第6讲 用函数观点看一元二次方程

第6讲用函数观点看一元二次方程（22.2）一、知识要点

知识点一：二次函数与一元二次方程的关系

1．函

数，

当时，得到一元二次方

程

，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相

等实根；

(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两

个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

的图象

的解

方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解

要点诠释：

1、二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.

2、函数与直线的公共点情况方程

的根的情况.

函数与直线的公共点情况方程

的根的情况.

知识点二：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解

用图象法解一元二次方程的步骤：

1．作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数2．由二次函数图象与的交点位置，确定交点的横坐标的取值范围；

3．利用计算器计算方程的近似根.

知识点三：求一元二次方程的近似解的方法（图象法）

(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程

的根：

(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线

图象交点的横坐标就是方程的根；

(3)将方程化为，移项后得，设和

，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根。

二、典型例题

类型一、二次函数图象与坐标轴交点

1．（1）判断下列二次函数的图象与x轴是否有公共点，若有求出公共点坐标，若没有，说明理由.

①y=-x2-x+1；②；③ y=x2+3x+4.

思路点拨：二次函数y=ax2+bx+c与x轴公共点横坐标即方程ax2+bx+c=0的实根.

解：

①有两个公共点

对于方程-x2-x+1=0

，∴方程有两个不等实根

两根为

∴两个公共点坐标为；

②只有一个公共点

对于方程

∴方程有两个相等实根，

∴公共点坐标为(-2，0)；

③没有公共点，理由如下：

对于方程x2+3x+4=0

∵△=32-4×1×4=-7<0，方程没有实数根

∴二次函数y=x2+3x+4与x轴无公共点.

2、已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A. B. C.且 D.且

总结升华：

(1)当，则方程有两个不相等实根，这时二次函数的图象与x轴有两个交点；

(2)当，则方程有两个相等实根，这时二次函数的图象与x轴有且只有一个交点；

(3)当，则方程没有实根，这时二次函数的图象与x轴没有交点.

举一反三：

【变式1】已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1，其中m为常数，且满足-1

解：∵-1

∴m-2<0，抛物线开口向下，

又m+1>0，抛物线与y轴的交点在x轴上方.

Δ=4m2-4(m-2)(m+1)

=4m2-4(m2-m-2)

=4m+8

=4(m+1)+4>0.

∴抛物线与x轴有两个不同的交点.

【变式2】二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，求m的取值范围.

思路点拨：抛物线总在x轴上方表明(1)开口向上；(2)与x轴没有公共点.

解：由题意

【变式3】一元二次方程x2+(k-1)x+1=0的一根大于2，一根小于2，求k的取值范围.

思路点拨：把方程的根的情况转化为二次函数y=x2+(k-1)x+1与x轴相交的情况.

解：方程一根大于2，一根小于2抛物线y=x2+(k-1)x+1与x轴的两个公共点分布在点(2，0)的两侧，由于抛物线开口向上，

∴当x=2时，y<0

即22+2(k-1)+1<0

类型二：利用图象法求一元二次方程的解

1、（1）阅读材料回答问题：

有如下一道题：画图求方程的解.两位同学的解法如下：

甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解.

乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解.你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流.

答案：

上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画

直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解.所以建议同学们以后尽量用乙的方法.

2、(2011江苏南京)已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．

①求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

②若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

解：①当x=0时，．

所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）

②第一种情况：当时，函数的图象与轴只有一个交点；

第二种情况：当时，若函数的图象与轴只有一个交点

则方程有两个相等的实数根，所以，．

综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．

举一反三：

【变式1】利用函数的图象，求方程的解：

解：先把方程化成x2=-2x+3.

如图：在同一直角坐标系中分别画出函数和的图象，

得到它们的交点(-3，9)和(1，1)，

则方程的解为x=-3或x=1.

总结升华：

一般地，求一元二次方程的近似解时，通常先把方程化成

的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出y=x2和两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解.

【变式2】利用函数的图象，求方程组的解：

思路点拨：可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.

解：在同一直角坐标系中画出函数和的图象，

如图，得到它们的交点坐标(-2，0)，(3，15)，

则方程组的解为.

