8-练习册-第十五章-量子物理
84 第十五章 量子物理
§15-1 光的量子性
【基本内容】
一、光电效应
1、光电效应：当光照射到金属表面时，电子从金属表面逸出的现象，称为光电效应。光电效应中从金属表面逸出的电子，称为光电子。光电子运动形成的电流，称为光电流。
2、光电效应的实验规律：
规律一：单位时间内从阴极逸出的光电子数与光强成正比。0m i I ∝
规律二：光电子的动能与照射光的频率成线性关系，与光强无关。2
0/2m v eK eU ν=- 规律三：存在红限频率0ν，无论照射光的强度多大，照射时间多长，若0νν<，则不产生光电效应。 3、爱因斯坦光子假说 （1）光子假说
一束光（电磁波）是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子（光子）。 一个光子的能量：h εν=，34
6.6310J s h -=??，称为普朗克常数。
光的强度：I Nh ν=，N ——单位时间内通过单位横截面积的光子数。
（2）光的波粒二象性
光的波动性（,λν）——由光的干涉、衍射现象证明。 光的粒子性（ε，m ，p ）——由光电效应、康普顿效应证明。 两者通过普朗克常数h 而联系起来。
,,h
h
h p m c
ενλ
λ==
=
（3）爱因斯坦光电效应方程
2
12
m v h A ν=-
二、康普顿效应
1、康普顿效应：X 射线被晶体散射后，散射线波长包含波长不变和波长变长的两部分，其中波长变长的部分称为康普顿效应。
2、康普顿效应的解释——康普顿散射公式
0(1cos )e h m c
λλλφ?=-=
-，0.024c e h m c
λ=
=A
，叫电子的康普顿波长。
3、光电效应和康普顿效应的区别
两种效应都是光子与物质中电子的相互作用，但前者是电子吸收光子的过程，后者是电子与光子的完全弹性碰撞过程。
光电效应中，物质中的电子不能视为自由电子；康普顿效应中，物质中的电子可视为
85
自由电子（因两种入射光子的能量相差很大）。
【典型例题】
【例15-1】波长00.1λ=A
的X 射线与静止的自由电子碰撞。在与入射方向成90°的方向观察时，散射X 射线的波长多大?反冲电子的动能和动量各如何?
【解】 由康普顿散射公式
0(1cos )(1cos
)2
c c c π
λλλλφλλ?=-=-=-=
由此得康普顿散射波长为
00.124c λλλ=+=A
至于反冲电子，根据能量守恒，它所获得的动能K E 就等于入射光子损失的能量，即
00
015
4
1
1
()3.810
(J) 2.410(eV )
K hc E h h hc λ
ννλλ
λλ-?=-=-
=
=?=?
根据动量守恒，有
0cos /e p h θλ= sin /e p h θλ=
两式平方相加并开方，得
2
21/2
23
00()
8.510
(kg m /s)e p h λλλλ
-+=
=??
cos 0.78e h p θλ==，3844θ'=?
【例15-2】 从铝表面逸出一个电子需要的能量为4.2eV 。今有波长为1000λ=A
的光线入射到铝表面，求：
（1）光电子的最大动能K E ；（2）铝的红限波长0λ；（3）遏止电压0U 。 【解】（1）由爱因斯坦方程得光电子的最大动能：
2
18.2eV 2
hc
m v h A A νλ
=-=
-= （2）由红限公式 00
hc
A h νλ==
?02958hc A
λ=
=A
（3）由遏止电压 0K E eU =?0/8.2V K U E e ==
【例15-3】在康普顿散射实验中，当能量为0.5MeV 的X 光的光子射中一个电子时，该电子获得0.2MeV 的能量，假设电子原来是静止的，求：（1）散射光子的波长、能量、动量和质量；（2）散射光子与入射方向的夹角。
【解】（1）由于电子获得的动能是入射光子和散射光子间的能量差，即
86 22
00k E m c m c h h νν=-=-
可得散射光子的能量 00.30M eV k h h E νν=-= 散射光子的波长 12
4.0510
m c
hc h λν
ν
-==
=?
散射光子的动量 22
1.610kg m /s h
P λ
-==?? 散射光子的质量 31
5.3310
kg P m c
-=
=?
（2） 入射X 射线的波长 12
2.4910
m c
hc h λνν-=
=
=?
由康普顿散射公式0(1cos )c λλλ?-=-可得
0cos 10.31771.5C
λλ??λ-=-
=?=?
【分类习题】
一、选择题
1．某种金属在光的照射下产生光电效应，要想使饱和光电流增大以及增大光电子的初动能，应分别增大照射光的
（A ）强度，波长. （B ）照射时间，频率. （C ）强度，频率. （D ）照射时间，波长.
2．单色光照射金属产生光电效应，已知金属的逸出电位是U 0，则此单色光的波长一定满足
（A ）λ≤ eU 0 /（hc ）； （B ）λ≥ eU 0 /（hc ） ； （C ）λ≥ hc /（eU 0）； （D ）λ≤ hc /（eU 0） .
3．下面这些材料的逸出功为：铍，3.9eV ；钯，5.0eV ；铯，1.9eV ；钨，4.5eV .要制造能在可见光（频率范围为3.9?1014Hz －7.5?1014Hz ）下工作的光电管，在这些材料中应选：
（A ） 钨. （B ） 钯. （C ） 铯. （D ） 铍. 4．光子能量为0.5MeV 的X 射线，入射到某种物质上而发生康普顿散射. 若反冲电子的动能为0.1MeV ，则散射光波长的改变量?λ与入射光波长λ0之比值为
（A ） 0.20. （B ） 0.25. （C ） 0.30. （D ） 0.35. 5．康普顿散射的主要特征是
（A ）散射光的波长与入射光的波长全然不同.
（B ）散射光的波长有些与入射光相同，但有些变短了，散射角越大，散射波长越短. （C ）散射光的波长有些与入射光相同，但也有变长的，也有变短的.
（D ）散射光的波长有些与入射光相同，有些散射光的波长比入射光的波长长些，且散射角越大，散射光的波长变得越长. 6．一般认为光子有以下性质
87
（1）不论在真空中或介质中的光速都是c ；（2）它的静止质量为零； （3）它的动量为h ν/c 2； （4）它的动能就是它的总能量； （5）它有动量和能量，但没有质量. 以上结论正确的是
（A ）（2）（4）. （B ）（3）（4）（5）. （C ）（2）（4）（5）. （D ）（1）（2）（3）.
二、填空题
1．能量和一个电子的静止能量相等的光子的波长是 ，动量是 。
2．汞的红限频率为1.09×1015Hz ，现用λ=2000?的单色光照射，汞放出光电子的最大初速度m v = ，截止电压U a = .
3．已知钾的逸出功为2.0eV ， 如果用波长为λ=3.60?10-7m 的光照射在钾上，则光电效应的遏止电压的绝对值|U a | = ，从钾表面发射的电子的最大速度v m = .
4．对于同一金属，当照射光的波长从4000A
减少到3000A
时，在光电效应实验中，测得其截止电压将增大 V 。
5．康普顿散射中，当散射光子与入射光子方向成夹角θ = 时，光子的频率减少得最多；当θ = 时，光子的频率保持不变。
6．波长为0.1?的X 射线经物体散射后沿与入射方向成60?角方向散射，并设被撞的电子原来是静止的，散射光的波长λ= ， 频率的改变?ν= ，电子获得的能量?E = .
三、计算题
1．波长为λ的单色光照射某金属M 表面产生光电效应，发射的光电子（电量绝对值为e ，质量为m ）经狭缝s 后垂直进入磁感应强度为B 的均匀磁场，如图15.1所示.今已测出电子在该磁场中作圆周运动的最大半径为R ，求：（1）金属材料的逸出功 ；（2）遏止电势差.
2．图15.2为一光电效应实验曲线（0U 为遏止电压）。 （1）求证：不同材料的金属，AB 线的斜率相同； （2）由图上数据求普朗克常数h 。
× × × × × × × × ×
× × × × × × × × × B 图15.1
(104
Hz)
图15.2
88 3．用波长1.00A
的X 射线在碳块上作散射实验，若散射角60?=?，求：（1）X 射线的波长；（2）反冲电子的动能；（3）反冲电子的速度。
4．在康普顿散射中，入射光子的波长为0.030A
，反冲电子的速度为光速的%60，求散射光子的波长和散射角。
5．已知X 射线光子的能量为0.60MeV ，若在康普顿散射中散射光子的波长变化了20%，试求反冲电子的动能。
四、问答题
1．光电效应与康普顿效应，都包含电子与光子的相互作用，试问这两过程有什么不同?
§15-2 实物粒子的波粒二象性
【基本内容】
一、实物粒子的波粒二象性 （1）德布罗意物质波假设
h
P λ
=
（2）德布罗意物质波假设的实验证明：戴维森——革末实验。 二、测不准关系 1、坐标动量测不准关系
测不准关系不仅适用于电子和光子。也适用于其它粒子，其起因于微观粒子的波粒二象性。
x x P h ???≥，或x x P ???≥ ，精确式为12x x P ???≥
表示在x 方向，粒子的坐标和动量不能同时确定。 2、能量时间测不准关系 h t E ≥???
