辅助函数的几种构造方法【整理】(4)

浅析辅助函数的构造及应用

陈小亘

(湛江师范学院信息科学与技术学院 广东 湛江524048)

摘要：本文阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原则，并介绍几种较为典型的构造

辅助函数的方法应用.

关键词：辅助函数；原函数法；参数变易法；常数k 值法

中图分类号：O13;O17;O172;O174;O174.4 文献标识码： A

1 引言

辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的

一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造

辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数

学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之

间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助

函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又

是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧.

如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教

科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手.

2 辅助函数的基本特点及构造原则

所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题

本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直

观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终

是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结.

辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程

中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造

多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关

系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键.

如何构造辅助函数？事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则.这是因为辅助

函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时，

可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助

函数的第一原则是：将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命

题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成. 其

次，将复杂化为简单.一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形,

由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的.再次，利用几何特

征.在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造，

然后加以证明.本文给出几种常用构造辅助函数的方法应用.

3 几种构造辅助函数的方法应用

3.1 原函数法 (亦称积分法或逆推法)

原函数法是指从所要证明的结论出发,如欲证0)(='ξF ，则可通过倒推，分析了原函数

)(x F 的形式，从而构造出辅助函数的方法.这一方法适用于“证明至少存在一点ξ，使得 关

ξ及其函数的代数式成立”

这类命题的证明. 构造辅助函数的步骤：

第一步：将命题中的ξ换成x ；

第二步：通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；

第三步：用观察法或积分法求出原函数，为方便积分常数常常取为零；

第四步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F .

例 3.1 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()()()(====b g a g b f a f ，

0)(≠x g ,0)(≠''x g ，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得

)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 分析：令x =ξ，则)()()()(ξξξξg f g f ''''=⇒)

()()()(x g x f x g x f ''''= ⇒)()()()(x f x g x g x f ''=''⇒dt t g t f dt t g t f x x o ⎰⎰''=''0)()()()(

⇒dt t g t f x g x f dt t g t f x g x f x

x o ⎰⎰''-'=''-'0)()()()()()()()(

⇒)()()()(x g x f x g x f '='⇒0)()()()(='-'x g x f x g x f .

证明：令x =ξ，=)(x F )()()()(x g x f x g x f '-'，依条件，)(x F 在],[b a 上连续，在)

,(b a 内可导，且0)()(==b F a F ，由罗尔中值定理可知，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξF ，即

0)()()()(='-'ξξξξg f g f . 由于0)(≠ξg ,0)(≠''ξg ，故

)

()()()(ξξξξg f g f ''''=. 如下的命题也可以用这一方法来证明：

如果函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导，且0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得 )

()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--.

3.2 参数变易法

参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量x ,从而构造出相应的辅助函数的方法.

命题的证明思路：

第一步：将命题中的某一参数(a 或b )换成x ；

第二步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F ；

第三步：根据有关定理完成命题的证明.

例3.2 设)(),(t g t f 是在],[b a 上连续增加函数，0,>b a ，

证明：⎰⎰⎰-≤b

a b a b

a dt t g t f a

b dt t g dt t f )()()()()( 证明：把上式中的b 换成x ，移项，然后作辅助函数

⎰⎰⎰--=x

a x a x

a dt t g t f a x dt t g dt t f x F )()()()()()(. 由于)()()()()()()()()()(x g x f a x dt t g t f dt t f x g dt t g x f x F x

a x a x a ---+='⎰⎰⎰ ))()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰--+=x

a x a x a x a dt x g x f dt t g t f dt t f x g dt t g x f ⎰---=x

a dt t g x g t f x f )]()()][()([. 又)(),(t g t f 均为连续增加函数，因此，0)(<'x F ，)(x F 为减少函数.0)()(=≤a F

b F .

即0)()()()()(≤--⎰⎰⎰b

a b a b

a dt t g t f a

b dt t g dt t f . 所以⎰⎰⎰-≤b

a b a b

a dt t g t f a

b dt t g dt t f )()()()()(. 如下的命题也可以用这一方法来证明：

如果)(x f 是在],[b a 上连续函数，且0)(>x f ，则2)()

(1)(a b dx x f dx x f b a b

a -≥⎰⎰. 3.3 泰勒公式法

泰勒公式法是指利用泰勒公式来构造辅助函数的方法. 这一方法适用于“含有被积函数

)(x f 有二阶或二阶以上连续导数”

这类命题的证明. 命题的证明思路：

第一步：令辅助函数⎰=x

a dt t f x F )()(； 第二步：将)(x F 在所需点处进行泰勒展开；

第三步：对泰勒余项作适当处理(可考虑用介值定理).

例 3.3设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得

⎰b

a dx x f )(=)2()(

b a f a b +-+()(24

13f a b ''-ξ) 证明：令⎰=x

a dt t f x F )()(，则有

0)(=a F ，)()(x f x F ='，)()(x f x F '=''，)()(x f x F ''='''，

)(x F 在0x 2

b a +=处的二阶泰勒公式为 2)2

)(2(!21)2)(2()2()(b a x b a F b a x b a F b a F x F +-+''++-+'++=+3)2

)((!31b a x F +-'''ξ F =)2(b a ++f )2(b a +-x (2

b a +）

f '+!21)2(b a +-x (2b a +2)+)(!

31ξf ''-x (2b a +3) 其中ξ在x 与2b a +之间. 分别将b x =，a x =代入上式，并相减，则得 2)()()(241)2(

)()()(213ξξf f a b b a f a b a F b F +''-++-=-， 其中1ξ，2ξ分别在2b a +与b ，a 与2

b a +之间. 不妨设)()(21ξξf f ''≤''，则2)()()(211ξξξf f f ''+''≤'')(2ξf ''≤，考虑到)(x f ''的连续性及介值定理，可知在1ξ，2ξ之间至少存在一个),(b a ∈ξ使

2)()()(21ξξξf f f ''+''=

''. 故 )()()(a F b F dx x f b

a -=⎰=)2()(

b a f a b +-+()(24

13f a b ''-ξ). 3.4常数k 值法

在要证明的命题中，把常数分离，然后用以下步骤求辅助函数：

第一步：将常数部分记作k ；

第二步：恒等变形,使等式一端为a 的代数式，另一端为b 的代数式；

第三步：分析关于端点的表达式是否为对称式，若果是，只要把端点a 改成x ，则换变量后

的端点表达式就是所求的辅助函数.这样的方法就是常数k 值法.

例3.4 设)(x f ''在],[b a 上存在，b c a <<，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得

)(2

1))(()())(()())(()(ξf b c a c c f c b a b b f c a b a a f ''=--+--+--. 分析：令k b c a c c f c b a b b f c a b a a f =--+--+--)

)(()())(()())(()(. ⇒))()(()()()()()()(c b c a b a k c f b a b f a c a f c b ---=-+-+-，

这是关于端点c b a ,,的轮换对称式，令x b =(可以令x a =或x c =)，于是

))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=.

证明：令))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=,则

)(x F 在],[],,[b c c a 上满足罗尔定理，于是分别存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ使得

0)()(21='='ξξF F ，又

))(())(()()()()()(c a x a k c x c a k x f a c c f a f x F -----+'-+-='.

