浅析数学中的美
浅析数学中的美
刘志有
（咸阳师范学院数学与信息科学学院，陕西712000）
摘要
数学是研究现实世界中的空间形式与数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，数学对推动人类生产生活和改造自然起着重大的作用．数学美即是蕴藏于它所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法等等之中的简单、和谐、严谨、奇异等形式，它是数学创造的自由形式，它揭示了规律性，是一种科学的真实美．本文将论述数学中的简洁美、对称美、和谐美、符号美、奇异美、意象美，这些美不但令人赏心悦目，能够陶冶人的性情，能够使人聪明，而且更能使人高尚. 研究数学中的美，使我们感受美的神韵，提高我们对数学的学习兴趣，培养良好的思维品质，提高我们的数学素养，使我们更加热爱数学，进而更加热爱科学．
关键词:简洁美；对称美；和谐美；符号美；奇异美；意象美
Simply Analyzing the Beauty in the Mathematics
Liu Zhi Y ou
(Xian Y ang Normal University Mathematics and Information Science
Department Shaanxi 712000)
Abstract
Mathematics, not only as a kind of science which research the relationship between the space form in the real world and the stichomythic but also as a scientific language and the effective tool which portrays natural laws and the social rules , plays a significant role in impelling the humanity to produce lives and transforming our mother nature. Mathematical beauty is one of science beauties, which is a form of simplexes, harmony, precision and singularity of it’s own abstract conception, the formula symbols, propositional model, structural systems, reasoning argument, mode of thinking and so on. It is a free-form in the mathematical creation it reveals the regular pattern. It is a real beauty science. The following paper will state the compact beauty, symmetry beauty, harmonious beauty, symbol beauty, singular beauty, image beauty in the mathematics. These beauties not only make us pleased, singular and wise, increasing our interest but also make us a noble person. In research of the beauty of m athematics, we can feel the spirit of the beauty, stimulate our interest in m athematics-learning and develop our good thinking quality which makes us love math more as well as loving science more.
Keywords:Compact beauty；Symmetry beauty；Harmonious beauty；Symbol beauty；Singular beauty；Image Beauty
目录
摘要.............................................................................................................................I ABSTRACT.................................................................................................................. II 前言. (1)
1 数学中的简洁美 (2)
1.1数学语言的简洁性 (2)
1.2数学方法的简洁性 (4)
2 数学中的对称美 (5)
2.1 对称性在几何中的应用 (5)
2.2 对称性在积分中的应用 (7)
2.3 对称性在方程中的应用 (8)
3 数学中的和谐美 (9)
3.1 美丽的黄金分割 (9)
3.2 数学推理的和谐性 (10)
4 数学中的符号美 (11)
4.1 数学符号的方便性 (11)
4.2 数学符号的简洁性 (12)
4.3 数学符号的代表性 (12)
5 数学中的奇异美 (12)
5.1 数学方法的奇异性 (12)
5.2 数学思维的奇异性 (13)
6 数学中的意象美 (14)
6.1 数字与诗歌 (14)
6.2 数学与诗歌 (16)
结束语 (17)
参考文献 (18)
谢辞 (19)
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前 言
古希腊有一句名言：“哪里有数，哪里就有美．”[]1
美国数学家、数学史家克莱因说过：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善生活，但数学却能提供上述这一切．”著名哲学家罗素曾经指出：“数学，如果正确地看待，不仅拥有真理，而且也拥有至高的美．”
数学是研究现实世界中的空间形式与数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，数学对推动人类生产生活和改造自然起着重大的作用．
然而，长期以来，许多人们只注重数学的实用性原则，忽视了数学的美学原则，把数学讲得枯燥无味，使得许多人，尤其是中小学生对数学失去了兴趣甚至产生了厌烦的情绪，其仅仅是为了应付考试，为了进入好的中学或大学，才硬着头皮去做那浩如烟海的习题，于是越做越烦，越烦越没兴趣，形成了恶性循环．究其原因，除了社会的诸多因素之外，有一个基本的因素是学生没有感受到数学的和谐与优美，学起来味同嚼蜡自然收不到好的学习效果．
数学美即是蕴藏于它所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法等等之中的简单、和谐、严谨、奇异等形式，它是数学创造的自由形式，它揭示了规律性，是一种科学的真实美．
数学语言的概括性、简洁性、抽象性，数学知识的真理性，数学方法的多样性、灵活性、科学性，数学思维的新颖性、独特性、奇异性，等等，都是数学美的具体内容和表现形式．
数学里美的定理、概念、公式、问题、理论、方法、思想，简直就是一座美丽的大花园，开的都是人类思维的花朵，它们中有空谷幽兰，高寒杜鹃，老林中的人参，冰山上的雪莲，绝顶上的灵芝，抽象思维的牡丹．
例如[2]：爱因斯坦著名的质能公式2E mc =，(E —能量，m —质量，c —光速)被誉为“神仙写出的公式”，它将深刻而复杂的自然规律一经数学抽象，竟成如此简单精练的数学公式；欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，被誉为“数学中美的典范，数学中最卓越的公式之一”，它将看似毫无关系的五个数“0、1、i 、e 、π”却神奇的联系在了一起；数学中的圆堪称数学家心灵和智慧创造的数学艺术美的杰作．
还有，闻名世界的埃及金字塔、维纳斯的雕像、蒙娜丽莎的微笑画像等等都是艺术家们应用“黄金分割率”创造出的传奇之作．
浅析数学中的美
本文将论述数学中的简洁美、对称美、和谐美、符号美、奇异美、意象美，数学中的美不但令人赏心悦目，能够陶冶人的性情，能够使人聪明，而且更能使人高尚．研究数学中的美，使我们感受美的神韵，提高我们对数学的学习兴趣，培养良好的数学思维品质，提高我们的数学素养，从而使我们更加热爱数学，热爱科学.
1数学中的简洁美
爱因期坦说过[3]“美，本质上终究是简单性．”朴素、简单，是其外在形式，只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美．
世事再纷繁，加减乘除算尽；
宇宙虽广大，点线面体包完．
这首诗[4]，用字不多，却到位地概括出了数学的简洁明了，微言大义．数学和诗歌一样，有着独特的简洁美．
以下将从数学语言的简洁性及数学方法的简洁性两个方面论述数学的简洁美．
1.1 数学语言的简洁性
数学语言是一种特殊的语言，从形式上大致可分为数学文字语言、数学符号语言和数学图式语言．
数学中的文字语言是数学化了的自然语言，或者称为自然语言中的数学语．自然语言常具有模糊性，而数学是严谨的，容不得含糊．所以，数学中的文字语言不是自然语言文字的简单移植或组合，而是经过一定的加工、改造、限定、精确化而形成的，并且，这些语言具有数学学科特指的确定的语义，常以数学概念、术语的形式出现．
如数学中的直线、全等、连续、区间、组合、相似、极限、轨迹等都是自然语言的精确化；绝对值、正值、中线、中位线、有理、无理等都是对自然语言中的文字进行限定的结果；增加几倍、扩大几倍、概率、正弦、可微、可积等都是具有特定含义的数学文字语言．有些数学语言本身还具有比喻或象形意义，如扇形、补角、射影、倒数、锐角、钝角、参数、行列式等数学词语，似乎能给人一种语言直观，使人较为自然、容易地领会和理解．
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自然语言是数学文字语言形成与发展的基础，数学文字语言不仅借用了自然语言中的文字，沿用了自然语言中的语法规则，而且在大多数情况下两种语言的语义也是一致的．
符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是在人类数学思维长期发展过程中形成的一种语言表达形式．“数学的效能来自数学符号．”[5]按感知规律，数学符号分为三种：象形符号、缩写符号、约定符号. 象形符号是由数学对象的空间位置结构或数量关系经抽象概括得到的各种数学图形或图式，再经缩小或改造而形成的一类数学符号．
如几何学中的符号?、⊙、⊥∠
、等都是原形的压缩改造，属于象形符号．缩写符号是由数学概念的西文词汇缩写或加以改造而成的符号，比如函数f(function),极限lim(limit)、正弦sin（sine）、最大max（maximal）、最小m in （minimal）等符号均为此类. 约定符号是数学共同体约定的，具有数学思维合理性、流畅性的数学符号，如运算符号+、-、?、÷，存在（?）、任意（?）、全等（?）、相似（∽）、大于（＞）、小于（＜）、存在（?）、任意（?）等均属此类．
图表语言是指包含一定数学信息的各种图或表，可细分为图形语言（几何图形、统计分析图、集合维恩图等）、图象语言（函数图象或统计线图等）和格表语言（统计数据表、分析表、框图等），它们是数学形象思维的载体和中介，也是数学思维的重要材料和结果，而且还是进行抽象思维的一个重要工具．我们必须确认，图表也是一种数学语言，是数学的一种直观性语言，是对其他两种语言的补充，它与数学概念、术语、符号与式子等一起构成数学语言系统．尤其在当今信息化社会，人们会经常地在各种媒体上看到或阅读到某种载有一定数学意义的图形、图象或格表，这些图形、图象或格表作为信息传递的一种形式具有同文字信息形式相同的功能，但比文字信息更直观．所以，掌握图表语言是现代社会的要求，学生必须学会读图，掌握图表语言，要能够从图形、图象和格表中读出蕴涵的信息来．
三种数学语言各有优势与不足：文字语言通俗、易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构；数学符号虽然抽象，但十分简洁，描述起来给人以结构感；图表语言比文字语言和一般符号语言更具直观性，容易形成表象．为了使数学内容不那么难懂，能够借助母语理解，在实际表述数学思想内容的时候，常结合自然语言的表述，所以，一种数学思想内容的表达常是数学符号语言、文字语言、图表语言和自然语言的优势互补和有机融合．
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数学语言作为一种语言，是数学交流的工具，是数学思维的载体．但是它和自然语言(如汉语、英语)却有着诸多不同．数学语言抽象而精确、简练而多样、科学而通用．
1.2 数学方法的简洁性
应用题的解法常有多种，我们也提倡解决问题的方法多样化，那么在这多种解法中如何判断其优劣呢?其最主要也是最基本的标准——是否简捷．
例1.2.1 一条路长1200米，某工程队前3天修了全长的1
5，照这样计算，修完这条路还需几天? 解法一：11[1200(1200)](12003)1255-?÷?÷= (天) 解法二：11200(12003)3125÷?