三、波函数 薛定谔方程
经典力学：粒子的运动由坐标和动量描述，状态随时间的变化由牛顿定律确定。 量子力学：微观粒子的运动状态用波函数描述，状态的变化用薛定谔方程描述。 1、波函数
（1）量子力学基本假设之一
微观粒子的运动状态（量子态）用波函数(,)r t ψ
描述。 （2）波函数的物理意义——统计解释
89
*
(,)(,)r t r t ρ=ψψ
表示粒子在t 时刻在（x ，y ，z ）处出现的几率密度。
（3）函数的归一化条件
2
||d d d 1x y z ∞
ψ=???
相差一个常数因子的波函数ψ与c ψ描述同一微观态。 （4）波函数的标准条件
波函数(,)r t ψ
是空间和时间的单值、有限、连续函数。 （5）物质波波函数与经典波函数的区别
德布罗意波是几率波，波函数不表示实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。 2、薛定谔方程
量子力学基本假设之二：波函数随时间的变化满足薛定谔方程。 （1）含时薛定谔方程
若粒子在势场(,)V V r t =
中运动，则： ^
i H t
?ψ=ψ? 其中：(,)r t ψ=ψ ；2
^
2
(,)2H V r t m
=-?+ ，称为哈密顿算符，
2222
2
2
2
x
y
z
?
?
?
?=
+
+
???叫拉普拉斯算符。
（2）定态薛定谔方程
对于定态（能量不随时间变化的状态）()V V r =
； ^
H E ψ=ψ
其中：()r ψ=ψ
，称为定态波函数；E 称为能量本征值，即定态能级。
四、势阱和势垒中的粒子 1、一维无限深势阱
势函数：设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动，其势函数为：
0(0)
(0,)x a U x x a ≤≤?=?
∞<>?
2、薛定谔方程求解结果
一维无限深势阱中运动的粒子的波函数为：
()0
(0,)x x x a ψ=<>
()(0)n x x x a a
πψ=
≤≤
一维无限深势阱中运动的粒子的能量为：
222
,(1,2,)8n n h
E n m a
=
=
90 可见，能量是量子化的，它是定态薛定谔方程求解的自然结果。
3、隧道效应
一个粒子能穿移按经典观点看来是绝对不透明的势垒，这种现象称为隧道效应。
【典型例题】
【例15-4】（1）已知氢原子的运动速度大小等于它在300K 时的方均根速率，求它的
德布罗意波长；
（2）求质量M=1kg ，以速率v=1cm/s 运动的小球的德布罗意波长。 【解】（1
）H v =
=
H
1.45h h p m v λ=
=
==A
（2）19
6.6310h h p
M v
λ-==
=?A
【讨论】本题中，由于速度比较小，计算德布罗意波长时用经典动量。
【例15-5】 若电子的动能等于其静止能量，则其德布罗意波长是康普顿波长的几倍？ 【解】 电子的康谱顿波长为c e h m c
λ=
，德布罗意波长为h p
λ=
由题知：2
2
00(1)22
k E m c m c v c γγ=-=?=?=
/(2)2
e
e h h
h m p m v
λγ=
=
=
，故
c
λλ=
【讨论】本题中，由于速度比较大，计算德布罗意波长时用相对论动量。
【例15-6】 对动能为1KeV 的电子，若位置的不确定量值在0.1nm 内，求动量的相对不确定值ΔP/P 为何值?（电子的质量m e =9.11×10-31kg 。）
【解】
23
1.7110
kg m/s P -=
=?? 由x x P h ???≥得39%h P h P x
P
xP
??=
?
=
=??
【例15-7】 光子的波长3000λ=A
，确定此波长的精度为6
10
λ
λ
-?=。求光子位置
的不确定量。
【解】 2
|||h
h
P P λλ
λ
=
??=-
?
2
48(m m )22x x P x P
λ
λ
λ
πλ
π
λ
???≥??≥
=
=
?
=???
【例15-8】 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：
91
()),(0)n n x x x a a
πψ=
≤≤
若粒子处在n=1的状态，求：
（1）粒子在x=a/4处出现的几率密度； （2）在区间[0，a/4]内找到粒子的几率； （3）在何处找到粒子的几率最大，为何值？ 【解】（1
）*2/42())sin 1/x a x
x x a a a a
ππρρ=ψ=?=ψψ=?=
（2）/4/4*
2
2d sin
d 0.091a a x
W x x a
a
π=
ψψ==?
?
（3）*
2
2sin
x
a
a
πρ=ψψ=
，当
(21)
2
x
k a
ππ
=+时max 2/a ρ=
此时，(21)
,0,1,2,3,2
a x k k =+= 而0 【分类习题】 一、选择题 1．若α 粒子在磁感应强度为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则粒子的德布罗意波长是 (A) eRB h 2 (B) eRB h (C) eRB 21 (D) eRBh 1 2．静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波波长λ与速度v 有如下关系： （A ） 2 2 11c v - ∝ λ. （B ） λ ∝ 1/v . （C ） λ ∝ v . （D ） 2 2 v c -∝λ. 3．如图15.3所示，一束动量为p 的电子，通过缝宽为a 的狭缝，在距离狭缝为L 处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度d 等于: （A ） 2a 2/L . （B ） 2ha /p . （C ） 2ha /（Lp ）. （D ） 2Lh /（ap ）. 4．波长λ =500nm 的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量Δλ=10-4nm ， 则利用不确定关系式?x ?p x ≥h 可得光子的坐标的不确定量至少为 （A ） 25cm . （B ） 50cm . （C ） 250cm . （D ） 500cm . 5．关于不确定关系?x ?p ≥?有以下几种理解： （1） 粒子的动量不可能确定； （2） 粒子的坐标不可能确定； （3） 粒子的动量和坐标不可能同时确定； 92 （4） 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子. 其中正确的是: （A ）（1）、（2）. （B ）（3）、（4）. （C ）（2）、（4）. （D ）（4）、（1）. 6．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ()()a x a a x a x ≤≤-?=23cos 1πψ 那么粒子在6 5a x = 处出现的概率密度为 (A) a 21 (B) a 1 (C) a 21 (D) a 1 二、填空题 1．氢原子在温度为300K 时，其方均根速率所对应的德布罗意波长是 ；质量为m =10-3kg ，速度v =1m/s 运动的小球的德布罗意波长是 。 2．电子的康普顿波长为λc =h /（m e c ）（其中m e 为电子静止质量， c 为光速， h 为普朗克恒量）.当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长λ= λc . 3．静质量为e m 的电子，经电势差为12U 的静电场加速后，若不考虑相对论效应，电子的德布罗意波长λ＝ 。 4．若中子的德布罗意波长为2?，则它的动能为 。 (普朗克常量s J 1063.634 ??=-h ，中子质量kg 1067.127 -?=m ) 5．在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a = 0.1nm ，电子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量?p y = N·s . 6．关于不确定关系式 ≥??x p x 的意义是 。 7．设粒子的波函数为()t r , ψ，则*ψψ表示 ；波函数必须满足 ；波函数的归一化条件为 ；德布罗意波函数与经典波函数的本质区别为 。 三、计算题 1．α 粒子在磁感应强度为B =0.025T 的均匀磁场中沿半径为R =0.83cm 的圆形轨道上运 动. （1）试计算其德布罗意波长（α 粒子的质量m α=6.64?10-27kg ）；（2）若使质量m =0.1g 的小球以与α粒子相同的速率运动，则其波长为多少. 2．当中子的动能等于温度为300K T =的热平衡气体的平均平动动能时，求其德布罗意波长。 93 3．质量为m e 的电子被电势差U 12=106V 的电场加速.（1）如果考虑相对论效应，计算其德布罗意波的波长λ；（2）若不考虑相对论，计算其德布罗意波的波长λ'.其相对误差λλλ '-是多少？ 4．如图15.4所示，一电子以初速度-160s m 100.6??=v 逆着场强方向飞入电场强度为E = 500V ?m -1 的均匀电场中，问该电子在电场中要飞行多长距离d ，可使得电子的德布罗意波长达到1=λ?。(飞行过程中，电子的质量认为不变，即为静止质量 kg 1011.931 -?=e m ，基本电荷C 10 60.119 -?=e ；普朗克常量 s J 10 63.634 ??=-h ) 5．同时测量能量为1keV 的作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm ()m 10nm 19-=内，则动量的不确定值的百分比p p /?至少为何值？ (电子质量kg 1011.931-?=e m ，J 1060.1eV 119-?=普朗克常量s J 1063.634??=-h ) 6．已知粒子在一维无限深势阱运动，其波函数()a x a x 23cos 1π=ψ)(a x a ≤≤-，求： （1）粒子在56 a x =处出现的几率密度；（2）粒子在203 a x ≤≤ 区域的几率。 