(B)
λ+μ=λ+μ，线性性质；
2. T
tr(A )tr(A)=；
3. tr(AB)tr(BA)=；
4.
1
tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H
tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；
;
6. n
n
k k
i i i 1
i 1
tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;
从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；
8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）；
9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式
对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式
[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]
得 #
定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B
|tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)
这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时
0≤|tr(AB)|≤
定理：设A和B为两个n阶Hermite阵,且A≥0，B≥0，则
0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A) ≤tr(A)﹒tr(B)
λ1(B)表示B的最大特征值。
证明：
tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) ≥0，又因为
A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0，所以λ1(B)tr(A)≥A1/2BA1/2，得
!
tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B) A)
=λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B)
推论：设A为Hermite矩阵，且A>0，则
tr(A)tr(A-1)≥n
另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考《矩阵论中不等式》。
三、矩阵的秩
矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩
阵秩的一些性质和不等式。
定义：矩阵A 的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank(A)
性质：
(
1. rank(AB)min(rank(A),rank(B))≤；
2. rank(A B)rank(A,B)rank(A)rank(B)+≤≤+；
3. H
H
rank(AA )rank(A )rank(A)==；
4. rank(A)rank(XA)rank(AY)rank(XAY)===，其中X 列满秩，Y 行满秩（消去法则）。
定理（Sylvester ）：设A 和B 分别为m×n 和n×l 矩阵，则
rank(A)rank(B)n rank(AB)+-≤
min(rank(A),rank(B))≤
Sylveste 定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。
四、相对特征根
定义：设A 和B 均为P 阶实对称阵，B>0，方程
@
|A-λB|=0的根称为A相对于B的特征根。
性质：|A-λB|=0等价于|B-1/2AB-1/2-λI|=0
(因为B>0，所以B1/2>0)
注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。
定义：使(A-λi B)l i=0的非零向量l i称为对应于λi 的A相对于B的特征向量。
性质：
①设l是相对于λ的A B-1的特征向量，则
A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l)
B-1l 为对应λ的A相对于B的特征向量
（转化为求A B-1的特征向量问题）。
②$
③设l是相对于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量，则B-1/2AB-1/2l=λl
可得
A (B-1/2l)=λB(B-1/2l)
则B-1/2l 为对应λ的A相对于B的特征向量
（转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。
五、向量范数与矩阵范数
向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。
1. 向量范数定义：设V 为数域F 上的线性空间，若对于V 的任一向量x ，对应一个实值函数x ，并满足以下三个条件： !
（1）非负性 x 0≥，等号当且仅当x=0时成立；
（2）齐次性 x x ,k,x V;α=α?α∈∈ （3）三角不等式x y x y ,x,y V +≤+∈。 则称x 为V 中向量x 的范数，简称为向量范数。定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。
例1. n x C ∈，它可表示成[]
T
1
2
n x =ξξξ，i C ξ∈，
1n
2
2i 2i 1x ?
=?
?=ξ ?
??
∑就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。
证明：
（i ）非负性 1n
2
2i 2i 1x 0=?
?=ξ≥ ?
??
∑，
当且仅当()i 0i 1,2,,n ξ==时，即x ＝0时，
2
x
＝0
（ii ）齐次性
|
1
1
n
n
2
2
22i i 22
i 1i 1x x
==????
α=αξ=α?ξ=α? ?
?
??
??
∑∑
（iii ）三角不等式
[]T
1
2
n y =ηηη ，i C η∈
[]T
1122n n x y +=ξ+ηξ+ηξ+η
n
2
2
i i 2i 1x y =+=ξ+η∑
()
222
22
i i i i i i i i i i 2Re 2ξ+η=ξ+η+ξη≤ξ+η+ξη n
2
2
2
i i 222i 1
x y x y 2=+≤++ξη∑
(
)
2
22
22
222
2x y
x y 2x
y +=++
根据H?lder 不等式：
1
1
n n
n
p
q
p q i i i i i 1i 1i 1a b a b ===????≤ ?
???
??
∑∑∑，i i 11p,q 1,1,a ,b 0p q >+=> 【
11n
n
n
2
2
22i i i i
2
2i 1i 1i 1
x y ===???
?=ξη≥ξη ? ?
????
∑∑∑
∴ 222x y x y +≤+
2. 常用的向量范数（设向量为[]
T
12
n x =ξξξ）
1-范数：n
i 1
i 1
x
==ξ∑；
∞-范数：1i n
x i max ∞≤≤=ξ；
P-范数：1
n
p p i p i 1x =?
?=ξ ???
∑ （p>1, p=1, 2,…,∞,）;
2-范数：()1
H
22x x x =;
椭圆范数(2-范数的推广):
(
)
1
H
2
A
x
x Ax
=，A 为Hermite 正定阵.
'
加权范数：
1n
2
2i i w
i 1x
w =??=ξ ???
∑，
当[]12
n A W diag w w w ==，i w 0>
证明：
p
x
显然满足非负性和齐次性
（iii ）[]
T
1
2
n y =ηηη
1n
p
p i p i 1x =?
?=ξ ?
??
∑，1n p
p i p
i 1y =?
