数值分析-第五版-考试总结
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。
近似值的误差e?（x为准确值）：
e?=x??x
近似值的误差限ε?：
x??x≤ε?
近似值相对误差e r?（e r?较小时约等）：
e r?=e?
≈
e?
?
近似值相对误差限εr?：
εr?=ε??
函数值的误差限ε?(f(x?))：
ε?(f(x?))≈f′(x?)ε?(x?)近似值x?=±(a1.a2a3?a n)×10m有n位有效数字：
ε?=1
×10m?n+1
εr?=
ε?
≤
1
a1
×10?n+1第二章：插值法
1.多项式插值
P x=a0+a1x+?+a n x n 其中：
P x i=y i ,i=0,1,?,n
a0+a1x0+?+a n x0n=y0
a0+a1x1+?+a n x1n=y1
?
a0+a1x n+?+a n x n n=y n 2.拉格朗日插值
L n x=y k l k x
n
k=0=y k
ωk+1(x)
k n+1
′
k n
k=0
n次插值基函数：
l k x=
(x?x0)?(x?x k?1)(x?x k+1)?(x?x n)
(x k?x0)?(x k?x k?1)(x k?x k+1)?(x k?x n)
,k=0,1,?,n
引入记号：
ωn+1x=(x?x0)(x?x1)?(x?x n)余项：
R n x=f x?L n x=f n+1ξ
ωn+1x ,ξ∈(a,b)
3.牛顿插值多项式：
P n x=f x0+f x0,x1x?x0+?+f x0,x1,?,x n x?x0?x?x n?1 n阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）：
f x0,x1,?,x n?1,x n=f x1,?,x n?1,x n?f x0,x1,?,x n?1
x n?x0
余项：
R n x=f x,x0,x1,?,x nωn+1x 4.牛顿前插公式（令x=x0+t ，计算点值，不是多项式）：
P n x0+t =f0+t?f0+t(t?1)
?2f0+?+
t(t?1)?(t?n?1)
?n f0
n阶差分：
?n f0=?n?1f1??n?1f0余项：
R n x=t t?1?t?n n+1
f n+1ξ ,ξ∈(x0,x n)
5.泰勒插值多项式：
P n x=f x0+f′x0x?x0+?+f n x0
(x?x0)n
n阶重节点的均差：
f x0,x0,?,x0=1
f n(x0)
6.埃尔米特三次插值：
P x=f x0+f x0,x1x?x0+f x0,x1,x2x?x0x?x1+A x?x0x?x1(x?x2)其中，A的标定为：
P′x1=f′x1
7.分段线性插值：
I x=x?x k+1
k k+1
f k+
x?x k
k+1k
f k+1
第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1.S x属于n维空间φ：
S x=a jφj
n
j=0
2.范数：
x∞=max
1≤i≤n x i and max
a≤i≤b
f(x)
x1=x i
n
i=1and f(x)
b
a
dx
x2=(x i2
n
i=1)12and (f2(x)
b
a
dx)12
3.带权内积和带权正交：
f,φk=ω(x i)f x iφk x i
m
i=0andρ(x)f(x)φk(x)
b
a
dx
f x,
g x=ρ(x) f x g x dx
b
a
=0 4.最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散）：
最优一致（∞-范数）逼近多项式P?(x)：
f x?P?(x)∞=min
P∈H n
f x?P(x)∞
最佳平方（2-范数）逼近多项式P?(x)：
f x?P?(x)22=min
P∈H n
f x?P(x)22
最小二乘拟合（离散点）P?(x)：
f?P?22=min
P∈Φ
f?P?22
5.正交多项式递推关系：
φn+1x=x?αnφn x?βnφn?1x
φ0x=1,φ?1x=0
αn=(xφn x,φn x)
(φn x,φn x)
,βn=
(φn x,φn x)
(φn?1x,φn?1x)
6.勒让德多项式：
正交性：
P n(x)P m(x)dx 1
?1=
0 ,m≠n
2
, m=n
奇偶性：
P n?x=(?1)n P n(x)递推关系：
n +1 P n +1 x = 2n +1 xP n x ?nP n?1(x )
7．切比雪夫多项式：
递推关系：
T n +1 x =2xT n x ?T n?1 x
正交性：
n m 1?x 2
1
?1
= cos nθcos mθπ
dx = 0 , m ≠n π , m =n ≠0π , m =n =0
T n x 在 ?1，1 上有n 个零点：
x k =cos
2k ?1
2n
π,k =1,?,n T n +1 x 在 a ,b 上有n +1个零点：（最优一致逼近）
x k =
b ?a 2cos 2k +12(n +1)π+b +a
2
,k =0,1,?,n 首项x n 的系数：2n?1
8.最佳平方逼近：
f x ?S ?
