反对称矩阵的秩

对称矩阵的性质

对称矩阵的基本性质 在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念. 1 对称矩阵的定义 定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知： 1. 对称矩阵一定是方阵. 2. 位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ij ji a a =，对任意i 、j 都成 立.对称矩阵一定形如111211222212n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ??? . 定义2 形式为12000000l a a a ?? ? ? ? ?? ? 的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l = ，通常称为对角矩阵. 定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵. 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵.由定义知： 1. 反对称矩阵一定是方阵. 2. 反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素 都为零.反对称矩阵一定形如12112212000n n n n a a a a a a ?? ?- ? ? ?--?? . 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论. 2 对称矩阵的基本性质 性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵.

性质3设A为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则1 A-是对称矩阵（反对陈矩阵）. ?矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 性质4任一n n 性质5设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则T X AX是对称矩阵. 性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换. 1

对称矩阵与反对称矩阵

实对称矩阵 实数域内 <1> 定义：设A 为一n 阶实方阵，则A 称为是对称的如果A ˊ=A 。 <2> 性质：设A 为一n 阶实对称矩阵，令 A=(ij a )， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n 。 则有： 1) ;'A A = 2) ji ij a a =， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n ； 推论： 1),'2 AA A =A 2的主对角线上的元素为∑==n j ij n i a 12,...,2,1,全大于或等于0； 2)①若A 2的主对角线上的元素全为0，则A 为一零方阵； ②若,...3,2,1,0==n A n ，则A 为一零方阵； 3)每一个n 阶实对称矩阵A 对应于唯一的二次型f(X)=X ˊAX ， '*1321),...,,,(n n x x x x X =其中； 4)存在一n 阶正交矩阵U(即UU ˊ=E)，使得 ??????? ? ?,..., ,0 0 0, 0,=-n AU U λλλ.................0,...,0,0,....,0,0,211，其中ιλ，i=1，2，···,n 为A 的全部特征根。 5)实对称矩阵的特征根都是实数；属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。

<3>对称矩阵的构造 1)常见的对称矩阵： 对角矩阵，单位矩阵，正定矩阵，半正定矩阵； 2)设A为一n阶对称方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数 k A，A k，A+k E，k A+E， 3)设A为任一n阶方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数 A+Aˊ；k(A+Aˊ)；AAˊ，k AAˊ，(A-Aˊ)2； 4)设B为任一反对称矩阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数 k B2， <4>相关例题 1、n阶实方阵A为对称方阵的充要条件是' 2AA A 。

对称矩阵的性质及应用

对称矩阵的性质及应用 班级：数学1403班学号：20142681 姓名：张庭奥 内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。 关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用 1.导言 矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。 2.具体内容部分 2.1对称矩阵的基本性质

在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。 2.1.1 对称矩阵的定义 定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件 T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知： （1）对称矩阵一定是方阵 （2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。即ij ji a a =，对任意i 、j 都 成立。对称矩阵一定形如1112112 22212n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ?? 定义2 形式为1200000 l a a a ?? ? ? ? ??? 的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l = ，通常称为对角矩阵 定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵。 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵。由定义知： （1）反对称矩阵一定是方阵。 （2）反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素 都为零。反对称矩阵一定形如12112 212000n n n n a a a a a a ?? ? - ? ? ? --?? 。 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。 2.1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。

对称矩阵

摘要......................................................................................................... 错误！未定义书签。关键词......................................................................................................... 错误！未定义书签。Abstract..................................................................................................... 错误！未定义书签。Keywords ................................................................................................. 错误！未定义书签。前言.............................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.对称矩阵的基本性质..................................................................... 错误！未定义书签。 1.1对称矩阵的定义........................................................................ 错误！未定义书签。 1.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………错误！未定义书签。 2.对称矩阵的对角化.......................................................................... 错误！未定义书签。 2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明 .............................. 错误！未定义书签。 2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例................... 错误！未定义书签。 3.对称矩阵的正定性.......................................................................... 错误！未定义书签。 3.1正定矩阵的定义 ........................................................................ 错误！未定义书签。 3.2对称矩阵正定性的判别......................................................... 错误！未定义书签。 4.应用举例 ............................................................................................... 错误！未定义书签。总结.............................................................................................................. 错误！未定义书签。参考文献 ................................................................................................... 错误！未定义书签。 对称矩阵的性质及应用