?=η ???∑，
1
n
p
p i i p i 1x y =?
?+=ξ+η ?
??
∑
()
n
n
p
p
p 1
i i i i
i i
p
i 1
i 1
n
n
p 1
p 1
i i
i i i
i
i 1
i 1
x y -==--==+=ξ+η=ξ+ηξ+η≤ξ+ηξ+ξ+ηη∑∑∑∑
应用H?lder 不等式
()1
1
n
n
n
q
p
p 1
p 1q p i
i i i i
i i 1i 1
i 1--===?
?
??ξ
+ηξ≤ξ+ηξ??????
??∑∑∑ ()11
n
n
n
q
p
p 1
p 1q p i
i
i i i
i i 1
i 1i 1--===??
?
?ξ
+ηη≤ξ+ηη??
????
??∑∑∑
)
()11
1p 1q p p q
+=?-=
∴
1
11
n n
n n q
p p p p p p i i i
i i i i 1
i 1
i 1i 1====????
???
???ξ+η≤ξ+ηξ+η ? ? ?????
??????
∑∑∑∑ 1
1
1n
n
n
p
p
p
p p p i i i i i 1i 1i 1===?
??
??
?ξ+η≤ξ+η ? ? ???
??
??
∑∑∑
即 p p p
x y x y
+≤+
3. 向量范数的等价性 定理 设
α
、β
为n
C 的两种向量范数，则必定存在正数m 、M ，使得
m x
x M x
α
βα
≤≤，（m 、M 与x
无关），称此为向量范数的等价性。
同时有1
1x x
x M
m
βα
β
≤≤
注：
（1）对某一向量X 而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大）。 ：
（2）不同的向量范数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。
4、矩阵范数
向量范数的概念推广到矩阵情况。因为一个m ×
n 阶矩阵可以看成一个mn 维向量，所以m n
C ?中任何
一种向量范数都可以认为是m ×n 阶矩阵的矩阵范数。
1. 矩阵范数定义：设m n C ?表示数域C 上全体m n ?阶矩阵的集合。若对于m n C ?中任一矩阵A ，均对应一个实值函数A ，并满足以下四个条件：
（1）非负性：A 0≥ ，等号当且仅当A=0时成立； （2）齐次性：A A ,C;α=αα∈
（3）三角不等式：m n A B A B ,A,B C ?+≤+∈,则称
A 为广义矩阵范数；
（4）相容性：AB A B ≤?,则称A 为矩阵范数。
~
5. 常用的矩阵范数
（1）Frobenius 范数（F-范数）
F-范数：
12
n
2ij F
i j 1A
a =?
?= ???
∑，
=
矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。
定义：如果矩阵范数A 和向量范数x 满足
Ax A x ≤?
则称这两种范数是相容的。
给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。 》
（2）诱导范数
设A ∈C m ×n
，x ∈C n , x 为x 的某种向量范数，
记
x 1
A max Ax == 则A 是矩阵A 的且与x 相容的矩阵范数，也称之为A 的诱导范数或算子范数。 （3）p-范数：
p
p
p
Ax A
max
x
=，
()
ij m n
A a ?=,x 为所有可能的向量，[]
T
1
2
n x =ξξξ，
p
p
x x
α=α，
()
p p
1
Ax A x =αα
()0α≠
∴
p p p
x 1
A max Ax
==
111
x 1
A max Ax
==，
n
i 1i 1x 1==ξ=∑，n n
ij j
1i 1j 1
Ax a ===ξ∑∑
。
可以证明下列矩阵范数都是诱导范数：
（1）
n
ij
11j n
i 1A max a ≤≤==∑ 列（和）范数；
（2
）21i n A ≤≤= 谱范数； H A A 的最大特征值称为H A A 的谱半径。
当A 是Hermite 矩阵时，i 21i n
A max
(A)≤≤=λ是A 的谱半径。
注：谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。
2
H
H 222
2A A ; A A A ==
（3）n
ij
1i m
j 1
A
max a ∞
≤≤==∑ 行（和）范数
（
x
∞
=1
n
p
p i i
1i n
i 1p max ≤≤=→∞
?
?ξ=ξ ???
∑ ，
2x =1
n
2
2i i 1=?
?ξ ?
??
∑）
定理 矩阵A 的任意一种范数A 是A 的元素的连续函数；矩阵A 的任意两种范数是等价的。
；
定理 设A ∈C n ×n ，x ∈C n , 则F A 和2x 是相容的
即
2F
2Ax A
x ≤?
证明：由于222F
2Ax A x A x ≤?≤?成立。
定理 设A ∈C n ×n
，则F A 是酉不变的，即对于任意
酉矩阵U,V ∈C
n ×n
，有
F F A UAV =
证明：
F
UAV
=
==
F A ===
定义 设A ∈C n ×n
，A 的所有不同特征值组成的集合
称为A 的谱；特征值的模的最大值称为A 的谱半径，
记为ρ(A)。 ，
定理 ρ(A)不大于A 的任何一种诱导范数，即
ρ(A)≤A
证明：设λ是A 的任意特征值，x 是相应的特征向量，即
Ax=λx 则
|λ|·||x||= ||Ax||≤||A||·||x||, ||x||
≠0 即
|λ|≤||A||
试证：设A 是n 阶方阵，||A||是诱导范数，当
||A||<1时，I-A 可逆，且有
||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1
!