7．粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()a x a x n a x n < ??=0sin 2 πψ 若粒子处于n ＝1的状态，在a 4 1~0区间发现粒子的概率是多少 ? [提示：C x x x x +- = ?2sin 4 121d sin 2] §15-3 氢原子 【基本内容】 一、氢原子光谱的实验规律 1、氢原子的线状光谱 光谱学家在氢原子大量光谱数据的基础上，得到一些光谱线的经验公式： v E 图15.4 94 紫外线： 2 2 1 11(),2,3,41 H R n n νλ ==-= 赖曼系 可见光： 2 2 1 11( ),3,4,52 H R n n ν λ ==- = 巴耳末系 红外线: 2 2 2 2 2 2 111(),4,5,6311 1 (),5,6,7411 1 ( ),6,7,85 H H H R n n R n n R n n νλν λνλ?==-=?? ?==-=?? ?==- =? ? 帕邢系布拉开系普丰特系 其中： 1 ν λ =称为波数，7 1 1.09677610m H R -=?是氢原子的里德堡常数。统写为： 2 2 1 11( )H R k n ν λ ==- 2、里兹并合原则 原子的各谱项可表示为两光谱项之差： 1 ()()T k T n ν λ ==- k ，n 为正整数。 K 一定，对应着一个谱系，n 一定，对应着谱系中的一条谱线。 极限波长：某谱线的最短波长（n →∞） 二、原子核式结构 1、原子模型 原子中的全部正电荷和几乎全部质量集中在远小于原子体积的核中（称为原子核），原子中的电子在核周围绕核运动。 2、经典电磁理论在原子结构问题上的困难：原子系统的稳定性、原子光谱是线状光谱。 三、玻尔理论 1、玻尔理论的三条基本假设 a 定态：原子中存在的一系列能量不连续的状态，处在定态中的电子在相应的轨道上绕核作圆周运动，但不辐射能量； b 定态跃迁决定谱线能级：n m h E E ν=- )(m n >； c 角动量量子化：电子绕核作圆周运动的角动量L ，只能是 2h π 的整数倍。 ,1,2,32h L n n π == 2、氢原子的轨道半径和能级 氢原子的轨道半径：2 0n r a n = 95 00.53A a = 称为氢原子的玻尔半径。 氢原子的能级：12 ,1,2,3,n E E n n = = 113.6eV E =-叫基态能级。 基态：是能量最低的状态（n=1）。 激发态：是能量大于基态的状态（n=2，3，…）。 电离能：把基态电子移到无穷远处所需要的能量。11E E E E ∞?=-=- 激发能：由基态被激发到某激发态n 所需要的能量。1n E E E ?=- 3、玻尔理论的局限性 玻尔理论对复杂原子的光谱及谱线的强度无法说明，该理论在经典理论的基础上，加 上神秘色彩的量子化条件假设，理论系统本身是不自洽的。 四、氢原子量子力学处理 1、氢原子的量子力学解法 势函数： 2 0()4e V r r πε=- 定态薛定谔方程：2 2 2 02()04m e E r πε?ψ++ ψ= 薛定谔方程的求解结果： ,,()(,,)()()()l l n l l m m r r R r θφθφψ=ψ=ΘΦ 42 2 2 01 ,1,2,(4)2n m e E n n πε=-= L = 2z l h L m π = 2、描写氢原子微观运动状态（量子态）的四个量子数 氢原子微观运动状态可用能量E 、角动量L ，角动量分量L z 、自旋角动量S 这四个物理量完全确定，每一物理量有一相应的量子数，即四个量子数完全确定氢原子的量子态。 |,,,l s n l m m ψ=> 主量子数n ——能量量子化（大体上确定原子中电子的能量），能量量子化由弗朗克——赫兹实验证明。 42 2 2 2 01 13.6eV ,1,2,(4)2n m e E n n n πε=- =- = 96 角量子数l ——角动量量子化，又称轨道量子化（确定电子轨道角量）描写电子轨道角量，l 的数目为n ,0,1,1L l n = =- 磁量子数l m ——角动量的空间取向量子化（确定轨道角动量在外磁场方向上的分量）， l m 的数目为12+l 。空间量子化由塞曼效应证明。 , 0,1,2,z l l L m m l ==±±± 自旋磁量子数s m ——自旋的空间取向量子化（确定自旋角动量在外磁场方向上的分量），史特恩——盖拉赫实验证明了电子自旋的存在。 S = ，其中12 s = 称自旋量子数。 z s S m = ，其中11 ,22 s m =- 称自旋磁量子数。 【典型例题】 【例15-9】 要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系（由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系）的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是: （A ）1.5ｅＶ． （B ）3.4ｅＶ． （C ）10.2ｅＶ． （D ）13.6ｅＶ． 【分析】 最长波长的谱线是由E 2跃迁到E 1能级产生。故至少应向基态氢原子提供能使其跃迁至E 2的能量：ΔE= E 2- E 1=13.6-13.6/4=10.2（eV ） 【例15-10】 以动能为12.5eV 的电子通过碰撞使氢原子激发，最高能激发到哪一级?当回到基态时能产生哪些谱线? 【解】 设氢原子全部吸收12.5eV 的能量后最高能激发到第n 个能级，则 12 13.613.6n E E n -=- 把112.5eV n E E -=代入上式得 2 13.6/1.1 3.5n n =?= 因为n 只能取整数，所以氢原子最高能激发到n ＝３的能级，当然也能激发到n=2的能级。于是能产生3条谱线： n 从3→1 12 2 118( )1 3 9R R ν=-= 191026A 8R λ== n 从2→1 22 2 113( )1 2 4 R R ν=-= 241216A 3R λ= = n 从3→2 32 2 115( )2 3 36 R R ν=- = 3366563A 5R λ= = 97 【例15-11】 处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出巴尔末线系中只有两条谱线，试求这两条谱线的波长及外来光的频率。 【解】 巴尔末线系是由n ＞2的高能级跃迁到m ＝２的能级时发出的谱线，只有两条谱线说明激发后的最高能态是n ＝４的激发态，发出的巴尔末线系的谱线为：H α和H β 2 413.6/40.85eV E =-=- 2313.6/3 1.51eV E =-=- 2 213.6/2 3.4eV E =-=- 由n m hc h E E νλ = =-，得/()n m hc E E λ=- 所以：32/()6573A hc E E αλ=-= ，42/()4872A hc E E βλ=-= 。 基态氢原子吸收一个光子h ν后被激发到n=4的能态，所以 41/h E E hc νλ=-= 5 41()/ 3.0810H z E E νλ?=-≈? 【例15-12】 （1）当n 、l 、m l 一定时；（2）当n 、l 一定时；（3）当n 一定时，可能的量子态有几个？ 【解】（1）当n 、l 、m l 一定时，s m 取±1/2，故可能的量子态有2个。 （2）当n 、l 一定时，s m 可能取2个值，l m 可能取(21)l +个值，故可能的量子态有 2(21)l +个。 （3）当n 一定时，l m 可能取(21)l +个值，s m 可能取2个值，故可能的量子态有： 1 2 2(21)2n l l n -=+=∑个。 【例15-13】 n=2的氢原子有哪些可能的量子态？ 【解】 当n=2，l 取值0，1。 当l =0时，0l m =，11 ,22 s m =- ，可能的量子态有：|2 0 0 –1/2>，|2 0 0 1/2>。 当l =1时，1,0,1l m =-，11 ,22 s m =-，可能的量子态有： |2 1 -1 –1/2>，|2 1 -1 1/2>；（1l m =-） |2 1 0 –1/2>，|2 1 0 1/2>；（0l m =） |2 1 1 –1/2>，|2 1 1 –1/2>。（1l m =） 共有8个可能的量子态。 【例15-14】 3d 的氢原子有哪些可能的量子态？ 【解】 对3d 态的电子，n=3，l =2，则0,1,2l m =±±。 当2l m =-时：|3 2 -2 –1/2>、|3 2 -2 1/2> 98 当1l m =-时：|3 2 -1 –1/2>、|3 2 -1 1/2> 当0l m =时：|3 2 0 –1/2>、 |3 2 0 1/2> 当1l m =时：|3 2 1 –1/2>、 |3 2 1 1/2> 当2l m =时：|3 2 2 –1/2>、 |3 2 2 1/2> 【例15-15】 氢原子处于第二激发态，求轨道角动量的可能取值有哪些？ 【解】 处于第二激发态的氢原子，n=3，l =0，1，2， 由L = 得，轨道角动量的可能取值有：L = 【分类习题】 一、选择题 1．已知氢原子的玻尔半径为r 1.根据玻尔理论,处于第二激发态的氢原子中电子的轨道半径应是 (A) 4r 1. (B) 9r 1. (C) 2r 1. (D) 3r 1. 2．根据氢原子的玻尔理论，氢原子在n =5的轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为: （A ） 5/2. （B ） 5/3. （C ） 5/4. （D ） 5. 3．氢原子光谱的巴耳末系中波长最长的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为 （A ） 9/8. （B ） 19/9. （C ） 27/20. （D ） 20/27. 4．