2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题(含答案详解)
2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题
1. 如图①是半径为2的半圆，点C 是︵
AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合，
则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．4π3
B ．4π3 -3
C ．23+π3
D ．23-23
π
2. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将︵
AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心O ．若⊙O 的半径为
6，则图中阴影部分的面积等于（ ） A ．6π B ．93 C ．9π D ．63
3. 如图，将⊙O 的劣弧︵
AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵
AB 于点C ，连接BC 、BD ；
若BC=5，则BD= ．
4. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰
好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ） A ．3.2 B ．3.6 C ．3.8 D ．4.2
5.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在
弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（）
A．9π-9 B．9π-63
C．9π-18 D．9π-123
6.如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ
将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为．
7.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切
线OC的长为（）
A．22B．5
C．3 D．11
8.如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB
长为（）
A．42B．82
C．6 D．62
9. 已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，
使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为（ ） A ．8cm B ．38cm C ．72cm D ．47cm
10. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰
好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ） A ．3.2 B ．3.6 C ．3.8 D ．4.2
11. 如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=6，DB=7，则BC 的长是（ ）
A ．91
B ．37
C ．134
D ．130
12. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧 AB ︵
上，将弧︵
BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则
下列结论中错误的是（ ） A ．AC=CD B ．︵
AC +︵
BD =︵
BC C ．OD ⊥AB D ．CD 平分∠ACB
13. 如图，点O 是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB 和弧BC 都经
过圆心O ，则阴影部分的面积为（ ） A ．2π B ．3π C ．
34π D ．5
3
14. 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=22，∠BAC=45°，将劣弧︵
AB 和︵
AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于
点M ，点S 、T 是弦AB 、AC 上的动点，则△MST 的周长的最小值为（ ） A ．22 B ．4 C ．24 D ．8
15. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧?ACB 上，将弧沿?BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O 的半径为
5，AB=4，则BC 的长是 ．
16. 如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将︵
AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的︵
AB 上一
动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论： ①∠ACB=120°， ②△ACD 是等边三角形， ③EO 的最小值为1，
其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）
17. 如图，将︵
AB 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆
于D ，连接BC ．
（1）求证：BC=BD；
（2）若AC=1，CD=4，︵
AB=120°，求弦AB的长和圆的半径．
18.如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将︵
CD 沿CD翻折后，点A
与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC （1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为︵
ADB 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交︵
BC 于点F（F与B、
C不重合）．问GE?GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
19.如图1和图2，AB是⊙O的直径，AB=10，C是⊙O上的一点，将︵
BC 沿弦BC翻折，交AB于点D．
（1）若点D与圆心O重合，直接写出∠B的度数；（2）设CD交⊙O于点E，若CE平分∠ACB，
①求证：△BDE是等腰三角形；
②求△BDE的面积；
（3）将图1中的︵
BD 沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的
︵
BD 的中点，直接写出∠B的
度数．
20.如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC=3：5，AB=8．
（1）求⊙O的半径；
（2）点E为圆上一点，∠ECD=15°，将︵
CE 沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．
21.如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（3，0），半径为2的⊙M交x轴于E、F两点，过
点P（-1，0）作⊙M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交⊙M于点B．抛物线y=ax2+bx+c 经过P、B、M三点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；
（3）如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，并说明理由．