)(2)()()(c a k x f a c x F -+''-=''. 由罗尔中值定理，至少存在),(),(21b a ⊂∈ξξξ，使

得0)(=''ξF ，即0)(2)()(=-+''-c a k f a c ξ. 从而)(2

1ξf k ''=. 命题得证. 3.5 微分方程法

微分方程法是指通过求一个常微分方程的通解而构造辅助函数的方法.

构造出辅助函数的步骤：

第一步：将命题中的ξ换成x ；

第二步：移项使等式一边为零，得一个常微分方程；

第三步：求得常微分方程的通解，在通解中的常数令为零可得辅助函数.

例3.5 设函数)(x f 在]1,0[上可导，且满足关系 )1()(2

210f dx x xf ⎰=. 证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 0)()(=+

'ξξξf f .

分析：令x =ξ，0)

()(=+'ξξξf f ⇒0)()(=+'x

x f x f ⇒x x f x f 1)()(-='，积分得c x x f ln ln )(ln +-=⇒x

c x f =

)(⇒c x xf =)(. (令0=c ). 令)()(x xf x F =. 证明：由条件知)()(x xf x F =在]1,0[上连续，在)1,0(可导. 于是由积分中值定理，至少存

在一点),0(21

∈η，使得 )()(2)(2)1(210

2

1

0ηηηηf dx f dx x xf f ⎰⎰===.可见)()()1()1(ηηηf F f F ===. 对)()(x xf x F =，由罗尔中值定理，至少存在一点)1,(ηξ∈，

使得0)(=ξF ，即0)()(='+ξξξf f . 也就是0)

()(=+'ξξξf f .

总之，构造辅助函数有许多方法(见[1],[2],[3],[4],[5],[6]). 对于不同的命题，我们必

须根据实际情况灵活地选择不同的构造辅助函数的方法. 有时，对于一个命题，可以同时利

用不同的方法来完成命题的证明.这就要求我们在教与学的过程中不断去探索新的方法.

参考文献:

[1 ] 同济大学. 高等数学(第五版) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.

[2 ] 刘玉琏,付沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.

[3 ] 龚冬保. 高等数学典型题解法、技巧、注释[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 2000.

[4 ] 陈文灯. 考研数复习指南[M] . 北京: 世界图书出版公司,2009.

[5 ] 李君士. 两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[ J ]. 数学的实践与认识, 2004, 34 (10) : 165 - 169.

[6 ] 郭乔. 如何作辅助函数解题[J ]. 高等数学研究, 2002, 3 (5) , 48- 49.

A Brief of the Construct Method and Its Application for Auxiliary Function

Chen Xiaogen

(School of Information Science and Technology , Zhanjiang Normal College Zhanjiang Guangdong 524048)

Abstract: This paper elaborate the basic characteristic of the auxiliary function and the principle of coustructing the auxiliary function, meanwhile, introduce the several typical applications of methods for coustructing the auxiliary function. Key words: Auxiliary function; Primary function mothod; the method of variation of parameters; Constant -k- value methnod

辅助函数构造的方法探讨

摘要：构造辅助函数是解决数学问题的一个重要的数学思想方法，无论是在初等数学还是高等数学中都具有广泛的应用．如何构造辅助函数是数学解题中的难点，看似无章可循，但是仔细研究不失基本方法和一般规律．本文在所学专业知识的基础上，对一些参考文献进行探究，归纳总结了辅助函数构造的几种方法，如形似法、参数变易法、常数k值法、微分方程法等，并以实例剖析了辅助函数构造的思路．

关键词：辅助函数；不等式；罗尔定理

引言

数学教育家波利亚提出：“人的高明之处在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他就会绕过去，当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题[1]．”因此，当碰

到的数学问题不能直接解决时，我们就可以试用构造辅助函数法解决原来不好解决的问题．原来的问题是我们要达到的目的，而构造辅助函数法就是试图达到目的而采取的手段，是将一个不易直接解决的问题转化为易于解决的问题，它所起的作用是桥梁式的作用．而在解题中，构造合适的辅助函数并非易事，因此有必要重视和探究构造辅助函数的方法与技巧．很多文献对构造辅助函数的方法及应用等问题进行了讨论，并得出了很多有用的结果．文献[1]讨论了关于构造辅助函数的意义和技巧，给出了构造辅助函数的解题过程：

数

函

解

助

解

决

决

数

→→

F F M

→

学

题

问

M辅

．文献[2]对巧设辅助函数进行了探

究，给出了三种构造辅助函数的方法．文献[3]讨论了微积分学中辅助函数的应用，给出了应用辅助函数解题的几种类型．文献[4]主要讨论了在高等数学中用形似法、微分方程法构造辅助函数．

本文在所学专业知识的基础上，对参考文献进行研究，归纳总结了构造辅助函数的六种方法：

作差法或求商法、形似法、参数变易法、微分方程法、常数k 值法、 积分法，并且在证明

不等式和中值点ξ的存在性方面以实例剖析了构造辅助函数的思路、过程及步骤．

1.预备知识

定理1[5] (罗尔(Rolle)中值定理)若函数f 满足如下条件：

(1) f 在闭区间[,]a b 上连续；

(2) f 在开区间(,)a b 内可导；

(3) ()()f a f b =，

则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得

()0f ξ'=．

定理2[5] (拉格朗日(Lagrange)中值定理) 若函数f 满足如下条件：

(1) f 在闭区间[,]a b 上连续；

(2) f 在开区间(,)a b 内可导，

则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得

()()()f b f a f b a

ξ-'=-． 定理3 (柯西中值定理) 若函数()f x 和()g x 满足

(1) 在[,]a b 上连续；

(2) 在(,)a b 内都可导；

(3) 对任意(,)x a b ∈有()0g x '≠，

则存在一点(,)ab ξ∈，使得

()()()()()()

f x f b f a

g x g b g a '-='-． 2.构造辅助函数的方法

构造辅助函数法是数学解题中一种常用的重要的方法，如何构造辅助函数没有通用方法，需根据所求问题的不同类型去构造合适的辅助函数．

2.1作差法或求商法构造辅助函数

作差法或求商法是构造辅助函数最常用的方法，一般主要用来证明结论是不等式的命题．主要的思想是：对结论通过作差或求商进行变形，再利用辅助函数的单调性证明．作差法相对于求商法是比较常用的方法，当“作差”构造辅助函数无法判断函数的单调性时，才考虑采用“求商”构造辅助函数．

2.2形似法构造辅助函数

对于有些不等式来说，可以根据不等式的结构相似构造辅助函数，再利用函数的性质来证明，是一种简单且行之有效的方法．如12,,,n x x x R ∈，证明

12121212||||||||1||1||1||1||

n n n n x x x x x x x x x x x x +++≤++++++++++． 我们可以看出不等式中1n +个式子形式相似，相当于函数()1x f x x

=+，(0)x ≥在相应的1n +个点的函数值，因此可以构造辅助函数()1x f x x

=+来证明不等式．还有一种不等式在结构上可以凑成定理中的公式的形式，再利用定理(如拉格朗日中值定理)来构造辅助函数证明不等式．这就是利用不等式的结构特征构造辅助函数．