若外来单色光把氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱线的条数是： (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 6。 5．根据量子力学原理，氢原子中电子绕核运动动量矩的最小值为 (A) 2?. (B) ?. (C) ? /2. (D) 0. 二、填空题 1．玻尔理论的三条假设是 ；量子化定态的内容是 ；玻尔理论中， 、 两个概念在近代量子理论中，仍然是两个重要的基本概念。 2．在氢原子光谱的巴耳末线系中有一频率为Hz 1015.614?的谱线，它是氢原子从能级 n E ＝ eV 跃迁到能级k E ＝ eV 而发出的。(普朗克常量s J 1063.634??=-h ， 基本电荷19106.1-?=e C) 3．氢原子由定态l 跃迁到定态k 可发射一个光子，已知定态l 的电离能为0.85eV ,又已知从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为10.2eV ,则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为 eV . 4．氢原子基态的电离能是 eV 。电离能为 0.544 eV 的激发态氢原子，其电子处在n ＝ 的轨道上运动。 5．直接证实电子自旋的最早实验之一是 实验；直接证实电子具有波动性的最早实验之一是 实验。 6．主量子数4=n 的量子态中，角量子数l 的可能取值为 ；磁量子 99 数l m 的可能取值为 。 7．当主量子数3=n 时，电子角动量的可能取值为 。 三、计算题 1．按玻尔理论，求氢原子中的电子在4=n 的轨道上运动的动能与1=n 轨道上的动能之比。 2．按玻尔理论，计算：（1）计算氢原子中电子在量子数为n 的轨道上作圆周运动的频率；（2）当该电子跃迁到)1(-n 轨道所发出光子的频率；（3）证明当n 很大时，（1）和（2）的结果近似相等。 3．当氢原子从某初始状态跃迁到激发能为?E = 10.19eV 的状态时，发射出光子的波长是λ = 486nm ，试求该初始状态的能量和主量子数. 4．氢原子中电子由3=n 轨道上被电离，需能量多少eV ？ 5．用光照方法使处于基态的氢原子电离，可用最长波长为913A ，求氢原子由n 态跃迁到基态的赖曼系光谱波长。 6．已知氢光谱某线系极限波长为3647A ，其中有一光谱线波长为6565A 。求与该波长相应始态和终态的能级的能量。 §15-4原子的壳层结构 【基本内容】 一、泡利不相容原理、能量最小原理 1、泡利不相容原理 在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子处于完全相同的量子态，即在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数。 2、能量最小原理 原子处于正常状态时，应处于能量最低的状态。 二、电子的壳层结构 多电子原子体系中，电子的排布应遵循泡利不相容原理、能量最小原理。 1、壳层：n 相同的电子组成一个壳层。 100 n=1，2，3，4，…等壳层用K ，L ，M ，N …表示。 2、分壳层（支壳层）：l 相同的电子组成一个壳层。 l =0，1，2，3，…等壳层用s ，p ，d ，f …表示。 3、原子态的表示：原子中电子体系的状态叫原子态。 2 2 6 2 6 2 10 610 122334344s s p s p s d p d 【典型例题】 【例15-16】 处于基态的钠原子，其价电子可能的量子态数为多少？ 【分析】 钠原子外有11个的电子，n=1层有2个电子，n=2层有8个电子，n=3层有18个可能的量子态。由于处于基态，从而其价电子处于n=3层中能量最低的状态： （3，0，0，1/2）或（3，0，0，-1/2）。 【分类习题】 一、选择题 1．在氢原子的K 壳层中，电子可能具备的量子数(n , l , m l , m s )是 (A) (1，0，0，1/2) (B) (1，0，－1，1/2) (C) (1，1，0，－1/2) (D) (2，1，0，－1/2) 2．根据量子理论，描述电子运动状态的量子数是：),,,(s l m m l n ，由此判定下列状态中哪个状态是存在的？ （A ）（1，0，0，－1/2） （B ）（3，1，2，1/2） （C ）（1，1，0，1/2） （D ）（3，4，1，－1/2） 3．当原子中电子的主量子数为n =3时,电子所具有的可能的量子状态数为 (A) 9. (B) 18. (C) 6. (D) 3. 4．根据泡利不相容原理,任意两个电子的量子状态的 (A) 主量子数n 、角量子数l 、磁量子数m l 、自旋磁量子数m s 不能都相同. (B) 主量子数n 、角量子数l 、磁量子数m l 不能都相同. (C) 主量子数n 、角量子数l 不能都相同. (D) 主量子数n ,与自旋磁量子数m s 不能都相同. 二、填空题 1．氩原子(18)Z =基态的电子组态为 。 2．基态锂原子(3)Z =中，一个电子的量子态为（1，0，0，1/2），其余两个电子的组态分别为 ， 。 第15章 量子物理 一 选择题 15-1 下列物体中属于绝对黑体的是[ ] (A) 不辐射可见光的物体 (B) 不辐射任何光线的物体 (C) 不能反射可见光的物体 (D) 不能反射任何光线的物体 解：选(D)。绝对黑体能够100%吸收任何入射光线，因而不能反射任何光线。 15-2 用频率为υ的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为k E ；若改用频率为2υ的单色光照射此金属，则逸出光电子的最大初动能为[ ] (A) k 2E (B) k 2h E υ- (C) k h E υ- (D) k h E υ+ 解：选(D)。由k E h W υ=-，'2k E h W υ=-，得逸出光电子的最大初动能 'k ()k E hv hv W hv E =+-=+。 15-3 某金属产生光电效应的红限波长为0λ，今以波长为λ(0λλ<)的单色光照射该金属，金属释放出的电子(质量为e m )的动量大小为[ ] (A) /h λ (B) 0/h λ (C) (D) 解：选(C)。由2e m 012 hv m v hv =+，2e m 012hc hc m v λλ= +，得m v = ， 因此e m p m v == 。 15-4 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动速率之比13/v v 是[ ] (A) 1/3 (B) 1/9 (C) 3 (D) 9 解：选(C)。由213.6n E n =-，n 分别代入1和3，得22 1122331329112mv E E mv ===，因 此 1 3 3v v =。 15-5 将处于第一激发态的氢原子电离，需要的最小能量为[ ] (A) 13.6eV (B) 3.4eV (C) 1.5eV (D) 0eV 解：选(B)。由2 13.6 n E n =- ，第一激发态2n =，得2 3.4eV E =-，设氢原子电离需要的能量为2'E ，当2'20E E +>时，氢原子发生电离，得2' 3.4eV E >，因此最小能量为3.4eV 。 15-6 关于不确定关系x x p h ??≥有以下几种理解，其中正确的是[ ] (1) 粒子的动量不可能确定 (2) 粒子的坐标不可能确定 (3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定 (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其他粒子 (A) (1), (2) (B) (2), (4) (C) (3), (4) (D) (4), (1) 解：选(C)。根据h p x x ≥???可知，(1)、(2)错误，(3)正确；不确定关系适用于微观粒子，包括电子、光子和其他粒子，(4)正确。 二 填空题 15-7 已知某金属的逸出功为W ，用频率为1υ的光照射该金属能产生光电效应，则该金属的红限频率0υ=________，截止电势差c U =________。 解：由0W hv =，得h W v = 0；由21e m 12hv m v W =+，而2 e m c 12m v eU =，所以 1c hv eU W =+，得1c h W U e υ-= 。 第十五章量子物理基础 一. 选择题 1. 所谓“黑体”是指这样的一种物体： (A) 不能反射任何可见光的物体 (B) 不能发射任何电磁辐射的物体 (C) 能够全部吸收外来的所有电磁辐射的物体 (D) 完全不透明的物体 [ ] 2. 用两束频率、光强都相同的紫光照射到两种不同的金属上，产生光电效应，则 (A) 两种情况下的红限频率相同 (B) 逸出电子的初动能相同 (C) 单位时间内逸出的电子数相同 (D) 遏止电压相同 [ ] 3. 以一定频率的单色光照射在某种金属上，测出其光电流曲线在图中用实线表示，保持光频率不变，增大照射光的强度，测出其光电流曲线在图中用虚线表示，满足题意的图是 [ B ] 4. 光电效应和康普顿散射都包含有电子和光子的相互作用过程，以下几种解释正确的是 (A) 两种情况中电子与光子组成的系统都服从动量守恒定律和能量守恒定律 (B) 两种情况都相当于电子与光子的完全弹性碰撞过程 (C) 两种情况都属于电子吸收光子的过程 (D) 光电效应是电子吸收光子的过程，康普顿散射相当于光子与电子的完全弹性碰撞过程 [ ] 5．根据玻尔氢原子理论，巴尔末线系中最长波长和其次波长之比为 (A) 错误！未找到引用源。 (B) 错误！未找到引用源。 (C) 错误！未找到引用源。 (D) 错误！未找到引用源。 (-1/9+1/4)/(-1/16+1/4) = [ ] 6．两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相等 (B) 能量相等 (C) 速度相等 (D) 动能相等 [ ] 7. 关于不确定关系错误！