【变式3】用二次函数图象求出方程的近似解.(精确到0.1)

解：列表：

x -1 0 1 2 3

y -1 -3 -3 -1 3

建立平面直角坐标系，描点并连线，如图

由图象知方程实数根约为：x=-1.3，或x=2.3.

总结升华：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤来解，关键是根据图象来理解方程和函数的内在关系.

类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用

1．已知抛物线的顶点P(3，-2)且在x轴上所截得的线段AB的长为4.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

思路点拨：已知抛物线的顶点坐标及与x轴公共点间的距离时，可利用抛物线的对称性求抛物线与x轴两个公共点坐标，并采用顶点式(待定系数)，可以大大减少计算量.

解：

(1)∵由已知，可得抛物线的顶点为(3，-2)

∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-2且对称轴为x=3，由抛物线的对称性可知，

当抛物线在x轴上截得的线段长为4时，则点A、点B到直线x=3的距离均为2

∴A(1，0)，B(5，0)

∴a(1-3)2-2=0，解得

.

(2)假定存在点Q(m，n)，使S△QAB=12，

又

∴当n=6时，，解得m1=-1，m2=7

当n=-6时，，无实根

∴ Q(-1，6)或(7，6)为所求.

2．已知二次函数y=-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)(其中m为非负整数)，其图象交x轴于点A、点B，且点A在原点左侧，点B在原点右侧.

(1)求此二次函数的解析式；

(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C且S△ABC=10，求一次函数的解析式.

解：

(1)抛物线开口向下，与x轴有两个公共点且分别在原点两侧，表示x=0时y>0

∴m=0

∴y=-x2+2x+3为所求.

(2)令y=0，-x2+2x+3=0解得x1=-1，x2=3

∴A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4

设C(p，q)∴q=-p2+2p+3

∵S△ABC=10，

当q=5时，-p2+2p+3=5，无实根，

当q=-5时，-p2+2p+3=-5，∴p1=-2，p2=4

∴C1(-2，-5)，C2(4，-5)

若y=kx+b过A(-1，0)，C(-2，-5)

若y=kx+b过A(-1，0)，C(4，-5)

∴y=5x+5或y=-x-1为所求.

3．已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(1，0)和直线y=ax+b，它们的系数之间存在如下关系：a>b>c

(1)求证：抛物线与直线一定有两个不同的公共点；

(2)设抛物线与直线的两个公共点为A、B，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为

A1、B1，令，试问是否存在实数k，使线段A1B1的长为，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.

思路点拨：抛物线与直线的公共点情况等价于两个解析式组成的方程组的解的情况，从而转化为一元二次方程的根的判别式的问题.

解：

(1)

∴ax2+(b-a)x+c-b=0

∴△=(b-a)2-4a(c-b)=(b+a)2-4ac

∵y=ax2+bx+c过点(1，0)

∴a+b+c=0

又∵a>b>c

∴a>0，c<0

∴△=(a+b)2-4ac>0，即抛物线与直线一定有两个不同的公共点.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(x1，0)，B1(x2，0)

∴A1B1=|x1-x2|

且x1、x2是ax2+(b-a)x+c-b=0的两个实根

∴k1=-4，k2=8

∵a+b+c=0，且a>b>c

∴a>-a-c>c

∵a>0

∴不存在k的值，使线段A1B1的长为

【变式1】（2011湖南怀化）已知：关于x的方程

（1）当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；（2）求证：a取任何实数时，方程总有实数根. 解：(1)∵二次函数的对称轴是x=-2

∴

解得a=-1

经检验a=-1是原分式方程的解.

所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；

(2)①当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1；

②当a≠0时，原方程为一元二次方程，，

当方程总有实数根，

∴

整理得，

∵a≠0时总成立

所以a取任何实数时，方程总有实数根.

