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数值分析教材

第一章绪论与误差

第一节数值分析研究对象及特点

一、数值分析课的地位:

数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支。它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。

用计算机解决科学技术和工程问题的步骤:实际问题→建立数学模型→研究计算方法→程序设计→上机计算→求出结果。

例如:

⑴某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连续拍照。

⑵为形成三维地形图,建立了一个大型超定线性方程组。

⑶ 采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解, 然后再整体平滑。

⑷编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。

二、数值分析课的主要内容:

计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方法处理,转化为四则运算而形成了的一个小型软件包)。

1.数值代数:

求解线性和非线性方程的解法,分直接方法和间接方法。

2.插值和数值逼近。

3.数值微分和数值积分。

4.常微分方程和偏微分方程数值解法。

三、数值分析具有的特点

1. 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法,即算法只能包含加、减、乘、除和逻辑运算,这些运算是计算机能直接处理的运算。

2. 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。

3. 要有好的计算复杂性。时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题,它关系到算法能否在计算机上实现。

4. 要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外还要通过数值试验证明是行之有效的。

四、对算法所要考虑的问题:

1.计算速度

1 例如：求解一个20阶线性方程组,用加减消元法需3000次乘法运算,而用克莱姆法则要进行次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。

2.存储量。大型问题有必要考虑。

3. 数值稳定性。在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与数值稳定性算法有关。

例一元二次方程其精确解为

如用求根公式:

以及字长为8位的计算器求解有：

则:,

那么:的值与精确解有天壤之别。若改用:

因此, 算法的选用很重要。

五、学习本课程应注意的问题

(1) 要注意掌握方法的基本原理和思想,要注意方法处理的技巧其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。

(2) 要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。

(3) 要做一定数量的理论分析与计算练习。

第二节绝对误差、相对误差和有效数字

一、误差的来源

数值计算,概括地讲是“研究用于求得数学问题近似解的方法和过程”。因此,在计算过程中,

误差是不可避免。引起误差的因素很多,主要有以下几种：

1.模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑, 必然要进行必要的简化,

这就带来了与实际问题的误差。

2.观测误差: 在数学模型中,往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、电压等,

这些参量显然也包含误差。这种由观测产生误差称为观测误差。

3.截断误差: 在数学模型不能得到精确解时，通常用数值方法求它的近似解，其近似解与

精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。

4.舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。

二、绝对误差、相对误差和有效数字

数值分析主要讨论截断误差。观测误差看作初始的舍入误差,数值分析也要从整体来讨论舍入误差

的影响,但这儿不讨论模型误差。

1.误差和误差限

设是精确值x的一个近似值, 称是近似值的绝对误差。简称误差。误差是有量纲的,

可正可负。误差是无法计算的, 但可估计出它的一个上界。即, 称是近似值的误差限,

其精确值的范围

也可表示成

2.相对误差和相对误差限

误差限的大小还不能完全表示即似值的好坏，例如有两个量

x = 10±1，y = 1000±5

则

虽然比大四倍，但是比要小得多，这说明近似y的程度比近似x的程度

要好得多。所以,除考虑误差的大小外，还应考虑准确值x本身的大小。为此我们引入相对误差：称

为近似值的相对误差, 记作。相对误差是个相对数, 是无量纲的, r也可正

可负。相对误差的

估计, 称为相对误差限, 即:

实际计算中,x是未知的, 用来代替。两者的差为:

3. 有效数字

定义: 如果近似值的误差限是某一数位的半个单位, 从该位起向左到

最前面第一个非零数字

共有n位, 就说有n位有效数字，它可表示

其中(i=1,…,n)是0到9中的一个数字，,m为整数，且

例如π=3.1415926535… ,

3.14有三位有效数字,误差限ε=0.005;

3.1416有五位有效数字, 误差限为0.00005。

又如

0.003529是四位有效数字, 误差限为,

0.00352900是六位有效数字,前者的误差限为。

定理1: 设近似值有n位有效数字,

则其相对误差限 . 反之，若近似值的相对误差限为则至少有n位有效数字。

证明:因为：

故

所以

反之，由

故至少有n位有效数字。

本定理说明，有效数字越多，相对误差越小。

例1 重力加速度常数ｇ,

两者均有三位有效数字.