未找到引用源。，有以下几种理解 (1) 粒子的动量不可能确定 (2) 粒子的坐标不可能确定 (3) 粒子的坐标和动量不可能同时准确地确定 (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子 其中正确的是 (A) (1)，(2) (B) (2)，(4) (C) (3)，(4) (D) (4)，(1) [ ] 8. 波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的概率分布将 (A) 增大D2倍 (B) 增大2D倍 (C) 增大D倍 (D) 不变 [ ] 二. 填空题 9. 普朗克的量子假说是为了解释__________________________ 的实验规律而提出的，它的基本思想是______________________________________________________________. （黑体辐射；略） 10. 已知某金属的逸出功为A，则光电效应的红限频率为_______________，对应的红限波长为_________________.（错误！未找到引用源。；错误！未找到引用源。） 第15章 量子物理基础 内容提要 １．黑体辐射基本定律和普朗克量子假设 黑体：能完全吸收入射辐射的物体，有最大的发射本领。 黑体辐射的两条实验规律： (1) 斯忒藩一玻尔兹曼定律：4 )(T T M σ= 式中4 2 8 1067.5---???=k m W σ称为斯忒藩一玻尔兹曼常数。 (2) 维思位移定律： b T m =λ 式中k m b ??=-310898.2,称为维恩常数，公式表明峰值波长λm 随温度升高向短波方向移动 (3) 普朗克量子假设 黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子辐射电磁波并和周围的电磁场交换能量；谐振子的能量是最小能量νεh =的整数倍。νεh =称为能量子，s J h ??=-34 1063.6称 为普朗克常量。 ２.光电效应的实验规律 实验发现，光电效应表现出四条规律： (1) 入射光的频率一定时，饱和光电流与光强成正比； (2) 光电子的最大初动能与入射光的频率成线性关系，与入射光的强度无关； (3) 光电效应存在一个红限0ν,如果入射光的频率0νν<，便不会产生光电效应 (4) 光电流与光照射几乎是同时发生的，延迟时间在10-9s 以下。 ３．光量子假设与爱因斯坦方程 (1) 爱因斯坦认为：光是由以光速运动的光量子组成，在频率为ν的光波中，光子的能量 νεh = 光子的静质量为零，动量为 λ h p = (2) 入射的光子被电子吸收使电子能量增加νh ，电子把一部分能量用于脱离金属表面时所需要的逸出功，另一部分为逸出电子的初动能。即 A mv h m +=2 2 1ν 4.康普顿效应 康普顿效应的实验规律 (1) 散射线中除了和原波长0λ相同的谱线外，还有一种波长0λλ>。 (2) 波长差0λλλ-=?随散射角θ的增大而增加。其增加量为 2 sin 2200θλλλc m h = -=? (3) 0λλλ-=?与散射物质无关，但散射光中原波长0λ的强度随散射物的原子序数 增加而增大，而λ的光强则相对减小。 利用光量子理论对康普顿效应能给予很好的解释。康普顿效应进一步证实了光的量子性。 ４.光的波粒二象性 光既具有波动性又具有粒子性。光的波动性可以用波长λ和频率ν描述，光的粒子性可以光子的质量、能量和动量描述，其关系可以表示为： 光子能量νεh = 光子动量 λ h P = 光子质量 2 c h m ν = 光子的静质量为零。 ５．玻尔的氢原子理论 (1) 氢原子光谱的实验规律 实验发现，氢原子光谱系的波数可以写成 )1 1( 1 ~22n m R -==λ ν 第十七章 量子物理基础 17–1 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度为22.8W/cm 2，则炉内的温度为 。 解：将炉壁小孔看成黑体，由斯特藩—玻耳兹曼定律()4T T M B σ=得炉内的温度为 34 8 44 10416.11067.5108.22) (?=??==-σ T M T B K 17–2 人体的温度以36.5?C 计算，如把人体看作黑体，人体辐射峰值所对应的波长为 。 解：由维恩位移定律b T =m λ得人体辐射峰值所对应的波长为 33m 10363.95.30910898.2?=?== -T b λnm 17–3 已知某金属的逸出功为A ，用频率为1ν的光照射该金属刚能产生光电效应，则该金属的红限频率0ν= ，遏止电势差U c = 。 解：由爱因斯坦光电效应方程W m h += 2 m 2 1v ν，A W =，当频率为1ν刚能产生光电效应，则02 12 m =v m 。故红限频率 h A /0=ν 遏止电势差为 ()01011ννννν-=-=-= e h e h e h e W e h U c 17–4 氢原子由定态l 跃迁到定态k 可发射一个光子，已知定态l 的电离能为0.85eV ，又已知从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为10.2eV ，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为 eV 。 解：氢原子的基态能量为6.130-=E eV ，而从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为 E ?=10.2eV ，故定态k 的能量为 eV 4.32.106.130-=+-=?+=E E E k 又已知eV 85.0-=l E ，所以从定态l 跃迁到定态k 所发射的光子的能量为 eV 55.2=-=k l E E E 17–5 一个黑体在温度为T 1时辐射出射度为10mW/cm 2，同一黑体，当它的温度变为2T1时，其辐射出射度为[ ]。 A ．10mW/cm 2 B ．20mW/cm 2 C ．40mW/cm 2 D ．80mW/cm 2 E ．160mW/cm 2 解：由斯特藩—玻耳兹曼定律，黑体的总辐射能力和它的绝对温度的四次方成正比，即 ()4T T M B σ= 故应选（E ）。 习题十六 量子物理基础 （1,2,3小题参考课本后答案） 16-3 将星球看做绝对黑体，利用维恩位移定律测量m λ便可求得T ．这是测量星球表面温度的方法之一．设测得：太阳的m 55.0m μλ=，北极星的 m 35.0m μλ=，天狼星的m 29.0m μλ=，试求这些星球的表面温度． 解：将这些星球看成绝对黑体，则按维恩位移定律： K m 10897.2,3??==-b b T m λ 对太阳： K 103.51055.010897.236 311 ?=??== --m b T λ 对北极星：K 103.81035.010897.236 322 ?=??== --m b T λ 对天狼星：K 100.110 29.010897.246 333 ?=??== --m b T λ 16-4 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度(总辐射本领)为22.8W ·cm -2，求炉内温度． 解：炉壁小孔视为绝对黑体，其辐出度 242 m W 108.22cm W 8.22)(--??=?=T M B 按斯特藩-玻尔兹曼定律： =)(T M B 4T σ 41 8 44 )10 67.5108.22() (-??==σ T M T B K 1042.110)67 .58.22( 334 1?=?= 16-5 从铝中移出一个电子需要4.2 eV 的能量，今有波长为2000ο A 的光投射到铝表面．试问：(1)由此发射出来的光电子的最大动能是多少?(2)遏止电 势差为多大?(3)铝的截止(红限)波长有多大? 解：(1)已知逸出功eV 2.4=A 据光电效应公式2 21m mv hv =A + 则光电子最大动能： A hc A h mv E m -=-== λ υ2max k 21 eV 0.2J 1023.310 6.12.41020001031063.61919 10 834=?=??-????=---- m 2 max k 2 1)2(mv E eU a = =Θ ∴遏止电势差 V 0.2106.11023.319 19 =??= --a U (3)红限频率0υ,∴0 00,λυυc A h = =又 ∴截止波长 19 8 3401060.12.41031063.6--?????==A hc λ m 0.296m 10 96.27 μ=?=- 16-6 在一定条件下，人眼视网膜能够对5个蓝绿光光子(m 105.0-7 ?=λ)产生光的感觉．此时视网膜上接收到光的能量为多少?如果每秒钟都能吸收5个 这样的光子，则到 达眼睛的功率为多大? 解：5个兰绿光子的能量 J 1099.110 0.51031063.65187 8 34---?=?????===λ υhc n nh E 第15章 早期量子论 15-1 某物体辐射频率为14 6.010Hz ?的黄光，问这种辐射的能量子的能量是多大？ 分析 本题考察的是辐射能量与辐射频率的关系. 解: 根据普朗克能量子公式有: -3414196.6310 6.010 4.010(J)h εν-==???=? 15-2 假设把白炽灯中的钨丝看做黑体，其点亮时的温度为K 2900. 求： (1) 电磁辐射中单色辐出度的极大值对应的波长； (2) 据此分析白炽灯发光效率低的原因. 分析 维恩位移定律告诉我们，电磁辐射中单色辐出度的极大值对应的波长与温度的乘积等于一个常量.由此可以直接由维恩位移定律求解. 解 （1）由维恩位移定律，得 -3 -72.89810=9.9910(m)=999(nm)2900 b T λ?==? （2）因为电磁辐射中单色辐出度的极大值对应的波长在红外区域，所以白炽灯的发光 效率较低。 