(x ) 2
2=min S (x )∈φ
f x ?
S (x ) 2
2=min S (x )∈φ ρ(x) f x ?S x 2dx b
a
法方程：
φk ,φj a j n
j =0
= f ,φk
正交函数族的最佳平方逼近：
a k ?
=
f ,φk
k k
9.最小二乘法：
δ 22=min S (x )∈φ
ω(x i ) S x i ?y i 2m
i =0
法方程：
φk ,φj a j n
j =0
= f ,φk
正交多项式的最小二乘拟合:
a k
?
= f ,P k P k ,P k
第四章数值积分与数值微分
1.求积公式具有m 次代数精度
求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过m 的多项式成立，m +1不成立
f (x )dx b a
= A k f (x k )n
k =0
2.插值型求积公式
I n = L n (x )dx b a
= l k (x )dx b
a
f (x k )n
k =0= A k f (x k )n
k =0
R f = f x ? L n (x ) dx b
a = R n (x )dx b
a = f n +1 ξ
ωn +1(x )dx b
a
3.求积公式代数精度为m 时的余项
R f = f x dx b
a ? A k f x k n
k =0
=1 x m +1dx b
a
? A k x k m +1
n
k =0
4.牛顿-柯特斯公式：将 a ,b 划分为n 等份构造出插值型求积公式
I n =(b ?a ) C k (n )
f (x k )n
k =0
5.梯形公式：当n=1时，C 0
(1)
=C 1
(1)
=1
2
T =
b ?a f a +f (b ) ,R n f =?b ?a
b ?a 2f ′′(η) 6.辛普森公式：当n=2时，C 0
(2)
=16
,C 1
(2)
=46
,C 2
(2)
=1
6
S =
b ?a 6 f a +4f
a +
b 2 +f (b ) ,R n f =?b ?a 180(b ?a 2
)4f (4)
(η) 7.复合求积公式： =
b?a n
,x k =a +k ,x k +1/2=x k +
2
复合梯形公式：
T n = f a +2 f (x k )n?1
k =1
+f (b ) ,R n f =?b ?a 2f ′′(η)
复合辛普森公式：
S n = f a +4 f (x k +1/2)n?1
k =0
+2 f (x k )n?1
k =1
+f (b ) ,R n f =?b ?a ( )4f (4)
(η)
8.高斯求积公式（求待定参数x k 和A k ）：
（1）求高斯点（x k ）：令ωn +1 x =(x ?x 0)(x ?x 1)?(x ?x n )与任何次数不超过n 的多项式p (x )带权ρ(x )正交，即则 p (x )ωn +1 x ρ(x )dx b
a =0，由n +1个方程求出高斯点x 0,x 1?x n 。
（2）求待定参数A k ： ρ(x )f (x )dx b
a = A k f (x )n k =0，f (x )也为次数不超过n 的多项式。
9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为ρ x =1的勒让德多项式P n +1(x )的零点即为求积公式的高斯点。 10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为ρ x = 1?x 2
的切比雪夫多项式的零点x k =cos 2k +1
2n +2π即为求积
公式的高斯点。
第五章解线性方程组的直接方法
1.矩阵的从属范数：
A ∞=max 1≤i≤n
a ij n
j =1(行元素绝对值之和中最大的)
A 1=max 1≤j ≤n
a ij n
i =1
(列元素绝对值之和中最大的)
A 2= λmax (A T A )
2.条件数：
cond (A)∞= A ?1 ∞ A ∞
cond (A)2= λmax (A T A )λmin (AA T )
,当A =A T