三、综合练习

一、选择题

1. （2011甘肃兰州）抛物线的顶点坐标是（）

A．（1，0）B．（－1，0）C．（－2，1）D．（2，－1）

2．已知：二次函数，下列说法错误的是()

A．当时，随的增大而减小

B．若图象与轴有交点，则

C．当时，不等式＞0的解是1＜＜3

D．若将图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位后过点(1，-2)，则

3．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是()

A．B．C．D．

4．抛物线与x轴交于A、B，则AB的长为()

A．2B．4C．1D．3

5．已知抛物线经过A（-1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，且，则这条抛物线的解析式为（）

A．y=-x2+2x+3B．y=x2-2x-3

C．y=x2+2x-3或y=-x2+2x+3D．y=-x2+2x+3或y=x2-2x-3

6．关于x的两个函数y=x2+2mx+m2和y=mx-m（m≠0）在同一坐标系中的图象可能是（?）

7．抛物线y=-x2+2kx+2与x轴公共点的个数为()

A．0B．1C．2D．以上答案都不对

8. （2011山东菏泽）如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）

A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2a D．ac<0

9．如果直线y=x-1与抛物线y=x2+5x+a2相交，那么它们的公共点必在第___象限.

A．一B．二C．三D．四

10．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-2=0的根的情况是

（）

A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根

C．有两个相等的实数根D．没有实根

二、填空题

11．在同一坐标系中，抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，4），则点B的坐标是________.

12．直线y=2x-1与抛物线y=x2的公共点坐标是__________.

13．抛物线y=5x2与直线y=kx+3的交点为（1，b），则b=________，k=_______.

14．二次函数的部分对应值如下表：

……

……

二次函数图象的对称轴为________，对应的函数值

_________.

15. （2011浙江省舟山）如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是．

16．已知抛物线与轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离为_______

17. 已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2 = kx+m（k≠0）的图象相交于点A （-2，4），B（8，2），如图，则能使y1>y2成立的x的取值范围是________.

三、解答题

18．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)写出方程的两个根.

(2)写出不等式的解集.

(3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围.

(4)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.

19. 已知二次函数，试说明：不论m取任何实数，这个二次函

数的图象必与x轴有两个交点.

20.画出函数的图象，根据图象回答下列问题.

(1)图象与x轴，y轴的交点坐标分别是什么？

(2)当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？

(3)x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？

21.已知：抛物线y=x2+bx+c与直线y=-x-1有唯一的公共点P，并且P点在y轴上，试求b、

c.

22.已知抛物线与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点

N在点M的右边，直线经过点N，求这条抛物线和直线的解析式.

23.（2011广东茂名）给出下列命题：

命题1．点(1，1)是双曲线与抛物线的一个交点．

命题2．点(1，2)是双曲线与抛物线的一个交点．

命题3．点(1，3)是双曲线与抛物线的一个交点．

……

请你观察上面的命题,猜想出命题(是正整数):( ).

24. 如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设该抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点(点在点的左边)，试求点、、的坐标；

(3)设点是轴上的任意一点，分别连结、.试判断：与的大小关系，并说明理由.

一元二次方程经典测试题(附答案解析)

. . . 一元二次方程测试题 考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x（x﹣2）=3x的解为（） A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（） A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣ 1）2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12 C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（） A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（） A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210 7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（） A ．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（） A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1 9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（） A．7 B．11 C．12 D．16

一次函数与一元二次方程.doc

一次函数与一元二次方程 一?填空题 1.一次函数的图象过点A(5, 3)且平行于直线y=3x—丄，则这个函数的解析式 2 为 _______ ? 2.一次函数y=(m2—4)x+(l — m)和y=(m— l)x+m2—3的图彖与y轴分别交于点P 和点Q,若点P与点Q关于x轴对称，则. 3.将一次函数y = nu-3的图象沿y轴的正方向平移3个单位后，与函数y = 2% 的图象互相重合，那么加= 4 一次函数尸kx+3的图彖与坐标轴的两个交点Z间的距离为5,则k的值为. 5关丁兀的方程(zn-V3)x w -1-兀+ 3 = 0是一元二次方程，则加=； 6?已知：|m-l| = 2,则关于x的二次方程(/T?+1)X2 -(m + 5)x + 4 = 0的解是； 二.选择题 7 .方程x2 - 2% - 3 = 0化为(% - m)2 = n的形式，指出加，分别是() A、1和3 B、— 1 和3 C、1 和4 D、— 1 和4 8?函数y=ax-3的图象与y=bx+4的图象交于x轴上一点，那么a ： b等于 A. -4 ： 3 B.4 ： 3 C. (-3) : (-4) D. 3 : (-4) 9?下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是 A. y=—2x B. y=—2x+l C. y=x—2 D. y=—x—2 10.已知一次函数y = kx-k^y随着兀的增人而减小，则该函数图象经过： A.第一，二,三象限 B.第一，二,四象限 C.第二，三,四象限 D.第一，三,四彖限 11.当x=5时一次函数y=2x+k和y=3kx-4的值相同，那么k和y的值分别为 A. 1, 11 B.-1, 9 C.5, 11 D. 3, 3 12?数y=(m+l)x-(4ni-3)的图象在第一、二、四象限，那么m的取值范围是() (A) m<—(B) -\-\ 4 4 13.图中表示一次函数y = mx+n与正比例函数y = m nx(m , n是常数，li mn<0) 图像的是().

