函数中存在性和任意性问题分类解析

函数中存在性和任意性问题分类解析

1.，，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即.

例1 已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值围是（）

解设函数与在上的值域分别为与，依题意.

当时，，则，所以在上单调递增，所以即.

当时，，所以单调递，所以即.

综上所述在上的值域.

当时，，又，所以在在上单调递增，所以即，故在上的值域.

因为，所以或解得，故应选.

2.对，，使得，等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即.

例2(2011八校第二次联考)设，.①若，使成立，则实数的取值围为＿＿＿;②若，，使得，则实数的取值围为＿＿＿

解①依题意实数的取值围就是函数的值域.设，则问题转化为求函数的值域，由均值不等式得，，故实数的取值围是.

②依题意实数的取值围就是使得函数的值域是函数的值域的子

集的实数的取值围.由①知，易求得函数的值域，则当且仅当即，故

实数的取值围是.

例3已知，它们的定义域都是，其中是自然对数的底数，.(1)求的单调区间;(2)若，且，函数，若对任意的，总存在，使，数的取值围.

解 (1)略;(2)依题意实数的取值围就是使得在区间上的值域是

的值域的子集实数的取值围.

当时，由得，故在上单调递减，所以即，于是.

因，由得.

①当时，，故在上单调递增，所以即，于是.因为，则当且仅当，即.

②当时，同上可求得.

综合①②知所数的取值围是.

3.已知是在闭区间的上连续函，则对使得，等价于.

例4已知，其中.(1)若是函数的极值点，数的值;(2)若对任意的都有成立，数的取值围.

解 (1)略;(2) 对，有，等价于有.

当时，，所以在上单调递增，所以.

因为，令得，又且，.

①当时，，所以在在上单调递增，所以.令得这与矛盾。

②当时，当时，当时，所以在上单调递减在上单调递增，所以.令得，又，所以。

③当时，，所以在上单调递减，所以.令得，又，所以。

综合①②③得所数的取值围是。

另解同上求得，要证时，，即.由上知求需对参数进行分类讨论过程繁而长，其实可避免分类讨论，不等式恒成立问题往往转化最值问题来解决，逆向思维，由于难求，将退回到恒成立问题: 证时，即恒成立，只需证当时，恒成立，只需证.因为，令得.当时，当时，故，所以，故所数的取值围是。

点评这里“另解”将不等式恒成立问题与最值问题的单向转化变成双向转化，将一个需要分类讨论的最值问题转化为另一个不需要分类讨论的最值问题.

练习：已知函数，，若函数的图象经过点，且在点处的切线线恰好与直线垂直.(1)求的值;(2)求函数的在上最大值和最小值；（3）如果对任意都有成立，数的取值围.

4.若对，，使，等价于在上的最小值不小于在上的最小值即（这里假设存在）。

例5(2010年)已知函数.

(1)当时，讨论的单调性;(2)设，当时，若对任意，存在，使，数的取值围.

解（1）略；（2）依题意在上的最小值不小于在上的最小值即，于是问题转化为最值问题.

当时，，所以，则当时，;当时，，所以当时，.

，①当时，可求得，由得

这与矛盾.②当时，可求得，由得这与矛盾.③当时，可求得，由得.

综合①②③得实数的取值围是.

高考数学_函数中存在性和任意性问题分类解析

函数中存在性和任意性问题分类解析 湖北省阳新县高级中学邹生书 全称量词、特称量词以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题.特别是全称量词”任意”和特称量词”存在”与函数情投意合风火情深，火借风势、风助火威，大有逾演逾烈之势.两种量词插足函数，使得函数问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，本文通过典型题目分类解析供参考. 1.，，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即. 例1已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（） 解设函数与在上的值域分别为与，依题意. 当时，，则，所以在上单调 递增，所以即. 当时，，所以单调递，所以即. 综上所述在上的值域. 当时，，又，所以在在上单调递增，所以即，故在上的值域.

因为，所以或解得，故应选. 2.对，，使得，等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即. 例2(2011湖北八校第二次联考)设，. ①若，使成立，则实数的取值范围为＿＿＿;②若 ，，使得，则实数的取值范围为＿＿＿解①依题意实数的取值范围就是函数的值域.设，则问题转化为求函数的值域，由均值不等式得，，故实数的取值范围是. ②依题意实数的取值范围就是使得函数的值域是函数的值域的子集的实数的取值范围.由①知，易求得函数的值域，则 当且仅当即，故实数的取值范围是. 例3已知，它们的定义域都是，其中是自然对数的底数，.(1)求的单调区间;(2)若，且，函数，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围. 解(1)略;(2)依题意实数的取值范围就是使得在区间上的值域是 的值域的子集实数的取值范围. 当时，由得，故在 上单调递减，所以即，于是.

