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三四年级奥数-倍数问题

1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题

2. 掌握寻找和倍的方法解决问题．

知识点说明：和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．

解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：

和÷(倍数+1)=小数

小数×倍数=大数或和一小数=大数

如果要求两个数的差，要先求1份数：

l 份数×(倍数－1)=两数差.

解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

【例 1】根据线段图列式：

【解析】列式：28(31)7÷+=（米）

【巩固】小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？

【解析】小华：72(17)9÷+=（岁），

爷爷：9763?=（岁），63954-=（岁）或9(71)54?-=（岁）.

【巩固】实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2

倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？

例题精讲

知识点拨

教学目标倍数问题

数．两个年级共制作了318件，这318件就相当于123+=倍，这样就可以求得1倍数——三年级同学的制作件数是：3183106÷= (件)．再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关系，求出四年级同学制作航模的件数是：1062212?=(件)或318106212-=(件)。

【巩固】果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？

【解析】把梨树的棵数看作l 份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于(5+1)份数，分别求出梨树

和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了. （法１）梨树：54(51) 9÷+=(棵)，苹果树：9545?=(棵)，苹果树比梨树多：45936-=(棵) （法２）梨树：54(51)9÷+=(棵)，苹果树比梨树多：9(51)36?-=(棵)

【巩固】学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍.买来的乒乓球和羽毛球各

多少个？

【解析】先引导学生认识一倍量和它的几倍量，并带领学生画线段图，借助图形来解决实际问题．

根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数，40个就相当于(4+1) 份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个数.

羽毛球有：40(41)4058()÷+=÷=个，乒乓球有：8432?=(个)．

【巩固】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重

多少千克？

【解析】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千

克）。

把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；

每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。

【例 2】李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？

【分析】引导学生画图，但是一定要强调差所对应的份数，这样我们就可以求一份量（一倍量），从而解

决题目．与18只相对应，这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数，求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求出来了．鸭与鹅只数的倍数差是312-=（倍），鹅有1829÷= (只)，鸭有 9327?=(只).

【巩固】两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的5倍，甲书架比乙书架存书多120本，则乙书架存

书多少本？

【解析】多的120本相当于乙书架的4倍，则乙书架的书为：120430÷=（本）．

【巩固】甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

【解析】乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）

甲班的本数： 40×3=120（本）或40＋80=120（本）。

【例 3】小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的2倍？

【解析】小花现在的钱数：(1410)(12)8+÷+=（元），小花给小敏：1082-=（元）

【巩固】某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有

7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？

【解析】 “每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车”，则每天东站增加（11-7=）4辆

车，西站减少4辆车，但两站车辆总数不变为：84+56=140（辆）。要使东站车辆是西站车

辆的4倍，西站只能有车辆：140÷（4+1）=28（辆）。用西站需要减少的总车辆数除以每

天减少的车辆数，可以得出所求天数：（56-28）÷4=7（天）。所以，7天后，东站车辆是

西站的4倍。

【巩固】二⑴班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走7本后，故事书的本数就是

连环画的4倍.原有连环画和故事书各有多少本？

【解析】从线段图可以看出，如果故事书拿走7本以后，则正好是连环画的4倍.这时故事书与连环画总数

应减少7本，列式成47740-= (本)，正好是连环画本数的(1+4)倍.

⑴如果故事书拿走7本，总本数为： 47740-=(本)

⑵现在连环画与故事书的倍数和为：4+1=5

⑶连环画有：4058÷=(本)

⑷故事书有：84739?+=(本)

【例 4】师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件

多少个？

【解析】引导学生画图时，一定要注意“多5个”的画图方法，并找和与份数之间的关系．

【详解】从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作1份数，师傅加工的个数就比3份数还多5个，如果

师傅少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(1055)-个，这样这道题就转化为例5类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做5个，师、徒共做： 1055100-=(个)，徒弟做了：100(31)25÷+=(个),师傅做了：253580?+=(个)．

【巩固】实验小学共有学生956人，男生比女生2倍少4人.问：实验小学男学生和女学生各有多少人？

【解析】女生：(9564)3320+÷=（人），男生：956320636-=（人）或32024636?-=（人）

【巩固】光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

【巩固】把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760

人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。

女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

男生人数：200×3-40=560（人）或 760-200=560（人）

验算：560＋200=760（人）（560+40）÷200=3（倍）。

答：男生有560人，女生有200人。

【例5】有两盘苹果，如果从第一盘中拿2个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同(条件A)；

如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍(条件B).

第一盘有苹果多少个?

【解析】本题的数量关系更为隐蔽．首先须理解条件表述语中隐含的数量关系．

条件A的数量关系为：第一盘中的苹果数比第二盘多2+2=4(个).从条件B可知，如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘就比第二盘多4+(2+2)=8(个)；此时，第一盘的苹果数是第二盘的2倍．

(1)原来第一盘比第二盘多：2+2=4(个)或2×2=4(个)

(2)从第二盘拿2个到第一盘里，第一盘就比第二盘多：4+(2+2)=8(个)或4+2×2=8(个)

(3)第二盘拿走2个后剩下的苹果：8÷(2-1)= 8(个)

(4)第一盘原有苹果：8×2-2=14(个)

答：第一盘有苹果14个．

【巩固】爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头．父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，

那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍．请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？

【详解】由题意，如果爸爸多搬10块，冬冬少搬10块那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5倍；如果爸爸少搬10块，冬冬多搬10块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2倍．对于前一种情况，如果让爸爸再多搬100块，冬冬再多搬20块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5倍，也就是说如果爸爸

多搬110块，冬冬多搬10块，爸爸搬的砖头块数是冬冬的5倍．由以上的关系可以列式求出爸

爸原计划搬的块数为：

+÷-?+=（块），

(11010)(52)21090

冬冬原计划搬的块数为：

(9010)51030

+÷+=（块）．

【巩固】甲、乙各有若干本书,若甲给乙45本,则二人的书相等,若乙给甲45本则甲的本数是乙的4倍,甲、乙各有书多少本？

【解析】乙给甲45本书后剩下的书：(452452)(41)60

+=（本），

?+?÷-=（本），乙原有书：6045105甲原有书：105452195

+?=（本）．

【巩固】小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红1支，两人就一样多，如果小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍，那么小青和小红各有多少支水彩笔？

【解析】“小青给小红1支，两人就一样多”说明小青原来比小红多112

+=(支)，“如果小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍”则小红给小青1支后，小青就比小红多2114

++=(支)，这与倍数差211

÷=(支)，她原来就是-=（倍）相对应，这样就可以求到小红的水彩笔现在是414

+=(支).

