幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性等性质，也可由这些性质去限制α的取值．
[跟进训练]
4．已知幂函数f (x )＝x
1m 2＋m
(m ∈N ＋).
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f ()2－a >f ()a －1的实数a 的取值范围．
[解](1)∵m ∈N ＋，∴m 2＋m ＝m (m ＋1)为偶数． 令m 2＋m ＝2k ，k ∈N ＋，则f (x )＝
2k x ，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f ()x 为增函数． (2)∵ 2 ＝ 212
＝21m 2＋m
，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，
∴f (x )＝x 12
，
由(1)知f ()x 在定义域[0，＋∞)上为增函数， ∴f ()2－a >f (
)
a －1等价于2－a >a －1≥0， 解得1≤a <3
2.
故a 的取值范围为⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫1，32.
1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的依据和标准．
2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图象过(0，0)，(1，1)在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，1
2，1，2，3这五个已研究熟的
幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y ＝－1
x 是幂函数．( ) (2)当x ∈(0，1)时，x 2>x 3.( ) (3)y ＝x 32
与y ＝x 64
定义域相同．( )
(4)若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( ) [答案](1)×(2)√(3)×(4)√
2．如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±1
2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )
A ．－2，－12，1
2，2 B ．2，12，－1
2，－2 C ．－12，－2，2，1
2 D ．2，12，－2，－1
2
B [由幂函数的性质，知选B.]
3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，
（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实
根，则实数k 的取值范围是________.
(0，1)[作出函数图象如图所示，则当0]
4．比较下列各组数的大小 (1)2－13
，⎝ ⎛⎭
⎪⎫131
3；(2)0.20.5，0.40.3
[解](1)由于幂函数y ＝x －
13
在()
0，＋∞上是减函数，
所以2－1
3
>3－13
，又3－13
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－13，所以2－1
3>⎝ ⎛⎭
⎪⎫1313
.
0，＋∞上是减函数，所以0.20.5<0.20.3 (2)由于指数函数y＝0.2x在()
由于幂函数y＝x0.3在()
0，＋∞上是增函数，所以0.20.3<0.40.3，所以0.20.5<0.40.3.
数学知识点新人教B版高中数学(必修1)3.3《幂函数》word教案-总结
3.3 幂函数教学设计 教学目标 一. 通过对幂函数的研究，理解、掌握幂函数的图象与性质，并掌握研究幂函数的一般方法； 二．渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力； 三．培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程. 教学重、难点 本节课的重点内容是幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法. 相对于指数函数与对数函数来说，幂函数的情况比较复杂，因此对幂函数图象的共性的归纳是本节课的难点. 学情分析及教学内容分析 一. 学情分析 本课例的实施对象具有如下特点： 1.知识储备方面 学习幂函数之前，学生在初中已经掌握了一次函数，二次函数，正比例函数， 反比例函数几类基本初等函数，并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质，基本掌握了研究函数的一般方法与过程.由于幂函数的情况比较复 杂，学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难. 2. 思维水平方面
所授课班级是理科实验班学生，学生有较高的数学素养和较强的数学思维能力，对数学充满探索精神，同时对课堂教学有较高需求. 3. 技术使用方面 学生能够熟练掌握图形计算器的操作，并具有利用信息技术进行自主探究的意识. 二. 教学内容分析 1.幂函数在教材中的地位 幂函数是新课标教材新增的内容，位于必修1第三章基本初等函数（Ⅰ）的第三节.在过渡性教材中，曾将幂函数这一内容删掉了，新课标又把幂函数重新编入教材，而相比起人教版的旧教材，幂函数的地位和难度都有所下降，新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后，并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质. 2.幂函数的作用 新教材将幂函数重新加入,主要考虑到幂函数在以下几方面的作用： 第一，是幂函数在实际中的应用.第二，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、 y=x-1三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.第三，幂函数是基本初等函数（Ⅰ）研究的最后一个函数，在指数函数和对数函数之后，幂函数的学习与探究过程可体现类比的学习方法，渗透分类讨论数形结合的数学思想，培养归纳、概括的能力，并使学生进一步体会并掌握研究基本初等函数的一般思路与方法. 教学过程 一．创设情境，建构概念
北师大版高中数学必修一教案简单幂函数的图象和性质 Word版含解析 (1)
第二章函数 第4.2节简单幂函数的图像和性质教学设计 y=及其他们的图像《简单的幂函数》是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2x 和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。 一．教学目标： 1．了解指数是整数的幂函数的概念; 2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法； 3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。 二. 核心素养 1.数学抽象：幂函数概念的理解 y=及其他们的图像和性质的基础上 2. 逻辑推理：通过对正、反比例函数和二次函数2x 来研究的，我把这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征推理到一般的形式上。 3. 数学运算：求简单的幂函数解析式； 4. 直观想象：通过幂函数的图像，可以直观的分析函数性质 5. 数学建模:在具体情境问题中，运用数形结合思想，利用幂函数的性质，图像，解决实际问题 教学重点 幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法 教学难点 简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性 PPT
1．知识引入 我们已经熟悉，y=x是正比例函数， 1 y x =是反比例函数 ,y=x2是一元二次函数，还有y x =,y=x3，它们都是简单的幂函数. 2.幂函数的概念概述： 一般地,形如y=x a(a为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的 函数称为幂函数。 这里的 1 y x = 和 y x =在今后的学习中可以分别写成y=x-1和y=x-2 【知识点扩充】 具体特点:①底数是自变量②指数是常量③xα的系数是1 3.动手实践 1.将y=x; 1 y x =;y=x2,y x =,y=x3这五个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写表2-3. 2 在图2-16中，只画出了函数在y轴某一侧的图象，请你画出函数在y轴另一侧的图象,并说出画法的依据.