证明：
若I-A 不可逆，则齐次线性方程组
(I-A)x=0
有非零解x ，即x=Ax ，因而有
||x||=||Ax||≤||A||﹒||x||<||x||
但这是不可能的，故I-A 可逆。 于是 (I-A)-1=[ (I-A)+A] (I-A)-1=I+A (I-A)-1
因此||(I-A)-1||≤||I||+||A(I-A)-1||=1+||A(I-A)-1||
≤1+||A||﹒|| (I-A)-1||
即证
￥
||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1
补充证明||I||=1： 由相容性可知：
||A||﹒||A -1||≥||A A -1||=||I||
x Ix I x I 1=≤?≥
对于诱导范数( x 1
A max Ax ==) x 1I max Ix 1===。
六、条件数
条件数对研究方程的性态起着重要的作用。
`
定义：设矩阵A 是可逆方阵，称||A||﹒||A -1||
为矩阵A 的条件数，记为cond(A)，即
cond(A)= ||A||﹒||A -1||
性质：
（1）cond(A) ≥1,并且A 的条件数与所取的诱导范数的类型有关。
因cond(A)= ||A||﹒||A -1||≥||A A -1||=||I||=1 （2）cond(kA)= cond(A)=cond(A -1)，这里k 为任意非零常数。
当选用不用的范数时，就得到不同的条件数，如：
cond 1(A)= ||A||1﹒||A -1||1 cond ∞(A)= ||A||∞﹒||A -1||∞ cond 2(A)= ||A||2﹒||A -1||2
，其中1n ,λλ分别为A H A 的特征值的模的最大值和最小值。谱条件数 |
特别地，如果A 为可逆的Hermite 矩阵，则有
cond 2(A)=
1
n
λλ
这里1n ,λλ分别为A 的特征值的模的最大值和最小值。
如果A 为酉阵，则cond 2(A)= 1
例 求矩阵A 的条件数cond 1(A)，cond ∞(A)
1
52A 210382-?? ?=- ? ?-??
解：
||A||1=max{6;14;4}=14; ||A||∞=max{8;3;13}=14;
1
2621A 4844132311-?? ?=- ? ???
`
故
||A -1||1=17/4; ||A -1||∞=47/4;
cond 1(A)= ||A||1﹒||A -1||1=14×17/4=259/2; cond ∞(A)= ||A||∞﹒||A -1||∞=611/4。
例 设线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 可逆。讨论当b 有误差δb 时，解的相对误差δx 的大小。 解：因矩阵A 可逆，所以Ax=b 有唯一解x=A -1b ，设解的误差为δx ，由
A(x+δx)=b+δb
得
A δx=δb 或δx=A -1δb 得
11x A b A b --δ=δ≤?δ （1）
又Ax=b ，可得
b A x ≤?，或A 1
x b ≤ （2）
所以由（1）和（2），得
1
x b b A A cond(A)x b b -δδδ≤??=?
这说明相误差x
x δ的大小与条件数cond(A)密切相关；当右端b 的相对误差b
b δ一定时，cond(A)越大，解的
相对误差就可能越大；cond(A)越小，解的相对误差就可能越小。因而条件数cond(A)可以反映A 的特性。
一般来说：条件数反映了误差放大的程度，条件数越大，矩阵越病态。条件数在最小二乘估计的稳定性研究中有重要应用。
鉴于矩阵A 的条件数范数cond(A)有多种，但最常用的条件数是由谱范数||A||2导出的，称为谱条件
数。在本章中，若无特别声明，讨论的条件数都是谱条件数。
2
A =
12
A -= 谱条件数：()
cond A =
若A 是m ×n 阶矩阵，且rank(A) =t≤n ，则A 的条件数定义为
()()
()
max min A cond A A σ=
σ 即最大奇异值与最小非零奇异值的商。 （3）其它性质
对任意酉矩阵Q ，cond(QAQ H )= cond(A -1)；
()()H 2cond AA cond A cond(A)=≥。
（因
()()()
()H max H
2H min AA cond AA cond A AA σ==σ）
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1 i 1 tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)
性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]
数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数
§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数 一 、 向量、矩阵范数 为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(n n n R R ?或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。为此， 这就需要对量空间n R (或n n R ?矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。 (一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。 },{1为复数i n n x x x x x C ??????????== 称为n 维复向量空间。 },)({为复数ij n n ij n n a a A A C ??==称为n n ?复矩阵空间。 (2)设n n n C A C x ?∈∈,,称T n H x x x x =≡),,(1 为x 的共轭转置 ， T H A A =称为A 共轭转置矩阵。 在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足 正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。 n R x ∈(或n C x ∈)的某个实值非负函数 x x N ≡)(，如果满足下述条件 (1)正定性 00,0=??=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α) (3)三角不等式 )(,,n n C R y x y x y x ∈∈?+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。