+=(支)，小青原来是：527

415

【例6】一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？

【解析】先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）

长是：6×2=12（厘米）这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）

【例7】实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗?

【解析】已知两校的人数和是2346人，而两校人数的差没有直接

告诉我们．只要求出两校人数的差，就能解决问题了．差

是多少呢?从图上可以看出，实验一小增加146人，实验

二小减少88人，两校的学生人数就相等．在实验一小人数没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相差：146＋88＝234 (人)，利用(和＋差)÷2＝大数，就可以求出实验二小实际的人数：

(2346＋146＋88)÷2＝1290(人)………………实验二小

2346－1290＝1056(人)………………………实验一小

本题也可以用和倍方法解

【巩固】某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加室内、室外活动的共有多少人?【解析】原来室外、室内活动人数相差480人，现把室内的50人改为室外活动，这样室外活动人数比室内人数多480502580

+?=(人)，这时室外活动人数正好是室内人数的5倍，580人相当于现在室内活动人数的514

÷=，再求出室内、外人数-=(倍)，这样可先求出现在室内活动人数为5804145

之和：145(51)870

?+=人．

【巩固】有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

【解析】如上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。

第一根截去12米剩下的长度：（12+14）÷（3-1）＝13（米）

两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）

【例8】甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同．若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相当于甲自学1天的时间．问：甲、乙原定每天自学的时间是

多少？

【解析】改变后，甲每天比乙多自学1小时，即60分钟．它是乙现在五天自学的时间，即乙现在每天自学：

+=（分）．

÷-=（分），原来每天自学的时间是：123042

60(61)12

【巩固】有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒8千克水到大桶，则大桶中水是小桶的3倍，求原来大桶有水多少千克？

【详解】现在大桶水比小桶水多：8216

?=（千克），所以现在小桶中的水是：16(31)8

÷-=（千克），而原来大桶中有水是：8216

?=（千克）．

【巩固】甲、乙俩人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍．如果甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等．问甲、乙俩人原来各存款多少元？

【解析】“甲存款数是乙存款数的3倍”，乙存款数就是l倍数，而甲存款数比乙存款数多的倍数是312

-=倍．因为“甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等”，可知甲的存款数比乙的存款数多8020100

+=(元)．利用差倍问题的公式，可求出1倍数，即乙原来的存款数100250

÷= (元)，从而求出甲原来的存款数503150

?=(元)．

【巩固】三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又

买来新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级

小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原

有图书各多少本？

【详解】两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本，即增加

一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三（2）班所剩图书的3-1=2倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。

后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？74＋96=170（本）

三（2）班剩下的图书是多少本？170÷（3-1）=85（本）

三（2）班原有图书多少本？85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）

综合算式：（74＋96）÷（3-1）＋96＝170÷2+96＝85＋96=181（本）

【巩固】小新家有大小两个书架，大书架上的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架上取走150本放到小书架上，那么两个书架上的书一样多，大小书架上原来各有多少本书?

【解析】根据从大书架上取出150本书放人小书架，两个架上的书的本数相等，知大书架比小书架多150×2＝300本．这样就可以作为一道典型的“差倍问题”来进行解答了．

由于大书架上的书是小书架的3倍，把小书架上书的本数看做I倍量，大书架比小书架多300本对应于小书架的(3－1)倍量．

大书架比小书架多的书数： 150×2＝300(本)，

两个书架相差几倍： 3－1＝2倍，

小书架原有书： 300÷2＝150(本)，

大书架原有书： 150×3＝450(本)．

【例9】有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍，两根铁丝各剩下多少米？

【分析】引导学生画图，并找出本题中数与份数之间的关系．以学生探索为主，教师指导为铺．用去同样长的一段后，两段长度差为：18108

-=（米），且第一根比第二根多：312

-=（倍），则第二根剩下：824

?=（米）．

÷=（米），第一根剩下：4312

【巩固】有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度是短纸带剩下的3倍，问剪下的一段有多长？

【解析】长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长：21138

-=（厘米），短纸带剩下：8(31)4

÷-=（厘米），剪下：1349

-=（厘米）．

【巩固】食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？

【解析】因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是：138-94=44（千克）。

我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份，则几天后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：（94-22）÷9=8（天）。

【例10】(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，哥哥带了________元钱，

妹妹带了________元钱．

【解析】由题目的条件“哥哥带的钱是妹妹的两倍”知：哥哥的钱比妹妹的钱多一倍，又由“哥哥用去180

元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，知：哥哥比妹妹多18030150

-=（元），则知妹妹带了150元，哥哥带了300元．

【巩固】有甲、乙两艘货船，甲船所载货物是乙船的3倍．若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍．甲船原载货物多少吨?

【解析】甲船所载货物是乙船所载货物的3倍，乙船增加900吨，甲船就应增加900×3＝2700(吨)，实际少增加2700－1200＝1500(吨)．少增加的重量等于乙船现有货物的3－2＝1(倍)，所以甲船原载货物(1500－900)×3＝1800(吨)．

【巩固】菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？

【解析】这样想：根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多

180********

-=(倍)，这样就可以先求出运来的萝卜-=(千克).这个重量相当于萝卜重量的312

是多少千克，再求运来的白菜是多少千克.所以运来萝卜：(1800300)(31)750

-÷-=(千克)，运来白菜：75032250

?=(千克)．

【巩固】两个筐中各有苹果若干千克，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从第一个筐中取出26千克苹果，从第二个筐中取出2千克苹果，则两筐苹果的重量相等．你知道这

两个筐中原来各有苹果多少千克吗?

【解析】从图中可以看出，第一个筐中的苹果是第二筐的4倍，则

第二筐的苹果数是一倍数．如果第二筐中少取出2千克，

剩下的重量就正好相当于1倍，那么两筐苹果的相差数26

－2＝24(千克)，相当于第二筐原来重量的3倍．两筐苹果的差和倍差都知道了，就可以求出两筐苹果原来的重量．两筐苹果的倍数差是4－1＝3（倍），两筐苹果相差26－2＝24(千克)，第二筐原来有苹果重量24÷3＝8(千克)，第一筐原来有苹果重量8×4＝32（千克）.

【巩固】两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？

【解析】已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的

少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第二

块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第

一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于

所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布的长度即可求

出（见上图）。

第二块布比第一块布多剩多少米？31-19＝12（米）

第一块布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米）

第一块布原有多少米？4+31=35（米）（两块布原有长度相等）

综合列式：（31-19）÷（4-1）+31=12÷3+31=4＋31=35（米）

【例11】一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？

【解析】妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作

÷++）(岁)，妈妈的年龄是：为1倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72(144=8

8432

?=(岁)，爸爸和妈妈同岁为32岁．

【巩固】红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?

