变压器铁心柱截面的优化设计方案
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2009年3月16日修订
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变压器铁心柱截面的优化设计方案
摘要
本文使用统一的评价指标——空间利用率，对电力变压器铁心柱截面阶梯设计、公差带设计以及油道设计三个问题给出了各自的最优化方案。
对于问题一，我们建立了多阶段动态规划模型，得出的最优结果是：阶梯级数n=14，最大有效面积311130.49mm2,空间利用率93.762%。
对于问题二，先用动态规划算法确定线圈内筒直径的中心值，然后在每个公差等级内用蒙特卡洛法进行大量随机数据的模拟，得出在每个公差等级标准下的平均空间利用率。再对结果进行综合考虑，最优结果是：铁心柱外接圆直径与线圈内筒直径的公差带分别为B r=?652.84，653.64?(mm)与 B R=?653.64，654.44?(mm)时，最大期望空间利用率93.528%。
问题三中，针对有油道的阶梯设计，我们在动态规划求出的较优解的基础上,利用模拟退火法进行全局最优解的搜寻，结论如下：阶梯级数取n=14，在第一、二级阶梯间和第四、五级阶梯间设置油道，此时最大有效面积297703.18mm2，空间利用率89.715%。针对有油道的公差带设计问题，采用一次函数逼近复杂函数使之可解析，再利用数值积分法给出每个公差等级标准下的平均空间利用率。综合考虑后结论如下：铁心柱外接圆直径与线圈内筒直径的公差带分别为B r=?652.91，653.71?(mm)与B R=?653.71，654.51?(mm)时，最大期望空间利用率89.569%。
最后，对模型进行了稳定性分析，结论如下：在我们选取的公差带内，阶梯的最优设计方案保持不变。
关键词: 空间利用率动态规划模拟退火法公差带
目录
一：问题重述 (1)
二：模型假设 (1)
三：符号说明 (2)
四：模型建立 (2)
4.1 问题一模型： (2)
4.2 问题二模型 (3)
4.3 问题三模型 (3)
五：模型求解 (4)
5.1 模型一求解 (4)
5.2 模型二求解 (5)
5.3 模型三求解 (8)
六：模型分析 (11)
6.1 稳定性分析 (11)
6.2模型评价 (11)
七：模型扩展 (12)
参考文献 (13)
一：问题重述
为提高变压器的使用效果且降低其成本，对电力变压器的铁心柱的截面进行优化设计。本文以心式铁心柱为例。
电力变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构，如图1所示。截面在圆内上下轴对称，左右也轴对称。设计时希望铁心柱截面有效截面尽量大。
问题概括如下：（1）当铁心柱外接圆直径为650毫米时，确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，使铁心柱的有效截面积最大。（2）实际生产中线圈的内筒和铁心柱的外接圆间留有一定的间隙，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带。（3）为了改善铁心内部的散热，设置冷却油道。油道的位置应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等。分别针对问题一和问题二的情况，增加油道要求再给出设计，并指出油道的位置。
二：模型假设
1：线圈内筒为正圆，且其圆心与铁心外接圆圆心重合；
2：铁心柱截面在圆内上下轴对称，左右也轴对称。如图1所示，以水平轴所在阶梯为第一级，向上每级阶梯依次为第2，3，…，n级；
3：将水平线以上相邻两级阶梯之间为油道留出的间隙依次记为第1,2,…，n-1级间隙，如图2，第i(i=1,2,…,n?1)级间隙宽度与第i+1级阶梯宽度相同。若第i(i=1,2,…,n?1)级间隙间未设置油道，则该级间隙厚度D i=0,否则，该级间隙厚度D i即为油道厚度6毫米；
4：硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度均为定值，即认为叠片系数是常数，取叠片系数为0.97[1]；
5：实际生产技术的精度限制了公差带的最小值，同时，为保证产品使用性能，需对公差带的最大值加以限制；
6：增加2L条油道后，铁心柱被分成截面积近似相等的(2L+1)部分。记水平轴所在部分
截面积为S1，水平轴以上每部分面积依次为S2、S3…S L。
三：符号说明
r：铁心柱外接圆半径
r min：铁心柱外接圆半径最小值
r max：铁心柱外接圆半径最大值
R：线圈的内筒半径
R min：线圈的内筒半径最小值
R max：线圈的内筒半径最大值
w i(i=1,2,…,n):阶梯形铁心柱的第i级截面宽度
W j(j=1,2,…,n?1):第j级阶梯与第j+1级阶梯间隙，即第j级间隙的宽度
d i(i=1,2,…,n):阶梯形铁心柱的第i级截面厚度
D j(j=1,2,…,n)：第j级阶梯与第j+1级阶梯间隙，即第j级间隙的厚度λ：铁心柱的叠片系数
B r：铁心柱外接圆直径的公差带[2]
B R：线圈内筒直径的公差带
S：铁心柱有效截面积
k：填充系数[3]，即铁心柱有效截面的面积占铁心柱外接圆面积的比例
μ：线圈内筒的空间利用率，即铁心柱有效截面的面积占线圈内筒面积的比例
μ?：实际生产大量产品时，线圈内筒的空间利用率的平均值
?r：铁心外接圆直径偏离标定值的最大范围
δRmax：生产中满足工艺要求的线圈内筒直径公差带的最大值
δRmin：生产中工艺精度能够达到的线圈内筒直径公差带的最小值
δrmax：生产中满足工艺要求的铁心外接圆直径公差带的最大值
δrmin：生产中工艺精度能够达到的铁心外接圆直径公差带的最小值
四：模型建立
4.1 问题一模型：
由简单的几何知识可知，铁心的有效截面积为各级阶梯形铁心柱截面积之和与叠片系数的乘积。该问题的实质是满足各题目中各约束条件的前提下，使S取得最大值。由此可建立以下数学模型：
max S =?2λ?w 1×
d 1
+?(w i ×d i )n
i=2
??