导数与函数零点问题解题方法归纳

导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数.

高考数学-函数中存在性和任意性问题分类解析

函数中存在性和任意性问题分类解析 全称量词、特称量词以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题.特别是全称量词”任意”和特称量词”存在”与函数情投意合风火情深，火借风势、风助火威，大有逾演逾烈之势.两种量词插足函数，使得函数问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，本文通过典型题目分类解析供参考. 1.，，使得，等价于函数在上的值域与函 数在上的值域的交集不空，即. 例1已知函数和函数， 若存在，使得成立，则实数的取值范围是（） 解设函数与在上的值域分别为与，依题意. 当时，，则，所以在上单调递增，所以即. 当时，，所以单调递，所以即 . 综上所述在上的值域. 当时，，又，所以在在上单调递增，所以 即，故在上的值域.

因为，所以或解得，故应选. 2.对，，使得，等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即. 例2(2011湖北八校第二次联考)设，. ①若，使成立，则实数的取值范围为＿＿＿;②若 ，，使得，则实数的取值范围为＿＿＿ 解①依题意实数的取值范围就是函数的值域.设 ，则问题转化为求函数的值域，由均值不等式得，，故实数的取值范围是. ②依题意实数的取值范围就是使得函数的值域是函数的值域的子集的实数的取值范围.由①知，易求得函数的值域，则 当且仅当即，故实数的取值范围是. 例3已知，它们的定义域都是，其中是自然对数的底数，.(1)求的单调区间;(2)若，且，函数，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围. 解(1)略;(2)依题意实数的取值范围就是使得在区间上的值域是 的值域的子集实数的取值范围. 当时，由得，故在 上单调递减，所以即，于是.

函数零点存在性定理

?函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点． (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点. ?函数零点个数的判断方法: (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． (2)代数法：求方程f(x）=0的实数根． 例题1： 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有______（写出所有正确结论的序号）．

高考数学函数中存在性和任意性问题分类解析

函数中存在性与任意性问题分类解析 全称量词、特称量词以及全称命题与特称命题在近几年新课标高考卷与模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题、特别就是全称量词”任意”与特称量词”存在”与函数情投意合风火情深,火借风势、风助火威,大有逾演逾烈之势、两种量词插足函数,使得函数问题意深难懂神秘莫测,问题显得更加扑朔迷离难度大增,同时题目也因此显得富有变化与新意、解决这类问题的关键就是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目,本文通过典型题目分类解析供参考、 1、,,使得,等价于函数在上的值域与函数 在上的值域的交集不空,即、 例1已知函数与函数,若存在,使得成立,则实数的取值范围就是() 解设函数与在上的值域分别为与,依题意、 当时,,则,所以在上单调递增,所以即、 当时,,所以单调递,所以即、 综上所述在上的值域、 当时,,又,所以在在上单调递增,所以即,故在上的值域、

因为,所以或解得,故应选、 2、对,,使得,等价于函数在上的值域就是函数在上的值域的子集,即、 例2(2011湖北八校第二次联考)设,、①若,使成立,则实数的取值范围为＿＿＿;②若 ,,使得,则实数的取值范围为＿＿＿解①依题意实数的取值范围就就是函数的值域、设,则问题转化为求函数的值域,由均值不等式得,,故实数的取值范围就是、 ②依题意实数的取值范围就就是使得函数的值域就是函数的值域的子集的实数的取值范围、由①知,易求得函数的值域,则当且仅当即,故实数的取值范围就是、例3已知,它们的定义域都就是,其中就是自然对数的底数,、(1)求的单调区间;(2)若,且,函数,若对任意的,总存在,使,求实数的取值范围、解(1)略;(2)依题意实数的取值范围就就是使得在区间上的值域就是的值域的子集实数的取值范围、 当时,由得,故在 上单调递减,所以即,于就是、

