高数a第三章习题提示与答案

习题3-1(A) 1，34=

ξ 2，14

-=

π

ξ

5，提示：令满足罗尔定理上，验证在)(]1,0[)()(234x F x c b a cx bx ax x F ++-++=. 6，提示：.]1,1[)(,2

arccos arcsin )(上为常数在证明令--

+=x F x x x F π

7，提示：.],[,)(理上应用拉格朗日中值定在令a b x x F n = 8，提示：.],[,ln )(理上应用拉格朗日中值定在令a b x x F =

9，提示：x x x x x x x F cos ,],[,],[,sin )(3221再利用理上应用拉格朗日中值定分别在令= .),0(上的单调递减性在π

10，提示：，再用罗尔定理内有根在内有根在用零点定理证明21)1,2

1(,)21

,0()(ξξx f

证明.)1,0(),()(21内有根在?'ξξx f 习题3-1(B)

1, 提示：令满足罗尔定理上，验证在)(]1,0[2)(2

10x F x n

a x a x a x F n n +++

= . 2，提示：令，x n n a x a x a x F n )12sin()

12(3sin 3sin )(2

1--+++

= 满足罗尔定理上验证在)(]1,0[x F . 3，提示：

.,0)(),(0)(),(21211以此类推使，存在使由罗尔定理存在=''∈='∈ξξξξξf b f b a 4，提示：),(,0)(),(211b c f c a ∈>'∈ξξξ存在有证明存在由拉格朗日中值定理可

.],[)(,0)(212理

上利用拉格朗日中值定在再对有ξξξx f f '<' 5，提示：,0)0(0)()1,0(11='='∈G G 又因为，使由罗尔定理存在

ξξ .],0[)(1上验证罗尔定

理在对ξx G ' 6，内，证明：在内二阶可导，且上连续，在在设]1,0[0)1()0()1,0(]1,0[)(==f f x f

η

ηηξ

ξξηξ-'=

''-'=''1)

(2)()2(1)

()()1(,f f f f 得使分别存在

提示：，使由罗尔定理存在设0)()1,0(),()1()()1(11='∈'-=ξξf x f x x F

.0)()1,0()1,(1='?∈在使存在所以ξξξF

.]1,0[),()1()()2(上二次应用罗尔定理

在设x f x x F -= 7，提示：)(),(432)(35x F c bx ax x x F '+∞-∞+++=上有根，再证明在用零点定理证明

.),(上无零点

在+∞-∞ 8，提示：值定理上，所以由拉格朗日中在直线因为AB c f c ))(,( ，

使得存在)()

()()()()(),(),,(2121ξξξξf c

b c f b f a c a f c f f b c c a '=--=--=

'∈∈ .),(),()(21上利用罗尔定

理在再对b a x f ?'ξξ 9，提示：考虑.)(,)

()(为常数先证明x e x f x x

??=

10，提示：.)()1,0()(,)()(单调内有根，并证明在用零点定理证明令x F x F x x f x F -=

11，提示：.0)())(,()(>??

? ??

--

k a f a f k a f a a x f 可证明上用拉格朗日中值公式在对 12，提示：.,1

)(,)()(利用柯西中值定理令x

x G x x f x F == 习题3-2 (A)

1, (1)31 (2) 8

1

- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31

e e --∞ 2，简答：,01sin lim 1sin lim sin 1sin

lim

02020===→→→x

x x x x x x x x x x 但若用洛必达法则 =→x x x x sin 1sin

lim 20 x x x x x c o s 1c o s

1s i n 2lim

0-→ 因为不存在，所以x x 1cos lim 0→不能用洛必达法则. 习题3-2 (B)

1，n a a a e e 21)8(1)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(--

2，36

3，简答：x

x x x

x x x x x x

x

x x x x e e e

e x x

f 21

11lim )1ln(lim ]

1)1ln(1

[10

0110000002

00lim )1(lim )(lim -+-+-++→+→+→+→+→=

==????

?

?

?+

=

).0(2

1)

1(21lim 2

0f e

e

x x ===-

+-

+→

4，简答：)

()(2lim )0()(lim )0()

()(lim )

(ln lim

ln )(0

00

020

020

00

0lim x f x f f x

x f f x f x x f x f x

x

x f x x x x x e

e

e

e

e

'-'-

''-

+→+→+→+→+→=====题设

.10==e

5，)(a f '' 6，)0()1(g a '=

???