÷-= (天) 解法三：11[(1)]31255
-÷?= (天) 解法四：1
33125÷-= (天)
后两种解法运算量小，道理也很清楚，特别是第四种解法．利用天数与与工作量的关系，一下子算出总天数，再减去已用的3天，马上得解，因而也是最清楚、最美的解法．
在高等数学中,求不定积分比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来得困难,因为其中需要技巧. 我们提倡快乐数学，用朴素、简明、生动的语言表达深奥的道理. 把求不定积分的主要技巧、思路经过提炼，编成顺口的便于记忆的口诀，学生很容易掌握求不定积分的方法.
口诀是：心中有张积分表，做题想法去对照，表中没有换变量，积分换成表中样，查表得出原函数，积分变量换原样，遇到乘积和超越，分部积分有特效，办法总比困难多，熟记口诀实在妙.
例1.2.2 [5] 求不定积分1sin dx x ?
. 解 22sin
cos
sin cos 1222222ln tan sin 22sin cos cos sin 2222x x x x x x
d d x dx dx C x
x
x
x x +==+=+????， （C 为任意常数）.
例1.2.3 [5] 求不定积分sin sin cos x
dx x x -?.
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解 s i n 1s i n c o s s i n c o s s i n c o s
2s i n c o s x x x x x d x d x x x x x -++=--?? 1
sin cos (12
sin cos x x dx x x +=+-?
1(s i n c o s )1()(l n s i n c o s )
2s i n c o s 2d x x x x x x C x x -=+=+-+-?, （C 为任意常数）. 简洁美并非单薄、初等、低级, 而是用简单的原理、公式概括大复杂的事实, 这样的简洁就显得深远，且充分显示出科学理论之美. 数学的这种简洁美，用几个定理、公式、概念、理论，是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使己有的定理更简洁. 正如伟大的希尔伯特曾说过[6]“ 数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着” ．
数学中的简洁美无处不在，从自然数到哥德巴赫猜想，只要有数学的地方，你总会采撷到数学的简洁美．数学符号、图形的使用可以替代语言文字，同时又浓缩了语言文字的全部含义．这给研究问题带来了方便，提高了工作、学习效率.总之，数学的抽象符号及直观的图形中有美的形象，数学的逻辑推理中更有简洁美的神韵．
2 数学中的对称美
“对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重要的思想方法．在“对称”中往往体现出数学的“美”来．充分利用对称原理，可使我们在解决问题时多一条有效的通道，而且常能起到化繁为简，出奇制胜的效果．亚里士多德指出：认为数学不涉及美或善是错误的．数学特别体现了秩序、对称和明确性，而这些正是美的主要形式．下面就对称性原理在数学中应用的几个方面作一些介绍，从中体会一下数学上的对称之美及对称性应用之妙．
2.1 对称性在几何中的应用
在几何方面，对称性较为直观，通过画出几何图形就能容易地发现具有对称性的对象.球、圆、双曲线、抛物线等的对称性是很直观的，利用它们的对称性可以解决许多几何问题．在欧氏平面几何中，过两点可作一条直线，但两直线不总有一个交点(当这两条直线平行时)，如果我们设想两平行线相交于无穷远点，那么就形成完全对称关系了. 正是基于这种对称性的“弥补”而推进了几何发展，建立了射影几何学. 在射影几何理论中，点与直线始终具有对称的重要特性，例如：两点确定一条直线，两直线确定一点；不共线三点确定一个二角形，不共点三直线也惟一地确定一个三角形等等．这样一来，欧氏平面几何中的定理与射影
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几何中的定理之间也构成了一种对称关系在．平面几何的定理中，若将其中“点”换成.“直线”，“直线”换成“点”，就可得到相应的射影几何中的定理．
例如[7]：由德萨格定理“若两个三角形对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线”，经过对称地变动，即得“对偶定理”，若两个三角形对应边的交点共线，则其对应顶点的边线共点．
例2.1.1 证明等腰三角形的两底角相等.
分析 此题的常规证法是通过作等腰三角形底边上的高而得到两个全等的三角形,从而由对应角相等来证明命题成立．若我们能发现A B C ?与A C B ?的对称性就能够更简单地证明..
证明 如图右所示,在A B C ?与A C B ?,因为
A A ∠=∠,
A B A C =, A C A B =,所以
A B C A ???．因此B C ∠=∠． 当然,此题用常规思维,通过作底边上的高同样
比较容易证到所要证的结论.但利用对称性来证明是
一种很好的证明方法，更加简单，能够培养人的发散思维．
例2.1.2 如图，A B C ?的三边分别,,a b c ,C D
和B E 分别是A B C ?中A C B ∠，A B C ∠的外角平分
线，C D A D ⊥AE BE ⊥，垂足分别为D 、E ，求E D ． 分析 从图形上看，E D 与B C
于是猜想E D 可能是某个三角形的中位线，那么想
象中的三角形是哪个三角形呢？已知图形中给出了对称条件：角平分线，由此而想象到把A E
B ?沿B E 折到F E B ?，把A D
C ?沿1
()2E D a b c =++折到G D C ?，这
样既补全了完美的轴对称图形，又得到了一个完整的A F G ?，而且易证E D 就是A F G ?的中位线，所以1
()2E D a b c =++．这显然是在图形美的追求过程中捕捉
到解题灵感的.
例2.1.3 [8] 已知A B C ?中，
A ∠，
B ∠，
C ∠的对边分别是c b a ,,,且10=+c b ，78322222-+-=+a a c b ,求证：A B C ?是等腰三角形．
分析 考虑到已知式b 、c 的对称性，用a 的代数式表示bc ，进而可考虑构造出一元二次方程来探路求解.
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解 由10=+c b ，78322222-+-=+a a c b ，得89162+-=a a bc ，于是构造一元二次方程089161022=+-+-a a x x ，可见c b ,是该方程的两个实数根，故有0)8(4)8916(410222≥--=+--=?a a a ，即0)8(2≤-a ，但0)8(2≥-a ，所以0?=，c b =，即A B C ?是等腰三角形.
在解题中给我们的启迪是什么？是它们的对称，是解题方法的巧妙. 对称性是数学发现与创造中的重要的美学因素. 解题时一旦题目提供的知识信息与学生的审美情感吻合，就会激起学生的审美直觉，从而迅速、正确地确定解题方法，解题思路、解题策略.数学解题是一种审美活动，是审美情感支配下对数学美的追求.
2.2 对称性在积分中的应用
对称是数学形态美最重要的特征，正如著名数学家魏尔所说：“美和对称紧密相连.”在积分学中，对称区间上的定积分依被积函数的奇偶性可变得简单，即在对称区间[],a a -上，若函数()f x 为偶函数，则0()2()a a a f x dx f x dx -=?
?,若()f x 为奇函数，则()0a
a f x dx -=?，用积分求平面图形的面积和空间立体的体积时，若
能首先断定所给的平面图形和空间立体是对称的，则只须分别求出其中一个对称块的面积和体积，再乘以对称的块数即可，因此利用对称性使计算变得十分简单．
在微积分中，可以利用对称性来求微分、积分等．
例2.2.1 [9] 求积分222222()v x y z I dxdydz a b
c =++???，其中V 为椭球体 2222221x
y z a b c ++≤．
分析 根据椭球体的变量x y z 、、之间、参变量a b c 、、之间与I 的积分变量x y z 、、之间、参变量a b c 、、之间均具有对称性,可以把I 拆分成
2
12v x I d x d y d z a =???，222v y I dxdydz b =???，232v z I dxdydz c =???，只要求出其中任一个(不
妨设1I )的值，就可以求出其余两个(2I ,3I )的值，只需把所得结果中的参量(a )替
换成相应参量(b 或c )就可以了，例如，若求1I f =（a ），2I f =（b ），3I f =（c ）．
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解 令22122x a v a R x x I dxdydz dydz a a -==???
???，其中x R 表示椭球面22
222222
1y
z x
x a a +≤（1-）b （1-）c ，其面积为22x abc a π（1-）， 所以 22122415x a v a R x x abc I dxdydz dydz f a a π-=
===??????（a ）
． 由对称性知 2224()15v y abc I dxdydz f b b π===???
， 232415v z abc
I dxdydz f c π===???（c ）
， 所以 12345
abc I I I I π=++=． 对于此题，用通常的球坐标变换也能把积分求出来，但利用对称性计算更简洁、方便．
2.3 对称性在方程中的应用
例 2.3.1 同学们乘坐公共汽车去参观，出发半小时后，小明乘高速客车追赶，问多少时间追上？公共汽车速度：60 km / h 高速客车：80 km / h ．
分析：这是一道初中的数学问题，也是常见的物理现象，我们根据题意可以很快列出方程. 由题意知这是相对速度问题或者为等距离问题．
(1) 等距离思路
解 设经过x 小时追上，则经过x 小时后，公车行驶时间为，距离为0. 5+ x ；高速客车行驶时间为60(0.5)x ?+，距离为x . 两者从同一地点出发，追上时肯定行驶距离相等．
60(0.5)80x x ?+=
1.5x = (小时)
(2)相对速度思路
公车早出发半个小时，也就是说，在小明开始出发时，公车已经行驶60×0.5=30 km 了，这距离也就是两者相比多出来的. 但是小明的车快啊，所以这部分多出来的距离必须靠速度的差距来弥补. 他们的速度差距是多少？就是了，用
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这个速度80-60=20 km / h ，行驶x 小时后赶上，方程式不是很简单吗？
(8060)600.5x -=?