时,cond (A)2
= λmax (A ) λmin (A )
第六章解线性方程组的迭代法
1.迭代法：
A x =b M ?N x =b x =M ?1Nx +M ?1b x (k +1)=Bx (k )+f
2.迭代法收敛：lim k→∞x (k )存在。
3.迭代法收敛的充分必要条件：ρ B <1，谱半径ρ B =max 1≤i≤n λi
4.渐进收敛速度：R B =?ln ρ B ，迭代次数估计：k ≥s ln 10
R B
5.雅可比迭代法：
Ax =b
A =D ?(L +U )=D ?N
D ?N x =b x =D ?1Nx +D ?1b x (k +1)=Jx (k )+f
6.高斯-塞德尔迭代法：
Ax=b
A=(D?L)?U=M?U
M?U x=b
x=M?1Ux+M?1b
x(k+1)=Gx(k)+f
7.严格对角占优矩阵：此矩阵为非奇异矩阵，其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。
a ii> a ij
n
j=1
j≠i
8.弱对角占优矩阵：若此矩阵也为不可约矩阵，则其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。
a ii≥ a ij
n
j=1
j≠i
其中，可约矩阵：n阶矩阵A有如下型式，否则为不可约矩阵。
P T AP=A11A12 0A22
9.超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正。
Ax=b
A=(D?L)?U=(1
ω
D?L)?(
1
ω
D+U?D)
M=(1
ω
D?L),N=(
1
ω
D+U?D) M?N x=b
x=M?1Nx+M?1b
Lω=M?1N=D?ωL?1ω(U+1?ω
ω
D)=D?ωL?1(1?ωD+ωU)
f=M?1b=ωD?ωL?1b
x(k+1)=Lωx(k)+f 10.最速下降法：A是对称正定矩阵
Ax=b
令：
x k+1=x k+αk p(k)使下式最小：
φ x(k+1)=φ x(k)+αp(k)=φ x(k)+α Ax(k)?b,p(k)+α2
2
Ap(k),p(k)
则：
dφdα=0,αk=?
Ax k?b,p k
Ap k,p k
=
r(k),r(k)
Ar(k),r(k)
其中：
p(k)=??φ x k=? Ax k?b =r(k)故而：
x k+1=x k+αk r(k)
11.共轭梯度法：
（1）令x0=0，计算r(0)=? Ax0?b ，取p(0)=r(0)
（2）对k=0,1,?，计算
x k+1=x k+αk p(k)
αk=
r(k),r(k)
r(k+1)=r(k)?αk Ap k
p k+1=r(k+1)+βk p k
βk= r(k+1),r(k+1) r(k),r(k)
（3）若r(k)=0或 Ap k,p k=0，计算停止。
第七章非线性方程与方程组的数值解法1.二分法：1）计算f(x)在有根区间a,b的端值f(a),f(b)
2）计算区间中点值f(a+b
2
)
3）判断f a+b
2=0或者f(a+b
2
)f(a)<0
2.不动点迭代法：
f x=0
x=φx=f x+x
x k+1=φx k
3.不动点迭代法收敛：
lim
k→∞
x k=x?
4. φ(x)在a,b上存在不动点x?：（压缩映射）
a≤φ(x)≤b
φx?φ(y)≤L x?y
L<1
5.不动点迭代法收敛性：满足上条，则不动点迭代法收敛，误差为：
x k?x?≤
L k
1?L
x1?x0
6.局部收敛：存在x?的某个邻域内的任意的x0，迭代法产生的序列收敛到x?。
7.不动点迭代法局部收敛：其中x?为φ(x)的不动点，φ′(x)在x?邻域连续。
φ′(x?)<1
8. P阶收敛：当k→∞时，迭代误差e k=x k?x?，满足e k+1
e k p
→C≠0
9.牛顿（m重根）法:
x k+1=x k?f x k
′
k
,x k+1=x k?m
f(x k)
′
k
10.简化的牛顿法：
x k+1=x k?f(x k)′
11.牛顿下山法：
x k+1=x k?λf x k
′
k
,k=0,1,?