2.3参数变易法构造辅助函数

所谓参数变易法就是根据具体情况将要证明的结论中的某个参量“变易”为变量，从而构造辅助函数的方法．见参考文献[3]138页定理6.9泰勒定理的证明，此证明过程中将参量0x 变易为变量t ，构造出辅助函数：

()2()()()()[()()()()()]2

!

n n f t f t F t f x f t f t x t x t x t n '''=-+-+-++-， 1()()n G t x t +=-． 利用柯西中值定理证明了泰勒定理．

此种方法主要适用于不等式命题的证明，一般分为两种情形：第一种情形是证明有关定积分的不等式，利用积分上限函数作辅助函数；另一种情形是在不等式(或变形后)不能利用其它方法(如形似法，作差求商法等)解决时，并且结论中通常含有两个参量或者可化为含两个参量的不等式，则考虑参数变易法．

2.4微分方程法构造辅助函数

在命题中经常会遇到证明形如(,(),())0G f f ξξξ'=或者可化为这种形式的结论，如：函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且满足一定的条件，求证存在一点(,)ab ξ∈，使得()[,()]f f ξφξξ'=．在处理这一类的问题时，可以先解微分方程()0G x =得到通解()x c ϕ=（其中c 为任意常数），因为()0()0G ϕξξ'=⇔=，所以()x ϕ就是所要构造的

辅助函数，即

()()

F x x ϕ=．这种处理方法就是微分方程法构造辅助函数． 2.5常数k 值法构造辅助函数

在证明与微分中值定理有关的命题时，常会遇到证明的结论形如

()()(,(),(),(),()),(,)()()

f b f a G f f

g g a b g b g a ξξξξξξ-''=∈-， 一般选用柯西中值定理证明，但是有时候在给定的区间[,]a b 上不能保证()0g x '≠时，则不能应用柯西中值定理证明．此时就可以试用常数k 值法来证明．令()()()()

f b f a k

g b g a -=-，变形为()()()()f b kg b f a kg a -=-，变形后的式子是关于同一函数()()()F x f x kg x =-的两个函数值（表达式）相等，则辅助函数即为()()()()()=()()()()

f b f a F x f x k

g x f x g x g b g a -=---． 2.6积分法构造辅助函数

在要证明问题中，有些结论的结构非常特别，通过仔细观察、分析，发现它往往是某一函数的导数或函数在某点的导数值，运用积分求出原函数，则原函数就是所要构造的辅助函数．如：要证明的式子为

222[()()]()()f b f a b a f ξξ'-=- (,)a b ξ∈．

先将ξ换为x 得

222[()()]()()x f b f a b a f x '-=-，

再变形为

222[()()]()()0x f b f a b a f x '---=，

积分求原函数

222[()()]()()f b f a x b a f x C ---=．

令

0C =，

则构造的辅助函数为

222()[()()]()()F x f b f a x b a f x =---．

3.辅助函数构造的实例剖析

3.1不等式证明中辅助函数的构造

3.1.1用函数的单调性证明不等式时辅助函数的构造

例1 证明：当0x >时，ln(1)x x >+．

分析 观察不等式的结构，可试用作差法构造辅助函数()ln(1)f x x x =-+，在(0,)+∞上

验证导数的符号为正，则该辅助函数是可用的．

证明 作辅助函数

()ln(1)f x x x =-+，

对()f x 进行求导，得

1()111x f x x x

'=-

=++， 因为0x >，所以()01x f x x '=>+，则()f x 在(0,)+∞上单调增加．又()f x 在0x =连续，且(0)0f =，所以

()ln(1)(0)0f x x x f =-+>=，

即不等式得证．

例2 证明：当1x ≥时，22

2112(1)2(1)x x x x x x x x +++≥+． 分析 如果直接作差构造辅助函数，得到的函数形式较为复杂，不易通过求导数判断函数的单调性，这时我们就会想到比较代数式大小常用的求商法．原不等式化为

211()2x x x x

-++≥．构造辅助函数 211()()x x f x x x

-+=+． 当1x ≥时，易知2()1g x x x =-+单调递增，所以()(1)1g x g ≥=；对1()x x x

ρ=+，求导判断其单调性可知：当1x ≥时，()x ρ单调递增，进而()(1)2x ρρ≥=，所以有

2111()()2x x f x x x x x

-+=+≥+≥，当1x =时，等号成立．则不等式结论得证． 例3 设2e a b c <<<，证明2224l o g l o g ()l n c c b a ba c c

->-． 分析 通过观察，可以将要证明的不等式变形为

2

22244log log ln ln c c b a b a c c c c

->-． (1) 观察发现，不等式(1)两边的结构相似，可用形似法将b 或a 换成变量x ，则构造辅助函数

2224()log ,(,)ln c x F x x x e c c c =-∈， 只需证明()()F b F a >即可．

证明 作辅助函数

2224()l o g ,(,)l n c x F x x x e c c c

=-∈， 则

2log 4()2

ln ln c x F x x c c c

'=-， 从而 2221log 2(1ln )ln ()2ln ln c x x c F x x c x c

--''==， 当x e >时，()0F x ''<，故()F x '单调减小．

当2

e x c <<时有 22

222log 4()()0ln ln c c F x F c c c c c ''>=-=, 所以当2e x c <<时，()F x 单调增加，因此当2

e a b c <<<时，有()()F b F a >， 即 222244l o g l o g l n l n c c b a b a c c c c

->-, 从而

2224l o g l o g ()l n c c b a ba c c

->-． 注 利用形似法构造辅助函数，将不等式证明转化为函数的单调性来研究，是非常简捷的方法．一般步骤为：

(1)观察不等式的结构特点，根据结构相似构造辅助函数()F x ．

(2)利用求导判断函数的单调性，从而证明结论．

3.1.2用拉格朗日中值定理证明不等式时辅助函数的构造

当不等式中某部分可以看作（或可变为）某个函数()f x 的两个函数值之差()()f b f a -时，我们优先考虑拉格朗日中值定理，()()()()f b f a f b a ξ'-=-，再利用不等式

()m f M ξ'≤≤产生不等式()()()()

m b a f b f a M b a -≤-≤-或 ()()()()

m b a f b f a M b a -≥-≥-，则辅助函数即为()f x ． 例4 证明不等式11111122(1)l n n n n n a a a a n a n

++-<<+ (1,1)a n >≥． 分析 通过观察，发现

111ln n n a a a +-中含有函数x a 在11[,]1n n +的两个端点函数值 之差1

11n n a a +-．我们考虑用()()()()f b f a f b a ξ'-=-解题，那么就要消去ln a ，因为1a >，所以l n 0a >，因此用ln a 乘以各式，原不等式化为