由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。 设)(),,(1n n T n C x R x x x ∈∈=或 (1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞ ∞=≡1max )( (2)向量的“1”范数 ∑==≡n i i x x x N 1 1 1)( (3)向量的“2”范数 2/11 2 2 /12 2)() ,()(∑===≡n i i x x x x x N (4)向量的能量范数 设n n R A ?∈为对称正定阵 2 /1),()(x Ax x x N R x A A n =≡→∈? 称为向量的能量范数。 设n R x ∈(或n C x ∈)，则)(),(),(12x N x N x N ∞是n R 上(或n C )的向量范数。 证明 只验证三角不等式：对任意n R y x ∈,，则222 y x y x +≤+ 利用哥西不等式：22 ),(y x y x ≤，则有 ),(22 y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++= 22 2 2 22 2y y x x ++≤222))(y x += 对任何n R y x ∈,则 (1) ∞∞ ≤≤x n x x 2 (2) 212 x n x x ≤≤ (3) ∞∞ ≤≤x n x x 1
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1tr(P AP)tr(A)-=；
5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时 0≤|t r(AB)|≤ 定理：设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0，
线性代数行列式基本概念
目录 目录 (1) 一、行列式 (2) 见ppt。 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)
一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
可逆矩阵 矩阵乘积的行列式
§5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 5.2.1 教学目的 5.2.1.1 掌握矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. 5.2.1.2 掌握矩阵可逆的充要条件及求逆矩阵的两种方法. 5.2.1.3 掌握矩阵乘积的行列式和秩的性质. 5.2.2 教学重点 矩阵可逆的定义，充要条件及求逆矩阵的方法. 5.2.3 教学难点 用初等变换法求逆矩阵的理论. 5.2.4 教学过程 一、矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. （一）矩阵可逆，逆矩阵的定义 Def 1 令A 是数域F 上一个n 矩阵，若存在F 上n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I 那么A 叫可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵. （二）逆矩阵的简单性质 1、若是矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵唯一. 把A 的唯一的逆矩阵记作. 2、可逆矩阵A 的逆矩阵也可逆，并且 . 1、1、1、两个可逆矩阵A 和B 的乘积也可逆，并且 . 一般，m 个可逆矩阵A 1，A 2，…，A m 的乘积A 1A 2…A m 也可逆. 并且 （A 1A 2，…，A m ）-1 = 4、可逆矩阵A 的转置 也可逆，并且 二、矩阵可逆的充要条件 （一）判断矩阵可逆的思路. 判断一般的n 阶矩阵A 是否可逆很复杂，但判断形如 ，矩阵的可逆 1 -A 1-A A A =--1 1 )(1 1 1 ) (---=A B AB 1 1 121---A A A m A ' )() (1 1 ' ='--A A ??? ? ? ?000r I
性十分简单，即当r=n 时，可逆；当r 关于矩阵的Kronecker积的一些性质 作者：王秀清， 陈兆英， 于朝霞 作者单位：济南大学理学院,250022,济南 刊名： 山东师范大学学报（自然科学版） 英文刊名：JOURNAL OF SHANDONG NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)：2010,25(4) 参考文献(10条) 1.徐仲;张凯院;陆全矩阵论简明教程 2007 2.陈邦考矩阵Kronecker积的推广[期刊论文]-大学数学 2004(04) 3.杜鹃;范啸涛;杨健康自伴矩阵与Hermite二次型[期刊论文]-成都理工大学学报(自然科学版) 2007(04) 4.Li J S·Kronecker products of positive semidefinite Matrices 1997(03) 5.陈公宁矩阵理论与应用(第二版) 2007 6.Britz T;Olesky D D;Van Den Driessche P The Moore-Penrose inverse of matrices with an acyclic bipartite graph[外文期刊] 2004(0) 7.Berr Israel A;Greville T N E Generalized Inverse:Theory and Applications 2003 8.George V A quantitative version of the Bservation that the Hadam and product is a principal submatrix of the kronecker product 2000 9.James V B Schur majorization inequalities for symmetrized sums with applications to tensor products[外文期刊] 2003(0) 10.樊树平;段五朵亚正定矩阵的Kronecker积[期刊论文]-大学数学 2006(02) 本文读者也读过(10条) 1.王伟贤.王志伟.WANG Wei-xian.WANG Zhi-wei一类逆M矩阵的判定[期刊论文]-曲阜师范大学学报(自然科学版) 2009,35(2) 2.王宏羽.张湘茹.孙燕.李龙芸.李丽庆.宋恕平.周立中.刘基巍盐酸托烷司琼防治NP方案治疗非小细胞肺癌引起恶心呕吐的临床试验研究[期刊论文]-中国肿瘤临床与康复2004,11(4) 3.周金森.ZHOU Jin-sen关于代数张量积的性质研究[期刊论文]-龙岩学院学报2007,25(6) 4.王礼萍.Wang Liping核运算的矩阵构造[期刊论文]-哈尔滨师范大学自然科学学报2000,16(5) 5.杨载朴复亚正定矩阵的一些性质[期刊论文]-数学研究与评论2000,20(1) 6.黄允发.HUANG Yun-fa二阶K-可换矩阵Kronecker积的性质[期刊论文]-高师理科学刊2010,30(2) 7.胥德平.何淦瞳.XU De-ping.HE Gan-tong矩阵块Kronecker积的性质及一些不等式[期刊论文]-贵州大学学报（自然科学版）2004,21(4) 8.杨胜良.YANG Sheng-liang两类下三角形Pascal矩阵的相似性[期刊论文]-数学杂志2011,31(1) 9.贺爱玲.马玉明.刘慧.陈业红.HE Ai-ling.MA Yu-ming.LUI Hui.CHEN Ye-hong关于矩阵相似的一个注记[期刊论文]-山东轻工业学院学报（自然科学版）2005,19(3) 10.周相泉.刘利英.ZHOU Xiang-quan.LIU Li-ying模糊数矩阵及其运算[期刊论文]-山东理工大学学报（自然科学版）2005,19(3) 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/e09922776.html,/Periodical_sdsdxb-zrkx201004043.aspx 这里首先讨论一个长期以来困惑工科甚至物理系学生的一个数学问题，即，究竟什么是面积，以及面积的高维推广（体积等）？ 