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第6讲 转化—可化为一元二次方程的方程

第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程 数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．” 转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解． 【例题求解】 【例1】 若0 51 528 522 2 =-+-+ -x x x x ，则1522--x x 的值为 ． 思路点拨 视x x 522-为整体，令y x x =-522 ，用换元法求出y 即可． 【例2】 若方程x x p -=-2有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是( ) A ．1->p B ．0 ≤p C ．0 1≤<-p D ．0 1<≤ -p 思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注 2≥-=-x x p 的隐含制约． 注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等． 解下列方程： （1） 12 11934 82232 2 22 = +-++ -++x x x x x x x x ； (2)1) 1998() 1999 (3 3 =-+-x x ； （3） 42 )1 13(1 132 =+-+ +-x x x x x x ．

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+

初三数学一元二次方程与二次函数测试题

初三数学第二次月考 班级 姓名 学号 一．选择题(每小题3分，共24分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D. 2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） 4．关于的一元二次方程有实数根，则( ) (A)＜0 (B)＞0 (C)≥0 (D)≤0 1. A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2 =x 5.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 7. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点在第___ 象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次 函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )

二.填空题（每小题4分，共32分） 2. 9.若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________. 10. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________. 11. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析 式为_____________. 12.已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的 根的情况是______________________. 13..若关于的方程 的根是整数，则k 的值可以是______.(只要求写出一个) 14.已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________. 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次 函数的解析式：_____________________. 16.如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点 的坐标是________________. O x y A B 1 1 三．解答题 1．用适当的方法解方程： （1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；

北师大 版九年级数学上册 2.6应用一元二次方程同步练习

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯 2.6 应用一元二次方程 一．选择题 1．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（） A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110 2．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（） A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600 3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，则所列方程正确的是（） A．（1+x）2＝4400B．（1+x）2＝1.44 C．10000（1+x）2＝4400D．10000（1+2x）＝14400 4．某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件72万个．设该厂八九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（） A．500（1+x）2＝72B．50（1+x）＝72 C．50（1+x）2＝72D．50（1+2x）＝72 5．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（） A．x（x+1）＝1035B．x（x﹣1）＝1035

一次函数与一元二次方程

八年级一次函数和一元二次方程练习一、选择题 1.直线 x y3 9- =与x轴交点的坐标是________,与y轴交点的坐标是_______. 2.把直线 1 2 1 - =x y 向上平移2 1 个单位,可得到函数__________________. 3.若点P1（–1，3）和P2（1，b）关于y轴对称，则b= _________ ． 4.若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，则m=_________ ． 5. 函数 y=x的取值范围是_________． 6.如果直线 b ax y+ =经过一、二、三象限，那么ab____0 (“＜”、“＞”或“＝”). 7.若直线 1 2- =x y和直线x m y- =的交点在第三象限,则m的取值范围是__. 8.函数y= -x+2的图象与x轴，y轴围成的三角形面积为_________________. 9.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为___________立方米. 二、选择题 11.函数y＝x-2 x+2 的自变量x的取值范围是（） Ａ．x≥-2 Ｂ.x＞-2 Ｃ．x≤-2 Ｄ．x＜-2 12.一根弹簧原长12cm，它所挂的重量不超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，写出挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（）Ａ．y＝1.5（x+12）(0≤x≤10) Ｂ．y＝1.5x+12 (0≤x≤10) Ｃ．y＝1.5x+10 (0≤x) Ｄ．y＝1.5(x－12) (0≤x≤10) 13.无论m为何实数，直线 m x y2 + =与4 + - =x y的交点不可能在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图），并设法使瓶里的水从瓶中匀速流出.那么该倒置啤酒瓶内水面 高度h随水流出的时间t变化的图象大致是（） A. B. C. D. 15.已知函数 1 2 2 y x =-+ ,当-1＜x≤1时，y 的取值范围是（） A. 53 22 y -<≤ B. 35 22 y << C. 35 22 y <≤ D. 35 22 y ≤< 16.某学校组织团员举行申奥成功宣传活动，从学校骑车出 发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地 宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速 度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B 地返回学校用的时间是（） A.45.2分钟 B.48分钟 C.46分钟 D.33分钟 三、解答题 18、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.求两直线与y轴交点A，B的坐标;求两直线交点C的坐标 求△ABC的面积.