15-3 假定太阳和地球都可以看成黑体，如太阳表面温度T S =6000K ，地球表面各处温度相同，试求地球的表面温度（已知太阳的半径R 0=6.96×105km ，太阳到地球的距离r =1.496×108km ）。 分析 本题是斯忒藩—玻尔兹曼定律的应用。 解： 由 40T M σ= 太阳的辐射总功率为 242 8482 0026 44 5.671060004(6.9610)4.4710(W) S S S P M R T R πσππ-===?????=? 地球接受到的功率为 622262211 17 6.3710() 4.4710()422 1.49610 2.0010(W) S E E E S P R P R P d d ππ?===???=? 把地球看作黑体，则 2 4 2 44E E E E E R T R M P πσπ== 290(K)E T === 第十五章 量子物理 班号 学号 姓名 日期 一、选择题 1．按照爱因斯坦光子理论，下列说法正确的是 (A) 光的强度越大，光子的能量就越大； (B) 光的波长越大，光子的能量就越大； (C) 光的频率越大，光子的能量就越大； (D) 光波的振幅越大，光子的能量就越大。 ( ) 2．钾金属表面被蓝光照射时，有光电子逸出，若增强蓝光的强度，则 (A) 单位时间内逸出的光电子数增加； (B) 逸出的光电子初动能增大； (C) 光电效应的红限频率增大； (D) 发射光电子所需的时间增长。 ( ) 3．要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5eV ； (B) 3.4eV ； (C) 10.2eV ； (D) 13.6eV 。 ( ) 4．一初速为150s m 106-??=v 的电子进入电场强度为1C N 400-?=E 的均匀电场，朝着 阳极方向加速行进。则电子在电场中经历位移为cm 20=s 时的德布罗意波长为 (A) 12nm ； (B) 0.14nm ； (C)340nm ； (D) 4200nm 。 ( ) 5．关于不确定关系2 ≥??p x 有以下几种理解： （1）粒子的动量不可能确定； （2）粒子的坐标不可能确定； （3）粒子的动量和坐标不可能同时确定； （4）不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。 (A) （1）、（2）； (B) （2）、（4）； (C) （3）、（4）； (D) （4）、（1）。 ( ) 6．如图所示，一频率为ν的入射光子与初始静止的电子（其静止质量为m ）发生散射。如果散射光子的频率为'ν，反冲电子的动量为p ，则在与入射光平行的方向上动量守恒定律的分量形式为 (A) p h h +='νν； (B) 422'c m p h h ++=νν； (C) φθννcos cos 'p h h +=； (D) p c h c h +='νν； (E) φθννcos cos 'p c h c h += 。 ( ) 选择题6图 126 第15章 量子物理基础 15-1 太阳可看作是半径为m 100.78?的球形黑体，试计算太阳表面的温度。太阳光直射到地球表面上单位面积的的辐射功率为321.510W/m ?，地球与太阳的距离为111.510m d =?。 解 已知32 0 1.510W/m P =?，8s 7.010m R =?，m 105.111?=d 。太阳辐射的总功率2s 4πE R ?，假设 辐射没有能量损失，则分布在2 4πd 的球面上， 有 22s 04π4πE R p d ?=? 运用斯特藩—玻耳兹曼定律4E T σ=，得 113 1/21/41/21/43088 1.510 1.510()()()() 5.910(K)7.010 5.6710s p d T R σ-??===??? 15-2 已知地球到太阳的距离81.510km d =?，太阳的直径为61.410km D =?，太阳表面的温度为 5900K T =，若将太阳看作绝对黑体，求地球表面受阳光垂直照射时，每平方米的面积上每秒钟得到的辐 射能为多少？ 解 根据斯特藩—玻耳兹曼定律4E T σ=和能量守恒方程220π4πE D p d =，得 ()942428 232011 11 1.410()() 5.67105900W/m 1.510W/m 441.510 D p T d σ-?==???=?? 15-3 在加热黑体的过程中，其单色辐出度的最大值所对应的波长由0.69μm 变化到0.50μm ，其总辐射出射度增加了几倍？ 解 由维恩位移定律m T b λ =和斯特藩—玻耳兹曼定律4T E σ=得 444 22m111m20.69()()() 3.630.50 E T E T λλ====（倍） ，即增加了2.63倍. 15-4 从铝中移出一个电子需要4.2eV 的能量，今有波长为2000 ?的光投射到铝表面，求(1)从铝表面发射出来的光电子的最大初动能是多少？(2)遏止电势差为多大？(3)铝的红限频率为多大？ 解 （1）由 2 m 12 h m W νυ= +得 34821919m 10 1 6.62610310 4. 2 1.60210J 3.2110J 2200010hc m h W W υνλ----?????=-=-=-??=?????? （2） 2 m 12a eU m υ= 2 m 12 2.0V a m U e υ== （3）由 0W h ν= 19150344.2 1.60210Hz 1.0210Hz 6.62610 W h ν--??===?? 15-5 用波长为4000 ?的紫光照射金属，产生光电子的最大初速度为5 510m/s ?，则光电子的最大初动能是多少？该金属红限频率为多少？ 解 光电子的最大初动能为 ()2315219m m 11 9.1110(510) 1.1410J 22 k E m υ--= =????=? 第15章 量子物理基础习题 15.1 钾的光电效应红限波长为μm 62.00=λ。求（1）钾的逸出功；（2）在波长nm 330=λ的紫外光照射下，钾的遏止电势差。 解：（1）逸出功eV 01.2J 1021.31900=?== =-λνhc h W （2）由光电效应方程W m h m +=221υν及022 1eU m m =υ 可得 V 76.10=-=-=e W e hc e W e h U λν 15.2 铝的逸出功为4.2eV ，今用波长为200nm 的紫外光照射到铝表面上，发射的光电子的最大初动能为多少？遏止电势差为多大？铝的红限波长是多大？ 解：（1）由光电效应方程W m h m +=22 1υν，得 eV 0.2J 1023.321192=?=-=-=-W hc W h m m λ νυ （2）由022 1eU m m =υ，得 V 0.22120==e mv U m （3）由00λνhc h W ==，得 nm 2960==W hc λ 15.3 钨的逸出功是4.52eV ，钡的逸出功是2.50eV ，分别计算钨和钡的截止频率。哪一种金属可以作可见光范围内的光电管阴极材料？ 解：由光电效应方程W m h m +=22 1υν可知，当入射光频率 .02 120===υννm h W 表面，其初动能时，电子刚能逸出金属因此0ν是能产生光电效应的入射光的最低频率（即截止频率），它与材料的种类有关。 钨的截止频率 z h W H 1009.115101?==ν 钡的截止频率 z h W H 10603.015202?== ν 对照可见光的频率范围0.395×1015～0.75×1015z H 可知，钡的截止频率02ν正好处于该范围内，而钨的截止频率01ν大于可见光的最大频率，因而钡可以用于可见光范围内的光电管阴极材料。 15.4 钾的截止频率为4.62×1014z H ，今以波长为435.8nm 的光照射，求钾放出的光电子的初速度。 解：根据光电效应的爱因斯坦方程 W m h m +=22 1υν 其中 0νh W =， λ νc = 所以电子的初速度 152/10s m 1074.5)(2-??=??????-=νλυc m h 由于逸出金属的电子的速度c <<υ，故式中m 取电子的静止质量。 15.5 用波长nm 1.00=λ的光子做康普顿散射实验。求散射角为900的散射波长是多少？（普朗克常量h =6.63×10-34J ·s ，电子静止质量m e =9.11×10-31kg ） 解：(1)康普顿散射光子波长改变为： m 10024.0)cos 1(10-?=-=?θλc m h e m 10024.1100-?=?+=λλλ §15.5 量子力学的基本概念和基本原理 描述微观粒子运动的系统理论是量子力学,它是薛定谔、海森伯等人在 1925～1926年期间初步建立起来的.本节介绍量子力学的基本概念和基本方程. 一、波函数极其统计解释 在经典力学中我们已经知道,一个被看作为质点的宏观物体的运动状态,是用 它的位置矢量和动量来描述的.但是,对于微观粒子,由于它具有波动性,根据不确 定关系,其位置和动量是不同时具有确定值的,所以我们就不可能仍然用位置、动 量及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态.微观粒子的运动状态称为量子 态,是用波函数来描述的,这个波函数所反映的微观粒子的波动性,就是德布罗意 波.这是量子力学的一个基本假设. 例如一个沿X 轴正方向运动的不受外力作用的自由粒子,由于能量E 和动量p 都是恒量,由德布罗意关系式可知,其物质波的频率ν和波长λ也都不随时间变化,因此自由粒子的德布罗意波是一个单色平面波. 对机械波和电磁波来说,一个单色平面波的波函数可用复数形式表示为 )(2）x/λνt πi Ae t y(x,--= 但实质是其实部.类似地,在量子力学中,自由粒子的德布罗意波的波函数可表示 为 η)/(0）(Px Et i e t x,--ψ=ψ 式中0ψ是一个待定常数, η/0iPx e ψ相当于x 处波函数的复振幅,而ηiEt/e -则反映波函 数随时间的变化. 对于在各种外力场中运动的粒子,它们的波函数要随着外场的变化而变化.力 场中粒子的波函数可通过下面要讲的薛定谔方程来求解. 