【解析】以黄色纸盒的彩票数为1倍数，红纸盒是这样的2倍，蓝纸盒是红纸盒的2倍，也就是黄纸盒的4倍，一共就是(1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，从而求出黄纸盒里有几张彩票．56÷(1+2+4)=8(张)……黄纸盒里的彩票数；

8×2=16(张)……红纸盒里的彩票数；

16×2=32(张)……蓝纸盒里的彩票数。

【巩固】甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数减3，丙校学生人数加4都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？

【解析】方法一：甲校学生人数为：(199934)(122)400

?+=

-+÷++=（人），乙校学生人数为：40023803（人），丙校学生人数为：40024796

?-=（人）．甲、乙、丙三校的人数分别为400，803，796．方法二：把甲校学生人数作为标准，画出线段图：

把甲校人数看作1份，乙校人数就是2份多3，丙校就是2份少4。我们把乙校人数减去3，丙校人数加上4，都凑成2份，则总人数变成：1999-3+4=2000（人）。

所以甲校人数为：2000÷（1+2+2）=400（人）；

乙校人数为：400×2+3=803（人）；丙校人数为：400×2-4=796（人）。

【巩固】有100块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，三位小朋友各分得多少块糖?

【解析】此题从两个数量扩展到三个数量．已知甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，从线段图上可以清楚地看出：

甲比丙多分了3＋5＝8(块)．如果甲少拿7块，乙少拿5块，那么糖的总数就要减少8＋5＝13(块)，总共就是100－13＝87(块)．87块相当于丙所有的糖块数的3倍，由此可以算出甲乙丙三人各自

糖块的数量．

[100－(3＋5)－5]÷3＝29(块)……………………………………．丙

29＋5＝34(块)………………………………………………乙

34＋3＝37(块)………………………………………………甲

【例12】（2008第四届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）四年级复赛）甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧

克力就是乙的2倍，丙原有块巧克力．

【解析】方法一：由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5块，此时乙的巧克力数为(735)(112)17

++=（块）。

-÷++=（块），丙原有172322

方法二：如果丙吃掉3块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多3块；如果乙给甲2块糖，那么甲的糖就是乙的糖的2倍，即甲的糖加2是乙的糖减2后的2倍，说明甲的糖是丙的糖的2倍

少2226

?+=块．所以，丙有(7336)(112)19

-+÷++=块糖．

【巩固】甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？

【解析】我们把丙数看作一份，画出线段图如下：

假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7

凑成3份，则这时候三个数的总和为：

183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。

所以，一份数即丙数为：180÷6=30；

乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。

【巩固】549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？

【解析】上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数

除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，

即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，

甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，

可以先求出丙数，以丙数为一份量，再分别求出其

他各数。

丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）=549÷9=61

甲数是：61×2-2=120

乙数是：61×2＋2=124

丁数是：61×4=244

验算：120+124＋61+244=549120＋2=122 124-2=12261×2＝122 244÷2＝122

答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.

【例13】某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍．如果评出一、二、三等奖各2人，那么每个一等奖的奖金

是308元．如果评出1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?

【巩固】我们把每个三等奖奖金看作1份，那么每个二等奖奖金是2份，每个一等奖奖金则是4份．当一、

二、三等奖各评2人时，2个一等奖的奖金之和是(3082)

?元，2个二等奖的奖金之和等于1个一等奖的奖金308元，2个三等奖的奖金等于1个二等奖奖金(3082)

÷元．所以奖金总额是：?++÷=元．当评1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖时，1个一等奖奖金308230830821078

看做4份，2个二等奖奖金224

?=（份），总份数就是：

?=（份），3个三等奖奖金的份数是133

?=（元）．44311

÷=元，一等奖奖金为：984392 ++=（份）．这样，可以求出1份数为10781198

【例14】有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果．较大的2堆，苹果数之差为5个．又较大的3堆平均有26个苹果，较小的2堆苹果数之差为7个．最大堆与最小堆平均有22个苹果．问：每堆各有

多少个苹果?

【巩固】最大堆与最小堆共22244

?+-=个苹果．所以

?=个苹果．较大的2堆与较小的2堆共4427590中间的一堆有：(18326390)221

?+?-÷=个苹果；

较大的2堆有：2632157?-=个苹果；

最大的一堆有：(575)231+÷=个苹果；

次大的一堆有：573126-=个苹果；

较小的2堆有：1832133?-=个苹果；

次小的一堆有：(337)220+÷=个苹果；

最小的一堆有：20713-=个苹果．

【例 15】一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田汽车的3倍，

如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车请问：原

有丰田汽车和福特汽车各多少辆？

【解析】假设福特汽车的数量是3份，丰田车的数量是1份，根据福特车销售量是丰田车的两倍知道，销

售完一份丰田车肯定要销售完2份福特车，也就是说当丰田车销售完的时候，福特车应该只剩下1份，所以我们知道1份数量是30，那么原来的丰田车和福特车就分别应有30辆和90辆。

【巩固】超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗．售货员将这

些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖．最后巧克力糖全部装完，水

果糖还剩下170颗．请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？

【解析】由题意，如果每袋里装3颗巧克力糖和9颗水果糖，则只剩下10颗水果糖；现在每袋里装了3

颗巧克力糖和7颗水果糖，结果剩下了170颗水果糖．由此可以算出总的袋数为：

(17010)(97)80-÷-=（袋），

因此水果糖总数为807170730?+=（颗），巧克力糖总数为803240?=（颗）．

【例 16】某迎春茶话会上，买来苹果4箱，已知每箱苹果取出24千克后，剩余的各箱苹果总和等于原来

一箱苹果的重量，问原来一箱苹果多重？

【分析】此题目较难找出数量间的关系，但是一定还的让学生自己动脑想一想，之后，教师再引导学生画

图，共同探讨分析．取出24496?=千克，即原来的比剩下的多96千克，原来有4箱，剩下一箱的重量，即原来的是剩下的4倍，所以96(41)32÷-=（千克）为剩下的重量，即一箱的重量．

【例 17】幼儿园大班每人发17张画片，小班每人发13张画片，小班人数是大班人数的2倍，小班比大班

多发126张画片，那么小班有多少人？

【巩固】小班每2个人就会发13226?=张画片，那么，小班的2个人比大班的1个人多发了26179-=张

画片，总共多发了126张，所以小班有1269228÷?=人．

【例 18】实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两个校区各调走

200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实验小学一校区和

实验小学二校区原来各有多少人？

【解析】两校区各调走200人之后还是相差540人，对应的倍数是：413-=倍，实验小学一校区调走200

人后剩下的人数是：540(41)180÷-=(人)，实验小学一校区原有：180200380+=(人)，实验小学二校区为：380540920+=(人).