函数零点存在性定理基础题

函数零点存在性定理基础题 1．函数()25x f x =-存在零点的区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（4，5） 【答案】B ． 【解析】 函数单调递增，并且()()()23130f f ?=-?<，所以在区间()3,2上存在一个零点． 2．若函数在区间内存在一个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a <- C ．1a <-或1a > D ．11a -<< 【答案】C ． 【解析】 由零点存在性定理得：(1)(1)0,(1)(1)0,f f a a -<-+<因此1a <-或1a >．选C ． 3．函数f （x ）＝ln x － 2x 的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（1e ，1）和（3，4） D ．（e ，＋∞） 【答案】B ． 【解析】 ∵f （1）＝－2<0，f （2）＝ln2－1<0，又∵f （x ）在（0，＋∞）上是单调增函数， ∴在（1，2）内f （x ）无零点．又∵f （3）＝ln3－ 23 >0，∴f （2）·f （3）<0． ∴f （x ）在（2，3）内有一个零点．故选B ． 4．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有部分对应值表如下： 那么函数()f x 一定存在零点的区间是 （ ） A ．()1-∞, B ．()12, C ．()23, D ．()3+∞, ()1f x ax =+(1,1)-a

【答案】C ． 【解析】 根据函数的对应值表可得(1) 6.10,(2) 2.90,(3) 3.50f f f =>=>=-<，根据函数的零点存在性定理，一定存在零点的区间是()2,3．故选C ． 5．函数f （x ）=log 3x －8+2x 的零点一定位于区间（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（5，6） 【答案】C ． 【解析】 函数f （x ）=log 3x -8+2x 为增函数， ∵f （3）=log 33-8+2×3=-1＜0，f （4）=log 34-8+2×4=log 34＞1＞0， ∴函数在（3，4）内存在零点．故选C ． 6．方程log 3x +x =3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+∞） 【答案】C ． 【解析】 可构造函数f （x ）=log 3x +x -3，方程log 3x +x =3的解所在的区间是函数f （x ）=log 3x +x -3零点所在的区间，又函数f （x ）=log 3x +x -3在定义域上单调递增，结合零点存在性定理对四个选项中的区间进行验证即可． 由于f （0）不存在，f （1）=-2，f （2）=log 32-1＜0，f （3）=1＞0， 故零点存在于区间（2，3），方程log 3x +x =3的解所在的区间是（2，3） 故选C ．

函数零点存在性定理

函数零点存在性定理标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点． (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点. 函数零点个数的判断方法: (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． (2)代数法：求方程f(x）=0的实数根． 例题1： 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）． 答案 由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点． （3）正确， （1）不能确定， （2）中零点可能为1， （4）中单调性也不能确定．

张荣军判断零点的存在性定理

课题：判断函数零点的存在性 ---------根的存在性定理 学习目标： （一）知识与技能： 2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． （二）过程与方法： 自主发现、探究实践，理解函数零点存在的条件． （三）情感、态度、价值观： 1.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值 2.数行结合思想在探索数学问题的重要性. 2.了解方程求解方法的简单发展史.. 重点难点： 重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件． 难点：探究发现函数零点的存在性. 课题引入：在人类用智慧架设的无数从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今 天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法… 问题·探究 （一）回顾旧知，“温故知新”。 1、函数的零点：对于函数)(x f ，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f 的零点（zero point ）. 2、等价关系： 方程0)(=x f 有实数根 ?函数)(x f y =的图像与x 轴有交点?函 数)(x f y =有零点. 巩固练习：求下列方程的根． （1）0652 =+-x x （2） )1lg()(-=x x f （3）062ln =-+x x （二）提出问题，“星河探秘”。（零点存在性） 问题1：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？

怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？ （1）观察二次函数32)(2 --=x x x f 的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？ ○ 1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞） ． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）． （2）观察下面函数)(x f y =的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？ ○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）． （4）观察上面（3）的函数图象： 若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是 ____ （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是____（相同／互异） （三）讨论探索，发现“新大陆”。 根的存在性定理：如果函数)(x f y =在区间][b a ,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0)()(