1.5x = (小时)
无论用那种方法列方程，都体现了对称思想，解的过程也一样．通过以上运用对称性解答题目，可知解题的简洁和快捷．
例2.3.2 求函数,z xy =0,0x y >>在满足条件1x y +=的最大值．解根据x 与y 的对称性令12x k =
+,12y k =-于是2111()()224z xy k k k ==+-=-故当0k =即1
2x y ==时，z xy =取得最大值此题也可用代数方程和求导方法解之，但相比
之下，上述利用对称性的特点的解法较为简便．
对称在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性上也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，还有许许多多的地方都体现出它的魅力，就像亚里士多德所说的那样：虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离．因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则．
3 数学中的和谐美
和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致．和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之间所存在的内在联系或共同规律．和谐性是数学结构美的重要标志，是数学家不懈追求的永恒目标，也是数学发现与创造的美学方法之一．作为研究客观世界数量关系和空间形式的数学科学，反映了客观世界的和谐统一性，正如希尔伯特所说：“有机统一，是这门学科固有的特点，因为这是一切自然科学知识的基础．”
3.1 美丽的黄金分割
17世纪德国著名的天文学家、数学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作为宝石矿．”[6]可见黄金分割在数学中的重要性．
“数字”与“艺术”之间存在着巧妙而密切的联系，人类早已对此表示出了极大的关注并进行了深入不懈的探讨和研究．最早提出黄金分割这一名称的是中世纪著名画家达芬奇．艺术家们都着力于研究自然界，为的是在画布上忠实地再现它．于是他们面临着一个数学问题，就是怎样把立体的现实世界绘制到平面的
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画布上去．达芬奇与他同时代的一些绘画家经过研究认为，数学特别是其中的几何学，与绘画有着密切的关系．达芬奇尤其坚信数学的透视法是使画面再现实体的唯一途径，因此他十分注意对透视原理和线段间比例关系的研究．在达芬奇的绘画法则中，充分吸收了黄金分割的几何意义，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位．
“黄金分割”代表着一种至高的“和谐” ．黄金分割是人类艺术的宠儿，特别是绘画，建筑和摄影. 雅典巴台农神庙、巴黎圣母院等著名建筑的外观，都利用黄金分割比给人以美的享受，金字塔的斜面三角高与底面半边长之比也是黄金分割比．
数的和谐能够产生美感效果，和谐是由一定数的比例关系中派生出来的．把这种数的比例关系推广到音乐、绘画、雕刻、建筑等各个方面就可以得到动听的音乐，美丽的绘画、雕刻、建筑等等． “黄金分割率”就是和谐比例关系的其中之一．
3.2 数学推理的和谐性
推理是从一个或几个已知的判断得出一个新的判断的思维过程．其结构包括前提和结论两部分，已知的判断称为推理的前提，得出的新判断叫做推理的结论．正确的推理要求前提真实，要求运用符合形式逻辑的推理方式，遵守推理规则．
数学推理的严谨性和无矛盾性也是和谐美的一种体现．和谐性在数学中还表现为一定意义上的不变性，即在不同对象或同一对象的不同组成部分之间总有共同的规律存在．
例3.2.1[10] 如右图，已知函数
),0,0)(sin(π?ω?ω<>>+=A x A y 的一段图象，
求这个函数的解析式．
解 易知3=A ，因为
3624πππ=-=T ， 所以34π
=T ，23
2==T πω， 将最高点)3,6(π代入得1)4s in (=+?π，所以)(224Z k k ∈+
=+ππ?π
，又π?<，所以4π
?=，所以函数的解析式为：)423
sin(3π
+=x y .
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在上述求?的过程中，若将零点)0,2(π代入)2
3
s i n (3?+=x y 可得0)43s i n (=+?π，所以)(43Z k k ∈=+π?π，又π?<，所以4π?=或4
3π-，但当43π?-=时，点)3,6(π不在函数)4323sin(π-=x y 的图象上，难道以上推理错了？奥秘何在？事实上，只要考虑正弦曲线x y sin =与x 轴的交点)0,(0x P 情况不难发
现，若)0,(0x P 是位于递增段上的零点，则)(20Z k k x ∈=π；若)0,(0x P 是位于递
减段上的零点，则)()12(0Z k k x ∈+=π，按此奇、偶分布规律，由于上述零点)0,2(π位于曲线的递减段上，所以有)()12(223Z k k ∈+=+?π?π，又π?<，所以4π
?=，
与最高点代入法得到的?完全一致，这正是数学推理和谐美的一种体现．
数学中严密的数学推理犹如艺术作品中合理的布局、流畅的线条和层次分明的色阶．严谨是数学本身一大特点，所谓严谨就是使用精确的数学语言进行严格的推理论证和计算，整个系统内部是和谐的．由于数学不同于物理、化学等实验型科学，理论系统的严谨性就成为其赖以生存的首要条件．和谐性则是严谨性的必要条件，由于数学理论的严谨，其和谐性表现特别突出，有人把和谐列为“数学美”的标准之一．严谨性是理论系统序化的特点，一切缺乏组织的随意定义和扩充的理论是谈不上严谨的，当然也就不可能和谐．
4 数学中的符号美
数学符号是最简洁的文字，表达的内容却极其广泛而丰富，它是数学科学抽象化程度的高度体现，也正是数学美的一个方面．
数学的世界是一个符号的世界，数学语言就像一座灯塔，照亮了自然的未被揭示的秘密．数学语言是由一些符号和记号组成的语言．因此符号是交流与传播数学思想的媒介．我们就从下面几个方面看看数学的符号美．
4.1 数学符号的方便性
数学符号的第一大特点就是它的方便性，正是数学符号的方便性决定了它持久的生命力．数学符号一直不断地在方便性上逐步改进，不断完善它美的魅力．二进制的得宠就在于它便于电子计算机的使用．首先二进制只需0和1两个数码就可表示一切数目．这对于计算机来说是最为有利的，可以大大简化计算机的“运
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算器”．一种符号的方便性有助于各方面的发展，而数学符号的方便性不仅给数学本身带来便捷，而且也促进了其它科学的发展．
4.2数学符号的简洁性
符号表达的算式、公式、概念、定理等等，节省了大量文字，反映了普遍规律，简洁，明了，易记，充分体现了数学语言干练，简洁的特有美感．
4.3数学符号的代表性
符号：“=”（等于号）两条同样长短的平行线，表达了运算结果的惟一性，体现了数学科学的清晰与精确．
“≈”（约等于号）是等于号的变形，表达了两种量间的联系性，体现了数学科学的模糊与朦胧．
“＞”（大于号）、“＜”（小于号），一个一端收紧，一个一端张开，形象地表明两量之间的大小关系．
线条：看到“⊥”（垂直线条）我们想起屹立街头的十层高楼，给我们的是挺拔感；看到“－”（水平线条），我们想起了无风的湖面，给我们的是沉静感；看到“～”（曲线线条），我们想起了波涛滚滚的海浪，给我们的是流动感．几何形体中那些优美的图案（圆、抛物线、椭圆、圆锥曲线等等）更是令人赏心悦目．
5数学中的奇异美
数学中的奇异美，是指数学中所得出的结果或有关的发展是如此地出人意料，既引起了极大的惊愕和诧异，又引起了人们的赞赏与叹服，从而给人以新奇的美感，奇异美也是数学美的一个基本内容．
数学中新颖的结论、出人意料的反例和巧妙的解题方法都表现出了一种独特的令人惊讶的奇异美．
5.1数学方法的奇异性
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，这是苏轼的七绝《题西林壁》诗中的前两句，意思是：正看庐山，高岭横空，侧看庐山，峭拔成峰，远近高低形象各异．
我们观察事物，如果所出的立场不同，观察到的结果也有所不同．我们思考处理某一数学题，如果从某一角度用某种方法难以奏效时，不妨换个角度去观察，换个方法去处理便可能“迎刃而解”．
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例5.1.1[11] 解方程32210x x -+-=．
这是一个一元三次方程，在现行的中学教材，未介绍解一般三次方程的方法，
看作“未知数”而将x 看作“已知数”则将原方程整理成
223
(2(1)0x x x -++=．
解得 1x =+21
(0)x x x x -+=≠，故得
11x =，22x =，32x =
微积分使得一些用初等数学方法根本不可能求得其值的无理数的近似计算成为可能，由函数的幂级数展开式毫不费力地得到人们熟知的无理数π和e 的表示式:
11114(1(1))35721n n π=-
+-++-++ 11
1112!3!!e n =++++++
把一个确定的数用一无穷级数来表示，并由此再利用电子计算机就可以得到满足任意精度要求的近似值，奇妙无穷，令人惊异.