关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质

INTELLIGENCE 人 文 论 坛 162 关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 华北电力大学科技学院 朱亚茹 摘 要: 对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，占有很重要的地位，但在高等代数和线性代数教材中只涉及到了两个矩阵的定义，而没有提到其性质。本文针对对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以了证明。 关键词:对称矩阵 反对称矩阵 性质 对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要地位。教材中在讨论对称矩阵时只给出了定义，但对其性质的研究很少，对反对称矩阵的性质则研究更少。本文围绕对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以证明，为广大读者学习矩阵时提供参考。 一、对称矩阵 定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =，即(,1,2,,)ij ji a a i j n ==???，那么称A 为对称矩阵。 由于对称矩阵形式的特殊性，使其具有一般矩阵没有的性质，下面列举出对称矩阵一系列的性质，并运用对称矩阵的定义和转置运算的性质对每个性质进行了证明。 性质1：A 为n 阶对称矩阵，则m A （m 为正整数）也是对称矩阵。 证明：因为A 为n 阶对称矩阵，所以T A A =。则()()m T T m m A A A ==，所以由定义可知m A （m 为正整数）也是对称矩阵。 性质2：A 为n 阶对称矩阵，则T A A +也是对称矩阵。证明：因为()()T T T T T T A A A A A A +=+=+，所以T A A +也是对称矩阵。 性质3：A 为n 阶对称矩阵且A 可逆，则1A ?也是对称矩阵。证明：因为111()()T T A A A ???==，所以1A ?也是对称矩阵。性质4：A 为m n ×阶的矩阵，则T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。 证明：显然T AA 为m 阶矩阵，T A A 为n 阶矩阵，又由于 ()()T T T T T T AA A A AA ==，()()T T T T T T A A A A A A ==，所以T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。 性质5：A,B 都为n 阶对称矩阵，则A B +也是对称矩阵。证明：因为()T T T A B A B A B +=+=+，所以A B +也是对称矩阵。 性质6：A,B 都为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =。 证明：必要性：设AB 为对称矩阵，则()T AB AB =，而()T T T AB B A BA ==，所以AB BA =。 充分性：设AB BA =，则()()T T T T AB BA A B AB ===，所以AB 为对称矩阵。 二、反对称矩阵 定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =?，即(,1,2,,)ij ji a a i j n =?=???，那么称A 为反对称矩阵。 由于反对称矩阵形式的特殊性，使其具有了与对称矩阵不同的一些性质。 性质7：设A 为n 阶反对称矩阵，则A 的主对角线上的 元素都为0。 证明：因为A 为n 阶反对称矩阵，所以A 的主对角线上的元素有(1,2,,)ii ii a a i n =?=???，所以0(1,2,,)ii a i n ==???。 性质8：设A 为n 阶反对称矩阵，n 为奇数，则A 的行列式值为0。 证明：因为(,1,2,,)ij ji a a i j n =?=???，所以将A 的每一行提 出一个公因子-1，由于n 为奇数，则：(1)n T T A A A =?=?。而根据行列式的性质有T A A =，所以0A =。 性质9：设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则(1)AB BA ?为对称矩阵。(2)AB BA +为反对称矩阵。 证明：(1)因为()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B AB BA ?=?=?=?,所以AB BA ?为对称矩阵。 (2)同(1)，因为()()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B AB BA +=+=+=?+,所以AB BA +为反对称矩阵。 性质10：任一n 阶方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 证明:假设n 阶方阵A B C =+,其中B 为对称矩阵, C 为反对称矩阵,则()T T T T A B C B C B C =+=+=?。由T A B C A B C =+?? =??得,22 T T A A A A B C +?==。 而( ),()2222 T T T T T T T T A A A A A A A A B B C C ++??===== =?，则B 为对称矩阵，C 为反对称矩阵，且A B C =+。 性质11：设A 为n 阶反对称矩阵，B 为n 阶对称矩阵， 则AB 为反对称矩阵的充分必要条件为AB BA =。 证明：必要性：设AB 为反对称矩阵，则()T AB AB =?，而()T T T AB B A BA ==?，所以AB BA =。 充分性：设AB BA =，则()()T T T T AB BA A B AB ===?，所以AB 为反对称矩阵。 三、结束语 对称矩阵与反对称矩阵在高等代数和线形代数中的性质还有很多，比如对称矩阵的特征值均为实数，对应不同特征值得的特征向量必正交等等，由于篇幅所限，本文只介绍一些基本的性质，方便读者参考。 参考文献： [1]同济大学应用数学系：《线性代数》.高等教育出版社,2004 [2]肖马成、周概容：《线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析》.高等教育出版社,2008 [3] 陈惠汝、余巧生：《矩阵同时相似于对角矩阵问题的研究》[J].重庆三峡学院学报,2009，25