函数的任意性和存在性求解

专题复习—函数的任意性和存在性 已知两个函数k x x x f +-=2)(2，13)(3+-=x x x g （1）[]2,0∈?x ，都有)()(x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （2）[]2,00∈?x ，使得)()(00x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （3）若[]2,0,21∈?x x ，都有)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （4）[]2,0,21∈?x x ，使得)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （5）[]2,01∈?x ，[]2,02∈?x ，使得)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （6）[]2,01∈?x ，[]2,02∈?x ，使得)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； 分析： 函数k x x x f +-=2)(2是一个二次函数，图像开口向上，对称轴为11 22=?--=x ，[]2,01∈，函数)(x f 在[]2,0上先减后增，且1)1()(min -==k f x f ，k f f x f ===)2()0()(max ； 函数13)(3+-=x x x g ，)1)(1(333)(2'-+=-=x x x x g ，令0)('=x g 得11=-=x x 或， 所以[]2,0)(在x g 上的1)1()(min -==g x g ，3)2()(max ==g x g ， 解（1）依题意得，[]2,0∈?x ，0)()(≥-x g x f 恒成立，令)()()(x g x f x t -= 即01)(2 3≥-+++-=k x x x x t 恒成立，所以0)(min ≥x t 123)(2'++-=x x x t =)1)(13(+-+x x ，所以[]2,0)(在x t 上先↓↑后， 3)2(,1)0(-=-=k t k t ，03)(min ≥-=∴k x t ，解得3≥k （2）:p []2,00∈?x ，使得)()(00x g x f ≥成立， :p ?[]2,0∈?x ，都有成立)()(x g x f <成立，令)()()(x g x f x t -= 即01)(2 3<-+++-=k x x x x t 恒成立，所以0)(max

函数零点存在性定理.

? ? 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点． (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点. ?函数零点个数的判断方法: (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． (2)代数法：求方程f(x）=0的实数根． 例题1： 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有______（写出所有正确结论的序号）．

函数与导数中任意性和存在性问题探究

函数与导数中任意性和存在性问题探究 命题人：闫霄 审题人：冯昀山 一、相关结论： 结论1：min [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈>?>； 结论2：max [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈?>； 结论4：min [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈?>；【如图一】 结论6：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论7：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论8：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论9：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空； 结论10：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域是()g x 的值域的子集 【例题1】：已知两个函数2 3 2 ()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设32 ()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为： [3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 ' 2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+；当x 变化时，'(),()h x h x 的变化情况列表如下： -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h '(x) + － + h(x) k-45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 k-9 因为(1)7,(2)20h k h k -=+=-, 所以，由上表可知min [()]45h x k =-，故k-45≥0，得k ≥45,即k ∈[45,+∞). 小结：①对于闭区间I ，不等式f(x)k 对x ∈I 时恒成立?[f(x)]min >k, x ∈I. ②此题常见的错误解法：由[f(x)]max ≤[g(x)]min 解出k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max ≤[g(x)]min ”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价. （2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)= g(x)－f(x) ≥0在x ∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max ≥0. 由（1）可知[h(x)]max = k+7，因此k+7≥0，即k ∈[-7,+∞). (3)根据题意可知，（3）中的问题等价于[f(x)]max ≤[g(x)]min ，x ∈[-3,3]. 由二次函数的图像和性质可得, x ∈[-3,3]时, [f(x)]max =120－k. 仿照（1），利用导数的方法可求得x ∈[-3,3]时, [g(x)]min =－21. 由120－k ≥－21得k ≥141,即k ∈[141,+∞). 说明：这里的x 1,x 2是两个互不影响的独立变量. 从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“?x ”恒成立，还是“?x ”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.. 【例题2】：(2010年山东理科22) 已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈; (1) 当1 2 a ≤ 时，讨论()f x 的单调性； （2）设2 ()24g x x bx =-+，当14a =时，若对1(0,2)x ?∈，2[1,2]x ?∈,使 12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围；

根的存在性证明(零点定理)

根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续 0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。 证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二等分为],2[],2, [b b a b a a ++，如果0)2 (=+b a f 。则定理获证。如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2 (b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为 ],[22b a ，它满足[a,b]?[11,b a ]],[22b a ?，0)()(2222 22<-=-a f b f a b a b 且。采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:① [a,b]?[11,b a ]?????],[22b a ；②n n n a b a b 2-=-；③0)()(δ，使得f(x)在],[),(b a ?+-δξδξ上与)(ξf 同号。根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时， ],[),(],[b a b a n n ?+-?δξδξ。根据区间的性质③，0)()(

函数零点存在性定理图文稿

函数零点存在性定理文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)．f(b)0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点． (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点. 函数零点个数的判断方法: (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． (2)代数法：求方程f(x）=0的实数根． 例题1：

