当前位置：文档库 › 专题四三角函数-4.4正余弦定理&解三角形-高三数学一轮复习讲义

专题四三角函数-4.4正余弦定理&解三角形-高三数学一轮复习讲义

专题4-4正余弦定理与解三角形

正余弦定理

内容

1、正余弦定理的内容

2、解决简单三角形度量问题知识点

1、正弦定理

(1) a sin A = b sin B = c sin C = 2R (R 为外接圆半径)

(2) a : b : c = sin A : sin B : sin C

(3) a = 2Rsin A ，b = 2Rsin B ，c = 2Rsin C 2、余弦定理

(1) a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A (2) b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B (3) c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C

(4) cos A = 222

2b c a bc +-

(5) cos B = 222

2a c b ac +-

(6) cos C = 222

2a b c ab

例1 在△ABC 中，cos

2C BC = 1，AC = 5，则AB = ( ) A 4 2

B 30

C 29

D 2 5

【答案】A

【分析】倍角公式求cos C ，由余弦定理求对应边【详解】

cos

2C = 5cos C =22cos

12C - =35

- 又2

2cos AB AC BC AC BC C =+-?? ∴ AB = 4 2 故，答案选A

例2 在△AB C 中，B = 4π，BC 边上的高等于1

3BC ，则cos A = ( )

A 310

B 10 10

C - 10 10

D -

310

【答案】C

【分析】三角形内角和为π求得C ，由正弦定理建立等式求出A 的tan 值即可求cos 值【详解】

有c =

2 3 a ，C = 3π4 - A ，而c sin C = a sin A

∴ tan A = - 3知：A △[π2 ,π]，cos A = - 10

故，答案选C

例3 在△ABC中，a= 4，b A = 30°，则B等于( ) A 30° B 30°或150° C 60° D 60°或120°

【答案】D

【分析】已知两边和一个对应角，应用正弦定理求B

【详解】

sin B=

sin A?sin B =

b sin A

2即B = 60°或120°

故，答案选D

例4 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a = ，c = 3，cos A = 2

，

则b等于( )

A 2

B 4

C 5

D 6

【答案】C

【分析】利用余弦定理构建方程求b 【详解】

a2 = b2 + c2- 2 bc cos A ?b2 + 9 -12

5 b = 22，解得b = 5

例5 已知锐角△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B = 2A，则

sin

a A b

的

取值范围( )

)

C (

12)

) 【答案】D

【分析】由正弦定理与所求代数式得到关于角A 的函数，根据锐角三角形性质确定A 的范围，进而求函数的范围【详解】

B = 2A 知：sin B = sin 2A ? sin B = 2 sin A cos A 锐角△AB

C 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 有：b sin B = a sin A ? sin A sin B = a b

综上：

12 cos A = a b ，故 a sin A b = sin A 2 cos A = 1

tan A 而??? 0 < A < π2

0 < 2A < π

0 < π - 3A < π

得：π6 < A < π4

∴ a sin A b = 12 tan A △( 3 6 , 1

)

例6 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB 边上的高为

AB ，则当sin sin sin sin A B

B A

+取得最大值时，sin C =____ 【答案】2 5

【分析】利用正余弦定理，构造关于角C 的函数求最大值，可求出sin C 【详解】

sin A sin B + sin B sin A = a b + b a = a 2 + b 2ab ，而S = 18 ·c 2 = 12 ·ab ·sin C ? c 2

= 4 sin C

cos C = a2 + b2-c2

2ab?

a2 + b2

ab-

ab= 2 cos C

∴a2 + b2

ab= 2 cos C + 4 sin C = 2 5 sin(C + φ) (tan φ =

sin A sin B+ sin B

sin A取最大值2 5 时，sin(C + φ) = 1，即cos C + 2 sin C = 5

结合cos2 C + sin2 C = 1知：5 sin2 C - 4 5 sin C + 4 = 0，解得sin C = 2 5 5

总结

1、正余弦定理解三角形

(1)解三角形时，含cos或边长的二次式，考虑余弦定理；含sin或边长的

一次式，考虑正弦定理；

(2)三角形解的个数判断：已知两角及一边，三角形确定，解唯一；已知两

边和其中一边的对角，三角形不确定，根据三角函数的有界性及“大边

对大角”定理进行判断

正余弦定理的应用

内容

正余弦定理解决测量、几何计算等实际问题

知识点

1、三角形面积公式：设△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、

c，△ABC的面积为S，则

(1)

S ah

=，a、h分别为边、边上的高

(2)

111

sin sin sin 222

S ab C bc A ac B ===

(3)

()

S r a b c

=++(r为△的内切圆半径)