???

?=+''≠--+'='0

]

1)0([210

]c o s )([]s i n

)([)()2(2x g x x x x g x x g x x f

(3) 处处连续. 习题3-3

1，432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f 2，193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f

3，)40(,

)

(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4

523<<+++=θθθθx x x x x x x

4，)10()]4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(41243

2<<-+--

-+---+=θθx x x x x x

5，)10()

(!

)1(2132

<<+-++++=θn n

x

x O n x x x x xe

6，645.1≈e

7，430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--?<≈?<≈R R

8，12

1)3(2

1)

2(2

3

)

1(-

习题3-4 (A) 1， 单调减少 2， 单调增加

3， .),2

3()23

,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞ .),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞

.),2

1()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升；，在+∞n n 4，(1) 提示：，

令x x x f +-+

=12

1

1)(利用函数的单调性证明. (2) 提示：，令221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=利用函数的单调性证明. (3) 提示：，令3

3

1tan )(x x x x f -

-=利用函数的单调性证明. (4) 提示：，令22)(x x f x -=利用函数的单调性证明.

5，提示：，令x x x f cos )(-=用零点定理证明)(x f 有根，用单调性证明其根唯一.

6，提示：.)(),(的符号来说明

用求出x f x f '''' 7，(1) 凸 (2) 凹 （3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹

8，），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（22

2),2[]2,(2e

+∞-∞

内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞

），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞

）

，（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 2

1),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞

9，2

9,32

=

-=b a 10，a=3, b= -9, c=8

11，a=1, b= -3, c=-24, d=16 12，简答：由极限的保号性可知或则无论设,00),0()

()(lim

00

<>≠=-''-''→k k k x x x f x f x x

.)(0左右异号

在x x f ''

习题3-4 (B)

1，.)1,2

1(),1()2

1

,0()0,()1(内单调增加在内单调减少；、、在∞+-∞ .]22,32[]32,2[)2(内单调下降

在内单调上升；在π

ππππππ+++k k k k .],32

[),[]32,()3(内单调下降

在内单调上升；、在a a a a ∞+-∞ 2，.1

)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根e

a e a e a =<<>

3，.)2

,0(内只有一个实根在π

4，(1) 提示：，令x x x x f 2tan sin )(-+=利用函数的单调性证明. (2) 提示：.)1(2ln ln 2

1

)1ln()(是极小值，证明令f x x x f --

+= (3) 提示：证明中可利用利用函数的单调性证明令.),1ln()1(1)(x x e x f x ++--=

.)(0)(↑'>''x f x f 来证明

(4) 提示：.,2

1arctan )(利用函数的单调性证明令π

-+=x x x f 证明中注意.0)(=+∞f (5) 提示：.

,212)(21

利用函数的单调性证明令--

-=x x

x x f

(6) .2)(),(2)(),12()(2-=''-+='+--=x x x e x f x a e x f ax x e x f 证明：令 .2ln 0)(==''x x f 可得由

的极小值，是从表中可见)(2ln x f '

单调递增，

即时所以当)(.0)]2ln 1([2)2(ln )(2ln x f a f x f x >-+='>'≠ .,0)0()(题设得证从而=>f x f

5，证明：2

2)()]

()([))(()()())(()(a x a f x f a x x f a x x f a x x f x ----'=---'=

'? .)),((0)

()()())(())((2

x a a x f x f a x a x f a x x f ∈>-'-'=--'--'=

ξξξ

6，提示：用5，题的方法证明.

7，提示：.],[)()(0)()(上的极小值

在是证明根据b a x f c f x f c x ≥'- 8，.9

3

20实根时，方程有且仅有一个及当=

≤k k 9，）（凹，拐点凹，在2,),[],(a b b b +∞-∞ 10，略 11，略

12，8

2±

=k 习题3-5 (A)

1，.1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值 .0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值 .25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值

.205101)512(

)4(=y 极大值 .4

5

)43()5(=y 极大值

.0)0()6(=y 极小值

(7) 没有极值. .)