1

11111

22l n l n (1)n n n n a a a a a a n n

++<-<+， 则构造辅助函数()x f x a =．

证明 用ln a 乘以各式,得到 11111122l n l n (1)n n n n a a a a a a n n

++<-<+ (1)a >， 因为1

11n n a a +-是函数()x f x a =在区间11[,]1n n +上的增量，可以对()f x 在11[,]1n n

+ 上使用拉格朗日中值定理，有

111

11l n()1n n a a a a n n ξ+-=-+，其中11(,)1n n

ξ∈+， 因为 11111(1)(1)

n n n n n n n n +--==+++， 所以

111

11,(,)l n (11n n a a a a n n n n ξξ+-=∈++）， 因为

111,1

a n n ξ>>>+， 所以

111

111(1)(1)(1)n n n n a a a a a a

n n n n n n ξξ++>>⇒>>+++11122(1)(1)n n a a a n n n n ξ+⇒>>++1

1111122ln (1)n n n n a a a a n a

n ++-⇒>>+． 命题得证．

3.1.3参数变易法构造辅助函数证明不等式

例5 设()f x 是区间[,]a b 上的连续函数并且单调增加，证明

()()2b

b a a

a b xf x dx f x dx +≥⎰⎰． 分析 此题为定积分不等式的证明．根据前面方法的介绍，则首先考虑参数变易法，利用积分上限函数作辅助函数．将参量b 变易为x ，即把b 用x 替换，然后把两端作差构造辅助函数()()()2

x x a a a x F x tf t dt f t dt +=-⎰⎰．

证明 作辅助函数

()()()2x

x a a a x F x tf t dt f t dt +=-⎰⎰， 则()0F a =且

1()()()()22

x a a x F x xf x f t dt f x +'=-

-⎰ 1()()()()222

x a f x f x a f x ξ=--- [()()]2x a f x f ξ-=-，([,])a x ξ∈． 因为()f x 在[,]a b 上单调增加，所以()0F x '≥，从而()F x 在[,]a b 上单调增加， 于是

()()0F x F a ≥=，

取x b =，有

()()0F b F a ≥=，

所以

()()2b b a a

a b xf x dx f x dx +≥⎰⎰， 命题得证．

注 由上述例题，可以粗略地归纳出此种类型题的一般解题步骤：

(1)将结论中的积分上限(或下限)换成x ，式中相同的字母也换成x ；

(2)移项使不等式一端为零，另一端表达式即为所构造的辅助函数()F x ．

(3)证明()0F x '≥(或0<)得出单调性，然后根据函数单调性及区间端点的函数值得出要证的不等式．

例6[4] 设,,0a b c >，且a b ≠，2c a b =+，求证：a b a b c a b +<．

分析 由题设2c a b =+，于是结论变为(

)2

a b a b a b a b ++<，出现了幂指数两端 取对数得 ()ln

ln ln 2

a b a b a a b b ++<+， 作差得 ln ln ()ln

02

a b a a b b a b ++-+>， 出现两个参量，我们尝试把参量b 换成变量x ，构造辅助函数

()ln ln ()ln 2a x f x a a x x a x +=+-+． 证明 作辅助函数

()ln ln ()ln

,02

a x f x a a x x a x x +=+-+>， 1()ln 1ln ()ln ln()ln 22a x f x x a x x a x a x

+'=+--+=-+++， 11()0f x x a x ''=->+， 所以()f x '(0,)+∞在单调递增，()0f a '=．

于是()f x 在(0,)+∞单调递增．()ln ln 2ln 0f a a a a a a a =+-=，

故

()()0f b f a >=，

即

ln ln ()ln

02

a b a a b b a b ++-+>， 因此 ()2

a b a b a b a b ++<， 即

a b a b c a b +<．

3.2中值点ξ的存在性证明中辅助函数的构造

例7 设()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求证在(,)a b 内至少存在一个ξ，使 22()()()()2bf b af a f f b a ξξξξ

'-+=-． 分析 此题结论符合柯西中值定理中公式的形式，所以首先想到用柯西中值定理证明．构造辅助函数()()F x xf x =，2

()G x x =，但是在(,)a b 上不能保证 ()0G x '≠，所以不能应用柯西中值定理．而此题结论还有一个特征，常数部分已分离，则可试用常数k 值法．令

22()()bf b af a k b a

-=-， 因此22()()bf b kb af a ka -=-．将等式一端的式子中的区间端点值换为x ，则作辅助函数

222

()()()()bf b af a F x xf x x b a -=--． 证明 作辅助函数 222()()()()bf b af a F x xf x x b a

-=-

-，

显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，又因为

2222222

()()()()()()bf b af a ab f a a bf b F a af a a b a b a --=-⋅=--， 2222222()()()()()()bf b af a ab f a a bf b F b bf b b b a b a

--=-⋅=--， 所以

()()F a F b =．

因此在[,]a b 上满足罗尔定理，于是存在一个(,)ab ξ∈，使()0F ξ'=，即

22

()()()()20bf b af a f f b a ξξξξ-'+-⋅

=-， 所以 22()()()()2bf b af a f f b a ξξξξ

'-+=-． 小结 一般能用柯西中值定理证明的问题均可以试用常数k 值法．将此种方法进一步推广：如果要证明的结论经过变形后可以分离出常数部分．令常数部分等于k ，再进行恒等变形，若变形后的式子是关于同一函数()F x 的两个函数值（表达式）相等，则可以用常数k 值法来构造辅助函数．一般解题步骤为：

(1)对结论进行适当的变形，把不含中值ξ的因子分离出来作为一个整体（常数部分），并令其为常数k ，构造一个含k 的等式．

(2)对含常数k 的等式进行恒等变形，若变形后的式子是关于同一函数()F x 在两个区间端点处的函数值（表达式）相等，则辅助函数即为()F x （把变形后的等式一端的式子中的区间端点值换为x ）．

例8 设0a >，()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==．求证:至少存在一点(,)a b ξ∈使

()()()b f f ξξξ'+=．

分析 由结论想到要证明方程()()()b x f x f x '+=在(,)a b 内至少有一个根，应找到一个函数()F x ，使()F x 与()()()b x f x f x '+-相等或相差一个非零因式，

对微分方程

()()()0b x f x f x '+-=，

用分离变量法有

()()df x dx f x b x

=+， 即

()()()df x d b x f x b x

+=+， 得()f x C b x =+，故取辅助函数()()f x F x b x

=+． 证明 作辅助函数

()()f x F x b x

=+， ()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==．由罗尔定理知，存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，而

2

()()()()()f x b x f x F x b x '+-'=

+， 所以 2()()()()0()

f b f F b x ξξξξ'+-'=

=+， 得出 ()()()f b f ξξξ'+=．

注 上述例题的结论是形如(,(),())0G f f ξξξ'=，我们使用了微分方程法构造辅助函数，使问题得以解决．其步骤总结如下：

(1)用x 替换ξ，要证明的结论变为一个微分方程(,(),())0G f f ξξξ'=；

(2)求解这个微分方程；

(3)将求得的解变形为(,())g x f x C =，则()(,())F x g x f x =即为构造的辅助函数．

例9 (1998年江苏省第四届数学竞赛试题)设函数()f x 在闭区间[0,1]具有二阶导数,且(0)(1)f f =,那么至少存在一点(0,1)ξ∈使得

2()(1)()0f f ξξξ'''+-=．

分析 在要证明的结论

2()(1)()0

f f ξξξ'''+-=

几种高等数学中的构造函数法1汇总

编号 几种高等数学中的构造函数法 摘要构造函数法在高等数学中是一种重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想,对于开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.本文结合实例简单的介绍这一方法及其应用. 关键词构造;分析;数形结合法;作差法;观察法 中图分类号 O172 The constructor of higher mathematics Chengyan Instructor Wang Renhu (N. O. 06, Class 1 of 2009. Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000, China) Abstract The constructor method in higher mathematics is an important way of thinking,Study found, analogy, and guess, experiment and induction, etc,To widen, training analysis problem, problem-solving ability and the innovation is beneficial.This paper briefly introduced the method and its application. Key words tectonic;analysis;Several form combination;For poor method;observation 1 分析法 分析法即从结论出发,从后向前一步一步的进行分析,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,架起一座连接条件和结论的桥梁,最后获得证明. 例1.1[1] 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点使等式 成立. 分析由于罗尔定理是这一定理的特例,于是定理的证明归结为利用罗尔定理.这里关键是要引进一个满足罗尔定理条件的新的函数F(x).欲证 需证 f(ξ)- ' f(b)-f(a)b-af(b)-f(a)⎡ =0,而等式左边可转化为⎢f(x)- b-a⎣ ⋅x ⎤ ,于是,可取函数x⎥⎦x=ξ '

