裂项相消求和学案
裂项相消求和
教学目标:
1.列项相消法应用的条件
2.会用裂项法对数列进行求和
一、复习回顾
1.数列的求和,其关键是先求出数列的通项公式,然后根据通项公式的结构，选择适当的求和方法.数列求和的思路：
1、首先判断数列是等差还是等比数列？ 若是，则代公式，这就是公式法.
2、若不是，再考虑是否可以转化为等差或等比数列求和.
方法2：分组转化法（通项分解法）：若通项能转化为等差数列与等比数列和 （或差），即 方法3：错位相减法：若通项能转化为等差数列与等比数列的积，一般适用于数列{}n b n a 的前n 项和，其中{}n a 成等差，{}b n 成等比
2.疑难处理：
知数列}{n a 中，n S 是它的前n 项和，并且*142()n n S a n N +=+∈，11a =
（1）证明：数列+1n {-2a }n a 是等比数列
（2）设2n n n
a c =，求证：数列{}n c 是等差数列； （3）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和公式。
二、裂项相消法求和
1.思考以下问题：如何1111223(1)n n +++??+ 计算
？ （2）. 111111??1222323
--??与什么关系与呢 （3）. 12.
?(1)n n ?+可以等价于哪个式子
1111.1223(1)
n n +++??+ 例求和
n n n
a b c =±
2.思考：:
11______;_____13(2)
11______;_____25(1)(3)
n n n n ==?+==?++把下列各式裂成两式之差 归纳：1111111,(0).n n n n n n a a d d a a d a a +++??-=≠=- ????一般地，若则
3.变式练习：
（1）1,n (31)(34)n n b S n n =
++已知求其前项和
（2）2,n 256n n b S n n =
++已知求其前项和
（3）
()()1111++++=_________243546n+1n+3???
例2、111112123123n
+
+++=+++++++ .
小结:裂项求和法适用的条件
{}1111.(,)112.:n n n n n n n n k k a a a k k b a a d a a +++???????
??==- ????
（）形如为常数为等差数列的数列的求和问题采用裂项求和法（）具体方法
4.思考3：还有其他的列项方式吗？
（1）.数列{an}
的通项公式是n a =，求其前n 项和
（2）.数列{an}的通项公式是1=lg +n
n a （1），若其前n 项和n =2S ，则n=______
小结：常见的裂项方法？
5课后练习：非等比数列{}n a 中，前n 项和21(1)4n n S a =--， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(3)n n b n a =-(*)n N ∈，12n n T b b b =+++ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意的n 均有32
n m T >总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由。
数列求和—裂项相消专题
数列求和—裂项相消专题 裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1 n a n n n n ==-++ 1111()(2)22 n a n n n n ==-++ ┈┈ 1111()()n a n n k k n n k = =-++ 2n p a An Bn C ?= ++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式） 2. 1111()(21)(21)22121n a n n n n = =--+-+ 1111()(21)(23)22123n a n n n n = =-++++ 1111()(65)(61)66561 n a n n n n ==--+-+ 3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??= =-??+++++?? 4. 111211(21)(21)2121n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121 n n n n n n a ==-++++ 122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==?=-++?+ =-┈┈ 1 2 = 1 k =
1.在数列{}n a 中，11211++???++++= n n n n a n ，且1 2+?=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和. 2.已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列， 21n n n b a a +=?，n S 为{}n b 的前n 项和，证明： 1334 n S ≤<.
数列求和—裂项相消专题
数列求与—裂项相消专题 裂项相消得实质就是将数列中得每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,以达到求与得目得、 常见得裂项相消形式有: 1、 111(1)1n a n n n n = =-++ 1111()(2)22 n a n n n n ==-++ ┈┈ 1111()()n a n n k k n n k = =-++ 2n p a An Bn C ?= ++(分母可分解为n 得系数相同得两个因式) 2、 1111()(21)(21)22121 n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123 n a n n n n ==-++++ 1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+ 3、 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??==-??+++++?? 4、 111211(21)(21)2121 n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121 n n n n n n a ==-++++ 122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==?=-++?+ 5、 =┈┈ 12= 1k = 1、在数列{}n a 中,1 1211++???++++= n n n n a n ,且12+?=n n n a a b ,求数列{}n b 得前n 项得与、 2、已知数列{}n a 就是首相为1,公差为1得等差数列,2 1n n n b a a +=?,n S 为{}n b 得前n 项与,证明:1334 n S ≤<、
数列求和专题(裂项相消)
数列求和专题复习 一、公式法 1.等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2.等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3.常见数列求和公式： )1(211+==∑=n n k S n k n ；)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ；2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1：已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 例2：设n S n +???+++=321，+∈N n ,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值.