练习1. 商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果

的2倍多2千克，橘子重多少千克?

【解析】我们可以把苹果的重量看作1份，如下图：

如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍，香蕉

课后练习

的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍，这时三种水

果的总重量变为：53＋3－2＝54(千克)，正好是苹果重量

的(1＋3＋2)倍，苹果有 (53＋3－2)÷(1＋3＋2) ＝54÷6＝9(千克)，橘子有9×3－3＝24(千克) .

练习2.某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加室内、室外活动的共有多少人?

【解析】原来室外、室内活动人数相差480人，现把室内的50人改为室外活动，这样室外活动人数比室内人数多480502580

+?=(人)，这时室外活动人数正好是室内人数的5倍，580人相当于现在室内活动人数的514

÷=，再求出室内、外人数-=(倍)，这样可先求出现在室内活动人数为5804145

之和：145(51)870

?+=人．

练习3.小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍.问：原来两人各有多少本书？

【解析】小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍.这个“倍数”是变化后的，所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图).“差”是20＋5＋11＝36(本).

小云现有书：(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)；小云原来有书18＋5＝23(本)，

小雨原来有书23＋20＝43(本).

练习4.甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍．甲桶原来有油多少千克？

【解析】后来乙比甲多141630

+=千克油，所以这时甲桶油的重量是：30(41)10

÷-=(千克)，甲桶原来有油101626

+=(千克) ．

月测备选

测试1、两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少

40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？

【解析】把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：

甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3=）9倍。

所以，乙组人数为：40÷（9-1）=5（人）；

参加义务劳动的学生共有：5×（1+3）=20（人）。

测试2、四年级有甲、乙、丙、丁四个班．不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人．问：这四个班共有多少人？【解析】由题意，乙、丙、丁三个班总人数为131人，甲、乙、丙三个班总人数为134人，于是可以看出，甲班比丁班多3个人．又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，也就是说乙、丙两班总人数是丁班的2倍还多2人．从而可以求出丁班的人数为：

-÷=（人）．

(1312)343

因此这四个班的总人数为13443177

+=（人）．

测试3、某校五年级比六年级人数少154人，若六年级学生再转来46人，则六年级学生是五年级学生的3倍，问五、六年级各有多少人？

【解析】五年级人数为：(15446)(31)100+÷-=（人），六年级的人数：100154254+=（人）．

测试4、两根绳，第一根长64米，第二根长52米，剪去同样长后，第一根是第二根的3倍，求每根绳减去几米？

【解析】剪去同样长后，第一根比第二根长(6452)-米，因此，第二根剩下的长为

(6452)(31)6-÷-=米，从而剪去的长度为52646-=米．

五年级奥数倍数问题

五年级奥数倍数问题 Last revision date: 13 December 2020.

五年级奥数训练——倍数问题（一）姓名：例１两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？练习一两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？例2甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来甲组有图书多少本？练习二原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。原来二人各有多少张画片？例3幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。大班的同学每7人一组，每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。大班共有多少个同学？练习三高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100棵。如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。两种树苗原来各有多少棵？例4有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？练习四甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。原来两仓各存货物多少吨？例5甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙粮库原来各有粮食多少吨？练习五果园里桃树的棵数是梨树的3倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知他每天喷洒24棵桃树和10棵梨树，几天后，梨树全部喷洒完，而桃树还剩下24棵。果园里有桃树和梨树各多少棵？课堂练习 1、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。原来两筐水果一共有多少个？ 2、幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？ 3、同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子的3倍。如果每位老人拿2个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还剩下14个。同学们把水果分给了几位老人？

小学四年级奥数倍数问题(经典版)

学员姓名：年级：四年级课时数：2小时辅导类型：拔高型辅导科目：数学学科教师：课题奥数题授课时间年月日00:00-00:00 教材区域小四数学（下册）学习目标1、倍数应用题。训练学生的逻辑思维，了解解决应用题的技巧。学员授课过程【知识点与基本方法】本讲的倍数问题所涉及的内容是“和倍问题”和“差倍问题”。可以通过倍数问题解决已知两个数的和以及两个数之间的倍数关系，求这个数与已知两个数的差以及两个数之间的倍数关系，求这两个数。倍数问题的解答要点是：（1）和倍问题：已知几个数的和以及它们之间的倍数关系，求这几个数各多少？和÷（倍数+1）=小数；小数×倍数=大数（2）差倍问题：已知几个数的差以及它们之间的倍数关系，求这几个数各是多少? 差÷（倍数-1）=小数；小数×倍数=大数一、典例剖析：【例1】根据线段图列式：线段甲、乙一起共28米，其中乙是甲的3倍，求甲线段有多长？【解析】列式：28(31)7 ÷+=（米）【巩固】小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的2倍？【解析】小花现在的钱数：(1410)(12)8 +÷+=（元），小花给小敏：1082 -=（元）【巩固】小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？【解析】小华：72(17)9 ÷+=（岁），爷爷：9763 ?-=（岁）. ?=（岁），63954 -=（岁）或9(71)54 【例2】有两盘苹果，如果从第一盘中拿2个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同(条件A)；如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍(条件B).第一盘有苹果多少个? 【解析】本题的数量关系更为隐蔽．首先须理解条件表述语中隐含的数量关系．条件A的数量关系为：第一盘中的苹果数比第二盘多2+2=4(个).从条件B可知，如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘就比第二盘多4+(2+2)=8(个)；此时，第一盘的苹果数是第二盘的2倍． (1)原来第一盘比第二盘多：2+2=4(个)或2×2=4(个)

四年级奥数题(倍数问题)

一、倍数问题班级：姓名： 1、小明和他的4个好朋友共有邮票300张，4个好朋友的邮票数是小明的5倍。小明有邮票多少张？ 2、兰兰和玲玲共有卡片160张，如果兰兰把卡片拿20张给玲玲，这时兰兰的卡片是玲玲的3倍。原来两人各有卡片多少张？ 3、兰兰和玲玲共有卡片160张，如果兰兰把卡片拿20张给玲玲，这时玲玲的卡片是兰兰的3倍。原来两人各有卡片多少张？ 4、有两根绳子，第一根长50米，第二根长30米。两根绳子剪去同样长的一段后，第一根的长度是第二根的3倍。那么现在两根绳子各剩多少米？两根绳子各剪去了多少米？ 5、甲、乙两个仓库各存有一些大米，甲仓库的大米是乙仓库的4倍，如果从甲仓库运走750千克大米，从乙仓库运走150千克大米，这时两个仓库剩下的大米相等。原来两个仓库各有大米多少千克？ 6、甲、乙、丙三位同学比赛做口算题，3分钟内三人共做了240道题，甲做的题是乙的2倍，丙做的题是乙的3倍。三人各做了多少道题？