从λ=1开始试算，之后逐次减半，直到满足下降条件：f(x k+1) 12.弦截法： x k+1=x k? f x k f x k?f x k?1 (x k?x k?1) 第八章矩阵特征值计算 1.格什戈林圆盘：以a ii为圆心，以r i为半径的所有圆盘 r i= a ij n j=1 j≠i ,D i= z z?a ii≤r i,z∈? 2. A的每个特征值必属于某个圆盘之中： λ?a ii≤r i 3. A有m个圆盘组成一个连通的并集S，S与和余下n?m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个特征值。 4.幂法： 设A的特征值满足条件：λ1>λ2≥λ3≥?λn 任取非零向量v0，构造向量序列，v1=Av0,v2=A2v0,?,v k+1=A k+1v0,? 假设： v0=α1x1+α2x2+?+αn x n,α1≠0 则： v k = α1λ1k x 1 + α2λ2k x 2+?+αn λn k x n = λ1 k α1x 1+ αi λi 1 k n i =2 x i ≈α1λ1k x 1 lim k→∞(v k +1)i k i =λ1 5.收敛速度： r = λ21 6.幂法改进： u 0=v 0≠0 v k =Au k?1,u k =v k u k ,u k =max v k lim k→∞u k =x 1 max x 1 lim k→∞ u k =λ1 7.加速方法（原点平移法）：构造矩阵B ，应用幂法使在计算其主特征值的过程中得到加速。 B =A ?pI r = λ2?p 1 < λ21 8.若w T w =1，称矩阵H w =I ?2ww T 为初等反射矩阵，可得：H T =H ,H ?1=H 10.设x ,y 为两个不等的n 维向量， x 2= y 2，令w =x?y x?y 2 ，则w T w =1，则可推导出： Hx = I ?2ww T x =y 11.豪斯霍尔德约化定理： x 2= y 2 Hx =y σ=sgn(x 1) x 2 y =?σe 1 w = x +σe 1 x +σe 1 2=u u 2 H =I ?2ww T =I ?2uu T 22=I ?β?1uu T ,β=1 u 22=σ(σ+x 1) 12.吉文斯变换： x i ′= x i 2+x j 2,cos θ= x i x i ′,sin θ=x j x i ′, cos θ sin θ ?sin θ cos θ 12.矩阵的QR 分解：1）设A 非奇异，则存在正交矩阵P ，使PA =R ，其中R 为上三角矩阵。 2）设A非奇异，则存在正交矩阵P与上三角矩阵R，使A=QR，当R对角元素为正分解唯一。 13.豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格矩阵： U n?2?U2U1AU1U2?U n?2=H 14.QR方法：1）计算上海森伯格矩阵的全部特征值；2）计算对称三对角矩阵的全部特征值。 第九章常微分方程初值问题数值解法 1.一阶常微分初值问题： y′=f x,y ,x∈x0,b ,y x0=y0 2.利普西茨条件：满足此条件，上述问题存在唯一的连续可微解。 f x,y1?f x,y2≤L y1?y2 ,L>0 3.欧拉方法： y n+1?y n x n+1?x n =f x n,y n ,y n+1=y n+ f x n,y n 4.后退的欧拉法： y n+1?y n x n+1?x n =f x n+1,y n+1 ,y n+1=y n+ f x n+1,y n+1 5.梯形方法： y n+1=y n+ 2 [f x n,y n+f x n+1,y n+1] 6.改进欧拉公式： y p=y n+ f x n,y n y c=y n+ f x n+1,y p y n+1=1 2 y p+y c ￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61 数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要，一个算法的思想也很重要，但 在我看来，更重要的是解决问题的方法，就像爱因斯坦说的内容比 思维本身更重要。 我上去讲的那次其实做了挺充分的准备，程序的运行，pdf文档，算法公式的推导，程序伪代码，不过有一点缺陷的地方，很多细节 没有讲的很清楚吧，下来之后也是更清楚了这个问题。 然后一学期下来，总的来说，看其他同学的分享，我也学习到 许多东西，并非只是代码的方法，更多的是章胜同学的口才，攀忠 的排版，小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西，又骄傲地回想一下，曾同为一个项目组的我们也更加感到做项 目对自己发展的巨大帮助了。 同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。 比如说，以前做项目的时候，项目导师一直要求对于要上传的 文件尽量用pdf格式，不管是ppt还是文档，这便算是对产权的一种 保护。 再比如代码分享，最基础的要求便是——其他人拿到你的代码 也能运行出来，其次是代码分享的规范性，像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin，以前做过一小段时间acm，集训队里对于代码的分享都是推荐用这个，像数值计算实验我觉得用这个也差不多了，其 次项目级代码还是推荐github（被微软收购了），它的又是可能更 多在于个人代码平台的搭建，当然像readme文档及必要的一些数据 集放在上面都更方便一些。 然后在实验中，发现debug能力的重要性，对于代码错误点的 正确分析，以及一些与他人交流的“正规”途径，讨论算法可能出 错的地方以及要注意的细节等，比如acm比赛都是以三人为一小组，讨论过后，讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。 然后学习算法，做项目做算法一般的正常流程是看论文，尽量 看英文文献，一般就是第一手资料，然后根据论文对算法的描述， 就是如同课上的流程一样，对算法进一步理解，然后进行复现，最 后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文，会找到大量 可以参考的文献。 最后的最后，想说一下，计算机专业的同学看这个数值分析， 不一定行云流水，但肯定不至于看不懂写不出来，所以我们还是要 提高自己的核心竞争力，就是利用我们的优势，对于这种算法方面 的编程，至少比他们用的更加熟练，至少面对一个问题，我们能思 考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。 附记: 对课程的一些小建议： 1. debug的能力不容忽视，比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们，让同学们自己思考一下，然后分享各自的debug方法，一步一步的去修改代码，最后集全班的力量完成代码的debug，这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的，可能会给学生带来一些负反馈，降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。 数值分析学习心得体会 数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)( 实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 数值分析心得体会 篇一：学习数值分析的经验 数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级：计算131 学号：XX014302 姓名：曾欢欢 数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用，可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容，也巩固了MATLAB的学习，有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中，我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想，才能让我们独立自主的完成该作业，如果是上述能力有限的同学，需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。