二次函数与幂函数(含解析)
第六节二次函数与幂函数 [知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质 函数 特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x 1 2y＝x －1 图象 定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增(－∞，0]减 (0，＋∞)增 增增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减 公共点(1,1) 二、二次函数 1．二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 a>0a<0 图象 图象 特点①对称轴：x＝－ b 2a；②顶点：? ? ? ? － b 2a， 4ac－b2 4a 性质定义域x∈R
值域 y ∈?? 4ac －b 2 4a ，＋∞ y ∈? ??? －∞，4ac －b 2 4a 奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数 单调性 x ∈－∞， ??－b 2a 时递减，x ∈－b 2a ，＋∞时递增 x ∈? ???－∞，－b 2a 时递增，x ∈??? ?－b 2a ，＋∞时递减 [小题能否全取] 1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2 D ．f (x )＝x 2 解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数． 2．(教材习题改编)设α∈? ?? ? ??－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( ) A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3 解析：选A 在函数y ＝x － 1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函 数，故α＝1,3. 3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.??? ?0，1 20 B.????－∞，－120 C.??? ?1 20，＋∞ D.??? ?－1 20，0 解析：选C 由题意知????? a >0，Δ<0，即????? a >0，1－20a <0 得a >1 20. 4．(教材习题改编)已知点M ?? ? ? 33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________． 解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝??? ?33α，得α＝－2.故y ＝x － 2. 答案：y ＝x － 2 5．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________． 解析：由题意知????? －a ＋22＝1，a ＋b ＝2， 得????? a ＝－4， b ＝6. 则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：5 总结1函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数 的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；
(完整版)幂函数图象及其性质
幕函数的图像与性质 1幕函数的定义 形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数，其中 x 是自变量，a 为常数 注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同， 幕函数的自变量在底数位置， 而 指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1).下列函数中不是幕函数的是( ) A . y 仮 B . y x 3 c . y 2x D . y x 1 答案：C 例2.已知函数f x m 2 m 1 x 5m 3，当m 为何值时，f x 图像是上升曲线。 (1)是幕函数; (2)是幕函数，且是 0, 上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反 比例函数; (5) 是二次函数; 简解：(1) (2) (3) m 4 (4) m 5 (5) m 1 变式训练: 已知函数f x m 2 2m m 为何值时, 在第一象限内它的 2 小 简解：m m 0 2 m 2m 3 解得：m 0 U 3, 小结与拓展：要牢记幕函数的定义，列出等式或不等式求解。 2.幕函数的图像 幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同. a 的正负：a> 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升; 在第一象限的图象下降，反之也成立； aV 0,图象不过原点,
1 注：在上图第一象限中如何确定 y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法：可画出x=x o ； 当x o >l 时，按交点的高低，从高到低依次为 y=x 3, y=x 2, 当0(word完整版)幂函数知识总结,推荐文档
幂 函 数 复 习 一、幂函数定义：形如 )(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。 注意：幂函数与指数函数有何不同？ 【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 观察图： 归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下： 二、幂函数的性质
归纳：幂函数在第一象限的性质： 0>α，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（+∞,0）上单调递增。 0<α，图像过定点（1,1），在区间（+∞,0）上单调递减。 探究：整数m,n 的奇偶与幂函数n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系？ 结果：形如n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性 （1）当m ，n 都为奇数时，f （x ）为奇函数，图象关于原点对称； （2）当m 为奇数n 为偶数时，f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称； （3）当m 为偶数n 为奇数时，f （x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内. 三、幂函数的图像画法： 关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为水平的射线； 指数小于0,在第一象限为双曲线型； 四、规律方法总结： 1、幂函数)1,0(==ααx y 的图像： 2、幂函数 ),,,,(互质q p Z q p p q x y ∈==αα的图像：
3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作 为桥梁来比较大小． 题型一：幂函数解析式特征 例1.下列函数是幂函数的是（ ） A ．y=x x B.y=3x 2 C.y=x 21+1 D.y=x 3- 练习1：已知函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数，求此函数的解析式． 练习2：若函数29()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的 解析式． 题型二：幂函数性质 例2：下列命题中正确的是（ ） A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C ．幂函数的 y x α=图象不可能在第四象限内
2022高考一轮数学(浙江专版)(练习)第2章 第4节 二次函数与幂函数 Word版含答案