2、仰角和俯角

视线与水平线所成的夹角，如下

3、方位角

指北方向顺时针方向到目标方向间的夹角

4、方向角

正北(或正南、正东、正西)方向到目标方向形成的锐角

5、坡度与坡角

(1)坡面与水平面的夹角——坡角α

(2)坡面的垂直高度与水平长度之比——坡度h l

易错点

方位角与方向角区别

例7 一辆汽车在一条水平公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD = ____m

【答案】100 6

【分析】理清各个角度，在相应的三角形中应用正弦定理及正切的定义，求高度CD 【详解】

由题意知：∠ACB = π4 ，∠A = π

6 且AB = 600

∴

AB sin ∠ACB = BC

sin ∠A

? BC = 300 2

而tan ∠DBC = tan π6 = DC BC = 13 ? DC = 100 6

例8 △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。设(sin B - sin C )2 = sin 2 A - sin B sin C (1) 求A

(2) 2b c +=，求sin C 【答案】(1) π3 ；(2) 6 + 2

【分析】sin 或边的平方使用余弦定理处理求A ；三边的一次形式用正弦定理结合诱导公式、三角恒等变换求sin C 【详解】

sin 2 B - 2 sin B sin C + sin 2 C = sin 2 A - sin B sin C 即sin 2 B + sin 2 C - sin 2 A = sin B sin C ∴

b 2 +

c 2 - a 2 = bc ，而

cos A = b 2 + c 2 - a 22bc = 1

(0 < A < π)

(1) 由上知：A = π

(2) 2 a + b = 2c 有 2 sin A + sin B = 2 sin C ∴

6 2 + sin(C + π3 ) = 2 sin C △ cos C - 3 sin C = - 2 ，即cos(C + π3 ) = - 2 2

而0 < C + π3 < π，故C + π3 = 3π4 有C = 5π12

∴ sin C = sin(π6 + π4 ) = 6 + 2

例9 △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知a sin

A C

+ = b sin A (1) 求B

(2) 若△ABC 为锐角三角形，且c = 1，求△ABC 面积的取值范围

【答案】 π

3 ；(,82

)

【分析】三角形各角的关系求B ；利用正弦定理中面积公式得到面积关于角度的函数求范围【详解】

(1) a sin

2A C + = b sin A 知：sin A sin 2B

π- =

sin B sin A ∴ cos

2B = 2 sin 2B cos 2B ? sin 2B = 12 (0 <2B < π2

)得B = π3

(2) S = 12 bc sin A = 12 a sin B = 3 4 a = 3 4 sin A sin C = 3

4 sin( 2π3 - C )

sin C

3 4 ( 3 2 tan C + 12 )，又0 < A < π2 ，0 < C < π2 ，0 < A + C < 2π3

∴ π6 < C < π2 ，即S = 3 4 ( 3 2 tan C + 1

2 )

例10 在平面四边形ABCD 中，∠ADC = 90°，∠A = 45°，AB = 2，BD = 5 (1) 求cos ∠ADB

(2) 若DC ，求BC

【答案】

；5 【分析】应用正余弦定理求解【详解】由题意，有下图

(1) 有sin ∠ADB =

2 sin A 5 = 2 5 ，故cos ∠ADB = 23

(2) cos ∠CDB = cos(π

2 - ∠ADB ) = sin ∠ADB

而由余弦定理知：BC 2 = 33 - 20 2 · 2

= 25 ∴ BC = 5

例11 △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c ，且3b cos A = c cos A + a cos C (1) 求tan A 的值

(2) 若a ，求△ABC 的面积最大值【答案】2 2 ；8 2

【分析】三角恒等变换及三角形内角和梳理条件中的隐含关系，得到cos A进而求tan A；

利用余弦定理，均值不等式得到不等式，再应用正弦与三角形面积的关系式得到面积最大值，注意等号成立的条件说明

【详解】

(1)3b cos A = c cos A + a cos C知：3 sin B cos A = sin C cos A + sin A cos C = sin(A + C)

3 sin B cos A = sin(π - B) = sin B，即cos A = 1

3，即0 < A <

2可得tan A = 2 2

(2)a2 = b2 + c2- 2 bc cos A = 32 ≥ 2bc-2

3bc =

3bc

∴bc ≤ 24

而S = 1

2bc sin A ≤ 8 2 当且仅当b = c = 2 6 时取等号

综上：S最大为8 2

例12 海中一小岛C的周围(8)公里内有暗礁，海轮由西向东航行至A处测得小岛C 位于北偏东75°，航行8公里后，于B处测得小岛C在北偏东60°

(1)如果这艘海轮不改航向，有没有触礁的危险？请说明理由

(2)如果有触礁的危险，这艘海轮在B处改变航向为东偏南α(α > 0)方向航行，求α的最小

值(tan 75° =2)