7、王奶奶家养的鸡、鸭、鹅共300只，鸡的只数是鸭的2倍，鸭的只数是鹅的 3倍，鸡、鸭、鹅各有多少只？ 8、第一个书架有书80本，第二个书架有书100本。如果要使第一个书架的书是第二个书架的3倍，必须从第二个书架拿多少本书到第一个书架？ 9、两个数相除，商是7，余数是8。被除数、除数、商与余数的和是151。被除数和除数各是多少？ 10、小林和小芳做同样多的数学题，小林做了的题目数是小芳做了的题目数的3倍，小林还剩15道，小芳还剩25道。他们各要做多少道数学题？11、爷爷、爸爸、儿子三人的年龄和为118岁。爸爸的年龄是儿子的4倍多 3岁；爷爷的年龄是爸爸的2倍多5岁。那么，三人的年龄各是多少岁？12、甲袋大米的重量是乙袋的3倍，两袋都卖出15千克后，现在甲袋大米的重量是乙袋的4倍。原来两袋大米各重多少千克？

《小学奥数》小学五年级奥数讲义之精讲精练第17讲倍数问题(二)含答案

第17讲倍数问题（二）一、知识要点解决倍数问题的关键是，必须确定一个数作为标准数，并根据题中的已知条件，找出其它几个数与这个标准数的倍数关系，再用除法求出这个标准数。由于倍数应用题中数量关系的变化，要求同学们在解题过程中注意解题技巧，灵活解题。和倍问题的数量关系是：和数÷（倍数＋1）=较小数较小数×倍数=较大数差倍问题的数量关系是：差数÷（倍数－1）=较小数较小数×倍数=较大数二、精讲精练【例题1】养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡只数就是公鸡的4倍。原来养鸡场一共养了多少只鸡？练习1： 1.今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍。今年小明多少岁？2.原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克，大米的重量是面粉的2倍。食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？ 3.饲养场的白兔只数是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？【例题2】有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。已知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？练习2：

1.三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少200箱。三堆货物各多少箱？2.甲、乙、丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲、乙、丙三数各是多少。 3.把840本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层的3倍多5本，中层放的本数是上层的2倍多1本。问：上、中、下三层各放书多少本？【例题3】甲、乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本。乙书架原来有书多少本？练习3： 1.某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女生人数的四分之三去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的2倍。这个学校共有学生多少人？ 2.食堂存有同样重量的大米和面粉，吃大米的四分之三和60千克面粉后，剩下的面粉的重量是大米的3倍。原来存有大米和面粉各多少千克？ 3.有两堆水泥，甲堆有 4.5吨，已知甲堆重量的三分之一和乙堆重量的四分之一相等，乙堆有水泥多少吨？【例题4】A站有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆。每小时由A站向B站开出汽车12辆，B站向A站开出汽车8辆，都是经过1小时到达。几小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍？练习4： 1.甲有邮票42张，乙有邮票48张。每次甲给乙2张，而乙又给甲4张，这样交换多少次后，甲的邮票张数是乙的2倍？ 2.甲仓存有大米650袋，乙仓存有大米400袋。每天从甲、乙仓各运出50袋，多少天后甲仓的大米袋数是乙仓的6倍？ 3.有两杯水，一杯有水104毫升，另一杯有水24毫升，每次往两只杯子中各倒进8毫升水，倒几次后，一只杯中的水是另一杯的2倍？

五年级奥数第13讲-倍数问题(教)

学科教师辅导讲义一、和差问题已知两数的和与两数的差，求两个数各是多少的应用题，叫和差问题应用题。为了找到解答和差应用题的规律，我们来看线段图：从上图可以看出，在两数和上加上两数差，就是两个大数，再除以2，就可以求出大数；在两数和中减去两数差，就是两个小数，除以2，就可以求出小数。得到：大数=（和+差）÷2，小数=（和－差）÷2. 二、和倍问题已知两个数的和与这两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。我们通常把它叫做和倍问题。它的结构可用下图来表达：知识梳理和差倍问题和差问题：已知两数的和与两数的差，求这两个数. 差倍问题：已知两数的差和它们之间的倍数关系,求这两个数. 和倍问题：已知两个数的和与这两个数的倍数关系，求这两个数.

数量关系式：两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和—小数=大数（几倍数）三、差倍问题已知两数的差和它们之间的倍数关系,要求出这两个数各是多少的应用题叫差倍问题。 “差倍问题”和“和倍问题”相似，解答时先要弄清什么是差、倍数、大数、小数，然后利用线段图找准与“差”所对应的倍数，即（倍数－1），从而先求出1倍数（小数），再求出几倍数（大数）。差倍应用题的数量关系是：小数=差÷（倍数－1）；大数=小数×倍数或大数=小数+差。例1、期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两人各考了多少分？【解析】：根据题意画出线段图。我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变为 188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－4=92分。例2、学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？【解析】：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。如图所示： 188分 ?分 ?分李杨王平典例分析

(完整版)五年级奥数倍数问题讲座及练习答案

五年级奥数集训专题讲座（三）———倍数问题倍数问题是整个小学阶段很重要的一个问题，我们研究倍数问题主要从“和倍、差倍、和差”这三个方面来研究。解答倍数问题我们要理解以下数量关系式： ①和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数（和—小数=大数） ②差÷（倍数—1）=小数小数×倍数=大数（小数＋差=大数） ③（和－差）÷2=小数小数＋差=大数（和—小数=大数） ④（和+差）÷2=大数大数－差=小数（和—大数=小数）例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？分析：把乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍，所以用和倍问题来解答就很容易了。乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米）甲队：400×2=800（米丙队：400－160=240（米）答：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。【巩固练习】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？解: 因为甲队植树的棵数是乙队的2倍，即是以乙队植树棵数为1倍量，乙队比丙队少植300棵，即丙队植树的棵数=乙队植树棵数+300棵，所以，三个队植树的总棵数是乙队的（1+1+2=）4倍多300棵，如果我们从植树总数里减去300，则正好是乙队的4倍所以乙队植树棵数=（1900－300）÷（1+1+2）=400（棵）甲队植树棵数=400×2=800（棵）丙队植树棵数=400+300=700（棵）。答：甲队植了800棵，乙队植了400棵，丙队植了700棵。例2：师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。这时徒弟剩下的个数是师傅剩下的3倍，师傅要加工多少个零件？分析：徒弟比师傅少加工了102－40=62（个），相当于师傅剩下的3－1=2倍。（102－40）÷（3－1）=31（个） 31+102=133（个）答：师傅要加工133个零件。量的3倍，两筐梨原来各重多少千克？丙队乙队甲队