, ,

后者的绝对误差大。而由定理1, 相对误差分别为:

两者相等, 与量纲的选取无关。

例2 预使的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字。

解设取n位有效数字，由于=4.4…,, 由定理1

只要n=4, 就有

例3 用四位浮点数计算。

解:

结果只有一位有效数字, 有效数字大量损失, 造成相对误差扩大。这是由两个比较接近的数

相减造成的。

结果仍然有四位有效数字这说明了算法设计的重要性。

第三节数值计算中误差的传播

1.四则运算中误差的传播

四则运算误差限的公式:

这是因为,

故

2.基本运算(对函数)中的误差估计

设数值计算中求得的解与参量x有关，记为y=f(x), 即y是x的函数。设是x的近似值,相应的解(函数)的近似值。其解的绝对误差

误差限记作，如果f(x)是可微的, 则：

取绝对值得：

假定f'(x )与f"(x )的比值不大, 可忽略ε() 的高阶项, 于是

和

其解的相对误差为

于是

一般地，设数值计算中求得的解与参量有关,记为y=f(), 即y是多元函数,若分别是 ,的近似值, 类似地有：

于是

例4 已侧得某场地长的值为=110m, 宽d的值为=80m, 已知|l-|≤0.2m, |d-|≤0.1m, 试求面积s=ld的绝对误差限和相对误差限。

解s=ld, , 所以

3.算法的数值稳定性。

一个程序往往要进行大量的四则运算才能得出结果,每一步的运算均会产生舍入误差。在运算过程中,舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,否则就称之为不稳定的算法。在大量计算中, 舍入误差的积累还是

能控制,这与算法有关。

例5 一元二次方程其精确解为

。

如用求根公式:

以及字长为8位的计算器求解有：

那么: 的值与精确解有天壤之别。若改用:

因此, 算法的选用很重要。

第四节数值计算中应注意的问题

1. 避免两个相近的数相减

两个相近的数相减,有效数字会大大损失。前面一个例子已说明问题,这里再举一例:

如用四位有效数字计算:

结果只有一位有效数字; 如改为:

有四位有效数字。新算法避免了两个相近数的相减。

2. 避免大数吃小数的现象

例如: a=1010 ,b=10, c=-a ,|a+c|<

(a+b)+c = (1010 +10)-1010≈1010 -1010 = 0

b被大数吃掉了。如按(a+c)+b=0+b=b,b 就没有被吃掉。这也是构造算法时要注意的问题。

3. 避免分母的绝对值远小于分子的绝对值

由公式

故当|x2* |<<|x1* |, 舍入误差可能会增大。

4. 要简化计算，减少运算次数，提高效率

例如计算ln2，若用公式

-1

取x=1, 前n项部分和来计算ln2的近似值，截断误差为。如果利用级数

-1

来计算，当时，代入上面的展开式得

取前5项之和作为近似值，参数的截断误差为

显然，第二算法比第一算法有效。

又如计算多项式的值: ,每取a k x k有k次乘法运算,因此

计算P n(x)共需次乘法和n次加法运算。

如将P n(x)写成:

P n(x)=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0

用秦九韶算法:u0=a n, u k=u k-1x + a n-k,k=1,2,…,n 。最终P n(x)=u n,共需n次乘法和n次加法运算。一般地要注意,能在循环外计算,就不要放在循环内计算。

5. 选用数值稳定性的算法

例:I n=e-1x n e x dx ,n=0,1,2,…

用分部积分公式得递推式:

I n=1-nI n-1,I0=1-e-1

用四位有效数字计算:

I0=0.6321 ,I1=1-I0=0.3679 ,I2=1-2I1=0.2642

I3=1-3I2=0.2074 ,I4=1-4I3=0.1704

I5=1-5I4=0.1480 ,I6=1-6I5=0.1120

I7=1-7I6=0.2160 ,I8=1-8I7=-0.7280

可以估计出:

故:

0.0460

于是I7与I8精确值已经面目全非,一位有效数字也没有。这是由于如果I0有误差e=0.5×10-4,不计中间再产生的舍入误差,该误差随着计算过程分别乘以2,3,…,7,8到时已经变成了8!e , 误差扩大了4万倍。因而该算法不是稳定的。