对称矩阵与反对称矩阵的若干性质3

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 行列式的几种解法 (1) 1.1将行列式化成上下三角形法 (1) 1.2按行列展开法 (3) 1.3拆项法 (3) 1.4递推法 (4) 1.5 加边法 (5) 1.6数学归纳法 (6) 参考文献 (8)

对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 摘要：本文结合实例介绍对称矩阵与反对称矩阵的性质． 关键词：对称矩阵；反对称矩阵；复对称矩阵；正定；合同 Some properties of symmetric and anti -symmetric matrix Abstract：This paper introduced the properties of symmetric and anti symmetric matrix Key words：Symmetric matrix；anti- symmetric matrices；Complex symmetric matrices;Positive definite； 前言 任何一个矩阵都可以唯一地分解成一个对称矩阵于一个反对称矩阵之和。对称矩阵与反对称矩阵即有类似的性质，也有各自特有的性质和应用，在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论这两种特殊矩阵的性质和应用，它们作为特殊矩阵无论在理论方面还是在实际应用方面都有很重要的意义. 对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 一、预备知识： 定义1 子式称为的顺序主子式. 定义2 的所有顺序主子式全大于0，则正定. 定义3 如果n级复矩阵满足，那么是酉矩阵. 定义4：矩阵成为对称的，如果，即. 定义5 矩阵成为反对称的（斜对称的），如果，即. 定义6 正交对角化的定义：一个矩阵称为可正交对角化,如果存在一个正交矩阵和一个对角阵，使得. 定义7 矩阵对称，即满足，则称为复对称矩阵. 定义8 数域P上nn矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使 B. 二、对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 1、对称矩阵的特有性质 （1）实对称矩阵的性质

对称矩阵的性质

对称矩阵的性质 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

对称矩阵的基本性质 在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念. 1 对称矩阵的定义 定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知： 1. 对称矩阵一定是方阵. 2. 位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ij ji a a =，对任意i 、j 都成立.对称 矩阵一定形如1112112 22212n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ??? . 定义2 形式为12000000l a a a ?? ? ? ? ???的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为对角矩阵. 定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵. 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵.由定义知： 1. 反对称矩阵一定是方阵.

2. 反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素都为零. 反对称矩阵一定形如12112212000n n n n a a a a a a ?? ?- ? ? ?--?? . 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论. 2 对称矩阵的基本性质 性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵. 性质3 设A 为n 阶对称矩阵（反对称矩阵），若A 可逆，则1A -是对称矩阵（反对陈矩阵）. 性质4 任一n n ?矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 性质5 设A 为对称矩阵，X 与A 是同阶矩阵，则T X AX 是对称矩阵. 性质6 设A 、B 都是n 阶对称矩阵，证明：AB 也对称当且仅当A 、B 可交换.