1 关于面积：一种映射 大家会说，面积，不就是长乘以宽么，其实不然。我们首先明确，这里所讨论的面积，是欧几里得空间几何面积的基本单位：平行四边形的面积。平行四边形面积的定义，几何上说是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦。 然而为了应对更一般情形和更高维度的数理问题，我们有必要把面积的定义推广开来。注意到以下事实：面积是一个标量，它来自于（构成其相邻边）两个矢量。因此，我们可以将面积看成一个映射： 其中V就是一个矢量，V*V代表两个矢量的有序对；f就是面积的值。 下面我们将说明这个映射是一个线性映射。 从最简单的例子出发。如果第一个矢量是（1，0），第二个矢量是（0，1）；也就是说，两个矢量分别是X和Y轴上的单位正向量，那么由这两个矢量张成的四边形就是一个正方形，其面积根据定义，就是长乘以宽=1*1=1。 因此有： 如果我们把第一个矢量”缩放“a倍，面积将会相应是原来的a倍；把第二个矢量“缩放”b倍，面积也会成为原来的b倍。如果同时缩放，很显然，面积将会变成原面积的ab倍。这表明，面积映射对于其两个操作数（矢量）的标量积是各自线性的，如下： 最后，我们要说明，面积映射对于其操作数（矢量）的矢量加法也是线性的。因为矢量加法操作的本身是线性的，那么其面积映射理应对此也是一个线性映射。这里我们打算从几个实际的例子出发，说明映射的加法线性性的后果。 显然（两个共线矢量所张成的平行四边形还是一条线，因此面积为0）： 假定面积映射是一个关于矢量加法的线性映射，那么我们有： 第五专题矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质； 从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义： n n ii i i1i1 tr(A)a == ==λ ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B) λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 《高等代数与解析几何》概念复习 第一章向量代数 （向量（vector）），（向量的长度（模）），（零向量（zero vector）），（负向量），（向量的加法（addition）），（三角形法则），（平行四边形法则），（多边形法则），（减法），（向量的标量乘积（scalar multiplication））,（向量的线性运算），线性组合（linear combination），线性表示，线性相关（linearly dependent），线性无关（linearly independent），（原点（origin）），（位置向量（position vector）），（线性流形（linear manifold）），（线性子空间（linear subspace））；基（basis），仿射坐标（affine coordinates），仿射标架（affine frame），仿射坐标系（affine coordinate system），（坐标轴（coordinate axis）），（坐标平面），（卦限（octant）），（右手系），（左手系），（定比分点）；（线性方程组（system of linear equations）），（齐次线性方程组（system of homogeneous linear equations）），（行列式（determinant））；n维向量，向量的分量（component），向量的相等，和向量，零向量，负向量，标量乘积，n维向量空间（vector space），自然基，（行向量（row vector）），（列向量（column vector））；单位向量（unit vector），直角坐标系（rectangular coordinate system），直角坐标（rectangular coordinates），射影（projection），向量在某方向上的分量，（正交分解），（向量的夹角），内积（inner product），标量积（scalar product），（数量积），（方向的方向角），（方向的方向余弦）；外积（exterior product），向量积（cross product），（二重外积）；混合积（mixed product，scalar triple product） 第二章行列式 （映射（mapping）），（象（image）），（一个原象（preimage）），（定义域（domain）），（值域（range）），（变换（transformation）），（单射（injection）），（象集），（满射（surjection）），（一一映射，双射（bijection）），（原象），（映射的复合，映射的乘积），（恒同映射，恒同变换（identity mapping）），（逆映射（inverse mapping））；（置换（permutation）），（n阶对称群（symmetric group）），（对换（transposition）），（逆序对），（逆序数），（置换的符号（sign）），（偶置换（even permutation）），（奇置换（odd permutation））；行列式（determinant），矩阵（matrix），矩阵的元（entry），（方阵（square matrix）），（零矩阵（zero matrix）），（对角元），（上三角形矩阵（upper triangular matrix）），（下三角形矩阵（lower triangular matrix）），（对角矩阵（diagonal matrix）），（单位矩阵（identity matrix）），转置矩阵（transpose matrix），初等行变换（elementary row transformation），初等列变换（elementary column transformation）；（反称矩阵（skew-symmetric matrix））；子矩阵（submatrix），子式（minor），余子式（cofactor），代数余子式（algebraic cofactor），（范德蒙德行列式（Vandermonde determinant））；（未知量），（方程的系数（coefficient）），（常数项（constant）），（线性方程组的解（solution）），（系数矩阵），（增广矩阵（augmented matrix）），（零解）；子式的余子式，子式的代数余子式 第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。 例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),min 1(n m k k ≤≤?? ?? ? ? ?----=11 145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1 1564321 3-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0,r D ≠()(). T R A R A =0,A ≠0. A ≠?? ? ?? ??