(四年级奥数讲义)第8讲_倍数问题

第8讲倍数问题 ◆理解抽屉原理的本质。 ◆学会运用抽屉原理解题。在我们日常生活中会遇到很多的数学问题。这些问题可谓是包罗万象，丰富多彩，因此我们在解决这些问题的时候一定要弄清事物之间的特殊关系，抓住其本质特征，从而顺利解决，这一讲，我们来研究倍数问题。倍数问题主要研究“已知两数的和（差）以及一个数与另一个数之间的倍数关系，求两数”这类问题。通常我们要弄清两个或两个以上量的和是多少，差是多少，以及它们之间的倍数是多少。我们可以先确定一个数量为1的倍数，这样另一个数量就相当于它的几倍，然后根据这两个数量的倍数关系，确定和（差）与1倍数关系，求得1倍数，再求几倍数。对于有些复杂的问题，我们还要灵活晕红转化思想将它们转化成简单的倍数问题来解答。【例题1】学校买来足球和排球共36个，其中排球的个数是足球的3倍，学校买来足球和排球各多少个? 【拓展1】小明和小亮共有邮票45张，小明的邮票张数是小亮的4倍，他们各有多少张邮票?

【例题2】小飞的科技书比故事书少14本，故事书是科技书的3倍，小飞有多少本科技书和故事书? 【拓展2】(2008年第六届“走美杯”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛试题) 两个整数，差为16，一个是另一个的5倍。这两个数分别是多少? 【例题3】小明和小亮两人集邮，他们一共有110张邮票，小明的邮票张数比小亮的2倍少10张。小明和小亮的邮票分别有多少张? 【拓展3】（杭州市上城区小学生数学竞赛试题）四、五年级共有学生165人，四年级学生比五年级学生的2倍还少6人，四、五年级各有学生多少人? 【例题4】小张有存款5400元，小王有存款3800元。两人各取出同样多的钱后，小张的存款时小王的3倍。取款后两人各有存款多少元钱? 【拓展4】小红有11支铅笔，小芳有16支铅笔，两人分别用去同样多的铅笔后，小芳的铅笔支数是小红的2倍，现在两人各有多少支铅笔? 【例题5】(武汉市“走向北大杯”数学思维水平竞赛试题)哥哥与弟弟每人都有一些铅笔，如果哥哥给弟弟一支，两人就一样多；如果弟弟给哥哥一支，哥哥就是弟弟的5倍。哥哥和弟弟原来各有多少支铅笔?

三年级上册倍数问题练习题

三年级上册数学求倍数的题【倍数问题】一、求一个数的几倍就乘以几，要用乘法 3的5倍是多少？3x5=15 答：3的5倍是15。 4的10倍是多少？ 7的9倍是多少？二、求一个数是另一个数的几倍，用除法，用大的数除以小的数 45是9的多少倍？45÷9=5 答：45是9的5倍。 35是5的多少倍？ 72是8的多少倍？【应用问题】（一）、求一个数的几倍（小数×倍数=大数平均数×份数=总数） 1、小明今年9岁，爸爸的年龄是小玲的5倍，爸爸今年多少岁？ 2、买一支笔2元钱，买60支这样的笔要多少钱？ 3、一只山雀一天能吃95只害虫，一个月（按30天算）能吃多少只害虫？（二）、求一个数是另一个数的几倍（大数÷小数=倍数）求每份数（总数÷平均数=份数）1、小明今年9岁，爸爸今年45。爸爸的年龄是小玲的几倍？ 2、买一支笔2元钱，花120元可以买多少支这样的笔要多少钱？ 3、三个同学做纸花。做了24朵红花，6朵黄花。红花是黄花的几倍？

4、三（1）班共有46名学生，每两人用一张课桌，一共需要多少张课桌？把这些课桌每4张摆一行，能摆多少行？还剩几张？（三）、求一倍数（大数÷倍数=小数）求平均数（总数÷份数=每份数） 1、爸爸今年45岁，是小玲年龄的5倍，小明今年多少岁？ 2、一只东北虎的重量是360千克，大约是一只鸵鸟的4倍，是一只企鹅的4倍，是一只企鹅的9倍。问鸵鸟多少千克？企鹅多少千克？ 3、买一支笔2元钱，花120元可以买多少支这样的笔要多少钱？ 4、、饲养小组有母鸡12只，恰好是公鸡的3倍，公鸡有几只？ 5、图书馆买来40本故事书，是科技书的5倍，科技书几本？ 6、一只海狮重378千克，是一只企鹅体重的9倍。这只企鹅的体重是多少千克？ 8、公园运来160盆花，准备摆在4个花坛里。平均每个花坛摆多少盆花？ 9、一部儿童电视剧共336分钟。分8集播放，每集大约播放多长时间？ 10、星光小学832名学生分4批去参观天文馆。平均每批有多少人？ 11、奥林匹克火炬在某地传递4天传递了816千米。平均每天传递了多少千米？ 12、有530把椅子，分5次运完。平均每次运多少把？如果分4次运呢？ 13、丁小林家到学校有450米。他每天上学大约走8分钟，他每分钟大约走多少米？ 14、三年级的225名学生要乘5辆车去春游。如果每辆车坐的人同样多，每辆车应该坐多少人？

五年级奥数倍数问题

第１６周倍数问题（一）专题简析：倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。例１两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？分析由于第二根比第一根多剪去26－18=8厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（3－1）倍。因此，8÷（3－1）=4（厘米）。就是现在第二根铁丝的长度，它原来长4＋26=30厘米。练习一 1，两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？ 2，两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各长多少米？

3，一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。原来两筐水果一共有多少个？例2甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来甲组有图书多少本？分析甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3=18本，则甲组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18＋6就正好对应着后来乙组的（5－3）倍。因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）=12本，乙组原来有12＋6=18本，甲组原来有18×3=54本。练习二 1，原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。原来二人各有多少张画片？ 2，一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有多少本书？ 3，幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？例3幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。大班的同学每7人一组，每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。大班共有多少个同学？

五年级奥数—倍数问题(二)汇编

五年级奥数训练——倍数问题（二）姓名：例1 养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡只数就是公鸡的4倍。原来养鸡场一共养了多少只鸡？练习一今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍。今年小明多少岁？例2 有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。已知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？练习二三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少200箱。三堆货物各多少箱？例3 甲、乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本。乙书架原来有书多少本？练习三某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女生人数的四分之三去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的2倍。这个学校共有学生多少人？例4 A站有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆。每小时由A站向B站开出汽车12辆，B站向A站开出汽车8辆，都是经过1小时到达。几小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍？