若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）． 答案 由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点． （3）正确， （1）不能确定， （2）中零点可能为1， （4）中单调性也不能确定． 故答案为：（3） 例题2： 已知函数有零点，则实数的取值范围是（） 答案： 例题3： 例题4： 函数f（x）=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 1/5; B. a ≤ -1 ; C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ; D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1答案：由题意可得f（-1）×f（1）≤0，解得 ∴（5a-1）（a+1）≥0 ∴a≥ 1/5 或a≤-1 故选D ．

任意性与存在性问题探究

函数中任意性和存在性问题探究 2011-12-22 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】 【例题1】：已知两个函数2 3 2 ()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设3 2 ()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为： [3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+； 当x 变化时，' (),()h x h x 的变化情况列表如下： x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h '(x) + 0 － 0 + h(x) k-45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 k-9

零点存在定理的教案

教案 课题：零点存在定理 授课人： 一、内容及内容解析： 本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根. 各个内容之间的联系： 方程的根?零点?零点存在定理 ? 二分法 二、三维目标： 知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解. 过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到0)()(

高中数学必修一 零点存在性定理及典例

零点存在性定理 如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解 （1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点 （2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号 （3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点. ②有1个零点，分别求a 的取值范围. 解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下 则(0)0(3)00032 f f a b a >??>????≥??<-??>?

函数中存在性和任意性问题分类解析

函数中的任意性与存在性问题 例1已知函数]1,0[,2)(2∈+=x k x k x f ，函数]0,1[,5)1(23)(22-∈+++-=x x k k x x g ， 1：存在]1,0[1∈x ]0,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g =成立，求k 的取值范围. 2：对任意]1,0[1∈x ，存在]0,1[2-∈x ， )()(12x f x g =成立，求k 的取值范围. 3：对任意]1,0[1∈x ，存在]0,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g <成立，求k 的取值范围. 4 例 2 已知，其中.，若对任意的都有成立，求实数的取值范围. [][]. ".)()(,0,1,1,01221的取值范围求成立使得存在k x f x g x x <-∈∈

1.，，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即. 2.对，，使得，等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即. 3 若对，，使，等价于在上的最小值不小于在上的最小值即（这里假设存在）。 4使得等价于 5 已知是在闭区间的上连续函，则对使得，等价于 . 1 函数22(),()1f x x g x x ax ==-+，若对[][]12121,3,1,2,()()x x f x g x ?∈-?∈≥，求实数a 的取值范围 2 若存在正数x 使x 2(x-a)<1成立,则a 的取值范围是

3已知21(),()()2 x f x x g x m ==-，若对[]11,3x ?∈-，[]20,2x ?∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 ． 4 将上题中的任意改为存在

零点存在定理的应用

葛沽一中整体建构教学模式导学案 高一 年级 数学 学科 主备人： 备课或教研组长审核签字 使用人签字 使用时间 第 11 周 第 5 课 课题： 零点存在定理的应用 教学过程 一、例题精析 应用迁移 拓展提升 1．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2） 2．(2014·天津模拟)方程log 4x-=0的根所在区间为( ) A. B. C.(3,4) D.(4,5) 3．（2014·北京模拟）已知方程lgx=2-x 的解为x 0,则下列说法正确的是( ) ∈(0,1) ∈(1,2) ∈(2,3) ∈[0,1] 小结： 5.(2014·济南模拟)函数f(x)＝ 的零点个数为( ) 6.函数的零点个数是_________________ 小结： 提示：建议：注意：要求： 二．拓展练习 7.已知函数f(x)= 在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 8.函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) 9.设函数1 ()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1 (,1),(1,)e e 内均有零点。 B 在区间1 (,1),(1,)e e 内均无零点。 C 在区间1 (,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。 D 在区间1 (,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。 10. 函数3()=2+2x f x x －在区间(0,1)内的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 11. 函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) B.1 12.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 13.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+lnx 的零点分别为x 1,x 2,则x 1,x 2的大小关系是( ) x 2 =x 2 D.不能确定 ()ln 26f x x x =+-4.求函数的零点个数。 1x 2 1 x ()2 -26 log x x -， 2 x

高中数学任意性与存在性问题探究

函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】 【例题1】：已知两个函数2 3 2 ()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设3 2 ()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+； 当x 变化时，' (),()h x h x 的变化情况列表如下： x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h '(x ) + － +