二、倒序相加法 似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例3：求ο ο ο ο ο 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值 例4：求2222 2 2222222123101102938101 ++++++++L 的和． 变式1：已知函数() x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求128910101010f f f f ?? ?????? ++++ ? ? ? ????????? L 的值.
三、裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο οο n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1 1 1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n （5）]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++= n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 例5：求数列 ???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 例6：在数列{}n a 中，1 1211++ ???++++= n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和.
数列求和(1)--裂项相消法
数列求和（1） --裂项相消法的应用 教学内容：从每年的广东高考题可以看到，数列不管是从选择、填空和解答题中都是必考题型，并且数列考点有：数列几何性质的应用、数列的通项公式、数列求和问题。这三类问题是高考的必考点，更是热点。对于数列求和问题又是重点中的重点，本节课我们就数列求和中的裂项相消法做重点学习。 教学重难点：对于裂项相消法的基本形式和基本题型熟练掌握和应用，要识别清裂项相消法和其它求和方法的区别，真正会识别裂项相消法的本质面目，且灵活运用进行解题，达到高考要求。 一、基础练习： 1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 答案 B 2．在数列{a n }中，a n ＝1n n ＋1 ，若{a n }的前n 项和为2 013 2 014 ，则项数n 为( )． A ．2 011 B ．2 012 C ．2 013 D ．2 014 答案 C 3．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列? ???????? ?1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________. 答案 n n ＋1 对于数列求和问题要稳扎稳打。 二、基本题型讲解和运用
总结：（1）中式子的变形方向很重要，这种形式在数列和函数问题中都是很常见，要学会。（2）中的裂项求和很是常规，要熟练。 练习：
（2）中的1/Sn变形为裂项相消很重要，所以要认清裂项相消的真面目。对于Tn的范围求解，完全是借助和式和数列的单调性完成。
裂项相消法求和附答案解析
裂项相消法 利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。 （1）若是{a n }等差数列，则 )11.(1111++-=n n n n a a d a a ,)1 1.(2112 2n ++-=n n n a a d a a （2）1 1 111+- =+n n n n ）（ （3） )1 1(1)(1k n n k k n n +-=+ （4） )121 121(2112)121+--=+-n n n n ）（（ （5）]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （6）n n n n -+=++11 1 （7） )(1 1n k n k k n n -+= ++ 1.已知数列 的前n 项和为 ， ． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n 项和为． [解析] (1) ……………①
时, ……………② ①②得: 即……………………………………3分 在①中令, 有, 即，……………………………………5分 故对 2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8． （Ⅰ）求公差d的值； （Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值； [解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d， ∵S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8， 解得d=2．……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分 ∴=．…………………………………………6分
数列求和--裂项相消法
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()() *21n n S n a n N =+∈． （1）求{}n a 的通项公式； （2）令()()1422n n n b a a += ++，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，636S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足2142 n n b a n =+-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．在数列{}n a 中，1114,340n n a a a +=-+=． （1）证明：数列{}2n a -是等比数列． （2）设()() 1(1)3131n n n n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*,n n N m T ∈≥恒成立，求m 的取值范围．
4．正项数列{}n a 的前项和n S 满足：242n n n S a a =+，()*n ∈N ， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()22 1 2n n n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n ∈N 都有 564 n T < . 5．已知等差数列{}n a 中，13212a a +=，12421a a a +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：121112123 n S S S n +++<+++. 6．已知数列{}n a 满足15a =，2123n n a a n +=+-. （1）求证：数列{}22n a n n --为等比数列； （2）若数列{}n b 满足2n n n b a =-，求12111n n T b b b =++???+.