=000007204321B 0 2021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ????? ??=10 010011 C 1 250 3400 0D ?? ? = ? ?? ?2 123508153000720 0E ?? ? ?= ? ??? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2 R D =()3 R E = 对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用 摘 要：本文叙述了矩阵秩的几个等价定义，并且给出了几个相关秩的解法.通过例子来验证和探讨了矩阵秩在线性代数中的应用，这些知识对我们理解矩阵的本质,灵活运用矩阵的秩去分析相关问题有一定的意义和作用. 关键词：矩阵的秩；秩的解法；秩的应用 On the Rank of Matrix relating to the understanding Extremely in the Application of Linear Algebra Abstract : This article describes several equivalent definitions of matrix rank, and gives the solution of some rank. Through example to verify that the discussion and application of matrix in linear algebra, this knowledge to our understanding of the nature of the matrix, flexible use of matrix rank to have a certain meaning and analysis of related problems. Key words : rank of matrix; rank method; the application of rank 0 前言 矩阵的理论是线性代数的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的理论概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，他在初等变换下是一个不变量.它是反应矩阵固有特性的一个重要概念.矩阵作为线性代数的重要工具，已渗透到各章内容之中,并成为行列式、线性代数方程组、线性空间、欧氏空间和二次型的纽带,它把线性代数各章节贯串成为一个整体.而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，是矩阵一个重要的、本质的属性,在求方阵的逆、判断线性方程组是否有解以及有多少个解、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面,矩阵的秩都有着广泛的应用. 1 矩阵秩的概念 首先给出矩阵秩的几个等价定义 定义1 设s ，矩阵中不为0子式的最高阶数，即A 有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式（如果存在的话）全为0，称r 为矩阵A 的秩。记做()R A r =. 从本质上说，矩阵的秩就是矩阵中不等于0的姿势的最高阶数。这个不为0的子 《周国标师生交流讲席010》 向量和矩阵的范数的若干难点导引(二) 一． 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n A C ?∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉 直”的变换），所以，直观上可用mn C 上的向量范数来作为m n A C ?∈的矩阵范数。比如 在1l -范数意义下，111 ||||||m n ij i j A a === ∑∑( ) 12 tr()H A A =； （） 在2l -范数意义下，1 2 211||||||m n F ij i j A a ==??= ??? ∑∑， （） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius 范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。 定义1 设m n A C ?∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满 足以下条件： （1）非负性：||||0A ≥； （1a ）正定性：||||0m n A O A ?=?= （2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈； （3）三角不等式：||A ||||||||||||, m n A B A B B C ?+≤+?∈ 则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n n l m l C C C ???上的同类广义矩阵 范数||||?，有 （4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l B C ?∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。 矩阵，行列式, 秩, 相关计算： 例 ： 已知矩阵211121112A ?? ?= ? ??? ，且A 与矩阵X 满足112AXA XA I --=+，求X 。 例：已知3阶方阵 123023003A ?? ?= ? ??? ，计算行列式 6A I *+。 例：已知32212232,26223A B ?? -?? ? == ? ?-?? ? ?? ，求行列式 10 2A B - 例： 证明：若n 阶方阵A ,B ,C 满足：AB =AC ,B ≠C ，则A 不满秩。 例： 举例说明：由AB =AC ,A ≠0不能导出B =C 。 例 对于n 阶方阵A, 求证: r(A n )=r(A n+1) 例 A 和伴随阵的秩的关系。 方程组及其求解： 例： 对下列线性方程组 ??? ??=++=++=++2 321 3213211a ax x x a x ax x x x ax 试讨论：当a 取何值时，它有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。（用导出组的基础解系表示通解） 例：已知线性方程组 123123123123121(1)2(1)3 ax x x x x ax x x x a x x a x -++=-?? ++=-?? ++=-??-+++=-? 问参数a 取何值时，上述方程组无解？有唯一解？有无穷多解 例： 已知A 是n m ?矩阵，m n >，m A =)(r ，B 是)(m n n -?矩阵， m n B -=)(r ，且 0=AB 。证明：B 的列向量组为线性方程组0=AX 的一 个基础解系。 例：设有齐次线性方程组 （I ） 12312300 ax x x x ax x ++=?? ++=? （II ） 1230x x ax ++= （III ） 1231231 23000 ax x x x ax x x x ax ++=?? ++=??++=? 已知方程组（I ）的解都是方程组（II ）的解， （1）证明：方程组（I ）与方程组（III ）的同解； （2）证明：方程组（III ）有非零解； （3）求参数a 的值。 