反对称矩阵的性质及应用毕业论文

反对称矩阵的性质及应用毕业论文 目录 中文摘要： (1) 英文摘要 (1) 1.引言 (2) 2．反对称矩阵的基本性质 (2) 2.1反对称矩阵的定义 (2) 2.2反对称矩阵的基本性质及证明 (3) 2.3基本性质的应用举例 (6) 3.反对称矩阵秩的性质 (8) 3.1反对称矩阵的秩的性质及证明 (8) 3.2秩的性质的应用举例 (9) 4.反对称矩阵特征值的性质 (10) 4.1 反对称矩阵特征值的性质及证明 (10) 4.2特征值性质的应用举例 (10) 5.反对称矩阵在欧式空间线性变换上的应用举例 (11) 6.总结 (11) 参考文献 (12)

反对称矩阵的性质及应用 摘要：矩阵是高等数学中一个极其重要的概念并且有广泛的应用，如线性方程组的 一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表 现为变换这些矩阵的过程.这就使矩阵成为线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵 的一种特殊类型，反对称矩阵有很多特殊性质，是研究线性空间和线性变换问题的 有利工具。本文主要描述反对称矩阵的定义，研究反对称矩阵的性质及应用.包括反 对称矩阵的基本性质，反对称矩阵秩的性质，特征值的性质以及反对称矩阵在求矩 阵特征值及秩，线性变换和欧式空间问题中的应用等. 关键词：反对称矩阵；性质；秩；特征值 Abstract: Matrix is a very important concepts in higher mathematics and its application is extensive, such as some important properties of linear equations is reflected in the nature of its coefficient matrix and augmented matrix, and the process of solution of equations is to the process of transform these matrices,which makes the matrix become a main object of study of linear algebra. as a special type of matrix, antisymmetric matrix has a lot of the special nature which makes it become a powerful tool in study problem of the linear space and linear transformation. The article mainly elaborates the definitions of antisymmetric matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of antisymmetric matrices, the properties of antisymmetric matrix rank, the properties of characteristic value,and the applications of antisymmetric matrix in the solution of matrix eigenvalue and rank of matrix, linear transformations and Euclidean space problems etc. Keywords:Antisymmetric matrix; Nature; Rank; Characteristic value

反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的关系

反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的关系 作者姓名：张灿 河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班 摘要：矩阵在高等代数中有着广泛的应用，本文主要讨论了反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。通过对反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的关系的研究，为了更好地理解它们之间的一些性质，进而可以灵活的运用矩阵建立一些数学模型来解决实际问题。 关键词：反对称矩阵正交矩阵对称矩阵行列式特征值The Relationship of Antisymmetry Matrix, Orthogonal Matrix and Diagonal Matrix Author Name：zhangcan Henan Polytechnic University School of College Mathematics and Information Science Mathematics and Applied Mathematics Class 2 Grade 2007 Abstract: Matrix has been widely used in higher algebra. This paper mainly discusses the calculations properties and elementary transformation of antisymmetry matrix, orthogonal matrix and diagonal matrix, and illustrates and analyzes the application problems of antisymmetry matrix, orthogonal matrix and diagonal matrix matrix in resolving the calculation of matrix eigenvalue and the proof of relevant matrix. We can understand their properties better through researching their relationship, thus flexibly using matrix to build some mathematical models to solve the actual problems. Keywords:antisymmetry matrix orthogonal matrix symmetric matrices determinant eigenvalue §1引言 在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵都是重要的实方阵，由于它们的一些特殊的性质，使得它们在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵的最主要的性质入手，来讨论他们之