【答案】见详解；arcsin( 3 - 1) -π6

【分析】根据解三角形得到航行过程中与C点的最短距离，小于8( 3 -1)即有触礁危险；改变航向后，与C点的最短距离要保证大于等于8( 3 - 1)才能安全通过

【详解】

(1) 由题意知：△ABC 为等腰三角形，AB = BC = 8

可得上图，在Rt △BDC 中∠D = 90°，∠DBC = 30°

∴ 如果这艘海轮不改航向，船与C 的最短距离CD = BC sin 30° = 4 < 8( 3 - 1) 故，有触礁的危险

(2) 海轮在B 处改变航向为东偏南α(α > 0)方向航行，要使船没有触礁的危险

则，改变航向后船与C 的最小距离要大于等于8( 3 - 1)，即 f(α) = 8 sin(α + 30°) ≥ 8( 3 - 1) αmin = arcsin( 3 - 1) - π

例12 如图，OA 、OB 为扇形湖面OAB 的湖岸，现想利用渔网和湖岸在湖中隔出区域Ⅰ和区域Ⅱ两个养殖区，点C 在AB 上，∠COA = θ，CD //OA ，其中AC ，半径OC 及线段CD

需要用渔网制成。若∠AOB = 3

，OA = 1，则所需渔网的最大长度为_____

【答案】π6 + 1 + 1

【分析】利用正弦定理建立函数模型，结合导数求最值【详解】

由题意知：渔网长度l = CD + OC +AC ，AC = θ，OC = 1

而在△OCD 中：∠ODC =

23π，∠COD =3π

θ-

∴ 正弦定理，有 OC sin ∠ODC = CD sin ∠COD ? CD = sin(π

3 - θ)sin 2π3

= 23 sin(π

3 - θ)

故，l = θ + 1 +

sin(π

3 - θ)可知：l 是关于θ的函数，求它的最大值

∴ l’ = 1 -

cos(π3 - θ)，又0 < θ < π3 ，l’ = 0时有θ = π

0 < θ < π6 时，l’ > 0；π6 < θ < π

时，l’ < 0

综上知：l 在(0 , π3 )中θ = π

6 时有极大值，也是最大值

l max = π6 + 1 + 1

例13 为了在河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A 、B 。为了测算A 、B 两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC = 50 m ，∠ABC = 105°，∠BCA = 45°，则A 、B 两点间的距离为( ) m

【答案】A

【分析】根据三角形内角和求A ，由正弦定理求AB 【详解】

△ABC 中∠ABC = 105°，∠BCA = 45°知：∠BAC = 30° 由正弦定理：BC sin A = AB sin C ? AB = BC

sin A sin C = 50 2

故，答案选A

例14 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。若c ，b ，B = 120°，则∠C =____ 【答案】π

【分析】正弦定理求sin C ，根据大边对大角，小边对小角得到唯一解

【详解】

由正弦定理知：b

sin B=

sin C?sin C =

c sin B

∴C = π

6或

5π

6，根据同一个三角形中大边对大角，小边对小角知：

C = π6

总结

1、正余弦定理实际应用

(1)已知边角求面积或已知面积求其它：三角形面积公式中含边、三角函数

值，因此可综合正余弦定理处理

(2)三角形应用题

①分析：条件、问题目标、示意图

②建模：已知量、所求对象尽量放在有关三角形中建立数学模型

③结果：利用正余弦定理求解

④检验：是否符合实际情况

高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1

实用标准

—tanC。

例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)；根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。例2 ?在ABC 中， sin A cos A

si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6

三角函数与解三角形练习题

三角函数及解三角形练习题一．解答题（共16小题） 1．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小． 2．已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π．（Ⅰ）求cosθ；（Ⅱ）求函数f（x）=6cosxcos（x﹣θ）在[0，]上的值域． 3．已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点．（Ⅰ）数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间． 4．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域． 5．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间． 6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值． 7．已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值． 8．已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值围． 9．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（α﹣）=，求cos2α的值． 10．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值；（Ⅱ）设函数，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值． 11．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

三角函数正弦定理和余弦定理

(文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案：证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源：09年高考上海卷题型：解答题，难度：中档

(文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4 2sin(π - A 的值。答案：（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理， A BC C AB sin sin = ，于是522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5，从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源：09年高考江西卷题型：解答题，难度：容易在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且

高中数学三角函数、解三角形知识点

三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式：平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．