高中数学复习-数列求和-裂项相消法
裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 1、 特别是对于? ?? ?? ? +1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1+n n a a c =??? ? ??-+111n n a a d c ，其中()n n a a d -=+1 2、 常见拆项： 1 11)1(1+-=+n n n n )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n !)!1(!n n n n -+=? )! 1(1 !1)!1(+-=+n n n n 例1 求数列1 {}(1) n n +的前n 和n S ． 例2 求数列1 {}(2) n n +的前n 和n S ．
例3 求数列1 {}(1)(2) n n n ++的前n 和n S ． 例4 求数列???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 例5：求数列311?，421?，5 31 ?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S 例6、 求和) 12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n Λ
一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则
数列求和的“裂项相消法”讲解
对于本题通项公式类型的数列，采用的“求前n 项和”的方法叫“裂项相消法”——就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。 很多题目要善于进行这种“拆分” 请看几例： （1） 本题： 1 111n n n n n a n n n n -+-+===++-+（变形过程中用了“分子有理化”技巧 ） 得 1223341111111111 n n n n S n +-+=++++==+-----… 【 往 下 自 己 求 吧 ！ 答案 C 】 （2）求和 1111122334(1) n S n n =++++???+… 解：通项公式：()()()1111111 n n n a n n n n n n +-===-+++ 所以 111111*********n S n n ????????=-+-+-++- ? ? ? ?+???????? … 1111n n n =- +=+
（3）求和 1111377111115(41)(43) n S n n =++++???-+… 解：()()()()()()43411 111141434414344143n n n a n n n n n n +--??===- ?-+-+-+?? 得 1111377111115(41)(43) n S n n =++++???-+… 11111111143771111154143n n ??????????=-+-+-++- ? ? ? ???-+?????????? … 1114343n ??=- ?+?? ()343n n = + （4）求和 1111132435(2) n S n n =++++???+… ()()()21111122222n n n a n n n n n n +-??===- ?+++?? ()()()()1111111113243546572112n S n n n n n n = ++++++++?????--++... 1111111111111112132435462112n n n n n n ????????????????=-+-+-+-++-+-+- ? ? ? ? ? ? ???--++???????????????? (11111212) n n =+--++ （仔细看看上一行里边“抵消”的规律 ） 311212 n n =--++ 最后这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。
数列求和专题(裂项相消)
数列求和专题(裂项相消)
数列求和专题复习 一、公式法 1.等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2.等比数列求和公式： ?? ? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3.常见数列求和公式： ) 1(21 1 +==∑=n n k S n k n ； ) 12)(1(61 1 2 ++==∑=n n n k S n k n ；2 1 3 )]1(2 1 [+==∑=n n k S n k n 例1：已知3 log 1log 23-= x ，求? ??++???+++n x x x x 32 的前n 项和.
例2：设n S n +???+++=321， + ∈N n ,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、倒序相加法 似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之 和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例3：求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2222 2++???+++的值
例4：求 222 2222222 22123101102938101 +++ +++++的和． 变式1：已知函数 () x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求12891010 1010f f f f ????????++++ ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? 的 值.
数列求和的裂项相消法讲解
数列求和的裂项相消法 讲解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
对于本题通项公式类型的数列，采用的“求前n 项和”的方法叫“裂项相消法”——就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。 很多题目要善于进行这种“拆分” 请看几例： （1） 本题： n a = == -化”技巧） 得11n S =++==-… 【往下自己求吧！答案C 】 （2）求和1111122334(1) n S n n =++++???+… 解：通项公式：()()()1111111 n n n a n n n n n n +-===-+++ 所以 111111*********n S n n ????????=-+-+-++- ? ? ? ?+???????? … （3）求和1111377111115(41)(43) n S n n =++++???-+… 解：()()()()()()43411 111141434414344143n n n a n n n n n n +--??===- ?-+-+-+?? 得1111377111115(41)(43) n S n n =++++???-+… （4）求和1111132435(2)n S n n = ++++???+... 1111111111111112132435462112n n n n n n ????????????????=-+-+-+-++-+-+- ? ? ? ? ? ? ???--++???????????????? (11111212) n n =+--++（仔细看看上一行里边“抵消”的规律） 最后这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。
数列求和—裂项相消专题
数列求和—裂项相消专题 裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1 n a n n n n ==-++ 1111()(2)22 n a n n n n ==-++ ┈┈ 1111()()n a n n k k n n k ==-++ 2n p a An Bn C ?=++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式） 2. 1111()(21)(21)22121 n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123 n a n n n n ==-++++ 1111()(65)(61)66561n a n n n n = =--+-+ 3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??==-??+++++?? 4. 111211(21)(21)2121 n n n n n n a ---= =-++++ +1+1211(21)(21)2121 n n n n n n a ==-++++
122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==?=-++?+ = ┈┈ 12 = 1k = 1.在数列{}n a 中，1 1211++???++++= n n n n a n ，且12+?=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和.