()8(1

e e e y =极大值

.3)1()9(=y 极大值 .0)5()1(,188

81)21()10(3

==-=

y y y 极小值极大值 2，.14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值

.22)2ln 2

1(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值 .2ln )4

1(,0)1()3(-==y y 最小值最大值

3，提示：可导函数的极值点必为驻点，.在题设条件下无驻点

所以可证明y ' 4，.29)1(-=y 最大值 5，.27)3(=-y 最小值 6，.3)3

2

(,2为极大值==f a

7，.2

1,2-=-=b a 8，长为100m ，宽为5m. 9，.1:1:;22,233

===h d v h v r π

π 10，.44π

πππ++a

a ，正方形周长为圆的周长为

11，.3

8

43a a h π时，最小体积为锥体的高为= 12，.22.1.77

6

小时时间为公里处应在公路右方 13，.6000)2(1000

)1(==x x

14，.45060075.3元件，每天最大利润为元，进货量为定价为 15，.167080,101利润=p 习题3-5 (B) 1，1,0,4

3

,41==-==

d c b a 2，x=1为极小点，y(1)=1为极小值

3, 当c=1时，a=0,b= -3，当c= -1时，a=4,b=5 4, 296)(23++-=x x x x P 5, (1) f(x)在x=0处连续；(2) 当e

x 1

=时,f(x)取极小值；当x=0时f(x)取极大值 6，3

10=

x 当时，三角形面积最小

7，32

3)2()

(11)1(03

2

=

--

=-

l x x x x y 8，122,2-≥

b

c a 2 11，c a e b

d L a

e b

d q -+-=+-=)

(4)(,)(2)1(2最大利润

eq

ed

d -=

η)2(

e

d q 21)3(=

=得当η 12，2)2()4(2

5

)1(=-=

t t x

13，156250元

14，(1) 263.01吨 (2) 19.66批/年 （3）一周期为18.31天 （4）22408.74元 15，2)2()1

11(1)()1(-+-+=

e n n n n M n

16，提示：.)1()1(ln )1()(22是极小值，证明令f x x x x f ---= 习题3-6 (A)

1， (1) x=0, y=1 (2) x= -1, y=0 (3) x= -1,x=1,y=0 (4) x=1,x=2,x= -3

2， 略

习题3-6 (B)

1，e

x y e x 1,1)1(+

=-= （2）x= -1,x=1,y= -2 （3）y=x, x=0 （4）y= -2, x=0 4

121,21)5(-=-=x y x 2， 略

习题3-7 (A) 1， k=2

2， x x k sec ,cos ==ρ

3， 0

2sin 32

t a k =

4， a a k t 4,41

,===ρπ 5， 2

33)22ln ,22(处曲率半径有最小值- 习题3-7 (B) 1， 略 2， ???

? ??++=)2(),2(,

332

323132323131x a y y a x axy

R 曲率圆心 3， 8)2()3(22=++-ηξ

4， 约1246(N) [提示：作匀速圆周运动的物体所受的向心力为R

mv F 2

=]

5， 16

125

)49()410(22=

-+--ηπξ

习题3-8

1，19.018.0<<ξ 2，19.020.0-<<-ξ 3，33.032.0<<ξ 4，51.250.2<<ξ

总习题三

一，(1)B (2)B (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C] 二，2

5

)

8(/82)7()0,1()6(3)5(63)4()22,22()3(2ln 1)2(2)1(3s cm π+--

x x x x

e y

x y 4)1(,

)1(4)10()9(222

2+++

= 三，9)3(0)2(3)1(,754

1,6,50,40,31,22

1

,12

3--

-

e

??????

?=-''≠++-'='-0

)1)0((2

10

)1()()()()1(,82x g x x e x x g x g x x f x

上连续在),()()2(+∞-∞'x f 9, 略

四，证明题和应用题

1， 提示：.)2

1

(,)0()1()1()(是最小值是最大值，证明令f f f x x x f p p =-+= 2， 提示：.)ln(ln )()(明，利用函数的单调性证令x a a a x a x f +-+= 3，提示：.)1(0)(12arcsin arctan 2)(2

π=='++=f x f x x

x x f ，且有，证明令 4，提示：().0)(ln >'

x f 证明 5，提示：，令x

x x f 1

)1ln(1)(-+=

内单调递减，在证明)1,0()(x f

)1()()0(f x f f >>+所以.