s.t.d 1≥26
w i ≥20(i =1,2,…,n )
?d 1?2+?w 1?2
≤r 2
?d 1
2+?d i m
i=2
?2
+?w m 2
?2≤r 2(m =2,3,…,n )
w i mod 5≡0
(i =1,2,…,n )
4.2 问题二模型
在圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等的情况下,应求出两者各自合适的公差带,使线圈内筒的平均空间利用率达到最大值。建立模型如下：
max μ?=E(μ)
s.t.μ=
S 2
=?2λ?w 1×d 12
+∑(w i ×d i )n
i=2??2 d 1≥26
w i ≥20
(i =1,2,…,n ) ?d 1?2+?w 1?2
≤r 2
?d 12+?d i m i=2
?2+?w m 2
?2
≤r 2
(m =2,3,…,n )
w i mod 5≡0 (i =1,2,…,n )
R ∈[R min ,R max ] r ∈[r min ,r max ] |r ?325|
δRmin ≤2R max ?2R min ≤δRmax
δrmin ≤2r max ?2r min ≤δrmax
4.3 问题三模型
4.3.1 问题三（i ）模型
在增加油道的情况下，对问题一模型加以改进。 首先，修改约束条件。将模型一中约束条件：
?d 12+?d i m
i=2?2
+?w m 2
?2
≤r 2(m =2,3,…,n )
修改为：
?d 1+?(D i?1+d i )m
i=2
?2
+?w m ?2
≤r 2(m =2,3,…,n )
增加如下约束条件：
max |S i ?S i+1|
S
<ε (i =1,2…L ?1)
S 1+2??S i L
i=2=S
4.3.2 问题三（ii ）模型
在增加油道的情况下，对问题二模型加以改进。修改及增加的约束条件与4.3.1中修改及增加的约束条件相同。
五：模型求解
5.1 模型一求解
定理：对于问题一建立的模型，一个设计方案为最优方案的必要条件是：对于?i ∈(2…n),有w i ≤w i?1（即上方的阶梯宽度小于等于下方）。
证明：假设存在某种最优化方案Q ，在这种方案里?i ∈(2…n),并有w i >w i?1。
考虑另一种方案Q ′。在方案Q ′中，取w k
′=w k (k ≠i ?1)，并取w i?1′=w i ，即有w i?1′=w i ′。由几何关系，这种取法可以实现。那么，方案Q ′的铁芯半截面积将比方案Q 的
铁芯半截面积大出(w i?1
′
?w i?1)?d i?1=(w i ?w i?1)?d i?1=?s >0。这与方案Q 为最优化方案矛盾。故原定理成立。
理想情况下，线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径是精确地相等。铁心柱外接圆直径为650毫米,故R =r =325mm 。由表一知，此时铁心柱截面级数可选12、13或14级。对n =12、n =13和n =14三种情况分别采用动态规划方法求取最优解。模型求解时，先计算铁心柱外接圆水平线以上的部分有效面积的最大值，由对称性，将所求最值乘以二即得铁心柱的有效截面积的最大值。
动态规划模型描述如下：