几何中许多方法巧妙无比，许多结论令人惊叹，许多图形形状令人赞叹，充分表现了数学的奇异美．如欧氏几何的辅助线、解析几何中的几何问题代数化处理等；许多曲面如二次柱面、二次锥面、单叶双曲面和双叶双曲面的直纹性令人惊讶．通过分析可知，单叶双曲面既可由一族椭圆生成，又可由一族双曲线生成，由这个无界的曲面可联想到宇宙的广袤．因此，在美国有一座天文馆,就建成单叶双曲面的形状，其设计师就是由彗星的椭圆、双曲线轨道联想到这幅探索宇宙空间的精美图画．更为奇妙的是，它的外表设计应用了单叶双曲面的直纹性，在天气晴朗的时候，阳光沿着两族直母线将该馆分成两半，上半的阴与下半的阳相对称．这充分表现了设计者极高的数学素质和审美意识，他们就是巧妙的利用了几何图形表现的奇异美．
5.2 数学思维的奇异性
克莱因所指出的“数学的另一个重要的特征是它的符号语言．如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式．”他又说：
浅析数学中的美
“数学语言是慎重地、有意识地而且经常是精心了设汁的，凭借数学语言的严密性、抽象性、概括性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，如果用普通语言表达出来就会显得冗长不堪，这种简洁性有助于思维的效率．”[12]这表明，数学思维的符号化特性是与这种思维的高度间接性概括性相适应的，因为只有运用摒弃了具体内容的形式化符号，才能保证思维实现更高程度的抽象和概括．有人曾经把数学美学特征概括为统一性、简洁性、奇异性三个方面，数学思维由于其高度的间接性和概括性保证了数学思维的统一性和奇异性．因为只有高度的抽象、高度的概括才能得到高度的统一，而高度的间接性反作用于现实，就隐含了思维的奇异性．同时，数学思维的符号性特征又保证了思维的简洁性因此数学思维往往具有显著的美学特征，正如庞加莱所说：[12]“我敢冒昧地说数学的探索适有深刻的美学原则”又如波莱尔所说：“我们的活动与艺术家的活动有许多共同之处，画家进行色彩与形态的组合音乐家将乐音组合起来，诗人组词，而我们则是把一定类型的概念组合起来．”可见数学思维的美学特征是十分明显的．6数学中的意象美
秀才进京赶考[13]：明朝有一穷书生，历尽千辛万苦赶往京城应试．由于交通不便，赶到京城时，试期已过。经他苦苦哀求，主考官让他先从一到十，再从十到一作一对联．穷书生想起自己的身世，当即一气呵成：一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四浆五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟．十年寒窗，进了九、八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今天一定要中。几十载的人生之路，通过十个数字形象深刻地表现出来了。主考官一看，拍案叫绝，当即将他排在榜首．
诗与数学之间最深刻的关系莫过于数学概念或意象与诗歌的结合．
6.1数字与诗歌
以宋代邵康所作的一首诗[9]来具体说明数学诗中所蕴涵的形式美．
一去二三里, 烟村四五家．
亭台六七座, 八九十枝花．[14]
该诗巧妙运用了1—10十个数字形成一种错落有致的形式美, 活生生的勾画出了一幅风景如画的山村自然美景．在此也以数字一至十为首的诗来形容旧中国教师劳动的艰辛和生活的现状．
中国古代的诗词中更不乏数字美的佳句．如李白的“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还．两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”，是公认的长江漂流的名篇，
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展示了一幅轻快飘逸的画卷．
“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，“白发三千丈”[8]也是借助数字达到了高度的艺术夸张．
杜甫的“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天．窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船”，同样脍炙人口，数字深化了时空意境．他还有“霜皮溜雨四十围，黛色参天二千尺”，“青松恨不高千尺，恶竹应须斩万竿”等，表现出强烈的夸张和爱憎．
柳宗元的“千山鸟飞绝，万径人踪灭．孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪”，数字具有尖锐的对比和衬托作用，他的“一身去国六千里，万死报荒十二年”和韩愈的“一封朝奏九重天，夕贬潮州路八千”一样，抒发迁客的失意之情，异曲同工，惊心动魄．
岳飞的“三十功名尘与土，八千里路云和月”，陆游的“三万里河东入梅，五千仞岳上摩天”，同样是壮怀激烈的．还有一些状似打油诗之作，也含有一定的哲理．
如唐诗《题百鸟归巢图》：“一只一只复一只，五六七八九十只，凤凰何少鸟何多？食尽人间千万石．”传说郑板桥见人赏雪吟诗，戏作：“一片二片三四片，五六七八九十片，千片万片无数片，飞入梅花总不见．”[8]读来妙题横生．文君复书：西汉时期，司马相如赴长安赶考，对送行的妻子卓文君发誓：“不高车驷马，不复此过．”多情的卓文君却深为忧虑，就叮嘱他：“男儿功名固然很重要，但也切勿为功名所缠，作茧自缚．”说完，司马相如便上路了到了长安，勤奋读书，终于官拜中郎将．从此，他沉湎于声色犬马、纸醉金迷的生活．觉得卓文君配不上他了，处心积虑想休妻，另娶名门千金小姐．时光任苒，一转眼5年过去了．一天卓文君正暗字垂泪，忽然京城来了一名差官，交给她一封信，并说司马相如大人吩咐，立等回书．卓文君又惊又喜，拆开一看，寥寥数语：“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万．”卓文君一下子明白了，当了新贵的丈夫，已有弃她之意．卓文君回信写道：“一别以后，二地相悬，只说三四个月，又谁知五年六年．七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环又从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千思念，万般无奈把郎怨．万语千言说不完，百无聊赖十依栏，重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒，五月石榴火红偏遭阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱，急匆匆，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断，噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男．”[15]司马相如读后十分羞愧、内疚，良心受到了谴责，越想越对不住这位才华出众、多情多义的妻子．后来他终于用高
浅析数学中的美
车驷马，亲自登门接走卓文君，过上了幸福美满的生活．试想一下，在上述妙语绝句中，如果没有数字与文字的结合，会如此精彩和美妙吗？数字和文学语言的结合到了出神入化的境界，引人入胜．
读上面这些诗，每个人都能明显感到，诗的意境几乎是来自那些数词，无论是数词的单个应用，重复引用，抑或是循环使用，看似毫无感染力的数词竟也都能表现出或寂寥，或欣然，或恬淡，或伤感的思想感情．所以数学中的数字还有如此丰富的感情色彩，数学的美感也是回味无穷的．
6.2数学与诗歌
在数学家的眼中，很多事情都包含着数学．在我国的一些古诗名句中也能找到一种数学意境，让人品味．唐代诗人王维在《使至塞上》中的绝唱“大漠孤烟直，长河落日圆”[16]，这句诗描绘了一幅空旷、荒寂的塞外黄昏景象．但学数学的人读这句诗的时候，可以将那荒芜人烟的戈壁视为一个平面，而将那从地面升起直上云霄的如烟气柱，看成是一条垂直于地面的直线．因此，“大漠孤烟直”在数学家的眼中便成了一条垂直于平面的直线；而那远处横卧的长河被视为一条直线，临近河面逐渐下沉的一轮落日被视为一个圆，这样“长河落日圆”在数学家的眼中便是一个圆切于一条直线．
“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”[16]是李白在《黄鹤楼送孟浩然之广陵》中的名句．在我们上高等数学课的时候，在理解无穷小量是以零为极限的变量时，这时就能在脑海中出现一幅“一叶孤舟随着江流远去，帆影在逐渐缩小，最终消失在水天一际之中”的图景，这个无穷小的数学概念也就融合在这美的诗意中去了．而且学生在听课的时候的兴趣也就会大增，对概念的理解就会更加的形象化，就理解的更深刻．
数学这块肥沃富饶的土地为人类培育出万千杰出的英才．欧几里德的几何原本、笛卡尔与费尔马的解析几何、牛顿和莱布尼兹的微积分、罗拔切夫斯基的双曲几何、黎曼的椭园几何、伽罗瓦的群论、康托的集合论、希尔伯特的几何基础、庞加莱的组合拓扑、奈万林纳的亚纯函数值分布理论、布尔巴基学派的数学原理、陈省身的纤维丛与示性类理论、华罗庚的典型域上的调和分析、冯康的有限元等等．他们都在数学史上写下光辉灿烂的一页，为数学的发展作出了不朽的贡献．数学的语言和符号是静怡典雅的音乐．数学的模式是现实世界数形贡献优美的画卷．数学的抽象思维是人类智慧奥秒的诗篇．
数学系毕业论文《浅谈数学中的美》
哈尔滨师范大学毕业论文（函授） 浅谈数学中的美 年级：13届 学号： 姓名：颜玉娥 专业：数学教育 指导教师： 二零一三年四月 院系数学系专业数学教育 年级 xx级数学（xx）班姓名 xx 题目浅谈数学中的美 指导教师
评语 指导教师 (签章) 评阅人 评语 评阅人 (签章)成绩 答辩委员会主任 (签章) 年月日 浅谈数学中的美 【摘要】：
自然的终极秘密是用一种我们还不能阅读的语言书写的，数学为这种原文提供了注释。其中数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。数学追求的目标是：从混沌中找出秩序,使经验升华为规律,将复杂还原为基本。数学的无穷无尽的诱人之处还在于,它里面最棘手的悖论也能盛开出魅力的理论之花。数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的思想是神奇的。 数学具有简洁美、和谐美、奇异美等特征，但数学美却蕴藏于它所有的抽象符号、严格语言、演绎体系中。英国著名数学家B-A-W-罗素（1872—1970）曾说过：“数学，如果正确的看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面。这种美虽然没有音乐或绘画的那些华丽的装饰，但是它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地”。数学就是这样一门“既美而真”的学科。 【关键词】： 美；空间；二进制；黄金分割；杨辉三角； 【正文】： 一、简洁美 简洁美是数学的重要标志。数学的语言是最简洁的语言，
