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最新北师大版高中数学必修五模块测试卷(附答案)

最新北师大版高中数学必修五模块测试卷（附答案）

班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________

本试卷满分100分，考试时间90分钟．

一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝41

，则公比q ＝( ) A ．－21 B ．－2 C ．2 D.21

2．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论正确的是( ) A. a ＋c >b ＋d B. a －c >b －d C. ac >bd D. d a >c b

3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝45°，B ＝60°，a ＝6，则b 等于( )

A. 3

B. 3

C. 3

D. 2

4．设变量x ，y 满足x ≥0，x －y ≤1，

则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2 D ．2，－1

5．已知数列{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

6．设a ，b ∈R ，a 2

＋2b 2

＝6，则a ＋b 的最小值是( ) A ．－2 B ．－33 C ．－3 D ．－27

7．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意实数x 成

立，则( )

A ．－1

B ．0

C ．－21

D ．－23

8．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为( ) A.31 B.21 C.43 D.32

)，则C 等于( ) A ．30° B ．60° C ．45°或135° D ．120°

10．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )

A ．X ＋Z ＝2Y

B ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )

C ．Y 2

＝XZ D ．Y (Y －X )＝X (Z －X )

二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上． 11．121＋241＋381＋…＋102101

＝________.

12．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．

13．已知△ABC 的面积为21，sin A ＝41，则b 1＋c 2

的最小值是________．

三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝53

. (1)若b ＝4，求sin A 的值；

(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．

15．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m 2

，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m 3

，重量为5吨，运出后，可获利润20万元．集装箱的容积为24 m 3

，最多载重13吨．求用该集装箱托运甲、乙两种产品能获得的最大利润．

16．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝a n ·3n

，求数列{b n }的前n 项和的公式．

17．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg 2a ＋b ＋lg 2b ＋c ＋lg 2c ＋a

>lg a ＋lg b ＋lg c .

18．同学们对正弦定理的探索与研究中，得到sinA a ＝sinB b ＝sinC c

＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．请利用该结论，解决下列问题：

(1)现有一个破损的圆块如图1，只给出一把带有刻度的直尺和一个量角器，请你设计一种方案，求出这个圆块的直径的长度．

(2)如图2，已知△ABC 三个角满足(sin ∠CBA )2

＋(sin ∠ACB )2

－(sin ∠CAB )2

＝sin ∠

CBA ·sin ∠ACB ，AD 是△ABC 外接圆直径，CD ＝2，BD ＝3，求∠CAB 和直径的长．

参考答案

一、选择题

1．D ∵a 5＝a 2q 3，∴q 3

＝a2a5＝81，∴q ＝21. 2．A 3．A

4．B 画出可行域如图，分析图可知当直线u ＝x ＋2y 经过点A 、C 时分别对应u 的最大值和最小值．

5．A 因数列{a n }是等比数列，a 2a 4＝a 32，a 4a 6＝a 52

，代入条件a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，得

a 32＋2a 3a 5＋a 52

＝25，(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.

6．C 设a ＋b ＝t ，则a ＝t －b ；代入a 2

－6)≥0， ∴－3≤t ≤3.即(a ＋b )min ＝－3. 7．C ∵运算满足x

y ＝x (1－y )，∴不等式(x －a )(x ＋a )<1化为(x －a )(1－x －

a )<0，整理得x 2－x －a 2＋a ＋1>0，此不等式对任意实数x 都成立，

∴Δ＝1－4(－a 2

＋a ＋1)<0，∴－21

8．B x (3－3x )＝3x (1－x )≤3·[2x ＋(1－x ]2＝3·(21)2＝43，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝21

10．D 取等比数列1,2,4，令n ＝1得X ＝1，Y ＝3，Z ＝7代入验算，只有选项D 满足．二、填空题 11．56－2101

解析：121＋241＋381＋…＋102101＝(1＋21)＋(2＋41)＋(3＋81)＋…＋(10＋2101

)＝(1＋2＋3＋…＋10)＋(21＋41＋81＋…＋2101)＝210×(1＋10＋21＝55＋1－2101＝56－2101.

12．20

解析：由题意知总运费与总存储费之和为x 400

·4＋4x ≥160，当且仅当x ＝20吨时，费用之和最小．

13.

解析：由已知，△ABC 的面积为21bc sin A ，即21bc sin A ＝21，所以bc ＝4，b 1＋c 2≥2c 2

＝，即b 1＋c 2

的最小值是.

三、解答题

14．解：(1)∵cos B ＝53>0，且0

，∴sin A ＝b asinB ＝5＝52.

(2)∵S △ABC ＝21ac sin B ＝4，∴21×2×c ×54

－2ac cos B ，∴b ＝＝53

＝.

15．解：设甲种产品装x 件，乙种产品装y 件(x ，y ∈N )，总利润为z 万元，则y ≥0，x ≥0，

且

z ＝10x ＋20y .作出可行域，如图中的阴影部分所示．作直线l 0＝10x ＋20y ＝0，即x ＋2y ＝

0.当l 0向右上方平移时z 的值变大，平移到经过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点(4,1)时，z max ＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元．

16．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则由a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝12，得a 2＝4，∴d ＝a 2－a 1

＝4－2＝2，从而a n ＝2n .

(2)由b n ＝a n ·3n ＝2n ·3n

＋4·33＋…＋(2n －4)·3

由①－②，得－2S n ＝2(3＋32

17．证明：∵a 、b 、c ∈R ＋

，∴2a ＋b ≥，2b ＋c ≥，2a ＋c

≥且a 、b 、c 不全相等．

∴2a ＋b ·2b ＋c ·2c ＋a

>abc ，又y ＝lg x 为增函数， ∴lg 2c ＋a

>lg(abc )，

∴lg 2a ＋b ＋lg 2b ＋c ＋lg 2c ＋a

>lg a ＋lg b ＋lg c .

18．解：(1)方案：①在未破损的圆周上任取三点M ，N ，P . ②连结三点M ，N ，P 得圆内接三角形(△MNP )． ③用直尺量得MN ＝a ，用量角器量得∠MPN ＝α. ④由正弦定理得：sin αa

＝2R ，即为所求圆块的直径．

(2)由sinA a ＝sinB b ＝sinC c ＝2R ，在△ABC 中，等式(sin ∠CBA )2＋(sin ∠ACB )2

－(sin ∠

CAB )2＝sin ∠CBA ·sin ∠ACB ，可化为b 2＋c 2－a 2＝bc ，

即：cos ∠CAB ＝2bc b2＋c2－a2＝21

. ∴∠CAB ＝60°，∴∠CDB ＝120°. 在△CDB 中，CD ＝2，BD ＝3，由余弦定理得：

BC 2＝CD 2＋BD 2－2CD ·BD ·cos120°＝19，

∴BC ＝.

∵AD 是△ABC 外接圆的直径， ∴AD ＝sin ∠CAB BC ＝sin60°19＝357.

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