1、 动态规划的阶段：以确定铁心柱截面每一级的宽度为一个阶段，若铁心有n 级硅钢片，则该动态规划过程分为n +1个阶段。其中第n +1个阶段为一虚拟阶段，并不确定任何一级的宽度，用于存储最后的结果。
2、 决策变量：取各个阶段所取的铁心柱截面的宽度w i (i =1,2,…,n ,n +1)为决策变量。特别地，w n+1=0。
3、状态变量：以S i表示经过第i阶段决策后的状态变量,其值为一个整数，代表第i阶段决策后第i(i=1,2,…,n)级,即当前最上面一级铁心柱截面的宽度。特别地，有S0=r，S n+1=0。
4、允许决策集：表示第i阶段决策中决策变量的取值范围，记为D i(S i)。当状态变量为S i 时，对于决策变量w i有w i∈D i(S i)={w|w≤S i}，i=1,2?n,n+1。
5、状态转移方程：由状态变量和决策变量的定义，易写出其状态转移方程：S i=w i，i=1,2?n,n+1。
6、阶段指标：v i(i=0,1?n,n+1)表示第i阶段所选择的决策变量所对应的指标值，在这里具体为所选择铁心柱截面第i级的横截面积。特别地，由于第n+1阶段为一个虚拟阶段，因此有v n+1=0。
7、递推公式：记f i为从起点到第i阶段S i，累积的铁心柱截面每一级横截面的面积之和。则有以下的递推公式：f i+1=max{f i+v i+1}，i=1,2?n。
对n=12、n=13和n=14三种情况分别采用动态规划方法求取最优解，求得如下
分析以上数据，易知在铁心柱外接圆直径为650毫米的情况下，取级数n=14时的有效截面面积及铁心截面面积利用率比n=12、n=13时大，故应取铁心柱截面的级数为n=14，此时铁心柱外接圆有效截面面积S为311130.49mm2，铁心截面面积利用率μ为93.762%。
5.2 模型二求解
首先，对填充系数k以及线圈内筒的空间利用率μ二者的区别作一下说明。k为铁心柱有效截面的面积占铁心柱外接圆面积的比例，该参数仅与铁心本身有关，用于铁心设计方案的比较。μ为铁心柱有效截面的面积占线圈内筒面积的比例，反映系统的整体属性，用于整体设计方案的比较。当r=R时（如第一问），k=μ。
5.2.1设计铁心柱外接圆直径的中心值
由于铁心柱外接圆直径取值在650mm附近，故级数可选12、13或14级。利用计算机模拟，对于不同的外接圆直径2r，分别计算出n=12，n=13，n=14时的最大填充系数，并取三者的最大值。可得铁心柱外接圆直径2r与最大填充系数k的关系图，如下：
由题意，稍微增加铁心柱的外接圆的直径可使得铁心柱有更好的截面形状，即应使2r>650mm。实际生产中，铁心外接圆直径偏离标定值的大小应满足|r?325|
5.2.2设计铁心柱外接圆直径和线圈内筒直径的公差带
易证，在B r，B R保持不变的前提下，取R min=r max时可以使线圈内筒的空间利用
??1998标准[4],将公差分为18个等级IT1,IT2…IT18，率μ取到最大值。参考GB T1800.3
标号越大代表加工精度越低，公差越大。将每一个等级的公差参数代入模型中进行测试,具体步骤为:
a)选取等级IT i(i=1,2…18),则B r=?d0?IT i2,d0+IT i2?B R=?d0+IT i2,d0+3?IT i2?