数值分析实验对于我来说还是有一定难度，所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容，借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中，我复习了各种知识，所以我认为这门课程是有必要且是有用处的，特别是需要处理大量实验数据的人员，很有必要深入了解学习它，这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。 学习数值分析的经验、感受、收获、建议数值分析的内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解等。 首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始，从研究他们的定义，性质再到证明与应用。但实际上，尤其是工程，物理，化学等其它具体的学科。往往我们拿到 手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验，需要代回到公式 进行分析，验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验，无具体 公式定理可代。那就必须通过插值，拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂，在工程中不实用，所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表 示。学习数值分析，不应盲目记公式，因为公事通常很长且很乏味。其次，应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法，就 是就是把实验所得的数据看成是公式的解，由这些解反推出一个近似公式，可以具有局部一般性。再比如说拟合，在插值的基础上考虑实 验误差，通过拟合能将误差尽可能缩小，之后目的也是得到一个具有 一定条件下的一般性的公式。。建议学习本门课程要结合知识与实际，比如在物理实验里面很多 MATLAB与数值分析课程总结 姓名：董建伟 学号：2015020904027 一：MATLAB部分 1.处理矩阵－容易 矩阵的创建 （1）直接创建注意 a中括号里可以用空格或者逗号将矩阵元素分开 b矩阵元素可以是任何MATLAB表达式，如实数复数等 c可以调用赋值过的任何变量，变量名不要重复，否则会被覆盖 （2）用MATLAB函数创建矩阵如：a空阵［］ b rand/randn——随机矩阵 c eye——单位矩阵 d zeros ——0矩阵 e ones——1矩阵 f magic——产生n阶幻方矩阵等 向量的生成 （1）用冒号生成向量 （2）使用linspace和logspace分别生成线性等分向量和对 数等分向量 矩阵的标识和引用 （1）向量标识 （2）“0 1”逻辑向量或矩阵标识 （3）全下标，单下标，逻辑矩阵方式引用 字符串数组 （1）字符串按行向量进行储存 （2）所有字符串用单引号括起来 （3）直接进行创建 矩阵运算 （1）注意与数组点乘，除与直接乘除的区别，数组为乘方对应元素的幂 （2）左右除时斜杠底部靠近谁谁是分母 （3）其他运算如，inv矩阵求逆，det行列式的值, eig特征值，diag 对角矩阵 2.绘图－轻松 plot－绘制二维曲线 （1）plot(x)绘制以x为纵坐标的二维曲线 plot(x,y) 绘制以x为横坐标，y为纵坐标的二维曲线 x,y为向量或矩阵 （2）plot（x1,y1,x2,y2，。。。。。。）绘制多条曲线，不同字母代替不同颜色:b蓝色，y黄色，r红色，g绿色 （3）hold on后面的pl ot图像叠加在一起 hold off解除hold on命令，plot将先冲去窗口已有图形（4）在hold后面加上figure，可以绘制多幅图形 （5）subplot在同一窗口画多个子图 三维图形的绘制 (1)plot3(x,y,z,’s’) s是指定线型，色彩，数据点形的字 符串 (2)［X,Y］＝meshgrid(x,y)生成平面网格点 (3)mesh(x,y,z，c)生成三维网格点，c为颜色矩阵 (4)三维表面处理mesh命令对网格着色，surf对网格片着色 (5)contour绘制二维等高线 (6)axis(［x1,xu,y1,yu］)定义x,y的显示范围 3．编程－简洁 （1）变量命名时可以由字母，数字，下划线，但是不得包含空格和标点 （2）最常用的数据类型只有双精度型和字符型，其他数据类型只在特殊条件下使用 （3）为得到高效代码，尽量提高代码的向量化程度，避免使用循环结构 数值分析课本重点知识点 第一章 P4定义一 P5定义二 P6定理1 P7例题3 P10条件数 （1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式 第二章 P26定理2（以及余项推导过程） P36两个典型的埃尔米特插值 （1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念 第三章 P63例题3 （1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式 第四章 P106复合梯形公式 P107复合辛普森求积公式 P108例题3 （1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度 第五章 P162定义3向量的范数 P165定理17 P169定义8 （1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数 第六章 P192定理9第1条 P192例题8 第七章 P215不动点和不动点迭代法 P218定理3 P228弦截法 P229定理6 第九章 P280欧拉法与后退欧拉法 P283改进欧拉公式 数值分析课后点题答案 第一章数值分析误差 第二章插值法 第三章函数逼近 所以无解 19。观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m) 10 30 50 80 110 求运动方程。 解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ= 22 012201016,53.63, (,)14.7, (,)280,(,)1078, s s ??????===== 则法方程组为 6 14.728014.753.631078a b ??????= ??? ??????? 从而解得 7.855048 22.25376 a b =-?? =? 故物体运动方程为 22.253767.855048S t =- 20。已知实验数据如下： i x 19 25 31 38 44 j y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 用最小二乘法求形如2 s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。 解：若2 s a bx =+，则{}2 1,span x Φ=则 22 012201015,7277699, (,)5327, (,)271.4,(,)369321.5, f f ??????