第四节 二次函数与幂函数 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)； 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0) 图象 定义域 R 值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛ ⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性 在⎝ ⎛ ⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减， 在⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫ －b 2a ，＋∞上增 在⎝ ⎛ ⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增， 在⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫ －b 2a ，＋∞上减 对称性 函数的图象关于x ＝－b 2a 对称 2.幂函数 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质 函数 特征 性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12 y ＝x －1 图象 定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减 公共点 (1,1) 1．(思考辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不行能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值肯定是4ac －b 2 4a .( ) (3)幂函数的图象肯定经过点(1,1)和点(0,0)．( ) (4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( ) A. 3 B ．±3 C ．±9 D ．9 D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝1 2. 所以f (x )＝x 1 2＝x ， 故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.] 3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫－∞，－120
【精品推荐】高中数学北师大版必修一课后训练2.5简单的幂函数 Word版含答案
课后训练 基础巩固 1．下列函数是幂函数的是()． ①y＝x3②y＝x0③y＝－2x2④y＝3x⑤y＝x－2＋1 A．①②B．①③ C．①③④D．①②③④ 2．若幂函数f(x)＝x m－1在(0，＋∞)上是减函数，则()．A．m＞1 B．不能确定 C．m＝1 D．m＜1 3．函数f(x)＝1 x x -的奇偶性为()． A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 4 5．f(x)是R上的偶函数，当x f(x)π)，f(3)，f(－5)的大小关系是()． A．f(3)＜f(－π)＜f(－5) B．f(－π)＜f(－5)＜f(3) C．f(3)＜f(－5)＜f(－π)D．f(－5)＜f(－π)＜f(3) 6．如果幂函数y＝(m2－9m＋19)x2m－7的图像不过原点，则()． A． 7 2 mA ．13- B ．13 C ．12- D ．12 10．定义在R 的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，则n ∈N ＋时，有( )． A ．f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1) B ．f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1) C ．f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1) D ．f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n ) 能力提升 11．已知f (x )＝221,0,1,0, x x x x x x ?-+>?---
(学习指导) 简单幂函数的图象和性质Word版含解析
4.2 简单幂函数的图象和性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解幂函数的概念．(重点) 2．掌握y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝1x ，y ＝x 12的图象与性质．(重 点) 3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．(重点、难点) 1.借助幂函数的图象的 学习，培养直观想象素养． 2．通过幂函数的性质的 学习，培养逻辑推理素养． 形如y ＝x α(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 思考：y ＝1()x ≠0是幂函数吗？ 提示：是．因为它可写成y ＝x 0()x ≠0的形式． 2．幂函数的图象 如图在同一坐标系内作出函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 12 ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象． 3．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 1．已知幂函数f ()x ＝kx α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12，22，则k ＋α等于( ) A ．12 B ．1 C ．3 2 D ．2 C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12＝22， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α ＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.] 2．函数y ＝x 1 3的图象是( )
A B C D B[当0x；当x>1时，x13幂函数的图像与性质
幂函数 学习目标 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质； 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习重点 幂函数的图像与性质 学习难点 幂函数性质的应用 学习过程 问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征 （1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数； （2）面积为S 的正方形边长12 a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数； （4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 1.幂函数的概念：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 判断下列函数哪些是幂函数. ①1 y x = ；②22y x =；③3y x x =-；④1y =. 2.幂函数的图象与性质 作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12 y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =． 从图象分析出幂函数所具有的性质. 观察图象，总结填写下表：
x y = 2x y = 3x y = 2 1x y = 1-=x y 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 1.幂函数的性质： 2.幂函数图象变化规律：． 练习： 下列关于幂函数的命题中不正确的是( ) A 幂函数的图象都经过点(1,1) B 幂函数的图象不可能在第四象限内 C 当n x y =的图象经过原点时,一定有n>0 D 若n x y =是奇函数,则n x y =在其定义域内一定是减函数 例1讨论()f x x =在[0,)+∞的单调性. 解析：证明函数的单调性一般用定义法。 证明：任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，则 2 1212 121212121) )(()()(x x x x x x x x x x x x x f x f +-= ++-= -=-， 因为21x x <，021>+x x ，所以 02 121<+-x x x x ，