b)设铁心柱外接圆直径服从正态分布2r~N(μ1,σ12)，其中μ1=d0，σ1满足3σ1=IT i2。线圈内筒直径服从正态分布2R~N(μ2,σ22)，其中μ2=d0+IT i，σ2满足3σ2=IT i。
取10000组随机点(2r,2R),代入模型中计算，得出每组随机点的最优空间利用率μk(k=1,2…10000)。计算μi=110000∑μk10000k=1，则μi为公差等级IT i下的期望最优空间利用率。
在得出每个公差等级的期望最优空间利用率μi后，以公差等级以i(i=1,2…18)为横坐标，以空间利用率μi为纵坐标，绘制散点图如下：
从图中可以看出，在i<12时，随IT i等级的增加，μi下降缓慢，因此提高加工精度的意义不大。在i>12时，随IT i等级的增加，μi快速下降。因此，取公差等级为IT12,其公差为0.8mm（见附表）。铁心柱外接圆直径2r服从正态分布，均值为d0=653.24mm，方差为?0.43?2。线圈内筒直径2R服从正态分布，均值为654.04mm，方差为?0.43?2。故铁心柱外接圆直径的公差带为B r=?652.84，653.64?(mm)，线圈内筒直径的公差带为
B R=?653.64，654.44?(mm)。
5.2.3计算机模拟检验结果
采用蒙特卡洛法产生10000组分别服从正态分布Ν?653.24，?0.43?2?及Ν?654.04，?0.43?2?的随机点。对每组点，计算并记录对应的线圈内筒的空间利用率μ。所求得10000组μ求平均值，得μ?=93.528%。μ?与问题一中理想情况下的μ相比，相对损失的空间利用率为：?μ??μμ?=?93.528%?93.762%
93.762%?=0.250%，相对损失的空间利用率极小，故所求公差带合理。
5.3 模型三求解
5.3.1 模型三（i）求解
在求解油道问题时，极易陷入局部最优解，故采用模拟退火法。先用动态规划找到一个较优的设计，再用模拟退火法求取全局最优解。考虑到约束条件max|S i?S i+1|
S<ε要求相邻两部分面积差值不能过大，取ε=5%。
算法步骤如下：
第一步：利用动态规划的方法，求解出不含油道的铁心的最优化设计。
第二步：将油道设置在铁心中，使得其分割后的五部分的面积大小相近。
第三步：模拟退火法。目标函数值E为该种设计下的有效铁心截面面积大小。
a)指定初始温度T0=1000，初始状态S0为第二步求出的铁心及油道设计，初始
能量E0为初始状态下计算出的有效铁心截面面积大小。
b)在状态S的周围随机产生新解S′，计算增量?t=E(S)?E(S′)
c)检验结果，若?t<0,接受新解，否则以概率e??t/T接受S′为新的当前解。接
受新解后转d），不接受新解转b)。
d)温度T=T?0.9。若T满足T<0.01则终止，否则转b)。
比较以上表格，在n=14时，有效面积比n=12和n=13大，故选n=14。n=14时，油道分割所得从上到下各部分有效面积如下：
max|S i?S i+1|S=70509.33?56474.60
297703.18=4.71%<5%
满足设计要求
因此，在有油道的前提下，选取阶梯数n=14，此时最大有效截面积为297703.18mm2。此时空间利用率μ为89.715%。
5.3.2 模型三（ii）求解
模型三（ii）求解方法与模型二求解方法基本相同，略有区别。
(1)设计铁心柱外接圆直径的最大值
由于铁心柱外接圆直径取值在650mm附近，故级数可选12、13或14级。利用计算机模拟，对于不同的外接圆直径2r，分别计算出n=12，n=13，n=14时的最大填充系数，并取三者的最大值。可得铁心柱外接圆直径2r与最大填充系数k的关系图，如下（右图为局部放大）：
由题意，稍微增加铁心柱的外接圆的直径可使得铁心柱有更好的截面形状，即应使2r>650mm。实际生产中，铁心外接圆直径偏离标定值的大小应满足|r?325|
因为硅钢片的宽度一般取为5mm的倍数，所以铁心外接圆直径每增大5mm，铁心柱截面都可以进行大范围的调整。故本题中取2?r=5mm，以达到题目中“微调”的要求。
由局部放大的右图可知，在2r≈651.25mm时，填充系数k达到一个峰值，但是2r=651.25mm的邻域内，填充系数k迅速变化，这样设计出的零件性能很不稳定，故铁心柱外接圆直径公差带不能包含2r=651.25mm及填充系数k迅速变化的邻域。
分析局部放大的右图并由计算机精确求解可知，在2r=651.71mm处，填充系数k达到另一峰值；在2r<651.71mm的邻域内，填充系数k缓慢减小，在2r>651.71mm的邻域内，填充系数k急剧减小。故选取2r=651.71mm为铁心柱外接圆直径的最大值。(2)设计铁心柱外接圆直径和线圈内筒直径的公差带
同问题二，易证，在B r，B R保持不变的前提下，取R min=r max时可以使线圈内筒的空间利用率μ取到最大值。
设铁心柱外接圆直径服从正态分布2r~N(μ3,σ32)，线圈内筒直径服从正态分布2R~N(μ4,σ42)，则μ4?3σ4=μ3+3σ3=653.71mm 。
分析局部放大的k ?2r 图，可以看到在2r ?[651.3,653.7]时图像具有很好的线性特性，采用一次函数逼近的方法，用直线k =0.01748?2r +78.37，近似k ?2r 关系。记a =0.01748?2，b =78.37，则k =a ?r +b 。而k =S
π?r 2，故S =π?r 2?(a ?r +b )。
空间利用率μ=
S
π?R 2=
π?r 2?(a?r+b )
π?R 2
=
r 2?(a?r+b )
R 2
，其平均值：
E (μ)=E ?r 2?(a ?r +b )
R 2
?
=E ?r 2?(a ?r +b )??E ?1
2?