例：已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4元列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=。 前言： 一、线代的特点： 1、内容抽象 2、概念多 3、符号多 4、计算原理简单但计算量大 5、证明简洁但技巧性强 6、应用广泛 二、学习中要注意的问题 1、不要急于求成，不要急于做难题。要分层次，扎扎实实的学习 2、熟练掌握基本内容。 基本概念（定义、符号） 基本结论（定理、公式） 基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等） 基本证明和推理方法 3、自己动手推证书中的每个结果 尽量体会结论、证明的思想方法 用自己喜欢的方式写出简要总结 4、贯穿前后，注意发现线代课内容的重要规律。 提出问题的规律（存在、个数、结构、求法） 变换和标准形式（如行列式和上三角行列式） 问题相互转化 5、要多与同学讨论，虚心向别人请教问题。要经常提出问题，思考问题，乐于同别人交流 该方法引至李永乐老师的讲义，由KJ1234CN整理 一、行列式等于零的证明方法 例题1：A^2=A,A≠E,证明|A|=0(复习全书理工类P364例1.35) 由于书上已经有详尽的解题方法（四种），KJ不再复述，KJ在此只强调证法二 在这里有一种常见的错误解法 由A^2＝A，有A（A－E）＝0，∵A≠E∴（A－E）≠0，∴A=0 ∴|A|=0 其错误在于没有搞清楚矩阵的运算规则，AB＝0，若B≠0不能推出A＝0。 例如 [1 1][ 1 1] [1 1][-1 -1]=0,但是A、B都不等于0 （KJ废话：该种方法由错误的方法解出了正确的答案，很多人在做题过程中经常只对答案而不管过程，考试的时候也使用他用过的错误的方法，结果出来的分数与他估计的相去甚远，其原因我想也就在与此！他们没有细细体味书上的解题过程，也没有反省自己的解题方法与书上的不同之处。KJ奉劝大家，在看书时，对于例题一定要先做后看，并对和书上的不同的解题方法细细体会，辨别对错） 二、矩阵等于零的证明方法 例题2：A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵，R(B)=n。证明当AB＝0时，A＝0 证法一：<方法>矩阵的秩等于0，则矩阵等于0 《周国标师生交流讲席010》 向量和矩阵的范数的若干难点导引(二) 一． 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n A C ?∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉 直”的变换），所以，直观上可用mn C 上的向量范数来作为m n A C ?∈的矩阵范数。比如 在1l -范数意义下，111 ||||||m n ij i j A a === ∑∑( ) 12 tr()H A A =； （1.1） 在2l -范数意义下，1 2 211||||||m n F ij i j A a ==??= ??? ∑∑， （1.2） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius 范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。 定义1 设m n A C ?∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满 足以下条件： （1）非负性：||||0A ≥； （1a ）正定性：||||0m n A O A ?=?= （2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈； （3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ?+≤+?∈ 则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n n l m l C C C ???上的同类广义矩阵 范数||||?，有 （4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l B C ?∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。 我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,把较容易的（1.1）的验证留给同学们， 三角不等式的验证。按列分块，记1212(,, ,),(,,,)n n A a a a B b b b ==。 2 22112||)(,),(),(||||||F n n F b a b a b a B A +++=+ 2 222222211||||||||||||n n b a b a b a ++++++= ()()2 2 121222||||||||||||||||n n a b a b ≤++ ++ ()()()2 2 2 2 122121222122||||||||2||||||||||||||||||||||||n n n n a a a b a b b b =+ +++ +++ + 对上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy 不等式，则有 222||||||||2||||||||||||F F F F F A B A A B B +≤++2 (||||||||)F F A B =+ （1.3） 于是，两边开方，即得三角不等式。 第9章 行列式与矩阵 学习目标 了解n 阶行列式定义,理解行列式性质. 掌握二阶、三阶、四阶行列式的计算. 理解矩阵的概念、逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，了解矩阵秩的概念. 掌握几种特殊矩阵，掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律、矩阵的初等行变换和用初等行变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法. 在科学研究和实际生产中，碰到的许多问题都可以直接或近似地表示成一些变量之间的线性关系，因此，线性关系的研究就显得是非常重要了. 行列式与矩阵是研究线性关系的重要工具.本章将介绍行列式与矩阵的一些基本概念、性质和运算. §9.1 行列式的概念与计算 9.1.1二阶、三阶行列式 用消元法解二元线性方程组 ?? ?=+=+2 2221211 212111b x a x a b x a x a （9.1） 当021122211≠-a a a a 时，得 211222*********a a a a a b a b x --= ，21 1222111 212112a a a a b a b a x --= 为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念. 1．二阶行列式的定义 定义9.1 用2 2个数组成的记号 22 21 1211a a a a ，表示数值21122211a a a a -，称为二阶行 列式，22211211,,,a a a a 称为行列式的元素，横排称行，竖排称列. 