===== 则法方程组为 第2章线性方程组的解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章知识的学习我首先了解到求解线性方程组的方法可分为两类：直接法和迭代法。计算机虽然运行速度很快，但面对运算量超级多的问题，计算机还是需要很长的时间进行运算，所以，确定快捷精确的求解线性方程组的方法是非常必要的。 本章分为四个小节，其中前两节Gauss消去法和直接三角分解法因为由之前《线性代数》学习的一定功底，学习起来还较为简单，加之王老师可是的讲解与习题测试，对这一部分有了较好的掌握。第三节矩阵的条件数与病态方程组，我 Ax 的系数矩阵A与左端向量b的元素往往是通首先了解到的是线性方程组b 过观测或计算而得到，因而会带有误差。即使原始数据是精确的，但存放到计算机后由于受字长的限制也会变为近似值。所以当A和b有微小变化时，即使求解过程精确进行，所得的解相对于原方程组也可能会产生很大的相对误差。对于本节的学习掌握的不是很好，虽然在课后习题中对课堂知识有了一定的巩固，但整体感觉没有很好的掌握它。第四节的迭代法，初次接触迭代法，了解到迭代法就是构造一个无线的向量序列，使他的极限是方程组的解向量。迭代法应考虑收敛性与精度控制的问题。三种迭代方法的基本思想我已经掌握了，但是在matlab 的编程中还存在很大的问题。 在本节的学习中我认为我最大的问题还是程序的编写。通过这段时间的练习，虽然掌握了一些编写方法和技巧。相比于第一章是对其的应用熟练了不少，但在程序编写上还存在很多问题。希望在以后的学习中能尽快熟练掌握它，充分发挥它强大的作用。 二、本章知识梳理 2.1、Gauss消去法（次重点） Gauss消去法基本思想：由消元和回代两个过程组成。 a(k=1,2,```,n-1)均不为零的充分必要条件定理顺序Gauss消去法的前n-1个主元素)(k kk 是方程组的系数矩阵A的前n-1个顺序主子式 数值分析考试复习总结 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 第一章 1 误差 相对误差和绝对误差得概念 例题: 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段 在哪些阶段将有哪些误差产生 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差: 建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差 选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差 6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-?≤-≤a x x E . x a x x E r -=)(, 221018 1 10921)(--?=?≤x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25 .0210 11321??≤ -+---a x x a =310- 33 104110|)(|--?=-≤a f E r . □ 2有效数字 基本原则:1 两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题: 4．改变下列表达式使计算结果比较精确： （1） ;1||,11211<<+--+x x x x 对 （2） ;1,11>>- -+ x x x x x 对 （3） 1||,0,cos 1<<≠-x x x x 对. 解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) ) 11(2x x x x x -++. (3) x x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □ 数值分析学习感想 一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门 课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处 理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微 分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有 了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误 差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误 差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在 别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数 值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出 的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。 数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数 学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中 的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容 易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的， 这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的 都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题， 从而知道如何去解决。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下， 我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自 己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触 到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 计算132 2013014923 张霖篇二：数值分析学习报告 数值分析学习心得报告 班级：11级软工一班 姓名： * * * 学号: 20117610*** 指导老师：* * * 学习数值分析的心得体会 无意中的一次选择，让我接触了数值分析。 作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学 和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比 较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab。matrix laboratory，即矩阵实验 室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影 响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强 大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语 言接口。 根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab有许多优点： 首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c语言，机器语言，java语言，这 《数值分析》课程设计实验报告 龙格—库塔法分析Lorenz 方程 200820302033 胡涛 一、问题叙述 考虑著名的Lorenz 方程 () dx s y x dt dy rx y xz dt dz xy bz dt ?