(word完整版)幂函数的性质
教学过程： 一、幂函数 1．幂函数的定义 ⑴一般地，形如y x α=(x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数; ⑵112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数，在中学里我们只研究α为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像 ⑵归纳幂函数的性质： ① 当0α>时: ⅰ)图象都过()()0,0,1 ,1点。 ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数,且α越大，上升速度越快。 ⅲ）当1α>时，图象下凸；当01α<<时,图象上凸。 2 1x 1-=x
② 当0α<时： ⅰ)图象都过()1,1点。 ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数，且α越小，下降速度越快。 思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解： 例1 写出下列函数的定义域和奇偶性 (1)4 y x = (2）14 y x = （3）3y x -= （4）2y x -= 例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）1 16 6 2,3 ；（2)4 314.3- 与4 3- π ;（3）35)88.0(-与53 (0.89)-． 思考：.比较下列各数的大小：(1)2333 4 4 1.1,1.4,1.1； (2) 3338 4 2 0.16,0.5,6.25.-- 例3 已知函数()()2 212.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时，()f x 是 （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？ 例4 已知函数画出23 y x - =的大致图象。 ⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出23 y x -=的大致图象。 二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第2章 2.3 幂函数 Word版含解析
2.3 幂函数 1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点) 2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1 2，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况．(难点) 3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点) [基础·初探] 教材整理1 幂函数的概念 阅读教材P 77至倒数第二自然段，完成下列问题． 幂函数：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x －4 5是幂函数．( ) (2)函数y ＝2－x 是幂函数．( ) (3)函数y ＝－x 1 2是幂函数．( ) 【解析】 (1)√.函数 y ＝x － 4 5符合幂函数的定义，所以是幂函数； (2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－ x 不是幂函数； (3)×.幂函数中x α 的系数必须为1，所以y ＝－x 1 2不是幂函数． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的图象与性质 阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分，完成下列问题．
幂函数的图象与性质： 幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．(－∞，0) 【解析】 设幂函数为f (x )＝x α ，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α ＝3＝31 2， 解得α＝1 2，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B. 【答案】 B [小组合作型] (1)在函数y ＝x －( ) A ．0 B ．1
2021_2022学年新教材高中数学第二章函数4.2简单幂函数的图象和性质练习含解析北师大版必修第一
4．2 简单幂函数的图象和性质 水平1 1．函数y ＝－x 2是幂函数．( ) 2．幂函数y ＝x 2是偶函数．( ) 3．幂函数y ＝x －1是减函数．( ) 4．幂函数都过点(0，0)，(1，1).( ) 5．当00时过(0，0)，(1，1)点． 5．提示：×.0所以a ＝1，－b ＋1＝0， 即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2. 3．若定义域为R 的函数f (x )＝(m 2－4m －4)x m 是幂函数，则m ＝________． 【解析】因为f (x )是幂函数，所以m 2－4m －4＝1，即m 2－4m －5＝0，解得m ＝5或m ＝－1. 当m ＝5时，f (x )＝x 5的定义域为R ，合乎题意． 当m ＝－1时，f (x )＝x －1的定义域为()－∞，0∪() 0，＋∞，不合题意．所以m ＝5. 答案：5 ·题组二 幂函数的图象及其应用 1．如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则C 1， C 2，C 3，C 4的n 依次为( ) A.－2，－12，1 2，2 B.2，12，－1 2，－2 C.－12，－2，2，12 D.2，，－2，－12 【解析】y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象变化为：当n >0时，n 越大，y ＝x n 的递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝1 2；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭， 所以曲线C 3的n ＝－1 2 ，曲线C 4的n ＝－2. 2．下列关于函数y ＝x α与y ＝αx ⎝⎛⎭ ⎫α∈⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫ －1，12，2，3的图象正确的是( )
高中数学 第二章 函数 2.5 简单的幂函数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案
§5简单的幂函数 知识点一幂函数性质与图像 [填一填] 1．幂函数 如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数性质与图像 所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近． [答一答] 1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？ 提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅰ) ，如y＝x2； α∈(0,1)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝x；
α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝1x. 并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．知识点二奇函数与偶函数 [填一填] 3．奇函数与偶函数 (1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数． (2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数． (3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性． [答一答] 2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？ 提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0. (2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？ 提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同． 1．幂函数图像的分布特点和规律 幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布． 2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质 (1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．