如果递推式改为,由I7=0.1124,逐步计算I6 ,I5,…

直到I0=0.6321。计算结果有四位有效数字,如果I7有误差e, 其传播到I0所引起的误差仅为。故该算法是稳定的。

绪论与误差

1 误差和误差限

x*-ε*≤x ≤x*+ε*或x = x*±ε*ε*误差限

2 相对误差和相对误差限

3 有效数字

1) 有效数字

x*=±10m(a1+a2×10-1+ … + a n×10-n+1)

其中a i(i=1,…,n)是0到9中的一个数字，a1≠0,m为整数，且

|e*|=|x*-x|≤ε=0.5×10m-n+1

2) 设近似值x*=±0.a1a2…a n×10m, 有n位有效数字, a1≠0,则其相对误差限. 反之，若近似值的相对误差限为

则x*至少有n位有效数字。

4 数值计算中误差的传播

1) 四则运算中误差的传播

2) 基本运算(对函数)中的误差估计

e(f(x*)) = f(x) - f(x*),

误差限记作ε(f(x*))，如果f(x)是可微的, 则：

若f′(x*)与f″(x*)的比值不大, 可忽略ε(x*)的高阶项, ε(f(x*))≈|f′(x*)|ε(x*)

和

e(f(x*))≈f′(x* )e(x*)

相对误差为

习题一

1. 按四舍五入原则，求下列各数的具有四位有效数字的近似值：

168.957, 3.00045, 73.2250, 0.00152632

解

169.0, 3.000, 73.23, 0.001526

2. 设下列各数均未经过四舍五入后的道的近似值，试求各数的绝对误差限和相对误差限。

a=3580, b=0.00476, c=2958×10-2, d=0.1430×10-2

解

a= 3580 = 0.3580×104,

绝对误差限: 104-4=0.5,相对误差限10-4

b= 0.00476 = 0.476×10-2

绝对误差限: 10-2-3= 0.5×10-5, 相对误差限10-3+1=0.00125

c=2958×10-2= 0.2958×102

绝对误差限: 102-4= 0.5×10-2, 相对误差限10-4+1=0.00025

d=0.1430×10-2

绝对误差限: 10-2-4=0.5×10-6, 相对误差限10-4+1=0.0005

3. 已知a=1.2031,b=0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a+b,a×b有几位有效数字。

解

e(a+b)=e(a)+e(b)<0.00005+0.0005=0.00055 2有效数字

e(a×b)=e(a)b+ae(b)=0.00005×0.978+1.2031×0.0005

≈0.000049+0.0006=0.00064 2 有效数字

4. 设x>0, x的相对误差为δ, 求lnx的绝对误差。

解

e (lnx) = e(x) = e r(x) = δ.

5. 求的近似值x*, 使其相对误差不超过0.1%。

解

≈ 1.414 = 0.1414×101

6. 要使的近似值小于0.1%的相对误差，要取几位有效数字。

解

只要e r(x*)<0.008

≈ 4.472

7. 正方形的边长约100cm,问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过1cm2?

解

e(x2)* = 2x*e(x*)<1, e(x*)<1/200=0.005

8. 计算球体的体积，为使其相对误差限为1%，设测量半径R, 相对误差最大为多少？

解

9. 设s=gt , 假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差，试证当t增大时，s的绝对误差增大而相对误差却减少。

解

10. 已知≈12.961有五位有效数字，试求方程x2- 26x + 1 = 0的两个根及它们的误差限和相对误差限。

解

x1,2= 13±

x1=13+≈13+12.961=25.961=0.259612

e(x1)<×102-5=×10-3 , e r(x1)<10-5+1= 10-4

x2=13-=1/(13+)≈0.038519=0.38519×10-1

e(x1)<×10-1-5=×10-6 , e r(x1)<10-5+1= 10-4

11. 已知≈27.983有五位有效数字，试求方程x2- 66x + 1 = 0的两个根, 使它们至少有四位有效数字。

解

x1,2= 28±

x1=28+≈28+27.983=55.983

x2=28-=1/(28+)≈0.01786=0.1786×10-1

12. 设求证：

1) I n= 1 -nI n-1(n=0,1,2,…)