2.已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，2 1n n n b a a +=?，n S 为{}n b 的前n 项和，证明：1 3 34n S ≤<.
裂项相消与放缩法解数列收集
数列专题3 一、裂项求和法 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：1 1 +?n n a a ， }{n a 是0≠d 的等差 数列。 常用裂项形式有： ；111)1(1+-=+n n n n 1111()()n n k k n n k =-++；)1 21121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n ； ])2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n ； )(1 1b a b a b a --=+； )(11n k n k n k n -+=++特别地：n n n n -+=++111 二、用放缩法证明数列中的不等式 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。 1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种： ① 1 n i i a k =<∑（k 为常数） ；②1 ()n i i a f n =<∑；③1 ()n i i a f n =<∏；④1 n i i a k =<∏（k 为常数）. 放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型 2.几种常见的放缩方法 （1）添加或舍去一些项，如：a a >+12 ；n n n >+)1( （2）将分子或分母放大（或缩小） ① n n n n n 111)1(112--=-< ； 11 1)1(112 +-=+>n n n n n （程度大） ②)11 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=-
数列求和之裂项相消案例
数列求和之裂项相消 河北平山古月中学 刘晓静 一、案例设计背景 2020年，公立闰年，共366天。这样的一年，我们的学生已经在家中度过了这366天中的150天，并通过网课来学习。立足当下，每一节课都需要去用比平时更多的时间与经历与准备。数列知识是高考中的重要考察内容，而利用裂项相消法求数列的前n 项和是高考数列大题中的高频考点，其中蕴含的分解与组合思想非常重要。 本学校的学生对于数学有畏难心理，害怕数学、抵触数学。因此，如何让学生愿意去学数学甚至爱上数学是我一直在思考的。我在设计案例时，一是尽可能去增加学习的趣味性，使其“引人入胜”，而是在教学难度上的层层递进，使其“渐入佳境”。在本节课中，结合学生大部分是美术生这一实际，我设计了“刘老师方块消消消”这一游戏，相同颜色的方块即可消除。而一开始出现的三种颜色完全不同的方块，使同学们觉得无从下手，就像平时同学们面对数学课的感受。而提醒学生去想到颜料中三原色这一知识，同学们大多觉得非常惊奇，而这三种不同颜色的方块也立马消除干净。既使学生感到兴趣盎然，也通过这一游戏中将一种颜色分解成其他两种颜色，从而消除这一过程体会到“分解与组合”思想。开个好头，再由易到难、由简入繁层层引入，我相信学生也能获得较好的学习体验。 特别地，在网课期间，我采用多种软件并用，手机电脑齐上阵，来加强师生互动，并及时得到学生的反馈。通过电脑直播，但会通过手机来时时关注学生对问题情况，包括看学生打出来的答案以及在微信群里听学生回答的语音，同时还可以播放不同同学的语音来使同学之前起到交流。这样做也是为了保证课堂的流程，减少钉钉直接连麦造成的网卡等问题。 二、案例实施 （一）教学目标 知识与技能目标：使学生能够掌握裂项相消这一方法并理解其实质。 过程与方法目标：通过趣引—问题探究—归纳—问题探究—归纳这一过程，使学生一步步展开思路，主动地去探究得到结论。 情感态度与价值观目标：通过游戏引入，增强学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，使学生感受到数学的奇妙。 （二）教学重难点 重点：裂项相消法的常见题型和解题思路 难点：相消后所剩项的判断 （三）教学过程 1、爱上数学——游戏引入 教师：相信大家都玩过“宾果消消消”游戏，那现在大家来玩一下刘老师方块消消消游戏，你能不能闯过这一关呢？ （学生疑惑，没有思路）