高中数学解三角形和平面向量

高中数学解三角形和平面向量试题一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是（ B ）（A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°

高考数学三角函数与解三角形练习题

三角函数与解三角形一、选择题（2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（） A ．()26k x k Z ππ =-∈ B ．()26k x k Z ππ =+∈ C ．()212 k x k Z ππ =-∈ D ．()212 k x k Z ππ =+∈ （2016·9）若3 cos( )45 π α-=，则sin 2α =（） A ． 725 B ．15 C ．1 5 - D ．7 25 - （2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB =1，BC ，则AC =（） A ．5 B C ．2 D ．1 （2012·9）已知0>ω，函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减，则ω的取值范围是（） A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] （2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ =（） A ．45 - B ．35 - C ．35 D ．45 （2011·11）设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（） A ．()f x 在(0,)2π 单调递减 B ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C ．()f x 在(0,)2π 单调递增 D ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递增二、填空题（2017·14）函数()23sin 4f x x x =- （0,2x π?? ∈???? ）的最大值是．（2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 4 5 A = ，1cos 53C =，a = 1，则b = . （2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. （2013·15）设θ为第二象限角，若1 tan()42 πθ+=，则sin cos θθ+=_________. （2011·16）在△ABC 中，60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题

三角函数与解三角形

课程标题三角函数与解三角形求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:１、化为求得值域; ，引入辅助角,化为求解方法同类型。２、化为关于(或)得二次函数式; ,设，化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数，)、 ) ②y=taｎx图象得对称中心(，0) （二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由解出,单调增区间呢。(自己导出）周期３、函数得单调增区间可由解出。(无增区间，重点掌握) 周期课堂练习: 1.已知函数得定义域为，值域为，求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是３、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ）求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、

7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x）得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、解三角形正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,， ②，， ③== ④ (4)面积公式:S=ab*siｎC=bc＊siｎA＝cａ＊sinB 课堂练习: １、在中，角得对边分别为,已知,则（ ) Ａ、1 ?Ｂ.2 Ｃ、???D、 2、在△ABＣ中，AB=3，BＣ=，AC=4,则边AＣ上得高为( ) Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、３、在ΔＡＢC中,已知a=,b=,Ｂ=45°,求角A,角C得大小及边ｃ得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、ｂ、c,若a、b、c成等比数列，且,则（) A、 B、 C、D、【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,，,则___＿＿___＿_ 6、在锐角△ABＣ中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_＿____＿、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?Ａ、75°?Ｂ、60° ?C、４5°Ｄ、30° 8、在△中，若，则等于、 9、在中,已知，则得大小为 ( ) ??? 【解答题】１0、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形，就就是等腰直角三角形,∠=，交于,、 ?（1)求∠得得值; （2)求、 12、在中,角A、B、Ｃ所对得边分别为ａ,ｂ,ｃ,且满足

高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例

高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式； 2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的计算和证明问题．二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题．三、教学过程：（一）主要知识：掌握三角形有关的定理：正余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C c B b A a 2sin sin sin === 内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + 面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) 射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A （二）例题分析：例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．解：由正弦定理得：sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b

2019年三角函数和解三角形大题

2018-2019学年高三一模理分类---三角函数和解三角形海淀（理） (15)（本小题满分13分）已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+ (Ⅱ)求a 的值； (Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间．文）已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+的图象经过点(O,l)，部分图象如图所示． (I)求a 的值； (Ⅱ)求图中0x 的值，并直接写出函数()f x 的单调递增区间．朝阳（理）15．（本小题满分13分）在ABC △中，a ，120A ∠=?，ABC △b c <．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos 2B 的值．（文）15.（本小题满分13分）已知函数2 ()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求( )3 f π 的值及()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求实数m 的最大值．石景山

（文理）15. （本小题13分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，b=3c =，1 cos 3 B=-．（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC △的面积．丰台（理）15．（本小题13分）已知函数2()cos(2)2sin ()3f x x x a a π =--+∈R ，且()03 f π=. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在区间[0,]m 上是单调函数，求m 的最大值. 延庆（理）15.（本小题满分13分）如图，在ABC ?中，点D 在BC 边上，cos ADB ∠=，3cos =5 C ∠，7AC =． sin CA D ∠（求Ⅰ）的值；（Ⅱ）若10BD =，求AD 的长及ABD ?的面积．怀柔 15．（本小题满分13分）在中，角，，所的对边分别是a ，b ，c ，，．（Ⅰ）求边c 的值；（Ⅱ）若，求的面积．门头沟 A D B C

三角函数之正余弦定理

教师寄语：天才=1％的灵感+99％的血汗 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识.自主学习 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数一解两解一解一解