数学分析中辅助函数的构造及其作用

数学分析中辅助函数的构造及其作用 作者：杨云苏 来源：《课程教育研究·中》2013年第10期 【摘要】本文主要论述了在数学分析中如何构造辅助函数及辅助函数在数学分析中的应用，从而有助于提高学生分析问题与解决问题的能力。 【关键词】辅助函数构造应用 【基金项目】江西省教育厅（JXJG-12-15-11）。 【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0158-02 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析，综合运用数学基本概念和原理，经过深入的思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造函数法。 构造函数的方法内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想。使用构造函数法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了。 1.数学分析中如何构造辅助函数 1.1 辅助函数的基本特点 a.辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。 b.同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题（不唯一）。 c.表面上看构造辅助函数的思路较宽广（因为不止一个），实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易（可比较性），因此，构造最恰当的辅助函数是解题的关键。 1.2 构造辅助函数的基本方法 1.2.1 联想分析

高等数学辅助函数的构造方法及应用

高等数学辅助函数的构造方法及应用 1.极限函数构造方法： 极限函数是研究极限存在性、计算极限值的重要辅助工具。在构造极 限函数时，可以利用基本初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数等）的性质和运算法则，通过运算、组合或分解等方法得到所需的函数。 应用： a.利用极限函数构造方法可以证明柯西收敛准则、介值定理等数学定理。 b.在计算极限的过程中，可以应用极限函数构造方法将原式转化为更 容易计算的形式。 2.反函数构造方法： 反函数是研究函数的性质、解方程、求极值等问题时经常用到的工具。在构造反函数时，需要保证原函数为一一映射（即可逆），并通过交换自 变量和因变量的位置得到反函数。 应用： a.反函数构造方法可以应用于解方程，通过求解反函数可以得到原方 程的解。 b.在求函数的导数时，可以应用反函数构造方法将原函数转化为反函 数的形式，从而简化计算。 3.特殊函数构造方法：

特殊函数是高等数学中具有特定性质和重要应用的函数，包括阶乘函数、伽马函数、贝塞尔函数等。这些函数在构造时需要考虑其特定的性质和定义条件。 应用： a.特殊函数构造方法可以应用于求解微分方程、积分等问题，通过引入特殊函数可以简化问题的求解过程。 b.特殊函数的性质和应用广泛，可以用于研究数学、物理、工程等各个领域的问题。 4.递推函数构造方法： 递推函数是指通过前一项和已知条件来递推出后一项的函数。在构造递推函数时，需要给出递推公式和初始条件，并通过递推关系得到所需的函数。 应用： a.递推函数构造方法可以应用于解决递推关系式、数列求和等问题，通过递推公式可以快速计算出数列的项或求和结果。 b.在组合数学中，递推函数构造方法常用于证明组合恒等式、计算组合数等问题。 总之，高等数学辅助函数的构造方法多种多样，根据问题的具体要求和性质选择适当的构造方法非常重要。这些函数的应用广泛，涉及数学、物理、工程等各个领域，对于问题的分析和求解都起到了重要的作用。

微分中值定理(怎样构造辅助函数)

微分中值定理中用积分因子(微分方程)来构造辅助函数的方 法 相信同学们在微分中值定理这一块内容不是很懂，特别是构造辅助函数这一部分相当困难。本人今天有幸在书上看到一个方法叫做用积分因子(微分方程)来构造函数的方法，个人感觉这方法特别有用。于是我百度找到了下面内容： 先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε) 证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即??=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x e y ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -?，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。 二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0

证：一样的，xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2 )(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。 三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0. 证： 02=+y x dx dy ，移项就是dx x dy y 121-=，所以x y ln 2ln -=，所以就是21x y =，移项就是12=?x y ，所以构造的函数就是2)(x x f ?，再用罗尔定理就可以了。 注：这种方法不是万能的，

数学辅助元的构造技巧及方法

数学辅助元的构造技巧及方法 【摘要】在高等数学中，如果构造出恰当的辅助元，就会使一些看似十分困难的问题变得十分简单。而构造辅助元却是一个思维创造的过程，从而具有相当的灵活性和一定的难度。本文通过对辅助元，特别是辅助函数构造进行分类，阐述其构造过程的思路，对掌握辅助元的构造方法有所帮助。 【关键词】辅助元辅助函数中值问题 一、引言 构造辅助元在数学中是一种常见的方法和手段。在几何中有辅助线，在高等数学中有辅助函数及辅助数列，在不同的领域中有不同的辅助元，在微积分学中辅助函数的方法更是十分常见。例如熟知的三个中值定理：Rolle定理，Lagrange 定理，Cauchy定理。在Rolle定理已证明的情况下，对定理及定理分别构造函数，然后应用Rolle定理很容易完成后两个定理的证明。 而定积分的计算公式（牛顿—莱布尼茨公式）的证明过程，是以上限函数作为辅助函数，使其证明变得十分简单。从以上两个熟知的简例可见辅助元在数学上的作用。下面着重介绍辅助函数的构造方法，最后简单说明辅助元在其他方面的用途。 二、辅助函数构造方法 1.涉及两个抽象函数的辅助函数的构造 有些问题中，特别是与两个函数及其导数有关的中值问题，一般需要由所给两个函数来构造出一个辅助函数。在构造辅助函数之前，需要对所给的函数的性质有一定的了解，对要证明的结论进行必要的等价变形，利用函数的各种求导运算，针对变形的结论构造出满足需要的辅助函数。通常这类辅助函数多与三个中值定理有关，有时也与费马定理相关系。 例1 设函数y=f(x),y=g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f(a)=f(b)，证明必有ξ∈(a,b)使得g(ξ)f′(ξ)+f(ξ)g′(ξ)=0

(完整word版)中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'() ()()'() f b f a f x g b g a g x -=-，先变形 为 ()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()() ()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有 ()()()()0()()f b f a f x g x g b g a -- =-故()() ()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得12 00231 n a a a a n + +++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于223 1120120()231 n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=+ +++++⎰…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 23 1120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+ ++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 12 0(1)0231 n a a a F a n =+ +++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即 23 1120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=+ +++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…． 这说明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有实根x ξ=．