一元二次方程典型例题解析

龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标：1、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点； 2、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法； 3、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析：1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点（这些知识点必须牢牢掌握） 一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程、二次函数知识点总结

一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为 一次项系数，c 为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 （1）配方法：将方程整理成(x+p)2 =q ，方程的根是x=-p ±q 注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。 （2）公式法：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥） （3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别（2 4b ac ?=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根 （2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根 （3）△＜0，方程没有实数根，方程无解 4.韦达定理（根与系数关系） 一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解； ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程 二次函数重要知识点 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零． 2. 平移规律：

【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)

【讲义】二次函数与一 次函数、一元二次方程、不等式(组) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个 数为（） Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值 为 . 例3.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y＝ax2+bx+c图 象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与 x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不 等式ax2＋bx＋c＜0的解集 是 . 例5. 已知P（3,m -)和Q（1，m）是抛物线2 21 y x bx =++上的两点． （1）求b的值； 22 y mx x m =+-m x

（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有 一个交点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=Ｏ

一元二次方程应用题经典题型汇总含答案

z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.

例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答渠道的上口宽2.5m，渠深1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.

一元二次方程与二次函数专题

二次函数与一元二次方程专题 一、知识要点： 二次函数图象与x 轴交点情况： 二、经典例题： 1．y=(m-2)22-m x +x －3=0是关于x 的二次函数，则m 的值是 2.(1)关于x 的二次函数y=22(1)1a x x a -++-经过坐标原点，则=a (2)二次函数y=2 (0)ax bx c a ++≠与x 轴两交点的横坐标分别为1和1-，则=++c b a ，=+-c b a （3）等腰ABC △三边的长都是二次函数y=x 2-5x+6与x 轴两交点的横坐标，则周长是 ． 3．求下列二次函数与x 轴交点坐标. （1）2222y x mx m n =-+- （2）2()2y m n x nx m n =++-+ （0≠+n m ） 4．已知：关于x 的二次函数y=269kx x -+与x 轴有两个交点，则k . 5.已知关于x 的二次函数2 3y x m x m =-＋（）－ 求证：该函数与x 轴必有两个交点.

6.若关于x 的二次函数y=x 2-x+m 和y=（m-1）x 2-2x+1都与x 轴有两个交点，求m 的整数值. 7.当k 为何整数时，关于x 的二次函数y=kx 2－4x ＋4和y=x 2－4kx ＋4k 2－4k －5都与x 轴交于整数点. 8.已知：m 为整数，且二次函数y=x 2－3x ＋m ＋2与x 轴正半轴有两个交点，求m 值. 9.已知：抛物线21y (32)22mx m x m =-+++开口向上． （1）求证：该二次函数与x 轴必有两个交点； （2）设抛物线与x 轴交点为A （1x ，0），B （2x ，0）（A 在B 左侧）．若2y 是关于m 的函数，且2212y x x =-， 求这个函数的解析式； （3）若AB=3，求抛物线的解析式.