=?[(a ?r 3+b ?r 2)ρr (r )]dr μ3+3σ3μ3?3σ3???1R
2?ρR (R )?μ4+3σ4
μ4?3σ4dR
其中ρr (r )=
1
0.9973?√2π?σ?
(r?μ3)2
2σ32
, ρR (R )=
1
0.9973?√2π?σ?
(R?μ4)22σ42
。
服从正态分布的r 与R 分别分布于各自6σ区间的概率为0.9973，故ρr (r )与ρR (R )分别表示r 与R 归一化后的分布于各自的6σ区间的概率密度函数。
同样参考GB T1800.3??1998标准[4]
,将公差分为18个等级IT 1,IT 2…IT 18，则
3σ3=3σ4=
IT i 2
(i =1,2,…,18)。利用Mathematica 的数值积分功能，分别计算每个公差
级别下空间利用率的平均值。
在得出每个公差等级的期望最优空间利用率μi 后，以公差等级以i(i =1,2…18)为横坐标，以空间利用率μi 为纵坐标，绘制散点图如下：
从图中可以看出，与问题二的结果类似，在i<12时，随IT i等级的增加，μi下降缓慢，因此提高加工精度的意义不大。在i>12时，随IT i等级的增加，μi快速下降。因此，取公差等级为IT12,其公差为0.8mm（见附表）。铁心柱外接圆直径2r服从正态分布，均值为μ3=653.31mm，方差为?0.43?2。线圈内筒直径2R服从正态分布，均值为654.11mm，方差为?0.43?2。故铁心柱外接圆直径的公差带为B r=?652.91，653.71?(mm)，线圈内筒直径的公差带为B R=?653.71，654.51?(mm)。此时，期望空间利用率μ?为89.569%。与模型三（i）中r=R的理想情况相比，空间利用率的相对损失为
?μ??μ?=?89.569%?89.715%?=0.16%
六：模型分析
6.1 稳定性分析
一个好的模型不能由于初始数据的微小误差而导致结果的较大改变，我们对铁芯柱外接圆直径做随机的微小波动。如下表所示，将区间?645，655?(mm)划分为如下七个子区间，令铁芯柱外接圆直径分别位于这七个子区间，求可获得最大有效面积的阶梯宽度的组合。
模型二求得铁心柱外接圆直径公差带为B r=?652.84，653.64?(mm)。分析表中数据可知，铁心柱外接圆直径位于区间?651.187，653.712?(mm)时，满足最大有效面积的阶梯宽度组合是固定的，故模型二稳定性很好。
6.2模型评价
优点：
1、本模型综合利用了动态规划和模拟退火算法，既发挥出动态规划算法高效、稳
定的优势，又避免陷入局部最优解。使算法的效率和结果的最优得到了良好的结合。
2、采用灵活的方法分析图像、数据。当每步计算量不大时，使用蒙特卡罗法生成
大量数据进行模拟。当每步计算量都很大、难以用大量数据模拟时，我们对线性性质好的复杂函数进行了一次函数逼近。从而避免了复杂的运算，用解析法以及数值积分解决了问题。
3、对公差带的选取参考了国家标准，有科学根据且实用性强。
4、对每一结果都用同一指标——平均空间利用率进行衡量，便于进行横向比较，
从而评价出方案的优劣。
缺点：
1、对数据进行一次函数逼近时不可避免会出现误差。
2、对于一些参数的估计与限制带有一定的主观性，所求解也会受到这些参数的影
响。
七：模型扩展
在问题二的求解中，为得到铁心柱更好的截面形状，我们在2r=650 mm附近稍微增加铁心柱外接圆直径。现在考虑这样一个问题：当铁芯柱外接圆直径标定值在更大的范围内变化时，可否设计一个一般的方案，在标定值附近找到满足填充系数最大的直径取值。
类似于研究问题二的方法，作出铁心柱n=14，直径在?400，740?(mm)范围内的填充系数——直径的关系图，如下（右图为其局部放大图）：
可见其关系图是一个振荡的图像，且振荡的包络线具有不断上升的趋势。
在选取铁心直径外接图直径公差带的时候应使其填充系数位于图像的波峰处。另外，从其局部图中可发现，关系曲线中两个波峰间的距离近似为5mm。这说明在普遍情况下，都可以在铁心柱的外接圆直径标定值附近不大于5mm的范围内，找到满足填充系数最大的直径取值，从而得到一个更好的截面形状。
参考文献
[1][3]谢毓城，电力变压器手册，北京：机械工业出版社，2003。
[2][4]邓英剑、杨冬生，公差配合与测量技术（第二版），北京：国防工业出版社，2008。