浅谈辅助函数的构造及其应用

浅谈辅助函数的构造及其应用 [摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性． [关键词] 中值定理；辅助函数；应用 一、 辅助函数方法的构造 利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法． 1“按图索骥”法 例1 证明21()>+n n y x n y x ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+2() 1,,0,0>≠>>n y x y x 证明 因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ， 由于' f ()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当 y x y x ≠>>,0,0时，有 ()()⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+>+22y x f y f x f 即 () n n n y x y x ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+>+221 2“逆向思维”法 例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ⎰=21 21，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()() 'f f θθθ =- ． 证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．

将()() 'f f θθθ =- 变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ '' f f x xf x +==可 考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F 因为()()dx x xf f ⎰=210 21，由积分中值定理可知，至少存在一点⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡∈21,0ξ，使得 ()().1ξξf f = 而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()() θ θθf f =' 3“图象”法 例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及 10≤≤t ，有 证明 因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中211 21 ,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有 ()21,x x x x f y ≤≤≥ 即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211， 即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法 例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()3 101 1 01 61⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡=⎰⎰⎰⎰ dt t f dz z f y f x f dy dx 证明 将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()⎰=x dt t f x F 0

数学证明中的构造辅助函数方法

数学证明中的构造辅助函数方法 摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路. 关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言 数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.

辅助函数的构造方法

辅助函数的构造方法 Maths proposition；Assistant function；Creating methods 在中学时，我们就已经接触了构造辅助函数法，并使用它去解决某些问题。构造辅助函数法体现了一种数学基本，一种解题技巧。用构造辅助函数法解题，能达到直观形象，简洁明快的效果。构造辅助函数法的使用，需要以我们已有的知识作为基础，要求我们充分展开联想，灵活运用所学知识。 构造辅助函数法这一在我们现在学的数学分析中运用十分普遍，我们运用它来证明某些定理不等式，进行某些计算，将一些复杂的问题简单的解决了。下面我们来看看用构造辅助法解决的一些具体的问题。 1 几何直观法证明中值定理 定理1（拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足： （ⅰ）f在闭区间[a，b]上连续； （ⅱ）f在开区间（a，b）内可导； 于是，原命题成立 方法归纳：用单调性分析证明函数不等式可通过移项将不等式化为大于0（或小于0）的形式来构造辅助函数，但应注意以下几点：1）为使求导后的函数f ′（x）较简单，有时对原不等式作适当变形； 2）有时需多次求导； 3）在证明含有两个变量的不等式时，可以把其中的一个当作变量，而另一个当作常数，使问题化为一个变量的函数不等式的证明。 我们再来看看下面例子： 例设bae，证明abba。 分析：所给不等式为幂指数形式，可先两边取对数 由于bae

所以abba等价于blnaalnb 考察F（x）=xlna-alnx 若xae时，能推知F（x）单调增加，则命题得证。 证：令F（x）=xlna-xlnb（x0） 4 小结 用构造辅助函数法解题，关键是如何去构造辅助函数，而这个辅助函数能使问题简化，对我们掌握的的灵活性比较高，“冰冻三迟非一日之寒”。也就是说还是要靠我们平时的积累。一般来说我们可以从三个方面来思考： 1）数形结合思想，象中值定理的证明过程中，我们根据其几何意义构造一个切线方程，问题得到解决。 2）观察题目中函数结构，象上面例题中出现过的构造辅助函数讨论方程的根中，就是根据面积关系函数的结构，构造辅助函数的。构造合理的辅助函数才能使问题简化，才能达到我们借助辅助函数解题的意义。 3）逆向思维象中值定理的证明中，我们可以从要证明的想起，从结果中的隐性条件，结合已知函数结构构造辅助函数，我们想要证明：

运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法

运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法 微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。 首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。 一、积分原函数法 具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。 说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。 还不懂？没事，举两个例子。

例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。 解析：这是非常常见的一道题。估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。 首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下： F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ) 然后我们令： F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ) 好，对上式两边进行积分，如下： F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫ g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)− f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ) 所以我们要寻找的辅助函数就为：