经典力学中的波函数总代表某一个物理量在空间的波动,然而量子力学中的 波函数又代表着什么呢？对此,历史上提出了各种不同的看法,但都未能完善的解 释微观粒子的波—粒二象性,直到1926年玻恩(M.Born,1882—1970)提出波函数的 统计解释才完善的解释了微观粒子的波—粒二象性.玻恩认为：实物粒子的德布 罗意波是一种几率波；t 时刻,粒子在空间 r 附近的体积元dV 中出现的几率dW 与该处波函数的模方成正比,即 V t r,Ψt r,ΨV t r,ΨW *d d d 2 )()()(== (15.35) 由式(15.35)可知,波函数的模方2)(t r,Ψ代表t 时刻粒子在空间r 处的单位体积中 出现的几率,称为几率密度.这就是波函数的物理意义,波函数本身没有直接的物 第15章 量子物理基础 习 题 12.1（1）推导实物粒子德布罗意波长与粒子动能E k 和静止质量m 0的关系。 （2）证明2c m E c k <<时， k E m h 02≈λλ；202c m E k >>时，k E hc /≈λ 12.2 设粒子静质量为ｍ0、带电为q 、被电压为U 的电场加速，试导出一般形式的表示相对论粒子的德布罗意波长与电压的关系式。 12.3 要在电子显微镜中获得与使用0.2MeV γ射线的γ射线显微镜相同的分辨本领，需对电子加速的加速电压为多大? 12.4 计算电子经过U 1=100V 和U 2=104V 的电压加速后的德布罗意波长λ1和λ2分别是多少？ 12.5 用干涉仪确定一个宏观物体的位置精确度为±10-12m 。如果我们以此精度测得一质量为0.50kg 的物体的位置，根据不确定关系，它的速度不确定量多大? 12.6 一个质量为m 的粒子，约束在长度为L 的一维线段上。试根据不确定关系估算这个粒子所能具有的最小能量的值。 由此，试计算在直径10-14m 的核内质子和中子的最小动能。 12.7 如果一个电子处于原子某能态的时间为10-8s ，这个原子的这个能态的能量的最小不确定量是多少? 设电子从上述能态跃迁到基态，对应的能量为3.39e Ｖ，试确定所辐射光子的波长及这波长的最小不确定量。 12.8 证明若粒子位置不确定量约等于它的德布罗意波长时，则其速度的不确定量约等于它的速度。 12.9 由不确定关系=≥?x P x ??证明，对于自由粒子，不确定关系还可写成 πλλ??22≥?x 其中λ为该粒子的德布罗意波长。 12.10 一维无限深方势阱的宽度为a ，试用不确定关系估算其中质量为m 的粒子的零点能量。 12.11 量为m 的粒子被限制在宽度为a 的一维无限深方势阱中，计算在n =5的能级上，粒子出现概率密度最大的位置。当n →∞时，说明什么问题。 12.12用气体放电时高速电子撞击氢原子的方法，激发基态氢原子使其发光。如果高速电子的能量为12.2e Ｖ，试求氢原子被激发后所能发射的光的波长。 12.13 基态氢原子被外来单色光激发后发出的巴尔末系中，仅观察到两条光谱线。试求这两条谱线的波长及外来光的频率。 12.14 已知巴尔末系的最短波长是3650?。由此求里德堡常数。 12.15 对处于第一激发态（n =2）的氢原子，如果用可见光（3800 ?～7600 ?）照射，能否使之电离? 12.16 氢原子处于基态时，根据玻尔理论求电子的（1）量子数，（2）轨道半径，（3）角动量和线动量，（4）绕行频率、角速度和线速度，（5）所受的力和加速度，（6）动能、势能和总能量，各是多少? 12.17 原则上讲，玻尔理论也适用于太阳系：地球相当于电子，太阳相当于核，而万有引力相当于库仑电力。 （1）求出地球绕太阳运动的允许半径的公式； （2）地球运行半径实际上是1.50×1011m ，和此半径对应的量子数n 多大? （3）地球实际的轨道和它的下一个较大的可能轨道的半径差值多大? 12.18 求出能够占据一个d 分壳层的最大电子数，并写出这些电子的m l 和m s 值。 12.19 写出钾原子中电子的排列方式。 部分习题答案 第13章 量子力学基础 13.1 绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别？ 答：绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体，而平常所说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。 13.2 普朗克量子假设的内容是什么？ 答：普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以νεh =为单位进行。 13.3 光电效应有哪些实验规律？用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难？ 答：光电效应的实验规律为：1）阴极K 在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度成正比；2）存在截止频0ν；3）光电子的初动能与照射光的强度无关，而与频率成线性关系； 4）光电效应是瞬时的。 用光的波动理论解释光电效应遇到的困难在于：1）按照波动理论，光波的能量由光强决定，因而逸出光电子的初动能应由光强决定，但光电效应中光电子的初动能却与光强无关；2）若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量，光电效应对各种频率的光都能发生，不应存在红限；3）光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程，光强越弱，发射光子所需时间就越长。这都与光电效应的实验事实相矛盾。 13.4 波长λ为0.1nm 的X 射线,其光子的能量ε= J 151099.1-?；质量m = kg 321021.2-?；动量p = 1241063.6--???s m kg . 13.5 怎样理解光的波粒二象性？ 答：光即具有波动性，又具有粒子性，光是粒子和波的统一，波动和粒子是光的不同侧面的反映。 13.6 氢原子光谱有哪些实验规律？ 答：氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成，并且谱线分布符合组合规律 )11()()(~2 2n k R n T k T kn -=-=ν k 取 ,3,2,1，分别对应于赖曼线系，巴耳米线系，帕形线系，. 13.7 原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？ 答：原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾：1）按经典电磁辐射理论，原子光谱应是连续的带状光谱；2）不存在稳定的原子。这些结论都与实验事实矛盾。 13.8 如果枪口的直径为5mm,子弹质量为0.01kg,用不确定关系估算子弹射出枪口时的横 一、简答题： 1. 电子和质子具有相同的动能，二者谁的德布罗意波长较短？ 答：在非相对论情况下，粒子的动量 k mE p 2=，k E 是粒子的动能，而k mE p 2 = =λ，在相同的k E 情况下，质量大的有较短的波长，所以质子波长短。 2.什么是不确定关系？为什么说不确定关系指出了经典力学的适用范围？ 答：微观粒子的位置和动量是不能同时被精确确定的。在一维情况下，它们各自不确定范围满足如下关系 , ≥???x p x 这个关系式为不确定关系，这是微观粒子波粒二象性的必然表现。对于宏观物体，波动性可以忽略，因而不确定关系可以不考虑，而粒子的位置和动量可以同时确定的。经典力学认为物体的位置和动量是可以同时精确确定的，因此经典力学适用于宏观物体而不适用于微观粒子。 3.什么是光的波粒二象性？ 答：光的波粒二象性指的是光即有粒子性又具有波动性，其中，粒子的特性有颗粒性和整体性，没有“轨道性”；波动的特性有叠加性,没有“分布性”。一般来说，光在传播过程中波动性表现比较显著，当光与物质相互作用时，粒子性表现显著。光的这种两重性，反映了光的本质。 4.如果一个粒子的速率增大了，其德布罗意波长增大了？还是减小了？试给以解释。 根据德布罗意假设，粒子波长和动量关系为p =λ，对非相对论情形，粒 子动量v m p 0=，所以有v m 0 =λ，显 然随着速率的增大，波长变短。对于相对论情况，粒子动量 c m c v v m p 02 1 220)1(-==γ，所以 v m c v v m 021 220)1( -= =γλ，同样随着速率v 的增大，波长λ会减小，因此粒子 的波长随v 的增加总是减小。 二、填空题： 1.质量为m 的粒子，以速率v 运动（v<< c ）。①该粒子的德布罗意波长 为 ；②如果对该粒子波长的测定可以精确到3 10-（精确度），该粒子位置的不确定度为 。 （1）h h p mv λ= = （2）3 2 10h h p p λ λλ λλ -??=- ?= =? 310 h h x p mv -?≥ =?? 2. 如果某系统属于激发态，此状态能量的最小不确定度为2.21×10-23J ，求此激发态的寿命是 。 E t h ???≥， 341123 6.6310 3.0102.2110 h t s E ---??≥==??? 3.一光子位置不确定度为0.3m ，若测定该光子的波长的精确度为10-5，该光子的波长 。(普朗克常数h=6.63×10-34s J ?)。 x h P ?≥ ? §15.1 量子物理学的诞生—普朗克量子假设 一、黑体辐射 物体由其温度所决定的电磁辐射称为热辐射。物体辐射的本领越大，吸收的本领也越大，反之亦然。能够全部吸收各种波长的辐射能而完全不发生反射和透射的物体称为黑体。 二、普朗克的量子假设： 1. 组成腔壁的原子、分子可视为带电的一维线性谐振子，谐振子能够与周围的电磁场交换能量。 2. 每个谐振子的能量不是任意的数值, 频率为ν的谐振子，其能量只能为hν, 2 hν, …分立值， 其中n = 1,2,3…，h = 6.626×10 –。 3. 当谐振子从一个能量状态变化到另一个状态时, 辐射和吸收的能量是hν的整数倍。 §15.2 光电效应 爱因斯坦光量子理论 一、光电效应的实验规律 金属及其化合物在光照射下发射电子的现象称为光电效应。逸出的电子为光电子，所测电流为光电流。 截止频率：对一定金属，只有入射光的频率大于某一频率ν0时, 电子才能从该金属表面逸出，这个频率叫红限。 遏制电压：当外加电压为零时， 光电流不为零。 因为从阴极发出的光电子具有一定的初动能，它可以克服减速电场而到达阳极。当外加电压反向并达到一定值时，光电流为零，此时电压称为遏制电压。 21 2 m m eU =v 二、爱因斯坦光子假说和光电效应方程 1. 光子假说 一束光是一束以光速运动的粒子流，这些粒子称为光子； 频率为v 的每一个光子所具有的能量为h εν=, 它不能再分割，只能整个地被吸收或产生出来。 2. 光电效应方程 根据能量守恒定律, 当金属中一个电子从入射光中吸收一个光子后，获得能量hv ，如果hv 大于该金属的电子逸出功A ，这个电子就能从金属中逸出，并且有 上式为爱因斯坦光电效应方程，式中2m 1 2 m v 为光电子的最大初动能。当h A ν< 时，电子无法获得足够能量脱离金属表面，因此存在 三、光（电磁辐射）的波粒二象性 光子能量2E mc h ν== 第十五章量子物理 1、（1）在室温(20℃)下，物体的辐射能强度之峰值所对应的波长是多大？（2）若使一物体单色辐射本领的峰值所对应的波长在红光谱线范围内，m m 7 105.6-?=λ则温度为多少？（3）上述（1） ，（2）中，总辐射本领的比值为多少？ 解 （1）将室温下的物体近似看作绝对黑体，由维恩位移定律，得： T b m = λ，将k m b ??=-3 10 898.2,T=273+20=293K 代入上式，则得： m T b m 6 3 10 89.9293 10 898.2--?=?= = λ （2） 由维恩位移定律，得K b T m 3 7 3 1046.410 50.610898.2?=??= = --λ （3）由斯特潘—波尔兹曼定律 4 0)(T T M σ=得： 4 1 01 )(T T M σ= 4 2 02)(T T M σ= 由此得 4 43 4 1 201 021037.5)293 10 46.4( )( ) ()(?=?==T T T M T M 2、天狼星的温度大约是11000℃，试由维恩位移定律计算其辐射峰值的波长。 解 由维恩位移定律可得天狼星单色辐出度峰值所对应的波长 nm m T b m 25710 57.27 =?== -λ，该波长属紫外区域，所以天狼星呈紫色。 3、 估测星球表面温度的方法之一是：将星球看成黑体，测量它的辐射峰值波长m λ,利用维恩位移定律便可估计其表面温度。如果测得北极星和天狼星的m λ分虽为0.35m μ和0.29m μ，试计算它们的表面温度。 解 根据维恩位移定律 b T m =λ 可算得北极星表面温度K K b T m 3 6 3 1028.810 35.010897.2?=??= = --λ 天狼星表面温度K K b T m 3 6 3 1099.910 29.010897.2?=??= = --λ 4、在加热黑体过程中，其单色辐出度的峰值波长是由0.69m μ变化到0.50m μ，求总辐出度改变为原来的多少倍？ 解 当m m μλ69.01=时，根据维恩位移定律，黑体的温度为 K K b T m 3 6 3 1 11020.410 69.010897.2?=??= = --λ 根据斯特潘—玻尔兹曼定律，黑体的总辐出度 习题十五 15-1 将星球看做绝对黑体，利用维恩位移定律测量m λ便可求得T ．这是测量星球表面温度的方法之一．设测得：太阳的m 55.0m μλ=，北极星的m 35.0m μλ=，天狼星的 m 29.0m μλ=，试求这些星球的表面温度． 解：将这些星球看成绝对黑体，则按维恩位移定律： K m 10897.2,3??==-b b T m λ 对太阳： K 103.51055.010897.236 311 ?=??== --m b T λ 对北极星：K 103.81035.010897.236 322 ?=??== --m b T λ 对天狼星：K 100.110 29.010897.246 333 ?=??== --m b T λ 15-2 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度(总辐射本领)为·cm -2 ，求炉内温度． 解：炉壁小孔视为绝对黑体，其辐出度 242 m W 108.22cm W 8.22)(--??=?=T M B 按斯特藩-玻尔兹曼定律： =)(T M B 4T σ 41 8 44 )1067.5108.22() (-??==σ T M T B K 1042.110)67 .58.22( 334 1?=?= 15-3 从铝中移出一个电子需要 eV 的能量，今有波长为2000ο A 的光投射到铝表面．试问：(1)由此发射出来的光电子的最大动能是多少(2)遏止电势差为多大(3)铝的截止(红限)波长有多大 解：(1)已知逸出功eV 2.4=A 据光电效应公式2 2 1m mv hv =A + 则光电子最大动能： A hc A h mv E m -=-== λ υ2max k 21 第17章 量子物理基础 17.1 热核爆炸中火球的瞬时温度高达107K ，试估算辐射最强的波长和这种波长的能量子的能量。 解:根据维恩位移定律m T b λ=可得 3 107 310m 310m 10 m b T λ--?===?。 又根据普朗克公式得出能量子 348 1610 6.6310310J 710J 310 m hc E h νλ---???===≈??。 17.2 太阳在单位时间内垂直照射在地球表面单位面积上的能量称为太阳常数，其值为s ＝1.94cal/cm 2?min 。日地距离约为R 1＝1.5?108km ，太阳半径约为R 2＝6.95?105km ，用这些数据估算一下太阳的温度。 解：根据能量守恒，有 222144M R s R ππ?=?。 又根据斯忒藩－玻耳兹曼定律4 M T σ=，得 3 5.810K T ===?。 17.3 在加热黑体的过程中，黑体辐射能量的峰值波长由0.69微米变化到0.50微米。则 该黑体面辐射本领大了几倍? 解：由维恩位移定律m T b λ=和斯忒藩－玻耳兹曼定律4 M T σ=可得 44(/)m m M b σλλ-=∝， 故 4 4 12120.69 3.630.50m m M M λλ???? === ? ??? ??。 17.4 某物体辐射频率为6.0?1014Hz 的黄光，这种辐射的能量子的能量是多大？ 解：34 14196.6310 6.010J 4.010J E h ν--==???=?。 17.5 已知一单色点光源的功率P ＝1W ，光波波长为589nm 。在离光源距离为R ＝3m 处 放一金属板，求单位时间内打到金属板单位面积上的光子数。 解：设单位时间内打到金属板单位面积上的光子数为0n ，则 200 4hc P Sn h R n νπλ ==， 601--黑体辐射、光电效应、康普顿散射（不出计算题） 1. 选择题 题号：60112001 分值：3分 难度系数等级：2级 用频率为ν1的单色光照射某一种金属时，测得光电子的最大动能为E K 1；用频率为ν2的单色光照射另一种金属时，测得光电子的最大动能为E K 2．如果E K 1 >E K 2，那么 (A) ν1一定大于ν2 (B) ν1一定小于ν2 (C) ν1一定等于ν2 (D) ν1可能大于也可能小于ν2． [ ] 答案：（D ） 题号：60113002 分值：3分 难度系数等级：3级 用频率为ν1的单色光照射某种金属时，测得饱和电流为I 1，以频率为ν2的单色光照射该金属时，测得饱和电流为I 2，若I 1> I 2，则 (A) ν1 >ν2 (B) ν1 <ν2 (C) ν1 =ν2 (D) ν1与ν2的关系还不能确定． ［ ］ 答案：（D ） 饱和光电流与光强有关，相同频率不同光强的光束，光强越大，饱和光电流也越大。 所以这两个频率没办法比较。 题号：60112003 分值：3分 难度系数等级：2级 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ 必须满足： (A) λ ≤)/(0eU hc (B) λ ≥)/(0eU hc (C) λ ≤)/(0hc eU (D) λ ≥)/(0hc eU ［ ］ 答案：（A ） 题号：60113004 分值：3分 难度系数等级：3级 已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是 1.2 eV ，而钠的红限波长是540nm ，那么入射光的波长是 (e =1.60×10-19 C ，h =6.63×10-34 J ·s ) (A) 535nm (B) 500nm (C) 435nm (D) 355nm ［ ］ 答案：（D ） 题号：60114005 分值：3分 难度系数等级：4级 在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0．今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半 径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2 + (C) λhc m eRB + (D) λhc eRB 2+ ［ ］ 答案：（B ） 题号：60113006 分值：3分 难度系数等级：3级 用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K . (B) 2h ν - E K大学物理学下册第15章
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第15章量子物理指导
第十七章 量子物理基础习题解
第十六章 量子物理基础
《新编基础物理学》第15章习题解答和分析
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