=-???=--???=-?? 其中s ，r ，b 为变化区域内有一定限制的实参数，该方程形式简单，表面上看并无惊人之处，但由该方程揭示出的许多现象，促使“混沌”成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也产生了巨大的影响。 二、问题分析 Lorenz 方程实际上是一个四元一阶常微分方程，用解析法精确求解是不可能的，只能用数值计算，最主要的有欧拉法、亚当法和龙格- 库塔法等。为了得到较高精度的，我们采用经典四阶龙格—库塔方法求解该问题。 三、实验程序及注释 （1）算法程序 function [T]=Runge_Kutta(f,x0,y0,h,n) ％定义算法，其中f 为待解方程组， x0是初始自变量，y0是初始函数 值，h 是步长，n 为步数 if nargin<5 n=100; ％如果输入参数个数小于5，则步数 n=100 end r=size(y0);r=r(1); ％返回初始输出矩阵的行列数，并将 值赋给r(1) s=size(x0);s=s(1); ％返回初始输入矩阵的行列数，并 将值赋给s(1) r=r+s; T=zeros(r,n+1); T(:,1)=[y0;x0]; for t=2:n+1 ％以下是具体的求解过程 k1=feval(f,T(1:r-1,t-1)); k2=feval(f,[k1*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2]); k3=feval(f,[k2*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2]); k4=feval(f,[k3*h+T(1:r-1,t-1);x0+h]); x0=x0+h; T(:,t)=[T(1:r-1,t-1)+(k1+k2*2+k3*2+k4)*(h/6);x0]; end 数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科 如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以 数值分析试题及答案汇 总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 数值分析试题 一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数 的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理 2.1 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差： 数值分析考试复习总结 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8- 第一章 1 误差 相对误差和绝对误差得概念 例题: 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差: 建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差 选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差 6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-?≤-≤a x x E . x a x x E r -=)(, 221018 1 10921)(--?=?≤x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25 .0210 11321??≤ -+---a x x a =310- 33 104110|)(|--?=-≤a f E r . □ 2有效数字 基本原则:1 两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题: 4．改变下列表达式使计算结果比较精确： （1） ;1||,11211<<+--+x x x x 对 （2） ;1,11>>- -+ x x x x x 对 （3） 1||,0,cos 1<<≠-x x x x 对. 解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) ) 11(2x x x x x -++. (3) x x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □ 计算方法实验报告 实验：求解线性方程组的两种方法班级：工力13-02 姓名：刘志强 学号：02130857 实验内容 分别用列主元素法和LU 分解法编程求解，并对A 或b 做微小改动后观察结果 1 -1 2 -1 0 6 1 0 1 1 0 4 2 1 3 -4 4 X = -2 0 -1 1 -1 4 5 3 7 8 2 3 1 实验原理 列主元素法 方法说明（以4阶为例）： ????? ???????=?????????????????????????n n nn n n n n b b b x x x a a a a a a a a a 21212122221 11211 第1步消元——在增广矩阵（A ，b ）第一列中找到绝对值最大的元素，将其所在行与第一行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为如下形式： ????? ???????=?????????????????????????*******0***0***0****4321x x x x 第2步消元——在增广矩阵（A ，b ）中的第二列中（从第二行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为： ????? ???????=?????????????????????????******00**00***0****4321x x x x 第3步消元——在增广矩阵（A ，b ）中的第三列中（从第三行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为： ????? ???????=?????????????????????????*****000**00***0****4321x x x x 按x 4 → x 3→ x 2→ x 1 的顺序回代求解出方程组的解。 1 误差 相对误差和绝对误差得概念 例题: 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差: 建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差 选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差 6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-?≤-≤a x x E . x a x x E r -=)(, 221018 1 10921)(--?=?≤ x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25 .0210113 21??≤ -+---a x x a =310- 33 104110|)(|--?=-≤a f E r . □ 2有效数字 基本原则:1 两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题: 4．