用最简洁的方式揭示自然的客观规律，这正是数学最迷人的所在。爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性”。他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这种美学理论，在数学界也被多数人认同。朴素、简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 世事再纷繁，加减乘除算尽，宇宙虽广大，点线面体包完。正是数学的这种简洁性，使人们更快更准确的把握理论的精髓，促进自身学科的发展，也使数学学科具有了很强的通用性。目前数学已经成为了包括自然科学在内的所有科学的语言和工具。 为了更清楚地说明简洁美所导致的“真正的进步”,以二进位数制的建立为例来进行分析。二进位制渊源已久。作为一种系统的研究,莱布尼兹最早认为建立这样一种数制的可能性。他认为在二进位数制中,只需使用0和1这样两个数字就可表示出所有数量。他指出,1表示统一,0表示无。于是他推论道：只用0和1就可以把所有的数字都表现出来。这种记数法对于电子计算机是特别适用的。因为,在计算机中可以很方便地用一个特别按钮的“开”和“关”来分别对应数字“1”和“0”。进而,又只需适当增加按钮的数量,我们就可用按钮的组合来表示任何一个二进制数。这是多么伟大的一个构想。毫不夸张的说，没有数学的简洁，就没有现在这个互联网络四通八达、信息技术飞速发展的世界。
赏析数学美
数学中美的欣赏 摘要：爱美之心人人皆有，也正是这样人们才会对美的事物不断的追求。数学家孜孜不倦的研究数学，和他们对美的追求是分不开的。数学美应是“数学中能带给人愉悦的东西”。学生学习数学觉得枯燥的一个重要原因是没有体会到“数学美”，不懂得欣赏数学美或缺少欣赏数学美的能力。因此，本文就主要从数学美的概念数学美与其它美的区别以及它的内容和在数学教育中的体现等方面充分挖掘数学美。通过对学生进行数学美的教育，有助于学生树立学习的信心，提高学习的兴趣，激发学习潜能，在学习中获得愉悦感。 关键词：数学美；对称性；简单性；统一性；奇异性 数学美是一种蕴涵的美，它需要从深处去挖掘。关于数学美的内容很多,本文是为了从浅层阐述数学的美,让学生初步感受数学中美的存在，所以本文就主要从数学美的概念、数学美与其它美的区别、数学美的内容和它在数学教育中的体现这几个方面作以下的阐述。 一、数学美的概念 美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性显现。通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。 历史上许多学者、数学家对数学美从不同的侧面作过生动的阐述。 普洛克拉斯早就断言：“哪里有数，哪里就有美。” 亚里士多德也曾讲过：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式家是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学研究的原则。” 徐利治教授说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，既所谓数学美。数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构关系的协调性，对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。 以上的论述可见，数学中充满着美的因素，数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的呈现，它不是什么虚无飘渺、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。 二、数学美与其它美的区别 数学美有别与其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。 美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。” 数学美与其它美的区别还在于它是蕴涵在其中的美。打个比方来说，大家一定都有这种感觉，绝大部分同学对音体美容易产生兴趣，而对数学感兴趣的不多。我认为，这主要有两个方面的原因：一是音体美中所表现出来的美是外显的，这种美同学们比较容易感受、认识和理解；而数学中的美虽然也有一些表现在数学对象的外表，如精美的图形、优美的公式、巧妙的解法等等，但总的来说数学中的美还是深深地蕴藏在它的基本结构之中，这种内在的理性美学生往往难以感受、认识和理解，这也是数学区别于其它学科的主要特征之一。二是长期以来，我们的数学教材过分强调逻辑体系和逻辑推演，忽视数学美感、数学直觉的作用，长此以往，学生将数学与逻辑等同起来。一味注重数学的逻辑性而忽视了数学本身的美，学习的过程中就会感到枯燥无味缺乏兴趣。 三、数学美的内容 随着数学的发展和人类文明的进步，数学美的概念会有所发展，分类也不相同，但它的基本内容是相对稳定的，这就是：对称性、简单性、统一性和奇异性。 （一）对称性
浅谈数学中的美 李敬敏
浅谈数学中的美李敬敏 发表时间：2013-04-19T09:17:45.403Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2013年3月供稿作者：李敬敏[导读] 严密。数学逻辑的严密性，既是数学的特点，又是数学所追求的目的。 河北省安平县教师进修学校李敬敏 当下学生学习数学的信心和兴趣在减弱，我想与我们的数学教师对现成的教案迷信、对教材的迷信、对程式化教学模式的迷信、对高分片面的追求从而造成数学课死气沉沉、缺乏活力不无关系。其实数学教育既是向学生传授数学知识的过程，又是一个情感的双向交流过程。而获得美的感受是这个互动过程的动力源泉。 一、数学语言的美 对数学语言存在 “严密”、“准确”、 “情感”、 “风趣”四方面的美，要把握及应用得当，可增强教学语言的穿透力，还可强化要传授的数学知识，教育者要提高水平必须设法使它们和谐统一。 1，严密。数学逻辑的严密性，既是数学的特点，又是数学所追求的目的。恩格斯说：“数学以确定的完全现实的材料作为自己的对象，不过它考察一对象时完全弃其具体内容和本质的特点。”尽管数学概念本身以及它的结论、方法都是反映现实世界的，但它仍是在纯粹形式下进行研究的。因此，数学的教学语言力求做到“严谨简约”，也就是说在教学中语言不可模棱两可，重要语句不冗长，要抓住重点，简洁概括，有的放矢。严密的逻辑结构是数学美的一个表现。 2，准确。数学教师对定义、定理、公理的叙述要准确，不应该使学生产生疑问和误解，因此，作为教师要做到如下两条：一是对概念的实质和术语的含义首先必须有个透彻的了解。例如，“对应角相等”与“角对应相等”，“切线”与“切线长”是完全不同的两个概念；又如“平分弦的直径垂直于弦”，“所有的质数都是奇数”，这类语言就缺乏准确性。二是必须用科学的数学术语来授课，不能用自己生造的土话或方言来表达概念、性质、定理等。比如，把“线段的中点”讲成“在线段中间的点”就不准确。初中学生模仿能力强，教师的语言对学生来说是一个样板，他们对学生语言习惯和能力的影响是潜移默化的，如果教师的语言不够准确规范，会使学生对数学知识产生模糊的理解。因此，数学教师必须熟练数学科学语言的表达，做到言之成序，言之有理，这对培养学生严谨的科学精神和数学思维方法也是大有益处的。 3，情感。数学教学语言应力求亲切，富有情绪。数学语言是师生双方传递和交流思想感情的载体，亲切、感人的教学语言最能使学生保持积极舒畅的学习心境，最能唤起学生的热情，从而产生不可低估的力量。正如古人讲的“感人心者，莫先乎情”。教师在教学中，无论是讲授知识，还是对待学生，语言都应亲切，富有情感。许多专家也认为：智力源于情感，情感支配智力。对人的成功而言，情感智力比通常的心智活动的进行和智力水平的提高，更具有积极的意义，这是其他任何语言所无法替代的。 4、风趣。数学教学的对象是学生，他们需要教学语言的幽默风趣、通俗易懂。在数学教学中巧妙地运用幽默，可使教师的讲课变得风趣、诙谐、睿智，具有一定的艺术魅力，有助于学生去理解、接受和记忆新知识。具体地说，幽默风趣的语言可以激活课堂气氛，调节学生情趣。例如，在讲解平面直角坐标系的过程中，教师可以先讲解数学家欧拉发明坐标系的过程：有一次，欧拉躺在床上静静地思考，如何确定事物的位置，这时发现一只苍蝇粘在了蜘蛛网上，蜘蛛迅速地爬过去把它捉住。欧拉恍然大悟：“啊！可以象蜘蛛一样用网格来确定事物的位置啊。”然后引入正题——怎样用网格来表示位置。这时学生的学习兴致被大大地调动起来了。又如，我在讲授“线段的黄金分割”时，介绍了人体中有许多黄金分割的例子，如人的肚脐是人体长的黄金分割点，而膝盖又是人体肚脐以下部分体长的黄金分割点，使学生大开眼界，学习兴趣倍增。 二、数学形式美 数学的特点决定了数学形式的简单性和应用的广泛性，简单性是美的特征，也是数学所要求的，大千世界无奇不有、杂乱无章的自然现象中抽象出数学概念，再用简单的数学形式表示，然后反过来又解释更多现象，这正是我们数学的威力美的体现。 世界上存在着何其多的三角形，形式之多令人难以想象，然而三角形面积公式12 ah(a为底边，h为底边上的高)适用于任何三角形，以次还能推出所有多边形的面积。形式多么简单，而应用如此之广泛。 众所周知，科学的发展，人类的进步，数学已渗透到了各个领域，数学影响并促进了其它科学的发展，不但像物理学、化学、生物学、天文学等自然科学要应用数学，而且像心理学、教育学、经济学，甚至考古学等社会科学也要用到数学，同样数学应用的广泛性事例在中学数学中也是俯首可拾的。 例如：利用相似三角形的原理，我们可以测量树木、建筑物等的高度；利用微积分，我们可以求得物体运动任一时的速度；利用对数计算，我们可以预测2014年我国的人口数等等……举一些数学广泛应用的实例可以强化学生对数学学习的兴趣。 三、数学对称的美 对称就是整体各部分间的相称与相适应。对称是形式美的要求，它给人们一种圆满的匀称的美感。尽管数学早已枝繁叶茂，硕果累累，但归根结底，数学来自于生产实践，来自于现实世界。因为我们的自然界本身是对称的、和谐的、有规律的，所以反映到数学上即表现为数学的对称性。 数学中的对称性处处可见：古希腊欧几里德的《几何原理》建立了一个美妙的平面几何体系，两千多年来获得了多少的赞叹，以致一些大科学家称它为“雄伟的建筑”。几何中的中心对称、轴对称、镜像对称，多能给人以舒适美观之感、呈现着对称性。当然其它还有很多，像函数和反函数的图像，关于直线y=x对称等等。 总之，数学教学不仅要发展学生对美的感受，而且要培养学生对美的事物的情绪体验。数学语言是一种特殊的语言，它简练、概括、精确，富于形象化、理想化，这就要求我们数学教师必须把握住教学语言的 “严密”、“准确”、 “情感”、 “风趣”，教育过程中使简单性和应用的广泛性、对称性和谐统一，增强学生正确的审美能力。使得优秀的数学文化，变得美丽动人，从而启发学生去观察、联想，去发现问题，以至耐心执着地去解决问题，这样数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。
数学中的 美