2) 利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减少。

解

数值分析第五版答案(全)

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值*x 的相对误差为***** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又 1'()n f x nx -=, 1||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =, *57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

*4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 23'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=%1

李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编

第7章复习与思考题

求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得 X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何 X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列〈X k 1有极限则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点故称 X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。 5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶 P219 设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差 e k = x k - x *满足渐近关系式 —t C,C =const 式 0 e/ 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法: 当| f (X k )卜J 时收敛。 7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量) 8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 X - m X k 1 =X k f (X k ) f (X k )

数值分析第五版全答案

第四章数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h A h -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。令4 ()f x x =，则

数值分析第五版答案

第一章绪论 p19 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又 1 '()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又 ((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2% ((*))0.02n r x n ε∴≈ 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又 (*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε= ?≈ 7．求方程2 5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982 =）。解：2 5610x x -+= ，故方程的根应为1,228x =故 128 2827.98255.982x = ≈+= 1x ∴具有5位有效数字 211 280.0178632827.98255.982 x =-= ≈ =≈+ 2x 具有5位有效数字

9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2 1cm ？解：正方形的面积函数为2 ()A x x = p7 当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21 (*)102 x ε-≤ ? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2 1cm 第二章插值法p48 1．当1,1,2 x =-时，()0,3,4f x =-, 分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求() f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，

数值分析第五版答案

第一章绪论 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。解： *4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51 ()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈

** 24**** 24422 * 4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε=?≈ 6．设028Y = ，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=- 10099Y Y ∴=- 9998Y Y = 9897Y Y =-…… 10Y Y =- 依次代入后，有1000100Y Y =- 即1000Y Y = 27.982, 100027.982Y Y ∴=-

数值分析第五版复习资料

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：* 1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q %1

数值分析第五章答案

数值分析第五章答案【篇一：数值分析第五版计算实习题】第二章 2-1 程序： clear;clc; x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:); or j=2:n %求差商 for i=n:-1:j c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms x df d; df(1)=1;d(1)=y1(1); for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i)*df(i); end disp(4次牛顿插值多项式); p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs; disp(三次样条函数); for i=1:4 s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1]; s=vpa(collect(s),5) end x2=0.2:0.08:1.08; dot=[1 2 11 12]; figure ezplot(p4,[0.2,1.08]); hold on y2=fnval(pp,x2); x=x2(dot);

y3=eval(p4); y4=fnval(pp,x2(dot)); plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co); title(4次牛顿插值及三次样条); 结果如下： 4次牛顿插值多项式 p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数 x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x + 0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下 2-3（1）程序： clear; clc; x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点 n=length(y1); a=ones(n,2); a(:,2)=-x1; c=1; for i=1:n c=conv(c,a(i,:)); end q=zeros(n,n); r=zeros(n,n+1); for i=1:n [q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk) end dw=zeros(1,n); for i=1:n dw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数 end p=dw*q; syms x l8; for i=1:n

数值分析报告 (李庆扬版)

《数值分析》作业学院：机械学院专业：机械工程姓名：赵博学号：2014520024 日期：2015年6月29日

第二章作业问：用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。答：VB程序如下： Option Explicit Sub czfl(ByRef x() As Single, y() As Single, n As Integer, x1 As Double, f As Double) Dim i, j As Integer Dim p As Single Dim appexcel As Object Dim wbmybook As Object Dim wsmysheet As Object Set appexcel = CreateObject("excel.application") Set wbmybook = appexcel.workbooks.Add Set wsmysheet = appexcel.worksheets.Add f = 0 For i = 0 To n p = 1 For j = 0 To n If i <> j Then p = p * (x1 - x(j)) / (x(i) - x(j)) End If Next j wsmysheet.cells(i + 1, 1) = Str(p) wsmysheet.cells(i + 1, 2) = Str(p * y(i)) f = f + p * y(i) Next i wsmysheet.cells(n + 1, 3) = "最终结果" + Str(f) appexcel.Visible = True End Sub Private Sub Command1_Click(Index As Integer) Dim x() As Single