改变下列表达式使计算结果比较精确： （1） ;1||,11211<<+--+x x x x 对 （2） ;1,11>>- - +x x x x x 对 （3） 1||,0,cos 1<<≠-x x x x 对. 解 (1) )21()122x x x ++. (2) ) 11(2x x x x x -++. (3) x x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈ +=-. □ 实验报告 实验项目名称数值积分与数值微分实验室数学实验室 所属课程名称数值逼近 实验类型算法设计 实验日期 班级 学号 姓名 成绩 实验概述： 【实验目的及要求】 本次实验的目的是熟练《数值分析》第四章“数值积分与数值微分”的相关内容，掌握复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式。 本次试验要求编写复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的程序编码，并在MATLAB软件中去实现。 【实验原理】 《数值分析》第四章“数值积分与数值微分”的相关内容，包括：复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的相应算法和相关性质。 【实验环境】（使用的软硬件） 软件： MATLAB 2012a 硬件： 电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑 操作系统：Windows 8 专业版 处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz 实验内容： 【实验方案设计】 第一步，将书上关于复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用以上求积公式的程序编码求解不同的问题。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。 实验：用不同数值方法计算积分 (1) 取不同的步长h.分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善？ (2) 用龙贝格求积计算完成问题（1）。 (3)用勒让德多项式确定零点，再代入计算高斯公式，使其精度达到10-4 （1）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现复合梯形求积公式的程序代码如下： 工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用） [由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用] 一. 解答下列问题: 1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ): a) 对 e = 2.718281828459045…,取* x = 2.71828 b) 数学家祖冲之取 113355 作为π的近似值. c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。 2) 简述下名词: a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字) c) 算法数值稳定性 (不超过60字) 3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3 x 时的相对误差约等于x 的相对 误差的3倍。 4) 计算球体积3 34r V π= 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r 的相对 误差的允许范围。 5） 计算下式 341 8 )1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P ）（ 时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式? 6) 递推公式 ?????=-==- ,2,1,1102 10n y y y n n 如果取 * 041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到 10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？ 二. 插值问题: 1) 设函数 )(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为 54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式 )(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数 插值法和多项式拟合的研究 摘要 在科研和生产实践中，常常需要通过一组测量数据来寻找变量x与y的函数关系近似表达式。解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法。插值法的原理是用一个简单函数逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。拟合法能够是从给定的一组实验数据出发，寻找函数的一个近似表达式,该近似表达式能反映数据的基本趋势而又不一定过全部的点，即曲线拟合。本文主要介绍拉格朗日插值法、埃尔米特插值法、三次样条插值法以及基于最小二乘法的多项式拟合。 关键词：拉格朗日插值，埃尔米特插值，样条插值，多项式拟合 1方法的意义 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法。插值法的原理是用一个简单函数逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。它要求给出函数的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定一个简单的函数()x ?作为()f x 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。插值法在实际应用中非常广泛，但是它也有明显的缺陷，一是测量数据常常带有测试误差，而插值多项式又通过所有给出的点，这样就是插值多项式保留了这些误差；二是如果实际得到的数据过多，则必然得到次数较高的插值多项式，这样近似的效果并不理想。拟合法能够很好的解决这些问题，它从给定的一组实验数据出发，寻找函数的一个近似表达式y=()x ?,该近似表达式能反映数据的基本趋势而又不一定过全部的点，即曲线拟合的问题，函数的近似表达式y=()x ?称为拟合曲线。常用最小而二乘法来确定拟合曲线。 2插值法的介绍 2.1 插值法定义 设 f (x )为[a ，b ]上的函数，在互异点n x x x ,...,,10处的函数值分别为 )(),...,(),(10n x f x f x f ,构造一个简单函数 ?(x ) 作为函数 f (x ) 的近似表达式y = f (x ) ≈ ?(x ),使 )()(i i x f x =? , i ＝0, 1, 2, …,n (1.0) 则称?(x ) 为关于节点n x x x ,...,,10的插值函数；称n x x x ,...,,10 为插值节点；称 ))((i i x f x , i =1,2,… , n 为插值点；f (x ) 称为被插值函数。式（1.0）称为插值条 件。这类问题称为插值问题。插值的任务就是由已知的观测点,为物理量(未知量)建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点数值分析作业思考题汇总
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