数学中的美 发表时间：2011-02-16T14:05:59.700Z 来源：《时代学习报》2010年第7期作者：李文健[导读] 所以数学解题也是一种审美活动，是审美情感支配下对数学美的追求。宝应县泰山初级中学李文健 说到美人们可能很容易想到文章中的优美的语言，美术作品的艺术美等等。其实数学中的美无处不在，无时不在。数学家哈尔莫斯曾说过，哪里有数，哪里就有美。在数学教学中，教师如果有意识地培养学生欣赏数学中的美，不仅能极大地激发学生学习数学的兴趣，提高课堂效率，而且有助于提高学生的整体素质，促进学生的健康成长和全面发展。下面就来说说数学中的美。 1. 教材中的数学美 数学美其实是一种很含蓄的美，它不可能像看工艺品一样让人很直观地感受到，而是需要在老师的引导下，让学生去理性地体验，这就要求教师在教学过程中不断渗透美学，充分挖掘教材中的美学因素，尤其新教材在呈现方式上增加了许多插图和阅读内容，其目的之一就是尽可能给学生以美的熏陶，加深学生对数学的理解。 例如，勾股定理中美丽的勾股树，使学生在学习勾股定理的同时又发现了它的美学价值，大大激发了学生对学习勾股定理的研究兴趣，提高了学习效率。又如，在数学教学中介绍“杨辉三角”，从表面看，是一些枯燥数字的堆积，但从理性上认识它，却在严整的排列中，有优美匀称的规律，犹如一座数的山峰，融合了数学和谐之美，这些枯燥乏味数字和图形的和谐组合，就产生了神奇的力量，令人赏心悦目！ 2. 生活中的数学美 数学教学如果仅就内容进行教学是相当乏味的，只有把所要教的数学内容融入生活，让学生有真正的生活体验，数学的美才能显现其动人的色彩。因此教师要不失时机地引导学生发现生活中的数学美，使其感受到生活中处处有数学美。 例如：教学“黄金分割”时，可介绍其美学价值在生活中的应用：人体躯干的宽与长之比等于0.618时，就显得匀称；主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，不显得呆板，声音传播效果最好等，如此讲解，既展示了数学广泛的应用，又体现了数学的魅力，让学生感受到生活中处处蕴藏着数学美。又如：学习过二次函数的图象后，带领学生观看广场的喷泉，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高矗云霄，一会儿盘旋而下，多么令人心旷神怡啊！ 3. 教学过程中的数学美 教师在教学过程中要不断地把数学美反映出来，向学生展示各种数学美，学生才能从中感受到数学美，在美的意境中不断受到感染、熏陶。 例如：教师可以通过设计美观、整洁、规范的板书来陶冶学生爱美、欣赏美的情操，从而充分调动学生学习数学的积极性，实现提高教学质量的目的，还可以用现代化教学手段将数学美尽情展现在学生的眼前，使枯燥的理论生动化，抽象的概念形象化，简单的结论充实化，静止的画面动态化，从而提高课堂教学效率。 4．解题过程中的数学美 学生解题时，一旦发现题目提供的知识信息与自己的审美情感相吻合时，就能正确、快速地确定解题方法和解题思路，从而达到事半功倍的效果，所以数学解题也是一种审美活动，是审美情感支配下对数学美的追求。 例如：两个不相等的实数a、b满足a2+2a=1，b2+2b=1，求 a+b的值。 解题思路：由已知容易发现a、b为一元二次方程x2+2x=1的两个不相等的实数根，再利用一元二次方程的根与数关系得：a+b=-2。 将这种方法与直接方法解出a、b，再分类讨论作比较，就发现要简洁得多，学生在解题过程中体会到了数学的简洁美。 5. 创造中的数学美 数学美的创造是数学美的升华，是数学美的最高境界。所以教师不仅要引导学生发现数学美，更重要的是让学生应用数学美去创造数学美。 例如：学习平面图形后，指导学生用“七巧板”进行拼图游戏，即用“七巧板”以各种不同的拼法来拼搭千变万化的形象图案，这是我国古代人民创造的益智游戏。学生在拼图的过程中能享受到通过自己创造而带来的数学美，大大增加了学生学习数学的兴趣。总之，数学是美的。教师要大力培养学生的数学审美能力，向学生展示各种数学美，并不断地感染学生，最终让学生完成对数学美的创造。 最后，用英国哲学家、数学家罗素话来说：“数学不但拥有真理，而且也具有至高无上的美，像维纳斯石膏一样，无色、无声，是一种冷而严肃的美。”于是，我们有一个“等式”： “数学是思维的体操”+“思维是地球上最美的花朵”=数学美。
浅谈数学中的美
毕业论文（函授） 浅谈数学中的美 年级：13届 学号： 姓名： 专业： 指导教师： 二零一三年四月 院系数学系专业数学教育 年级 xx级数学（xx）班姓名 xx 题目浅谈数学中的美 指导教师 评语
指导教师 (签章) 评阅人 评语 评阅人 (签章)成绩 答辩委员会主任 (签章) 年月日 浅谈数学中的美 【摘要】： 自然的终极秘密是用一种我们还不能阅读的语言书写的，数学为这种原
文提供了注释。其中数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。数学追求的目标是：从混沌中找出秩序,使经验升华为规律,将复杂还原为基本。数学的无穷无尽的诱人之处还在于,它里面最棘手的悖论也能盛开出魅力的理论之花。数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的思想是神奇的。 数学具有简洁美、和谐美、奇异美等特征，但数学美却蕴藏于它所有的抽象符号、严格语言、演绎体系中。英国著名数学家B-A-W-罗素（1872—1970）曾说过：“数学，如果正确的看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面。这种美虽然没有音乐或绘画的那些华丽的装饰，但是它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地”。数学就是这样一门“既美而真”的学科。 【关键词】： 美；空间；二进制；黄金分割；杨辉三角； 【正文】： 一、简洁美 简洁美是数学的重要标志。数学的语言是最简洁的语言，用最简洁的方式揭示自然的客观规律，这正是数学最迷人的所在。
爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性”。他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这种美学理论，在数学界也被多数人认同。朴素、简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 世事再纷繁，加减乘除算尽，宇宙虽广大，点线面体包完。正是数学的这种简洁性，使人们更快更准确的把握理论的精髓，促进自身学科的发展，也使数学学科具有了很强的通用性。目前数学已经成为了包括自然科学在内的所有科学的语言和工具。 为了更清楚地说明简洁美所导致的“真正的进步”,以二进位数制的建立为例来进行分析。二进位制渊源已久。作为一种系统的研究,莱布尼兹最早认为建立这样一种数制的可能性。他认为在二进位数制中,只需使用0和1这样两个数字就可表示出所有数量。他指出,1表示统一,0表示无。于是他推论道：只用0和1就可以把所有的数字都表现出来。这种记数法对于电子计算机是特别适用的。因为,在计算机中可以很方便地用一个特别按钮的“开”和“关”来分别对应数字“1”和“0”。进而,又只需适当增加按钮的数量,我们就可用按钮的组合来表示任何一个二进制数。这是多么伟大的一个构想。毫不夸张的说，没有数学的简洁，就没有现在这个互联网络四通八达、信息技术飞速发展的世界。 数学中有个非常漂亮的公式，那就是欧拉公式。这个式子把数
浅 谈 数 学 中 的 美
浅谈数学中的美
浅谈数学中的美 摘要：数学本身具有许多美的特性，它们是形象、生动而具体的，数学中的符号美、统一美、和谐美和奇异美均展现着数学自身的美。把数学特别是现代数学中美的现象展示出来，再从美学的角度再认识，这不仅是对人们观念的一种启迪，同时可帮助人们去思维，去探索，去研究，去发掘。 关键词：数学美；简洁性；和谐性；奇异性“那里有数学，哪里就有美”，这是古代哲学家对数学美的一个高度评价.确实，数学中美学因素极为，它所表现出来的简洁性、对称性、和谐性、统一性、整体性、奇异性等是客观世界中美的特征．数学教师应在教学中充分利用这些美学因素，以提高学生的学习兴趣和审美能力．在解答较为复杂的数学问题中，转化是常用的一种数学思想，笔者在多年的教学实践中发现在解数学题当中有许多美好的转化．这些转化美在很多表面看似繁杂、怪异的问题变成了简单形象．经过转化，问题的条件和结论在新的协调的形式下变得互相沟通、环环相扣，极为和谐，从而使解法简洁有效．以下是笔者在教学中常用的几种美
好的转化. 一、符号美 符号就是菜种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的。符号对于数学的发展来讲，更是极为重要的，它可使人摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节。这在事实上增加了人们的思维能力。没有符号去表亍牧及其运算、数学的发展是不可想象的。数是科学的语言，符号是记录、表达这些语言的文字。正如没有文字，语言电难以发展一样。几乎每个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。数学符号的产生、发明、使用的流传经历了一个十分漫长的过程，这个过程中始终贯穿着自然、和谐与美。早在400o多年前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，他们还能计算直线形和圆形的面积，他们知道了圆周率约为3．14，同时也掌握了棱台和球的体积计算，并用符号来表示数、分数及面积体积公式。数及其运算只有用符号表示，才能更加确切和明了。圆周率是一个常数．1737年欧拉首先倡导
我从数学中感受到的美