对称矩阵的性质及应用

目录 摘要......................................................................................................... 错误！未定义书签。关键词......................................................................................................... 错误！未定义书签。Abstract..................................................................................................... 错误！未定义书签。Keywords ................................................................................................. 错误！未定义书签。前言.............................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.对称矩阵的基本性质..................................................................... 错误！未定义书签。 1.1对称矩阵的定义........................................................................ 错误！未定义书签。 1.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………错误！未定义书签。 2.对称矩阵的对角化.......................................................................... 错误！未定义书签。 2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明 .............................. 错误！未定义书签。 2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例................... 错误！未定义书签。 3.对称矩阵的正定性.......................................................................... 错误！未定义书签。 3.1正定矩阵的定义 ........................................................................ 错误！未定义书签。 3.2对称矩阵正定性的判别......................................................... 错误！未定义书签。 4.应用举例 ............................................................................................... 错误！未定义书签。总结.............................................................................................................. 错误！未定义书签。参考文献 ................................................................................................... 错误！未定义书签。

反对称矩阵 5教案资料

反对称矩阵5

编号 2010011316 毕业论文(设计) ( 2013 届本科) 论文题目: 反对称矩阵、正交矩阵与对角矩阵的关系 学院: 数学与统计学院 专业: 数学与应用数学 班级: 2010级本科3班 作者姓名: 牟新伟 指导教师: 杨明霞职称: 讲师 完成日期: 2014 年 4 月 8 日

反对称矩阵、正交矩阵与对角矩阵的关系牟新伟 (陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000) 摘要：高等代数是数学与应用数学，信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是学习后继课程如近世代数、离散数学、数论等的基础。而矩阵在理论领域中处于核心地位，在应用领域中固然也有着很重要的作用，其应用是非常广泛的，我们在日常生活中无意识的应用着矩阵，像旅程时间表、学校用的课表，以及其他与行列有关的图表；在科技飞速发达的今天，矩阵在其他学科中也有着重要的作用，如物理学、生态学、社会学、计算机编程等，在经济领域和交通部门都有着重要的用途；本文首先给出三种矩阵的定义和一些性质及相应的理论证明，此项研究的结论是在满足某些条件的情况下来研究讨论三种矩阵或任意两种矩阵之间的关系。 关键词：反对称矩阵；正交矩阵；对角形矩阵；矩阵对角化。一．引言 在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵都是重要的实方阵，由于它们的一些特殊的性质，使得它们在不同的领域都有着广泛的作用，同时也推动了其他学科的发展。 二：反对称矩阵、正交矩阵、对角矩阵的定义及性质 2.1.反对称矩阵的定义及性质

对称正定矩阵与反对称矩阵性质

Science Bird改组为:

08中科大高代 232 3 23567A(4{111}A(008A(λλλλλλλλλλλ??+n -1一、填空 1、已知方阵A,求A 、已知方阵A,求A 、线性方程组 4、求以A(1,-2,1),B(2,3,0),C(0,-1,4),D(1,3,-1)为四顶点的四面体 的体积。、向量组线性相关 、求线性变换在某基下的矩阵 、已知四阶方阵)的秩为，初等因子组为，，，（）（），，则)的不变因子是____，行列式因子是___ 、)=220 0Smith ___0010100010109A=Jordon ______ 00101000100000110λλλλ?? +?? ????????????? ?????????? ，求它的标准形、的标准形是、求实正交阵的正交相似标准形。 n n 1212F P FA=AF A 12 :112x-y+z=0 2 (1)l l 2l l y x z ππ×∈+?= =???1二、若对任意可逆，，则为数量矩阵。三、证明：酉矩阵的特征值的模长是。四、已知直线l 和平面：、求在上的投影直线的方程 ()、求绕旋转所得的旋转曲面的方程 222123123122331123123A B A+B A B A+B Q(x ,x ,x )x x x 4x x 4x x 4x x 1Q(x ,x ,x )2Q(x ,x ,x )1n A B A+B P P P P P P =++?+?=≥五、已知二次型（ ）用正交变换将化为标准形（）判断曲面的类型 六、阶实对称方阵，，的正惯性指数分别是，，证明：+