利用二阶行列式的概念，当二元线性方程组（9.1）的系数组成的行列式0≠D 时，它的解可以用行列式表示为 1 12111 22221212121112111221222122 , b a a b b a a b D D x x a a a a D D a a a a ==== 其中1D 和2D 是以21,b b 分别替换系数行列式D 中第一列、第二列的元素所得到的两个 矩阵范数的意义 几何方法是一种数学思维方法。函数和几何是数学的两条主要主线。我们学习各种函数及其性质，比如微积分、复变函数、实变函数、泛函等。而几何是函数形象表达，函数是几何的抽象描述，几何研究“形”，函数研究“数”，它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。 函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，映射推广了函数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系，这就要求我们在观念中，把三维的几何空间推广到抽象的n维空间。 由于映射的对象可以是任何事物，为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物在这组基下的坐标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象为映射空间中的一个点，这就是泛函中需要研究的对象——函数。 从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，可逆矩阵反映了线性映射的可逆，而矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例。 并不是只有线性空间才有范数的定义，任意空间都可以引入范数，这样的空间称为赋范空间，使得这个空间可以被度量，如希尔伯特空间。 范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，符合以上定义的都可以称之为范数，所以，范数的具体形式有很多种（由内积定义可以导出范数，范数还也可以有其他定义，或其他方式导出），要理解矩阵的算子范数，首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数，是由向量范数导出的，由形式可以知： 或方阵 第一章 矩阵与行列式 释疑解惑 1． 关于矩阵的概念：最难理解的是：矩阵它是一个“数表”，应当整体地去看它，不要与行列式实际上仅是一个用特殊形式定义的数的概念相混淆；只有这样，才不会 把用中括号或小括号所表示的矩阵如a c b d ?? ??? 写成两边各划一竖线的行列式如a c b d ，或把 行列式写成矩阵等。还要注意，矩阵可有(1)m ≥行和(1)n ≥列，不一定m n =；但行列式只有n 行n 列。n 阶行列式是2 n 个数（元素）按特定法则对应的一个值，它可看成n 阶方 阵 111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ????? ?=???????? 的所有元素保持原位置而将两边的括号换成两竖线时由行列式定义确定的一个新的对象：特 定的一个数值， det A 、A 或n D ，即 111 det n ij k k k A A a a A ==== ∑ （如二阶方阵 a d A b c ??= ???所对应的行列式是这样一个新的对象： a d ac bd b c =-）。也正 因为于此，必须注意二者的本质区别，如当A 为n 阶方阵时，不可把A λ与A λ等同起来， 而是 n A A λλ =，等等。 2． 关于矩阵的运算：矩阵的加（减）法只对同形矩阵有意义；数λ乘矩阵 m n A ?是用数λ乘矩阵m n A ?中每一个元素得到的新的m n ?矩阵；二矩阵相乘与前述这两种 线性运算有着实质上的不同，它不仅要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，而且积的元素有其特定的算法（即所谓行乘列），乘法的性质与前者的性质更有质的不同（如交换律与消去律不成立），对此要特别加以注意，也不要与数的乘法的性质相混淆。 3． 关于逆阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由AB E =来定义（A 与B 互为逆阵），这是应用的基础。要记住方阵可逆的充要条件为 A ≠以及关系式 * A A A E =，二者有着重要与广泛的应用。要弄清A 的伴随方阵是矩阵()ij A a =的各元素 代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。要会用两种方法求逆阵，从而会用逆阵求解线性方程组及各种矩阵方程。 4． 关于矩阵的初等变换：首先要懂得矩阵的三种初等变换的算法，明白一个矩阵经过一次初等变换并非完全不变，变换前后的矩阵间只是一种特殊的所谓等价关系（如(,)~E i j A A ，而不是(,),E i j A A =等等）。还要能将行列式性质中提公因子、交换两 行（列）与用常数乘某行（列）加到另一行（列）上去后的结果弄清楚，并可与相应方阵的初等变换进行对比。重要的是知道初等变换不改变矩阵的秩。 5． 关于矩阵的秩：矩阵的秩是由解线性方程组引入的一个新概念，对它要逐步加深理解。为此，首先应弄清什么是矩阵的行阶梯形：其一个“台阶”（非零行）只有一行，即任一行的首非零元素下面（同列）的元素全为零,不能把两行的首非零元素位于同一列视为一个“台阶”,而全为零的一行也是一个台阶，且要位于非零行下方。这里，要求会用矩阵的行初等变换法和计算子式法两种方法求可逆方阵的逆阵。关于矩阵的Kronecker积的一些性质
矩阵的秩与行列式的意义
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
矩阵的秩与矩阵的运算
矩阵的秩及其求法
对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用
矩阵范数详解
矩阵,行列式, 秩, 相关计算
证明行列式和矩阵等于零的几种经典方法
矩阵范数标准详解
矩阵与行列式
矩阵范数的意义
矩阵与行列式
- 范数及条件数
- 1. 向量和矩阵的范数
- 数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数
- 第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
- 7 范数与条件数
- 矩阵范数条件数的估计_英文_
- 向量与矩阵范数矩阵条件数
- 2范数和条件数病态方程组
- 第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
- 矩阵的范数和条件数
- 数值分析条件数和性态
- 矩阵的条件数
- 向量与矩阵的范数
- 第五专题 矩阵地数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
- 矩阵的条件数
- 第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
- 第二章向量范数与矩阵范数
- 第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习
- 第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解
- 矩阵范数