常见函数构造方法

常见函数构造方法 在编程中，函数构造方法是一种创建和初始化对象的特殊函数。它们具有与类同名的方法名，并且在创建对象的同时被调用。函数构造方法是用来初始化类的属性，并为类分配内存空间。在这篇文章中，我将介绍几种常见的函数构造方法。 1. 默认构造方法（Default Constructor）： 默认构造方法是一个没有任何参数的构造方法，它的作用是创建一个对象并将其所有属性初始化为默认值。当我们没有定义任何构造方法时，编译器会自动生成一个默认构造方法。例如，以下是一个默认构造方法的示例： ```python class Person: def __init__(self): https://www.wendangku.net/doc/e419046393.html, = "" self.age = 0 person = Person ``` 2. 参数化构造方法（Parameterized Constructor）： 参数化构造方法接收一个或多个参数，并将它们用于初始化对象的属性。这使得我们在创建对象时可以传递初始值。例如，以下是一个接收姓名和年龄参数的参数化构造方法的示例：

```python class Person: def __init__(self, name, age): https://www.wendangku.net/doc/e419046393.html, = name self.age = age person = Person("Alice", 25) ``` 3. 拷贝构造方法（Copy Constructor）： 拷贝构造方法用于创建一个新的对象，并且该对象的属性值与另一个对象相同。这种方法通常用于在对象之间进行深复制。例如，以下是一个拷贝构造方法的示例： ```python class Person: def __init__(self, person): https://www.wendangku.net/doc/e419046393.html, = https://www.wendangku.net/doc/e419046393.html, self.age = person.age person1 = Person("Alice", 25) person2 = Person(person1) ```

运用微分方程构造辅助函数的证题方法

运用微分方程构造辅助函数的证题方法微分方程是数学中非常重要的一种工具，它用来描述变量之间的关系，特别是在自然科学和工程领域中常常被广泛应用。然而，有时候微分方程 的解并不容易求得，或者求解过程十分复杂。在这种情况下，我们可以使 用辅助函数的方法来构造微分方程的解。 构造辅助函数的证题方法是一种非常常见且实用的方法，它基于以下 基本思想：通过假设一组函数作为微分方程的解，并利用这些函数的性质 来推导出微分方程的具体形式。具体来说，我们可以按照以下步骤进行：步骤一：假设辅助函数 首先，我们需要根据已知条件和问题的要求，假设一个辅助函数。可 以根据问题中的已知条件选择一个具有合适性质的函数作为辅助函数。 步骤二：求取辅助函数的导数 对辅助函数求导，并根据导数的性质和微分方程的形式，推导出微分 方程中含有未知函数的表达式。 步骤三：代入微分方程 将步骤二中得到的表达式代入微分方程，化简得到一个新的方程。 步骤四：解新方程 对新方程进行求解，得到未知函数的表达式。 步骤五：判别解的合理性 将得到的未知函数的表达式代入原微分方程，验证所得解是否满足微 分方程的要求。如果满足，则证明得到的辅助函数是微分方程的解。

下面我们通过一个具体的例子来说明辅助函数的证题方法。 例题：求解一阶线性微分方程dy/dx + y = e^x + 1 解法思路： 1.首先，假设辅助函数y1=e^x是微分方程的解。 2.对辅助函数求导，得到y1'=e^x 3.将辅助函数和导数代入微分方程，得到e^x+1+e^x=e^x+1，化简得到等式恒成立。 4.验证得到的辅助函数是否满足原微分方程，通过对辅助函数求导和代入微分方程，可以验证等式左右两边相等。 5. 因此，辅助函数y1 = e^x是原微分方程dy/dx + y = e^x + 1的解。 在实际应用中，辅助函数的构造往往需要根据问题的具体条件和求解的要求来选择。选择合适的辅助函数能够极大地简化求解的过程，提高求解的效率。同时，在构造辅助函数的过程中，我们也需要注意验证得到的辅助函数是否满足原微分方程，以确保解的正确性。 总结起来，通过构造辅助函数的证题方法，我们可以将复杂的微分方程转化为辅助函数的形式，并通过对辅助函数的性质和导数的运算来推导微分方程的具体形式。这种方法在解决一些复杂的微分方程时非常有用，并且可以帮助我们更好地理解微分方程的本质和性质。

几种构造辅助函数的方法及应

几种构造辅助函数的方法及应 构造辅助函数是在编程过程中，为了简化代码、提高可读性和可维护性而创建的功能函数。它们通常用于处理常见的、重复的或复杂的操作，以减少重复性代码的编写和维护工作。下面将介绍几种常见的构造辅助函数的方法及其应用。 1.检查函数参数的有效性 在函数内部，可以构造一个辅助函数用于检查传递给函数的参数的有效性。这种辅助函数可以验证参数的类型、范围和必要性，并返回一个布尔值或抛出一个异常来指示参数的有效性。通过使用这种辅助函数，可以减少代码重复，提高代码的可读性和可维护性。例如，考虑以下函数：```python def divide(a, b): if isinstance(a, int) and isinstance(b, int) and b != 0: return a / b else: raise ValueError("Invalid arguments") ``` 这里可以构造一个辅助函数来检查参数的有效性： ```python def check_valid_args(a, b):

if not (isinstance(a, int) and isinstance(b, int) and b != 0): raise ValueError("Invalid arguments") def divide(a, b): check_valid_args(a, b) return a / b ``` 2.格式化数据 ```python def format_date(date): year = date[:4] month = date[4:6] day = date[6:] return f"{year}-{month}-{day}" ``` 这里可以构造一个辅助函数来处理日期的格式化： ```python def format_date(date): return f"{date[:4]}-{date[4:6]}-{date[6:]}"

常见的函数构造方法

常见的函数构造方法 函数是计算机编程中最基本的概念之一，通过函数可以将一段代码逻 辑进行封装，方便调用和复用。在编程过程中，我们可以使用不同的构造 方法来创建函数。以下是一些常见的函数构造方法。 1.普通函数构造方法： 这是最常见的函数构造方法，使用关键字`def`定义一个函数，后跟 函数名、参数列表和代码块。例如： ```python def add(a, b): return a + b ``` 2.无参数函数构造方法： 在一些情况下，函数不需要接受任何参数。可以简单地省略参数列表。例如： ```python def greet(: print("Hello, world!") ``` 3.默认参数函数构造方法：

有时候函数需要有默认值的参数，当不提供参数值时，将使用默认值。可以通过在参数列表中使用等号来设置默认值。例如： ```python def power(base, exponent=2): return base ** exponent ``` 4.可变参数函数构造方法： 有时候函数需要接受不定数量的参数。可以使用`*`来指示参数为可 变参数，在函数内部会以元组的形式表示。例如： ```python def sum(*numbers): total = 0 for num in numbers: total += num return total ``` 5.关键字参数函数构造方法： 有时候函数需要接受多个键值对作为参数。可以使用`**`来指示参数 为关键字参数，在函数内部会以字典的形式表示。例如： ```python

def print_info(**info): for key, value in info.items(: print(f"{key}: {value}") ``` 6.匿名函数构造方法： 匿名函数，也被称为lambda函数，是一种简化函数定义的方式。它可以快速定义一个简单函数，省略函数名。例如： ```python square = lambda x: x ** 2 ``` 7.递归函数构造方法： 在函数内部调用自身的函数被称为递归。递归函数通常用于解决需要重复处理相同问题的情况。例如： ```python def factorial(n): if n == 0: return 1 else: return n * factorial(n - 1)

辅助函数的构造方法

辅助函数的构造方法 辅助函数是Python中的一种特殊函数，用于帮助实现其他函数或类的功能。它们通常被设计为具有特定的功能，可以在多个地方重复使用，从而减少代码的重复性和提高代码的可读性和可维护性。 在构造辅助函数时，可以使用以下方法： 1.创建一个带有需要初始化的参数的构造函数。这些参数可以是函数所需的任何数据或对象，以及辅助函数所依赖的其他参数。例如，如果辅助函数需要处理文件，可以将文件名称作为构造函数的参数。 ```python def __init__(self, file_name): self.file_name = file_name ``` 2.在构造函数中执行必要的初始化操作，例如打开文件、建立数据库连接等。这样可以确保在调用辅助函数时所有的初始化工作已经完成。 ```python def __init__(self, file_name): self.file_name = file_name self.file = open(file_name, 'r') ```

3.在构造函数中设置实例的默认属性值。这些属性值可以在辅助函数的执行过程中被修改或使用。 ```python def __init__(self, file_name): self.file_name = file_name self.file = open(file_name, 'r') self.file_contents = '' ``` 4.接受可选参数的构造函数。在构造函数中使用默认值来处理可选参数，这样使用辅助函数时可以根据需要选择性地提供参数。 ```python def __init__(self, file_name, mode='r'): self.file_name = file_name self.file = open(file_name, mode) ``` 5.添加异常处理代码以处理可能发生的错误或异常。这可以确保在辅助函数执行过程中出现问题时能够恰当地进行错误处理。 ```python def __init__(self, file_name, mode='r'): try:

浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法

浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法 构造辅助函数法是高等数学中解决问题的一种重要方法，在解决实际问题中有着广泛的应用，通过研究微积分学中辅助函数的构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论。尤其关于定积分不等式的证明在近几年的研究生数学考试中又频繁出现。借助适当的辅助函数来证明定积分不等式是一种非常重要且行之有效的方法。本文对某些定积分不等式中辅助函数的构造方法简单探讨。 标签：定积分不等式；构造；辅助函数；变限法 当某些数学问题使用通常办法去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数。辅助函数构造法是高等数学中一个重要的思想方法，在高等数学中广泛应用。构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。可以解决高等数学中众多难题，尤其是在微积分证明题中应用颇广，可达到事半功倍的效果。特别是定积分不等式的证明，往往需要借助恰当的辅助函数才能顺利完成，然而，对基础一般的学生来说，构造恰当的辅助函数是相当有难度的。笔者在教学中进行探索，找到一些可行的方法，在此与广大读者进行交流。 一、构造辅助函数的原则 辅助函数的构造是有一定规律的。当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路。 二、构造辅助函数方法探讨 1.仅告知被积函数连续的命题的证法 一般来说，这类命题的证明要做辅助函数（或者说用辅助函数法更简便）。 在定积分不等式中，辅助函数φ（x）的构造方法是将定积分不等式中，积分上限（或下限）及相同字母换成x，移项使不等式一端为0，则另一端即为所设的辅助函数φ（x）。 这类命题的证明思路： （1）做辅助函数φ（x）； （2）求φ（x）的导数φ’（x），并判别φ（x）的单调性；

罗尔定理应用中构造辅助函数的两种方法

罗尔定理应用中构造辅助函数的两种方法 摘要】本文介绍了罗尔定理应用中构造辅助函数的两种方法——导数法和常数法. 【关键词】罗尔定理；辅助函数；构造 【工程】河套学院教学研究工程〔HTXYJY16001〕 微分中值定理是溝通导数值与函数值的桥梁，是利用导数的局部方法很多，为了与教材同步，便于学生理解掌握，这里只介绍两种辅助函数构造方法：导数法和常数法. 一、导数法 所谓导数法就是应用我们熟悉的导数知识构造辅助函数的方法.具体地，将要证明的结论中的ξ换为x，移项使结论变为f′〔x〕=0的形式，需要找到一个函数F〔x〕，使其导数为f〔x〕或f〔x〕的一个因式. 情形1结论为ξf′〔ξ〕=λ的形式. [f〔x〕-λlnx]′=f′〔x〕-λx=xf′〔x〕-λx，当[f〔x〕-λlnx]′x=ξ=0时，[xf′〔x〕-λ]x=ξ=0，可构造辅助函数F〔x〕=f〔x〕-λlnx. 例1设0证明将待证结果变形为ξf′〔ξ〕=f〔b〕-f〔a〕lnb-lna， 设辅助函数F〔x〕=f〔x〕-f〔b〕-f〔a〕lnb-lnalnx，F〔x〕在闭区间[a，b]上连续，在开区间〔a，b〕内可导，并且F〔a〕=F〔b〕=f〔a〕lnb-f〔b〕lnalnb-lna，由罗尔定理可知，在〔a，b〕内至少存在一点ξ，使得F′〔ξ〕=f′〔ξ〕-f〔b〕-f〔a〕〔lnb-lna〕ξ=0，即f〔b〕-f 〔a〕=ξf′〔ξ〕lnba. 情形2结论为nf〔ξ〕+ξf′〔ξ〕=0的形式【1】. [xnf〔x〕]′=nxn-1f〔x〕+xnf′〔x〕=xn-1[nf〔x〕+xf′〔x〕]， 当[xnf〔x〕]′x=ξ=0时，[nf〔x〕+xf′〔x〕]x=ξ=0〔x≠0〕. 可构造辅助函数F〔x〕=xnf〔x〕. 例2函数f〔x〕在闭区间[0，1]上连续，在开区间〔0，1〕内可导，且f〔1〕=0. 证明至少存在一点ξ∈〔0，1〕，使得f′〔ξ〕=-2f〔ξ〕ξ. 证明将结果变形为2f〔ξ〕+ξf′〔ξ〕=0，设辅助函数F〔x〕=x2f〔x〕，F〔x〕在[0，1]上连续，在开区间〔0，1〕内可导，且F〔0〕=F〔1〕=0，由罗尔定理可知， 2f〔ξ〕+ξf′〔ξ〕=0，即f′〔ξ〕=-2f〔ξ〕ξ. 情形3结论为f′〔ξ〕+λf〔ξ〕=0的形式【1】. [eλxf〔x〕]′=λeλxf〔x〕+eλxf′〔x〕=eλx[λf〔x〕+f′〔x〕]. 当[eλxf〔x〕]′x=ξ=0时，[λf〔x〕+f′〔x〕]x=ξ=0〔eλx>0〕. 可构造辅助函数F〔x〕=eλxf〔x〕. 例3函数f〔x〕在[0，a]上连续，在〔0，a〕内可导，且f〔0〕=f〔a〕=0. 证明至少存在一点ξ∈〔0，a〕，使得f′〔ξ〕-2f〔ξ〕=0. 证明设辅助函数F〔x〕=e-2xf〔x〕，显然，F〔x〕在[0，a]上连续，在〔0，a〕内可导，且F 〔0〕=F〔a〕=0，由罗尔定理知，在〔0，a〕内至少存在一点ξ，使得 F′〔ξ〕=-2e-2ξf〔ξ〕+e-2ξf′〔ξ〕=0， e-2ξ[-2f〔ξ〕+f′〔ξ〕]=0，即f′〔ξ〕-2f〔ξ〕=0. 二、常数法

数论专题：构造

数论专题：构造法解题 梁久阳 前言： “构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。本文可能并不仅仅局限于数论方面，对函数也有一定的涉及。 一．构造法解题过程的大致模式 二．经典例题

（1） 构造辅助函数 ①构造一次函数 【例1】已知x,y,z ∈（0，1），求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1（第15届俄罗斯数学竞赛题） 题前分析：此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。例7还给出了它的另一种构造方法。 特点：一题两构，各有千秋 证明：构造函数f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1)，∵y,z ∈(0,1), ∴f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)＞0 f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz ＞0，而f(x)是一次函数，其图象是直线，∴由x ∈(0,1)恒有f(x)＞0即(y+z-1)x+(yz-y-z+1)＞0，整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1。 题后分析：由上题我们可以看出，理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。而这构造的只是一次函数，还有更高次的函数等着我们去构造。 ②构造二次函数 我们大家都在初中学过一元二次方程。我们都知道，一元二次方程根的判别式原本是用来讨论一元二次方程的实根情况，然而它的作用远不止此.在有些证明中，将题目或结论适当变形，再依据变形后的式子构造二次函数来解决问题，是一种十分巧妙的方法。 【例2】设1a ,2a ,3a , ,n a 都是正整数,证明对任意的自然数n ,下面不等式成立 22221212()()n n a a a n a a a ++ +≤+++. 分析：如果简单地用柯西，这道题就没什么出题的价值了。我们应该探索一下未知的领域，试一试用构造二次函数解本题. 证明:因为下面对任意的,x R n N * ∈∈都成立：

辅助函数的几种构造方法【整理】(4)

浅析辅助函数的构造及应用 陈小亘 (湛江师范学院信息科学与技术学院 广东 湛江524048) 摘要：本文阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原则，并介绍几种较为典型的构造 辅助函数的方法应用. 关键词：辅助函数；原函数法；参数变易法；常数k 值法 中图分类号：O13;O17;O172;O174;O174.4 文献标识码： A 1 引言 辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的 一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造 辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数 学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之 间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助 函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又 是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧. 如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教 科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手. 2 辅助函数的基本特点及构造原则 所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题 本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直 观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终 是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结. 辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程 中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造 多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关 系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键. 如何构造辅助函数？事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则.这是因为辅助 函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时， 可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助 函数的第一原则是：将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命 题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成. 其 次，将复杂化为简单.一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形, 由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的.再次，利用几何特 征.在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造， 然后加以证明.本文给出几种常用构造辅助函数的方法应用. 3 几种构造辅助函数的方法应用 3.1 原函数法 (亦称积分法或逆推法) 原函数法是指从所要证明的结论出发,如欲证0)(='ξF ，则可通过倒推，分析了原函数 )(x F 的形式，从而构造出辅助函数的方法.这一方法适用于“证明至少存在一点ξ，使得 关