1s 1s 2s 1n 2s 1n n A B *****0****00B ***B=,B B ,,000***000000000λλλλ???????????????????? %""%++七、证明：阶实方阵正交相似于一个准上三角阵 其中，，为二阶实方阵;为实数。 A B A B 八、设实方阵，相似且相合，问，是否正交相似，试证之。

一类特殊实对称矩阵的性质与应用

本科毕业论文（设计） 题目：一类特殊实对称矩阵的性质与应用 学生：学号： 学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学 入学时间：2013年9月11日 指导教师：职称：讲师 完成日期：2017年3月2 日 一类特殊实对称矩阵的性质与应用

摘要：实对称矩阵是一类应用广泛的矩阵，很多科学问题的求解都离不开实对称矩阵,而在实对称矩阵中存在着一些特殊的的实对称矩阵，这些实对称矩阵具有一般矩阵同样具有的性质，同时因为自身具有的特殊性，因而在计算矩阵的行列式、逆、秩、迹等方面具有简便的运算.本文讨论了一类特殊的实对称矩阵——等差实对称矩阵的定义和性质，给出了等差实对称矩阵在化二次型的标准型，一般的n元函数求最大值最小值，对角化中正交矩阵的初等变换求法中的应用. 关键词：实对称矩阵;等差数列;二次型标准型;初等变换 Properties and applications of a class of special real symmetric matrices Abstract:The real symmetric matrix is a widely used matrix, solving a lot of scientific problems all cannot do without the real symmetric matrix, and some special of the real symmetric matrix in real symmetric matrix, real symmetric matrices with these propertiesof general matrix with the same, and because of its own specialties, with simple and convenient operation in the calculation of determinant, inverse matrix, rank, etc. and trace. This paper discusses the definition and properties of a special kind of real symmetric matrix arithmetic of real symmetric matrix, real symmetric matrix arithmetic in the standard type two type is given, the general function for the maximum minimum valueoforthogonal elementary transformation for the application of matrixdiagonalizationmethod. Key words:Real symmetric matrix; arithmetic progression; two standard type; elementary transformation 目录

实对称矩阵的若干简单性质

实对称矩阵的若干简单性质 张冰 摘要：本论文首先介绍了转置矩阵、对角矩阵等相关定义及实对称矩阵的定义， 然后对实对称矩阵的若干简单性质进行了研究与证明，包括实对称矩阵的对角化等， 并且给出了具体例子. 关键词：矩阵；实对称矩阵; 对角化；应用 Some Basal Properties of The Real Symmetric Matrixes zhang bing （20112112147 Class 2Grade 2011 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Statistics Science） Abstract:This paper first introduces the concepts of transpose matrixes, diagonal matrixes ,real symmetric matrixes and some related definitions . Then it makes some researches and proofs on some basal properties of real symmetric matrixes , such as the diagonalization of real symmetric matrixes and gives some examples. Key words: matrix; real symmetric matrix ; diagonalization; application 1引言与基本内容 1.1引言 矩阵是高等代数中的重要组成部分, 有各种各样的问题都提出了矩阵的概念，这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，从而矩阵也是主要的研究对象. 作为矩阵的一种特殊类型，实对称矩阵有很多特殊性质,是研究二次型,线性空间和线性变换问题的有利工具,实对称矩阵中的一些基本性质, 定理, 对角化等是高等代数中的重难点.在文献[2]中, 作者王文省详细给出了转置和对称矩阵的概念.在文献[3]中, 作者王萼芳介绍了实对称矩阵对角化的性质, 并着重强调了实对称矩阵的方法.本篇论文介绍了实对称矩阵的相关定义和若干简单性质, 进一步对这些性质进行了研究与证明, 并且给出了具体例子，说明了其应用. 1.2基本内容 定义1形如 1112131 2122232 3132333 123 ... ... ... ............... ... n n n m m m mn a a a a a a a a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ? ? ?? 的纵横排列的二维数据表格称为m行n