6，)027.0,025.0()2(450449)1(

7，)2,2(

b a P

8，

12ln 31

,2ln 3121-+ 9，%82.0%13)3(17

3)2(20)

1(总收益增加，时，若价格上涨当=-p p

p

10，略

第三章 作业 （仅供参考）

习题 3-1（A ） 1，2，4，6，8，10 习题 3-1（B ） 2，3，5，6，9，12 习题 3-2（A ） 1，2 习题 3-2（B ） 1（单），5，6 习题 3-3 1，4，7，8 习题 3-4（A ） 1，3（双），4（单），5，8（双），11 习题 3-4（B ） 2，4（单），6，10 习题 3-5（A ） 1（单），2（2），5，8，10 习题 3-5（B ） 3，5，8，10，13 习题 3-6（A ） 1（单），2（双） 习题 3-6（B ） 1（3）（5），2（1）（3） 习题 3-7（A ） 1，4 习题 3-7（B ） 1，3，5 习题 3-8 1，3

总习题三 一，二，三（双），四2，4，8，10

期末高等数学(上)试题及答案

1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx

（本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x

高等数学下试题及参考答案

高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =

2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

高数习题集(附答案)

第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

高数上试题及答案

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

高等数学1(理工类)第1章答案

高等数学第一章习题 一、填空 1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=?，则复合函数)]([x f y ?=的定义域为),1[e 2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1 1 ( +x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设?? ?≤<-≤≤=2 11 101 )(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。 5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+ ∈,)4 ,(π ππ 6. 已知2 1)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。 7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x f e 的定义域(,0]-∞ 8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22 2k k π πππ?? -+ ??? ? 9. x x sin lim x ∞→＝ 0 10.()()()=+-+∞→17 6 1125632lim x x x x 176 5 3。 11.x x x )2 1(lim -∞ →＝ 2 e - 12.当∞→x 时， x 1 是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 2 3- 14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。 15.若A x f x x =→)(lim 0 （A 为有限数），而)(lim 0 x g x x →不存在， 则)]()([lim 0 x g x f x x +→ 不存在 。 16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。（ 不一定 ） 17.函数2 31 22 ++-= x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。 19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是函数连续的 必要 条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）

高数B(上)试题及答案1

高等数学B （上）试题1答案 一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界. （ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. （ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡. 二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2 )1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sin x x x →∞ ＝1 。 3.112lim sin sin x x x x x x x x →∞??+??++=?? ??????? 2 1e +. 4. 曲线3 26y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为2 3 . 5．设0()f x A '=，则000 (2)(3) lim h f x h f x h h →+--＝ 5A . 6. 设1 ()sin cos ,(0)f x x x x =≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续. 7. 函数3 3y x x =-在x =1 -处有极大值. 8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，2 1()()F x f f x x ??=+ ??? ，则=')1(F 1 . 三、计算题（每题6分，共42分） 1．求极限 3(2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ . 解： 3 (2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

最新高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛域为（ ）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞=?? ? ??02在收敛域内的和函数是（ ）.

A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.

高等数学上考试试题及答案

四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )

(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

高数下试题及答案

第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（ ）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（ ）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

高数第一章深刻复习资料

第一章 预备知识 一、定义域 1. 已知()f x 的定义域为(,0)-∞ ，求(ln )f x 的定义域。答案：(0,1) 2. 求32233 ()6 x x x f x x x +--=+- 的连续区间。提示：任何初等函数在定义域范围内都是连续的。 答案：()()(),33,22,-∞--+∞ 二、判断两个函数是否相同？ 1. 2 ()lg f x x = ，()2lg g x x = 是否表示同一函数？答案：否 2. 下列各题中，()f x 和()g x 是否相同？答案：都不相同 ()2ln 1 (1) (),()1 1 (2) (),()sin arcsin (3) (),()x x f x g x x x f x x g x x f x x g x e -==-+==== 三、奇偶性 1. 判断()2 x x e e f x --= 的奇偶性。答案：奇函数 四、有界性 , 0?∈?>x D K ，使()≤f x K ，则()f x 在D 上有界。 有界函数既有上界，又有下界。 1. ()ln(1)f x x =- 在(1,2) 内是否有界？答案：无界 2. 221x y x =+ 是否有界？答案：有界，因为2 2 11<+x x 五、周期性 1. 下列哪个不是周期函数（C ）。 A ．sin , 0y x λλ=> B ．2y = C ．tan y x x = D ．sin cos y x x =+ 注意：=y C 是周期函数，但它没有最小正周期。 六、复合函数 1. 已知[]()f x ? ，求()f x 例：已知10)f x x x ??=> ??? ，求()f x 解1：