我从数学中感受到的美 The Beauty of Mathematic in My Eyes 姓名：王若珲 学院：自动化 学号：09211897 摘要：从公元前~~世纪开始，人类就从未停止对数学不断探索的脚步，数学一直是一门充满未知和神秘的学科，千百年来吸引着无数的学者们向往之寻觅之。数学一直等待着智慧的人们去发现他所蕴含着的无尽的让人着迷的美丽。和谐是数学的灵魂，奇异则是数学无尽延伸的枝叶上晶莹的珍珠。和谐性和奇异性也因此成为数学区别于其他学科特有的魅力。Summary : The discovery of human beings in the field of mathematic has never been stopped From *BC , Mathematic is a subject which full of mysteries and fantasy attracted countless experts to solve them or just to find the variety of treasures in it . Mathematic still covers endless mysteries waiting for intelligent people to explore. Harmony is the soul of mathematic, with the beautiful pearls on the leaves of mathematic which called fantasy. These two kinds of characters just have been as the significant and special distinctions with other subjects. 关键词：数学、美学、和谐性、奇异性 Key words: Mathematic Aesthetics Harmony Fantasy 数学历来以其高度的抽象性、严密的逻辑性被人们所认识，却很少有人把它与美学联系起来，似乎数学与美学毫不相干。其实，这是对数学本质的一种误解，是对数学与美学的关系以及数学中的美缺乏真正的了解和认识。 数学中存在许多美学的特性，如黄金分割的和谐美、几何图形的对称美、数学公式的简洁美、数学规律的统一美、数学图形的奇异美……可以说，数学中充满着美的因素，他的美是千姿百态、丰富多彩的, 在充满神秘的数学世界，到处闪现着美的光辉。 数学的美分为和谐美和奇异美，早在二千年多前,古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就极度赞赏整数的和谐美，圆和球体的对称美，称宇宙是数的和谐体系。和谐性是美的最基本、最普遍的一个特征，任何美的东西无一不给人以和谐之感。 数学的统一美 统一性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一,数学理论的统一,数学和其它科学的统一。 一切客观事物都是相互联系的，因而,作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。例如，运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的重要概念,在集合论中,便可统一于映射的概念。又如代数中的算术平均——几何平均定理、加权平均定
浅谈数学中的对称美
题目：浅谈数学中的对称美 目录 摘要 (3) 一．数学中对称美的概念 (3) 二．数学中对称美的形式 (3) 三．数学中对称美的应用 (4) 四．总结 (5) 五．致谢 (6) 六．参考文献 (6)
浅谈数学中的对称美 摘要 对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中。在数学史上，数学美是数学发展的动力。本文通过对这些知识点中的对称进行阐述，逐步发展数学思维.，提高解题效率。生活中具备对称美的事物很多，如车轮、雪花、桥梁等，而对称本身就是一种和谐美。在数学领域中也十分常见，如：我们常见的轴对称图形、函数、数列、矩阵等。我们应在掌握对称这一基本原理的基础上找到事物之间的内在统一性，并用数学的思想去内化这一原理，就会发现对称美在艺术和自然两方面都有重大意义，它是一个广阔的主题，数学则是它根本，美和对称紧密相连。 关键词：对称美数学美对称变换 一、数学中对称美的概念 对称指物体或图形经过某种变换（如旋转、平移、对折等）其相同部分完全重合或有规律的重复的现象。山川、河流、树木等，在严格意义上来讲都是不对称的。然而，将研究对象扩大到整个地球、星系、宇宙，抑或缩小至晶体、分子、原子，世界又都是对称的。可以这么说，在与我们生活大致相同的尺度内，不对称属于自然界，而对称属于人类，是一种创造出来的人文之美.这些人文之美在初中的知识中有很多的体现.。 二．数学中对称美的形式 图形中的对称美 图形的对称往往以及其直观的形式呈现在人们的眼前，展现对称性的根本就是点的对称、线的对称。在此基础上衍生出线段的平分，角的平分线;平面图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、矩形、正方形、正多边形、圆。立体图形：长方体、正方体、圆台、正棱锥、正棱柱等。其中都有对称性的具体表现，轴对称和点对称赋予了它们美观，所以数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的。美丽的图画，给人以享受，被数学的魅力感动，使得轴对称图形在人的头脑中留下美的印象。 三、数学中对称美的应用 数学对称美在数学公式中的应用 很多数学公式中的字母是对称的，地位是平等的①，如数的加法与乘法通过运算形成对称，幂运算中形成的对称及三角函数中形成的对称： a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），（ab）^n=a^n+b^n，（a+b）^2=a^2+2ab+b^2，（a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^3+b^3,lg(ab)=lg（a）+lg(b) sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β) 数学对称性在几何中的应用 在几何中，我们利用数学中的对称性，建立适当的坐标系，可以使运算更加简单
浅谈数学中的美
浅谈数学中的美 发表时间：2011-11-18T11:17:48.677Z 来源：《少年智力开发报（数学专页）》2011年28期作者：刘清斌 [导读] 谈到“数学”，你一定会联想到数学理论的演绎推理和数学公式的枯燥。 河南省光山二高刘清斌 谈到“数学”，你一定会联想到数学理论的演绎推理和数学公式的枯燥。美，谈何说起？马克思说过“社会的进步是人类对美的追求结果”，“不是缺少美，而是缺少发现美”。正如人们所说：“哪里有数，哪里就有美”。那么，让我们一起来探索数学中美的奥秘吧！ 一、奇异美 数学中的奇异美，是指结果新颖奇特，出人意料。如：七巧板可以拼成简单的正方形，也可以拼出千姿百态的图案，如花草、人形、鸟兽、房屋等。通过七巧板拼图练习，学生会感到图案之多。从中感受美的存在。 0.618这个数是古希腊欧多克斯发现的，有趣的是，从此以后，这个数与人类有许多不解之缘：希腊女神体态轻柔优美，引人入胜。经专家研究，她的身体从脚到肚脐之间的距离与整个身高的比值，恰好是0.618。画家、艺术家将其引入到绘画、雕塑等艺术领域，让作品变得更加和谐、美丽；主持人站在舞台0.618处时，音响效果将最好；人在气温为23℃左右，最舒服，生理功能发挥得最好。这些都是因为黄金分割原理，无怪于德国天文学家开普勒称黄金分割为“几何学的一大宝藏！” 数学有时像一本书，一个故事情节，开头以悬念见长，让你充满着神秘，然后一步步去求解，最终得出一个清楚明白的结论，如“鸡兔同笼不知其数，三十六头笼中露，数清脚共50双，多少只鸡多少只兔”，设鸡有x只，兔有y只，容易得出方程组解得。 这就是数学的乐趣，让人们抱着探求事实真相的目的、满怀好奇的求解过程和最终真相大白的快感。这一点，和人们读文学作品所产生的感觉是相似的，难怪有人说，世界本身就是未知数，而数学本身就是探索世界之谜的方程式。 二、和谐性 和谐性是数学美中的又一特征，它主要体现在数学图形中的对称美、数量的和谐、空间的协调…… 数学知识中的对称主要是轴对称美。像圆，太阳的象征，“一切平面图形中最美的图形”；等腰三角形，埃及金字塔的缩影；形象逼真的扇形；梅花瓣样的组合图形；铜钱式的圆中方；美丽的“雪花”图案，更显示出几何图形的对称美，和谐美。数量中的和谐，比如：加减乘除的运算意义和法则构成整体之间的相依、相反关系。它们既存在着可逆的关系，又存在着相互转换的关系，除法可转化为乘法，乘法也可转化为除法，和谐统一，又各有特点。 又如在“对称”这一课中，通过让学生画对称图形，剪对称图形的形式，让学生自己想办法保证剪对称图形，自由、开放地让他们去探索、去发现、去创造，在剪纸的过程中，进一步体会到对称的形成，感受到对称图形的内在美。在欣赏漂亮图案的同时与同伴分享“创造美的喜悦”，体验到数学和创造的美。 三、简洁性 简洁性可分为三个方面：符号美、抽象美、统一美。 数学知识大部分由数字和符号组成，从四则运算到比较大小，还有运算中的大、中、小括号，符号都讲究大小适中、上下左右对称。美好的数字：一是万物之始，一统天下、一马当先；二是偶数，双喜临门、比翼双飞；一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花（邵雍）；七八个星天外，两三点雨山前（辛弃疾）；一帆一桨一渔舟，一个渔翁一钓钩。一俯一仰一顿笑，一江明月一江秋（纪晓岚）。读了上面的成语、诗，每个人都明显感到，无论是数字的单个应用或重复引用或循环使用，看似毫无感染力的数字竟能表现出各种思想感情。 其中许多简便的解法，也是数学简洁美的体现，比如：1966+1976+1986+1996+2006= ，这个计算题用一般的方法来解决，会带来繁杂的计算，认真观察，我们不难发现，后四个数分别比1966大10、20、30、40，根据这一特点，即可简化运算，于是等于1966×5＋ 10(1+2+3+4)=9830+100=9930,这一简洁的解法，给人以美的感受。 总之，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大，数学美的思想是神奇的。它可以改变人们认为对数学枯燥无味的成见，让人们认识到数学也是一个五彩缤纷的美的世界，由此产生学习数学的兴趣。
研究论文：浅谈数学中的美
84118 数学论文 浅谈数学中的美 马克思说过人类对美的追求的结晶就是社会的进步，换句话说就是，由于人类对美的渴望、对美的追求才促使了社会的发展。的确如此，文明发展源于对美的向往，文明进步源于对美的追求。数学是真理与美并存的一门科学。但是数学美不像绘画美有华丽的装饰，也不像音乐美有婀娜的音符。数学美是一种纯净的、高贵的、冷而严肃的美。数学美是世界之美的原型，一切事物生存发展的本质特征就是对美的追求，拥有数学美感以及数学审美能力是进行数学研究和数学创造的前提基础。 简洁美。先来看一个公式E=mc2，看似简单无奇实则寓意深远，它深刻揭示了从微观到宏观再到宇观的质能变化规律。爱因斯坦对人类的贡献不用多说也是众所周知的，恰恰这个如此简单的式子就代表了相对论的精髓。再来看我们都熟悉的数学数字1，1可以说是数学里面最为简单的数了，但是1却被视为万物的开端，世界的本源，整个世界都是由它派生而来，何其妙哉。
对称美。圆，太阳的象征，“一切平面图形中最美的图形”；美不胜收的埃及金字塔；铜钱式的圆中方；美丽的“雪花”图案；无不表现出对称美以及和谐美。我们知道这世间最美的立体图形和平面图形分别是球形与圆形。大家会发现一个有趣的事，圆形不仅是中心对称图形还是轴对称图形，球形则是点对称、线对称、面对称图形。当然不是只有几何中才有对称美，下列是对称的杨辉三角。美吗？答案是明确的。美，往往是无意间发现的，很多时候我们并不知道我们想要的美是怎样得来的，是想出来的还是算出来的，其实都不是，更多的是无意间发现的。通过公式定理以及方程等的证明、绘图等，很容易得出以前未曾定义过的美。 如与与与的图像，对称是显然的，除此之外，中心处还有一朵小花，美吗？当然！ 奇异美。生活充满惊喜，数学充满奇异。奇异，就是指新颖奇特，意想不到。数学中的奇异存在于数学的每一个角落，利用简单的数学线条能够拼凑出简单的数学图形，也能够拼凑出姿态万千的图案，还可以勾勒出美不胜收的艺术珍品。我们都知道，古希腊欧多克斯发现了 0.618，也就是所谓的黄金数，也就是人们常说的黄金分割比。至此以后，有趣的事情发生了，0.618与人类结下了不
浅谈数学中的美