一元二次方程的起源和应用

一元二次方程的起源与应用 一年七班 唐梦雷 一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 二、 起源 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。 三、一元二次方程的广泛应用 例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ （1）35 22=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+ x x ；（8）522=+y x 注意点： ①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数． 例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)

二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x ，y 满足x 2 ＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣（k+1）x ﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2 +bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 . 例5. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2 21y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有， 2 2y mx x m =+-m x

求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2 －4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交 点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数 与轴必然相交于 点，此时 ． 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =Ｏ

2021年江西省中考数学复习第6讲 一元二次方程及其应用(精选练习)

第6讲 一元二次方程及其应用 一、选择题 1．(2020·泰安)将一元二次方程x 2－8x －5＝0化成(x ＋a )2＝b (a ，b 为常数)的形式，则a ，b 的值分别是( A ) A ．－4，21 B ．－4，11 C ．4，21 D ．－8，69 2．(2020·临沂)一元二次方程x 2－4x －8＝0的解是( B ) A ．x 1＝－2＋2 3 ，x 2＝－2－2 3 B ．x 1＝2＋2 3 ，x 2＝2－2 3 C ．x 1＝2＋2 2 ，x 2＝2－2 2 D ．x 1＝2 3 ，x 2＝－2 3 3．(2020·河南)定义运算：m ☆n ＝mn 2－mn －1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x ＝0的根的情况为( A ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．只有一个实数根 4．(2020·江西上饶模拟)某公司前年缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x ，则列方程( D ) A ．20(1＋x )3＝24.2 B ．20(1－x )2＝24.2 C .20＋20(1＋x )2＝24.2 D ．20(1＋x )2＝24.2 5．(2020·江西南昌二模)已知矩形的长和宽是方程x 2－7x ＋8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为( D ) A ．6 B ．7 C ．41 D ．33 6．(2020·铜仁)已知m ，n ，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋2＝0的两个根，则k 的值等于( B ) A ．7 B ．7或6 C ．6或－7 D ．6 二、填空题 7．(2020·荆门)已知关于x 的一元二次方程x 2－4m x ＋3m 2＝0(m ＞0)的一个根比另一个根大2，则m 的值为__1__． 8．关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 可取的最大整数为__6__． 9．(2020·江西新余模拟)已知一元二次方程3x 2－x －1＝0的两根分别为α和β，则3α2＋2α＋3β＝__2__． 10．(2020·邵阳)中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为__x (x ＋12)＝864__． 三、解答题 11．(2020·无锡)解方程：x 2＋x －1＝0. 解：x 1＝－1＋52 ，x 2＝－1－52 .

一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程 专题一：一元二次方程的定义 典例分析： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解 典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 专题三：一元二次方程的求解方法 典例分析： 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 ． 难度训练： 1、如果二次三项式16)122++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.

一元二次方程与二次函数的应用题精选题

一、一元二次方程的应用题 1．（2010年长沙）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？ 解：（1）设平均每次降价的百分率是x ，依题意得 ………………………1分 5000（1－x ）2= 4050 ………………………………………3分 解得：x 1=10％ x 2＝ 19 10 （不合题意，舍去） …………………………4分 答：平均每次降价的百分率为10％． …………………………………5分 （2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝（元） ……………………6分 方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝（元） ……7分 ∵＜ ∴选方案①更优惠． ……………………………………………8分 2．（2010年成都）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆． （1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆． 答案：26.. 解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。根据题意，得 2 150(1)216 x += 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）。 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。 （2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆，2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%y y ?+?+万辆。根据题意得 (21690%)90%231.96y y ?+?+≤ 解得30y ≤ 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。

【教学设计】2.6.应用一元二次方程(第一课时)教学设计(北师大版九年级数学上册)

第二章一元二次方程 6．应用一元二次方程（一） 一、学生知识状况分析 学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不陌生，对于实际问题的应用，虽然在七、八年级学生已经进行了有关的训练，但还是有一定的难度。 由于本节内容针对的学习者是九年级上学期的学生，已经具备了一定的生活经验和初步的解一元二次方程的经验，乐意并能够与同伴进行合作交流。 二、教学任务分析 本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的， 而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是：知识目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。 能力目标： 1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型； 2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力； 情感态度价值观：④在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节： 第一环节：回忆巩固，情境导入；第二环节: 做一做， 探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第 五环节：布置作业。 第一环节；回忆巩固，情境导入 问题吗？ ①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动 的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端 滑动的距离和它相等呢？ ②如果梯子长度是13米，梯子顶 端下滑的距离与梯子 底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少? 分组讨论: ① 怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理 来列方程？ ② 涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底 是多少。 活动目的：以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理中 边长的关系 为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望， 用学生已有的知 识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。 活动的实际效果：大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上 述问题进行 思考，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果， 而且也调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的 基础。 活动内容：提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的 C1) (2) E ?1 ni n