练习四甲有邮票42张，乙有邮票48张。每次甲给乙2张，而乙又给甲4张，这样交换多少次后，甲的邮票张数是乙的2倍？例5 甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。求这三个数。练习五有三个小组，甲组的人数比乙组的2倍多6人，乙组的人数是丙组的2倍。三个小组一共有90人，每个小组各有多少人？课堂练习 1、饲养场的白兔只数是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？ 2、把840本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层的3倍多5本，中层放的本数是上层的2倍多1本。问：上、中、下三层各放书多少本？ 3、有两堆水泥，甲堆有4.5吨，已知甲堆重量的三分之一和乙堆重量的四分之一相等，乙堆有水泥多少吨？ 4、有两杯水，一杯有水104毫升，另一杯有水24毫升，每次往两只杯子中各倒进8毫升水，倒几次后，一只杯中的水是另一杯的2倍？

四年级奥数倍数问题

4-10周六上午倍数问题姓名：例题1、三、四年级共有学生165人，三年级学生比四年级学生人数的2倍少6人，三、四年级学生各有多少人？加强1、甲、乙两人存款若干元，甲的存款是乙的存款的3倍，如果甲取出240元，乙取出40元，甲、乙的存款正好相等，甲、乙两人原来各存款多少元？提高1、蓝猫家里有粮14千克，菲菲家里有粮18千克，要使蓝猫家里的粮食是菲菲家里的3倍，那么必须从菲菲家里搬走多少千克到蓝猫家？例题2、小猪、小狗和小兔的重量和是50千克，已知小猪的重量是小狗的2倍，小狗的重量是小兔的3倍。小猪、小狗和小兔的重量各是多少千克？加强2、爸爸比张强大25岁，正好是张强年龄的3倍多1岁，爸爸和张强各几岁？巩固2、甲、乙、丙三个工人超额完成生产任务，共得奖金1645元。根据各人的生产效率和经济效益，甲得的奖金是乙的2倍，乙得的奖金是丙的2倍。问甲、乙、丙各得奖金多少元？提高2、一台电风扇的零售价是127元。零售价由电风扇成本、包装费、运输费和利润四部分组成。其中利润×包装费+运输费=电风扇的成本。已知包装费是3元，运输费是2元，那么电风扇的成本是多少元？例题3、父亲今年50岁，女儿今年14岁。问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍？加强3、体育室买来75个球，其中篮球的个数是足球的2倍，排球比足球多3个，这三种球各是多少个？提高3、男、女学生参加劳动，如果少去1名男生，男、女生人数相等。如果少去一名女生，男生人数是女生人数的2倍。问参加劳动的男、女学生各有多少人？

例题4、两筐重量相同的苹果，甲筐卖出11千克，乙筐卖出29千克以后，甲筐余下的重量是乙筐的3倍，两筐苹果原来各有多少千克？巩固4、学校买来足球的个数比排球的个数多40个，买来篮球的个数比排球个数少8个，又已知买来足球的个数是篮球个数的4倍，学校买来的三种球各多少个？提高4、哥哥与弟弟每人都有一些铅笔，如果哥哥给弟弟一支，两人就一样多，如果弟弟给哥哥一支，哥哥的铅笔数就是弟弟的5倍，请问哥哥和弟弟各有几支铅笔？ 4-10课堂测试题姓名：得分： ☆1、某学校五、六年级共有学生180人，五年级的学生人数是六年级人数的2倍，五、六年级各有学生多少人？ ☆2、兄、弟二人钓了60条鱼，哥哥钓的鱼的条数是弟弟的3倍，求两个人各钓了多少条鱼？ ☆3、一支钢笔和一支圆珠笔共21元，钢笔的单价是圆珠笔的6倍，圆珠笔和钢笔的单价各是多少元？ ☆☆4、三年级一班有学生48人，如果再转来3名男生，那么男生的人数就正好是女生的2倍，三年级一班现有男生多少人？ ☆☆5、一辆汽车运香蕉和橘子共1600千克，香蕉是橘子的3倍还多100千克，问香蕉和橘子各有多少千克？ ☆☆6、王强有课外书20本，李伟有课外书25本，李伟给王强多少本后，王强的书的本数是李伟的2倍？

人教版五年级奥数教案：倍数问题

人教版五年级奥数教案：倍数问题专题知识点详解：倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。例两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？分析由于第二根比第一根多剪去26－18=8厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（3－1）倍。因此，8÷（3－1）=4（厘米）。就是现在第二根铁丝的长度，它原来长4＋26=30厘米。解决倍数问题的关键是，必须确定一个数作为标准数，并根据题中的已知条件，找出其它几个数与这个标准数的倍数关系，再用除法求出这个标准数。由于倍数应用题中数量关系的变化，要求同学们在解题过程中注意解题技巧，灵活解题。和倍问题的数量关系是：和数÷（倍数＋1）=较小数较小数×倍数=较大数差倍问题的数量关系是：差数÷（倍数－1）=较小数

较小数×倍数=较大数例养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡只数就是公鸡的4倍。原来养鸡场一共养了多少只鸡？分析养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的6倍，如果公鸡增加60只，母鸡增加60×6=360只，那么，后来的母鸡只数还是公鸡的6倍。可实际母鸡只增加了60只，比360只少300只。因此，现在母鸡只数只有公鸡的4倍，少了2倍。所以，现在公鸡的只数是300÷2=150只，原来有公鸡150－60=90只，一共养了90×（1＋6）=630只鸡。

四年级奥数详解答案第10讲和倍问题

四年级奥数详解答案第10讲第十讲和倍问题一、知识概要 1. 概念：已知几个数的和，以及几个数之间的倍数关系，求这几个数是多少的问题，我们称之为和倍问题。 2. 基本公式：和÷(倍数+1)=小数二、典型题目精讲 1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈的年龄是小红的4倍,小红和妈妈各是多少岁？分析：和倍问题应用题，关键是先确定标准数(即一倍数)。一般以数量中的小数为标准数。本题因为小红的年龄小。所以，小红的年龄是标准数，妈妈的年龄是小红的4 倍，即为四位数，则年龄和(40)正好对应的是五倍数(如图所示)求出一倍数，故一除即得。解：40÷(4+1) =40÷5 =8(岁)……(小红) 8×4=32(岁)……(妈妈) 答：小红和妈妈分别是8岁、32岁。 2. 某汽车场共有大、小货车115辆，大货车比小货车的5倍还多7辆，大货车和小货车各有多少辆？分析：如图所示，大货车减去7辆后就成为5倍数。这7辆可以从总数(115辆)中减去，这样，这个题就转化成跟上题一样的了。解：(115-7)÷(5+1)=108÷6=18(辆)……(小货车) 18×5+7=90+7=97(辆) ………(大货车)