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1

数值分析第五版_李庆扬

数值分析第五版_李庆扬一、课程基本信息课程中文名称：数值分析课程英文名称： Numerical Analysis 课程类别：专业基础课开课学期：秋适用专业：信息与计算科学；应用数学总学时： 86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时）总学分： 5（理论课3学分；上机实习2学分）预修课程（编号）：数学分析，高等代数，常微分方程课程简介：本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。是应用数学的重要分支之一。建议教材：《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书： [1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年； [2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年； [3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年 [4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社 2008年 [5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司2003 6、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。二、理论课程教育目标通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。三、理论教学内容与要求（含学时）第一章：计算方法的一般概念（4学时）本章教学内容：理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。第二章：解线性方程组的直接法（8学时）

(完整版)数值分析第五版答案

第一章绪论 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： x 1* 1.1021 , x 2* 0.031 , x 3 385.6 , x 4 56.430 ,x 5 7 1.0. 解： x 1 1.1021 是五位有效数字； x 2 0.031是二位有效数字； x 3 385.6 是四位有效数字； x 4 56.430 是五位有效数字； x 5 7 1.0. 是二位有效数字。 4．利用公式 (2.3)求下列各近似值的误差限： (1) x 1 x 2 x 4,(2) x 1 x 2 x 3 ,(3) x 2/ x 4. 其中 x 1* , x *2, x 3* , x 4* 均为第 3题所给的数。解： (x 1*) (x * 2) (x *3) (x * 4) (x 5) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 10 10 10 10 10 (1) (x 1 (x 1*) 1 10 2 1.05 10 x 2 x 4) (x * 2) 1 2 3 10 (x *4) 1 10 3 2 (2) (x 1*x *2x 3*) x 1x 2 (x 3) x 2x 3 (x 1) x 1x 3 (x 2) 1 1.1021 0.031 10 1 0.031 385.6 1 10 4 1.1021 385.6 1 10 3 0.215

又Q r (V*) 计算到 Y 100 。若取 783 27.982 （ 5 位有效数字）有 Y 100 Y 0 100 1 783 100 0 100 (3) (x *2/ x 4*) x 2* (x *4) x *4 (x 2*) *2 x 4* 1 3 1 3 0.031 10 3 56.430 10 3 22 56.430 56.430 10 5 5 计算球体积要使相对误差限为 1 ， 43 解：球体体积为 V R 3 3 则何种函数的条件数为问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少？ C p RgV ' Rg4 R 2 4 R 3 3 r (V*) C p g r (R*) 3 r (R*) 故度量半径 R 时允许的相对误差限为 6．设 Y 0 28，按递推公式 Y n Y n 1 3 1 783 100 r (R*) 1 0.33 n=1,2,?) 1 解：QY n Y n 1 783 n n 1 100 Y 100 Y 99 1 783 100 99 100 1 783 100 1 783 100 Y 99 Y 98 Y 1 Y 98 Y 97 Y 0 1010 783 即 Y 100 Y 0 783，若取 783 27.982 , Y 100 Y 0 27.982 ，试问计算 Y 100 将有多大误差？依次代入后，

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,* 20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) *** 123x x x ,(3) ** 24/x x .

其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解： *4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 * 4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为

数值分析第五版答案

第一章绪论 p19 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2% ((*))0.02n r x n ε∴≈ 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 23 '4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε= ?≈ 7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982 =）。解：2 5610x x -+= ，故方程的根应为1,228x =故 128 2827.98255.982x = ≈+= 1x ∴具有5位有效数字 211280.0178632827.98255.982 x =-=≈=≈+ 2x 具有5位有效数字

9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？解：正方形的面积函数为2()A x x = p7 当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21(*)102 x ε-≤? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm 第二章插值法 p48 1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-, 分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求()f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，