2022新教材高中数学课时检测22简单幂函数的图象和性质含解析北师大版必修第一册
简单幂函数的图象和性质 [A 级 基础巩固] 1．(多选)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α 的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 解析：选AC 当α＝－1时，y ＝x －1＝1x ，为奇函数，但值域为{y |y ≠0}，不满足条件． 当α＝1时，y ＝x 为奇函数，值域为R ，满足条件． 当α＝2时，y ＝x 2 为偶函数，值域为{y |y ≥0}，不满足条件． 当α＝3时，y ＝x 3为奇函数，值域为R ，满足条件．故选A 、C. 2．幂函数f (x )＝x 2 3的大致图象为图中的( ) 解析：选B 由于f (0)＝0，所以排除C 、D 选项．又f (－x )＝(－x )23＝3（－x ）2＝3x 2＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称． 3．若f (x )是幂函数，且满足 f （4）f （2）＝4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．－4 B ．4 C ．－12 D ．14 解析：选D 设f (x )＝x α，则f (4)＝4α＝22α，f (2)＝2α . ∵f （4）f （2）＝22α 2 α＝2α＝4＝22， ∴α＝2，∴f (x )＝x 2 ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝14 ，故选D. 4．函数y ＝x m n (m ，n ∈N ＋，且m ，n 互质)的图象如图所示，则( )
A ．m ，n 是奇数，m n <1 B ．m 是偶数，n 是奇数，m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，m n >1 解析：选C 由函数图象可知y ＝x m n 是偶函数，而m ，n 是互质的，故m 是偶数，n 是奇 数．又当x ∈(1，＋∞)时，y ＝x m n 的图象在y ＝x 的图象下方，故m n <1. 5．已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2 的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0，1]∪[23，＋∞) B ．(0，1]∪[3，＋∞) C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞) D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞) 解析：选B 当01时，0<1m <1，y ＝(mx －1)2在⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤1m ，1上单调递增，所以要与y ＝x ＋m 的图象有且仅有一个交点，需(m －1)2≥1＋m ，即m ≥3.综上所述，0幂数函数的图像和性质
幂数函数的图像和性质 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制学校：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如幼儿教案、小学教案、中学教案、教学活动、评语、寄语、发言稿、工作计划、工作总结、心得体会、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as preschool lesson plans, elementary school lesson plans, middle school lesson plans, teaching activities, comments, messages, speech drafts, work plans, work summary, experience, and other sample essays, etc. I want to know Please pay attention to the different format and writing styles of sample essays!
高一数学人教A版必修1课后训练：2.3 幂函数 Word版含解析
课后训练 基础巩固 1．若幂函数f (x )＝x α在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．α＞0B ．α＜0 C ．α＝0D ．不能确定 2．下列函数是偶函数，且在(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．1 3 y x =B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 3 D ．y ＝x － 2 3．已知幂函数f (x )满足f =⎝⎭ f (x )的表达式是( ) A ．f (x )＝x － 3B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝3－ x D ．f (x )＝3x 4．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1 5．幂函数的图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则它的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 6．函数43 y x =的图象是( ) 7．2 3112T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23215T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13 312T ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，则下列关系式正确的是( ) A ．T 1＜T 2＜T 3 B ．T 3＜T 1＜T 2 C ．T 2＜T 3＜T 1 D ．T 2＜T 1＜T 3 8．若249 y x αα--=是偶函数，并且在(0，＋∞)上是减函数，则整数α＝__________． 9．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是__________． 10．函数y ＝x － 3在区间[－4，－2]上的最小值是__________．
11．求下列函数的定义域： (1)113 2 (32)(23) y x x -=-+-； (2)1 2 12x y - +⎛⎫ =- ⎪⎝ ⎭． 12．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3 ，m 为何值时， (1)f (x )是正比例函数； (2)f (x )是反比例函数； (3)f (x )是二次函数； (4)f (x )是幂函数． 能力提升 13．如图所示，曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，1 2 ±四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( ) A ．－2，12- ，12，2 B ．2，12，1 2-，－2 C ．12-，－2,2，12 D ．2，12，－2，1 2 - 14．三个数a ＝30.7，b ＝0.73，c ＝log 30.7的大小顺序为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜a D ．b ＜c ＜a 15．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x ＞12 x ＞lg x B ．2x ＞lg x ＞12 x C ．12 x ＞2x ＞lg x D ．lg x ＞12 x ＞2x 16．(压轴题)已知f (x )＝ 113 3 5 x x - -，g (x )＝ 113 3 5 x x - +．