高等数学-第一章-1-5-作业答案

第49页 习题1-5 1 计算下列极限 （1）225 lim 3 x x x →+- 将2x =代入到25 3x x +-中，由于解析式有意义，因此 222525 lim 9323x x x →++==--- （2 ）2231 x x x -+ 将x =223 1 x x -+中，解析式有意义，因此 ()22 2 233 01 1 x x x --= =++ （3）22121 lim 1 x x x x →-+- 将1x =代入到解析式中，分子为0，分母为0，因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()()()2 221111121 0lim lim lim 011112 x x x x x x x x x x x →→→---+====-+-+ （4）322042lim 32x x x x x x →-++ 将0x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()() 22322000421421421lim lim lim 3232322x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-+===+++ （5）()2 2 lim h x h x h →+- 将0h =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()2 2 2lim lim lim 22h h h x h x x h h x h x h h →→→+-+==+=

（6）211lim 2x x x →∞ ??- + ??? 由于lim 22x →∞ =，1lim 0x x →∞??- = ???，22lim 0x x →∞?? = ??? 因此由极限四则运算法则可知 221112lim 2lim 2lim lim 2002x x x x x x x x →∞ →∞→∞→∞?????? - +=+-+=++= ? ? ??????? （7）221 lim 21 x x x x →∞--- 当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞ ∞ 型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是2 x ，再利用极限四则运算法则，可知： 2 2 2 2221 1 1lim1lim 1101lim lim 1111 212002 2lim 2lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞- ---====-------- （8）242lim 31 x x x x x →∞+-+ 当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞ ∞ 型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是4 x ，再利用极限四则运算法则，可知： 2 2323422424 1111lim lim 00lim lim 0113131100 13lim1lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++++====-+-+-+-+ （9）22468 lim 54 x x x x x →-+-+ 4x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()()2244424682422 lim lim lim 54141413 x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+---- （10）211lim 12x x x →∞ ???? + - ???????

期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分)

高数第一章答案

第一章 函数，极限与连续 第一节 函数 一、集合与区间 1.集合 一般地说，所谓集合（或简称集）是指具有特定性质的一些事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素。 由有限个元素组成的集合称为有限集。 由无穷多个元素组成的集合称为无限集。 不含任何元素的集合称为空集。 数集合也可以称为（数轴上的）点集。区间是用得较多的一类数集。 设a,b 为实数，且a0。开区间),(δδδ+-a a 称为点a 的δ邻域，记作),(δa U ，即}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U 。其中a 叫作这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。 在点a 的领域中去掉中心后，称为点a 的去心邻域，记作),(),(}||0|{),(),,(0 0δδδδδ+?-=<-<=a a a a a x x a U a U 即 二、函数概念 定义：设x 和y 是两个变量，若对于x 的每一个可能的取值，按照某个法则f 都有一个确定的y 的值与之对应，我们称变量y 是变量x 的函数，记为y =)(x f .这里称x 为自变量，y 为因变量。自变量x 的所以可能取值的集合称为定义域，记为D(f)；因变量y 的相

高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

高等数学上册第六版课后习题图文详细答案第一章

高等数学上册第六版课后习题详细答案（图文） 习题1-1 1. 设A =(-, -5)?(5, +), B =[-10, 3), 写出A ?B , A B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +), A B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +), A \(A \ B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A B ) C =A C ?B C . 证明 因为 x (A B )C x ?A B x ?A 或x ?B x A C 或x B C x A C ?B C , 所以 (A B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A X , B X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A B )f (A )f (B ). 证明 因为 y f (A ?B )x ∈A ?B , 使f (x )=y (因为x ∈A 或x ∈B ) y f (A )或y f (B ) y f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y f (A B )x ∈A B , 使f (x )=y (因为x ∈A 且x ∈B ) y f (A )且y f (B ) y f (A )f (B ), 所以 f (A B )f (A )f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x X , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y Y , 有x =g (y )X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射. 对于映射g : Y →X , 因为对每个y Y , 有g (y )=x X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A X . 证明: (1)f -1(f (A ))?A ;