数值分析第五版全答案chap6

第六章课后习题解答 (1)()()123(1)()213(1)()()312(0 1.21125551154213351010(1,1,1),17( 4.0000186, 2.99999k k k k k k k k k T x x x x x x x x x x x +++ì??=---??????=-+í??? ??=-++????==-(17) 解：(a)因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞（b)雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求 (1)()() 123(1)(1)() 213 (1)(1)(1) 312 (0) (8) 15,2.0000012) 211255 5 115 42133510 10 (1,1,1),8( 4.0000186,2.9999915,2.0000012) T k k k k k k k k k T T x x x x x x x x x x ++++++-ì??=--- ??????=-+í??? ??=-+ + ????==-高斯塞德尔法的迭代格式为x 取迭代到次达到精度要求

1 2 1 2:00.40.4 .0.400.80.40.8 0||(0.8)(0.80.32) () 1.09282031,00.40.4() 00.160.6400.032 0.672D L U I B D L U l l l l --骣--????= +=--????--?桫-=-+- =>- ?--??? ?=-=-????èl J J J S 解(a )雅可比法的迭代矩阵 B （）B B 故雅可比迭代法不高斯塞德尔法迭代矩阵 1 3 1 ()||||0.81 2210122 0||02202 3S J B D L U I B D L U l l ￥ --?÷÷÷÷ ÷÷÷÷÷÷?÷? ?<骣-÷ ?÷?÷?÷?÷= +=--?÷?÷÷?÷?÷--?÷ 桫- = 骣-÷ ?÷?÷? ÷?÷=- =-?÷?÷÷?÷ ? l l S J J S B 故高斯-塞德尔迭代法收敛。(b )雅可比法的迭代矩阵 B （），（B ）=0〈1故雅可比迭代法收敛。高斯-塞德尔法的迭代矩阵 B （）

数值分析-第五版-考试总结

第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。近似值的误差e?（x为准确值）： e?=x??x 近似值的误差限ε?： x??x≤ε? 近似值相对误差e r?（e r?较小时约等）： e r?=e? ≈ e? ? 近似值相对误差限εr?： εr?=ε?? 函数值的误差限ε?(f(x?))： ε?(f(x?))≈f′(x?)ε?(x?)近似值x?=±(a1.a2a3?a n)×10m有n位有效数字： ε?=1 ×10m?n+1 εr?= ε? ≤ 1 a1 ×10?n+1第二章：插值法 1.多项式插值 P x=a0+a1x+?+a n x n 其中： P x i=y i ,i=0,1,?,n a0+a1x0+?+a n x0n=y0 a0+a1x1+?+a n x1n=y1 ? a0+a1x n+?+a n x n n=y n 2.拉格朗日插值 L n x=y k l k x n k=0=y k ωk+1(x) k n+1 ′ k n k=0 n次插值基函数： l k x= (x?x0)?(x?x k?1)(x?x k+1)?(x?x n) (x k?x0)?(x k?x k?1)(x k?x k+1)?(x k?x n) ,k=0,1,?,n 引入记号：

ωn+1x=(x?x0)(x?x1)?(x?x n)余项： R n x=f x?L n x=f n+1ξ ωn+1x ,ξ∈(a,b) 3.牛顿插值多项式： P n x=f x0+f x0,x1x?x0+?+f x0,x1,?,x n x?x0?x?x n?1 n阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）： f x0,x1,?,x n?1,x n=f x1,?,x n?1,x n?f x0,x1,?,x n?1 x n?x0 余项： R n x=f x,x0,x1,?,x nωn+1x 4.牛顿前插公式（令x=x0+t ，计算点值，不是多项式）： P n x0+t =f0+t?f0+t(t?1) ?2f0+?+ t(t?1)?(t?n?1) ?n f0 n阶差分： ?n f0=?n?1f1??n?1f0余项： R n x=t t?1?t?n n+1 f n+1ξ ,ξ∈(x0,x n) 5.泰勒插值多项式： P n x=f x0+f′x0x?x0+?+f n x0 (x?x0)n n阶重节点的均差： f x0,x0,?,x0=1 f n(x0) 6.埃尔米特三次插值： P x=f x0+f x0,x1x?x0+f x0,x1,x2x?x0x?x1+A x?x0x?x1(x?x2)其中，A的标定为： P′x1=f′x1 7.分段线性插值： I x=x?x k+1 k k+1 f k+ x?x k k+1k f k+1 第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1.S x属于n维空间φ：

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