浅谈数学中的美 【摘要】数学之美无处不在，广泛存在于生活各个角落。数学之美从不缺乏，缺少的是发现数学美的心灵。数学的美魅力诱人，数学的美力量巨大，数学的美思想神奇。正是因为数学之美绝妙无伦，才有了无数的数学科学家前赴后继的传承发展创新数学领域。数学跟现实生活一样也是一个五彩缤纷的奇妙的美的世界。数学中的美知道了的就已经有很多种，捡重要的来说大致有以下几种大家共同认同的美：简洁美、对称美、奇异美、抽象美、和谐美。 【关键词】简洁美；对称美；奇异美；抽象美；和谐美 马克思说过人类对美的追求的结晶就是社会的进步，换句话说就是，由于人类对美的渴望、对美的追求才促使了社会的发展。的确如此，文明发展源于对美的向往，文明进步源于对美的追求。数学是真理与美并存的一门科学。但是数学美不像绘画美有华丽的装饰，也不像音乐美有婀娜的音符。数学美是一种纯净的、高贵的、冷而严肃的美。数学美是世界之美的原型，一切事物生存发展的本质特征就是对美的追求，拥有数学美感以及数学审美能力是进行数学研究和数学创造的前提基础。
简洁美。先来看一个公式E=mc2，看似简单无奇实则寓意深远，它深刻揭示了从微观到宏观再到宇观的质能变化规律。爱因斯坦对人类的贡献不用多说也是众所周知的，恰恰这个如此简单的式子就代表了相对论的精髓。再来看我们都熟悉的数学数字1，1可以说是数学里面最为简单的数了，但是1却被视为万物的开端，世界的本源，整个世界都是由它派生而来，何其妙哉。 对称美。圆，太阳的象征，“一切平面图形中最美的图形”；美不胜收的埃及金字塔；铜钱式的圆中方；美丽的“雪花”图案；无不表现出对称美以及和谐美。我们知道这世间最美的立体图形和平面图形分别是球形与圆形。大家会发现一个有趣的事，圆形不仅是中心对称图形还是轴对称图形，球形则是点对称、线对称、面对称图形。当然不是只有几何中才有对称美，下列是对称的杨辉三角。美吗？答案是明确的。美，往往是无意间发现的，很多时候我们并不知道我们想要的美是怎样得来的，是想出来的还是算出来的，其实都不是，更多的是无意间发现的。通过公式定理以及方程等的证明、绘图等，很容易得出以前未曾定义过的美。 如与与与的图像，对称是显然的，除此之外，中心处还有一朵小花，美吗？当然！ 奇异美。生活充满惊喜，数学充满奇异。奇异，就是指新颖奇特，意想不到。数学中的奇异存在于数学的每一个
走进数学--感悟数学之美
走进数学感悟数学之美 法国雕塑家罗丹说:“美到处都有,对于我们的眼睛,不是缺少美,而是缺少发现。”在数学的整个发展过程中,它的美学意义具有压倒一切的重要性,数学中的数、形、法则“是对自然界多种多样外形美的开发”数学作为对具有自然美的事物的结构和运动变化规律的最集中的刻画和反映,是具有独特的美学价值的。许多数学家都认为数学里面有像诗画那样美的境界,沙利文说:“优美的公式就如但丁神曲中的诗句;黎曼的几何学与普兰克的钢琴合奏曲一样优美。 在小学数学教学中，孩子学到的数学知识还相对较少，应该如何让学生发现数学美、感受数学美、体验数学美、运用数学美呢？我们该如何寓美于教，激发学生的学习兴趣；以美启智，提高学生解决问题的能力呢？经过多年的教学研究、实践与探讨，希望带着孩子们一起走进数学，感悟数学之美。一、发现数学的简约美，让数学“有味”。 孩子们学过长方体的认识之后，发现长方体和其他的多面体都有这样的规律：面数+棱数-顶点数=2，欧拉公式：v＋f－e＝2，堪称“简约美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数v、面数f、棱数e，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令学生惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的面积公式s=πr2，几何中完美的图形----圆，内含的面积与半径有着异常简洁和谐的关系，一个传奇的数“π”把它们紧紧相连。勾股定理c2=a2+b2，这一简单而整齐的形式，表达了一切直角三角形边长之间的关系。几何中各种求面积、体积的公式，简洁实用，万无一失，只要符合有关条件，计算不出错误，就可以得到正确的结果。在教学中，通过对这些公式简约美的发现和讲解，相信学生能够把它们深深地印在脑海里，永不磨灭。 二、感受数学的图形美、对称美，让数学“有趣”。 数学的对称美分为两种：一种是数（式）的对称性美，主要体现在数（式）的结构上，例如，加法的交换律a+b=b+a，乘法的交换律ab=ba，a与b 的位置具有对称关系，但有是可以变化的，变化的结果与原来的位置反而形成一种整齐的美感、均衡感，简洁明快，一目了然，代数式是的对称式，结构严
高中数学 赏析数学美论文
赏 析 数 学 美 大庆石油高级中学 陆桂菊（163453） 众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。下面从几个方面来欣赏数学美。 一、简洁美 爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种 美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 欧拉给出的公式：V －Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的 点数Ｖ、边数Ｅ、区域数Ｆ满足V －Ｅ＋Ｆ＝２，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。 在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如： 圆的周长公式：C=2πR 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。 平均不等式：对任何正数n n n n x x x x x x x x x 212121, ,,, 正弦定理：ΔＡＢＣ的外接圆半径Ｒ，则 R C c B b A a 2sin sin sin 数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。 二、和谐美 数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学 的一个动机是以下的公式： 51 3114 ，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出 ，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。 欧拉公式：1 i e ，曾获得“最美的 数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是 i e i sin cos ――（１）。这个公式把 人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派 生出许多美的，有用的结论来。 比如，由公式（１）得 2sin , 2cos i e i e i e i e 。由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去，即考虑“弧度”为复数的“角”。 新定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。 和谐的美，在数学中多得不可胜数。如 著名的黄金分割比2 1 5 ，即 ０.61803398…。
数学中的美
数学中的美 姓名：许从飞学号：PB08207227 数学是美的，美得灿烂无比。 从古希腊时代开始，数学与哲学、美学就结下了不解之缘，著名的数学史家克莱因曾指出：“实用的、科学的、美学的因素，共同促进了数学的形成。”“在判定数学的价值方面，美的满足与实用、科学的标准并驾齐驱。” 数学美是一种超自然的美、理性的美，有人总结为：简约之美、对称之美、和谐之美与奇异之美。数学的美感不仅能供人欣赏，而且能启发人的创造能力。 梭罗说：“最美的必然以数学形式来表达。”毕达哥拉斯就宣称地球是圆的，因为他认为球形是立体中最美的形状。 数学，包括：体系结构、概念表述、分析证明。这些都应当是简约、清晰和井然有序的。培养数学能力的教学目标与追求简约之美是相统一的。 数学的对称之美在微积分中体现的淋漓尽致。比如：（引用）一元函数与多元函数的对称，连续变量与离散变量的对称，微分与积分的对称，无穷积分与瑕积分的对称以及反常积分与级数的对称等。我们的学习中，根据微分与积分的对称，有微分法可以得到求原函数的各种技巧。 在微积分中，数学的奇异之美往往可以激发人的学习兴趣和创造意识。所谓奇异，就是指那些有悖于直觉的现象和规律。 数学的奇异之美无处不在，比如： 1.仅在整数点连续并且在其他点都是第二类间断点的函数： F(x)=sin(PI*x) (x为有理点)，F(x)=0 (x为无理点) 2.处处间断的函数（狄立克雷函数） 3.f’(x) >0,但是任意邻域都不单调的函数。 4.无穷小量都趋于0，无穷小量与无穷小量的乘积应当跟快的趋向于0. 有限个无穷 小量的代数和仍是无穷小。有限个无穷小量的积仍是无穷小量；常数与无穷小量的积也是无穷小量.但是无穷多个无穷小量未必趋于0，甚至可能是无穷大量（只在书上看到，本人还不知道为什么）。
(完整版)在数学中欣赏美
在数学中欣赏美 学会体会数学中蕴含的奇趣与美妙，是激发学生学习数学的一把钥匙。美被人感受到，它就存在；不被人感受，它就不在。本文着重就有理数的乘方中所蕴含的数学美加以分析： 一、形象美 例1 计算2)32(- 2)32(- 2)32(-- 322- 23 2 - 解析：本题五个题形式全不同，要分清并解决这几个问题，关键要分清局部乘方与整体乘方的关系。 2)32(-＝94 )32()32(=-?- 2)32(-＝9 4)3232(-=?- 2)32(--＝94)32()32 (-=??????-?-- 322-＝94)32()3 2 (-=??????-?-- 二、 简洁美 例2 化简（－2）2005×（2 1- ）2005 解析：本题我们可以运用有理数乘方的定义解决，也可以运用积的乘方来解决 方法一（运用有理数乘方的定义解决）： 原式＝ 2004 2005 )2 1()21()21()2()2()2(-????-?-?-????-?- ＝)2()2 1 )(2()21)(2)(21)(2(2004 -?------ ＝－2 方法二（运用积的乘方来解决） 原式＝（－2）2004·（－2）×（－1 2 ）2004 ＝［（－2）·（－1 2 ）］2004×（－2） ＝12004×（－2）＝－2 三、趣味美 例3 质点P 从距原点1个单位的A 点处向远点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点A 1处，第二次从A 1点跳动到OA 1的中点A 2处，第三次从A 2点跳动到OA 2的中点A 3处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为_______。 解析：由题意可知OA 1＝ 21OA ＝2 1 ，OA 2＝21O A 1＝41， OA ,3＝21O A 2＝8 1 ，按此规律，当第n 次跳动后，则该质点到原点的距离为12n （或（1 2 ）n ）。 评析：数学的趣味美体现于它奇妙无穷的变幻，本题利用质点的位置的变换，激发学生探索新知的兴 1 2 3