答：大货车和小货车分别有97辆、18辆 3. 在悉尼奥运会上，中国队与荷兰队共获金牌40枚，中国队的金牌总数比荷兰的3倍少8 枚。中国队、荷兰队各获金牌多少枚？分析：这个题例题相仿佛，只要给中国队添加8枚，中国队就成为三倍数，相应地，和也增加8枚。解：(40+8)÷(3+1)=48÷4=12(枚) 12×3-8=36-8=28(枚) (或40-12=28(枚)) 答：中国队、荷兰队分别获金牌28枚、12枚。 4. 已知两数之和是649，其中一个数的个位数是0，如果把这个数个位的0去掉，则与另一个数相等，求这两个数。分析：一个数末尾去掉一个“0”，就等于把这个数缩小10倍。题目中，一个数末尾去掉一个“0”后就与另一个数相等，这说明，那个数没去“0”时就是另一个数的10倍。解：小数=649÷(10+1)=649÷11=59 大数=59×10=590 (或649-59=590) 答：这两个数分别是590和59。 5. 在一道除法算式里，被除数、除数、商与余数的和是541，已知商是13，余数为5，求被除数和除数各是多少？分析：从四个数的总数541里减去已知的商和余(13+5)，差就是被除数与除数的和。由于商是13，如果被除数减去余数(5)，那么，被除数就是除数的13倍。因此，运用和倍原理可求其解。解：除数=(523-5)÷(13+1)=518÷14=37 被除数=37×13+5=486 (或523-37=486)

(完整word版)小学四年级奥数容斥问题

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对n 个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。练习1、1 四（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。两种作业都做完的有多少人？练习1、2五（1）班有40名学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？练习2、1某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？练习2、2一个旅行社有员工36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？练习3、1在1-200的全部自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数有多少个？练习3、2在1-1000的全部自然数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的数有多少个？练习4、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件？

1、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法共有多少幅？ 2、有40名运动员，其中25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑摔跤都不会，问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？ 3、一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有多少人？ 4、30名学生中，8人学法语，12人学西班牙语，3人既学法语又学西班牙语，问有多少名学生两种语言都不学？ 5、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？ 6、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？ 7、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？思考题：有30名运动员，其中18人会三级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？

五年级奥数倍数问题(二)

五年级奥数倍数问题二解决倍数问题专题简析解题关键是必须确定一个数作为标准，并根据题目中的已知条件，找出其他几个数与标准数之间的关系，再用除法求出这个标准。由于倍数应用题中的数量关系的变化，要求同学在解题过程中注意技巧灵活解题。倍数问题的数量关系是：倍数÷（倍数+1）=较小数较小数×倍数=较大数差倍问题的数量关系是：差数÷（倍数--1）=较小数较小数x倍数=较大数例题一养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡的只数就是公鸡只数的4倍。养鸡场原来一共有多少只鸡？思路点拨：养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的6倍，如果公鸡增加60只的话，母鸡增加60 x6=360只，那么，后来的母鸡只数还是公鸡只数的6倍。可实际母鸡只数增加了60只，比360只少300只。因此，现在母鸡的只数只有公鸡的4倍，少了2倍。所以，现在公鸡的只数是300÷2=150只，原来有公鸡150-60=90只，一共养了90 x（1+6）=630只。（60x6-60）÷（6-4）=150只（150-60）x（1+6）=630 只答：养鸡场原来一共养鸡630只。举一反三 1.今年爸爸年龄是小明的6倍，再过4年爸爸的年龄就是小明的4倍。小明今年多少岁？ 2.食堂里原来存的大米质量是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉89千克后大米是面粉的6倍。食堂里原来有大米和面粉各多少千克？ 3.饲养场的梨白兔是黑兔的5倍，后来，卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍，饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？多装200千克例题二有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。已知甲车装的正好事乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克，甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？思路点拨；从图中可以看出，如果丙车，就和乙车一样多，这样的话，三辆车装的总重就是1800+200=2000千克。在把2000千克平均分成4份，就得到乙车的货物是500千克，甲车是装500x2=1000千克，丙车上装的是500-200=300千克。

四年级奥数第一讲---数的整除问题

第一讲数的整除问题一、基本概念和知识： 1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a 的因数（或约数），a是b（c）的倍数. 提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。练习：写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________；

5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（３）0和１既不是质数，也不是合数。、

五年级奥数—倍数问题(一)

例4 有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？练习四甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。原来两仓各存货物多少吨？例5 甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙粮库原来各有粮食多少吨？练习五果园里桃树的棵数是梨树的3倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知他每天喷洒24棵桃树和10棵梨树，几天后，梨树全部喷洒完，而桃树还剩下24棵。果园里有桃树和梨树各多少棵？课堂练习 1、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。原来两筐水果一共有多少个？ 2、幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？ 3、同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子的3倍。如果每位老人拿2个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还剩下14个。同学们把水果分给了几位老人？

小学五年级奥数-整除问题

五年级思维第二讲基础知识： 1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ，b=c a ÷则称a 能被b 整除或者b 能整除a ，记做b a |，否则称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ，记做a b |. 性质1：如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除. 性质2：如果b 与c 的乘积能够整除a ，那么b 、c 都能整除a . 性质3：如果b 、c 都能整除a ，并且b 、c 互质，那么b 、c 的乘积也能够整除a. 性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a . 性质5：如果b 和c 的乘积能够被a 整除，并且a ，b 互质，那么c 能够被a 整除. 2. 被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾. 3. 被3，9整除特征：数字和被3,9整除. 4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除. 例题：例1、如果六位数2012□□能够被105整除，那么后两位数是多少？解：设六位数为，105=3，依次考虑被3,5,7整除得到3∣a+b -1，b=0 或5, 7∣(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b =5.故后两位为85. 例2、求所有的x ，y 满足使得72∣. 解：72=8×9，根据整除9性质易得x +y =8或17，根据整除4 的性质y =2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意. 例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费□67.9□元，其中□处字迹已经模糊不清，请你补上□中的数字并且算出每只羽毛球的单价. 解：设两个□处的数字分别是a 、b ，则有143 ∣，根据11∣，有a+b =8，再根据13∣，所以13 ∣(100a +67-90-b )，再根据a+b =8得到13∣（10a -5）解得a =7 b =1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元. 例4、把若干个自然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要60个数，即这个自然数至少是60. 例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除. 解：168=3?7?8，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3

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