2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题
22. 如图①是半径为2的半圆，点C 是︵
AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合，
则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．4π3
B ．4π3 -3
C ．23+π3
D ．23-23
π
【分析】连接OC 交MN 于点P ，连接OM 、ON ，根据折叠的性质得到OP=1
2OM ，得到∠POM=60°，根
据勾股定理求出MN ，结合图形计算即可．
【解答】解：连接OC 交MN 于点P ，连接OM 、ON ，
由题意知，OC ⊥MN ，且OP=PC=1， 在Rt △MOP 中，∵OM=2，OP=1，
∴cos ∠POM=OPOM=1
2，AC=22OP OM =3，
∴∠POM=60°，MN=2MP=23， ∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则图中阴影部分的面积=S 半圆-2S 弓形MCN =12×π×22-2×（120π×22360 -12×23×1）=23-23π， 故选：D ．
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
23. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将︵
AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心O ．若⊙O 的半径为
6，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A ．6π
B ．93
C ．9π
D ．63
【分析】由题意△OBC 是等边三角形，弓形OnB 的面积=弓形BmC 的面积，根据S 阴=S △OBC 计算即可． 【解答】解：如图，连接OB ，BC ．
由题意△OBC 是等边三角形，弓形OnB 的面积=弓形BmC 的面积， ∴S 阴=S △OBC=4
3
×62=93， 故选：B ．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，垂径定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24. 如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵
AB 于点C ，连接BC 、BD ；
若BC=5，则BD= ．
【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到∠ADB=∠BCD ，根据等腰三角形的判定定理解答． 【解答】解：由翻转变换的性质可知，
∠ADB 所对的弧是劣弧︵
AB ， ∠CAB 所对的弧是劣弧︵ BC ， ∠CBA 所对的弧是劣弧︵ AC ， ∴∠ADB=∠CAB+∠CBA ，
由三角形的外角的性质可知，∠BCD=∠CAB+∠CBA ，
∴∠ADB=∠BCD，
∴BD=BC=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
25.如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰
好经过点O，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）
A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2
【分析】作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．
【解答】解：如图，作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，
可得M、A、M′三点共线，MA=M′A，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．
连接AB'，
∵四边形AMNB'是圆内接四边形，
∴∠M'AB'=∠M'NM，
∵∠M'=∠M'，
∴△M'AB'∽△M'NM，
∴M′A
M′N＝
M′B′
M′M
∴M′A?M′M=M′B′?M′N，即M′A?2M′A=4×10=40．则M′A2=20，又∵M′A2=M′N2-AN2，
∴20=100-AN2，
∴AN=45．故选：B．
【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．
26. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在
弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，则整个阴影部分的面积为（ ） A ．9π-9 B ．9π-63 C ．9π-18 D ．9π-123
【分析】首先连接OD ，由折叠的性质，可得CD=CO ，BD=BO ，∠DBC=∠OBC ，则可得△OBD 是等边三角形，继而求得OC 的长，即可求得△OBC 与△BCD 的面积，又在扇形OAB 中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB 的面积，继而求得阴影部分面积．
【解答】解：连接OD ．根据折叠的性质，CD=CO ，BD=BO ，∠DBC=∠OBC ，∴OB=OD=BD ，即△OBD
是等边三角形， ∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=1
2∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°， ∴OC=OB?tan ∠CBO=6×
3
3
=23， ∴S △BDC =S △OBC =12×OB×OC=1
2×6×23=63，
S 扇形AOB =90
360
?π×62=9π，
∴整个阴影部分的面积为：S 扇形AOB -S △BDC -S △OBC =9π-63-63=9π-123．故选：D ．
【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
27.如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ
将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP
的最大距离为．
【分析】作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，于是得到OP=
1
2R
cos∠POE，推出△OO′Q为等边三
角形，根据等边三角形的性质得到OQ=O′Q=OO′=R，当cos∠POE最小时，∠POE最大，当∠QOB=0°时，∠POE=30°于是得到结论．
【解答】解：作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，
∴OP=
1
2R
cos∠POE，
∵△OO′Q为等边三角形，
∴OQ=O′Q=OO′=R，∠POE+∠QOB=30°，当cos∠POE最小时，∠POE最大，
当∠QOB=0°时，∠POE=30°，
∴OP=
1
cos30°=3
3
2
．
故答案为：
33
2
．
【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正确的在才辅助线是解题的关键．
28.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切
线OC的长为（）
A ．22
B ．5
C ．3
D ．11
【分析】根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧AB 所在的圆和⊙O 全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案． 【解答】解：根据题意画出图形如下所示：
BD=4，OB=5，
点O′为翻转过后的弧AB 所在圆的圆心， 则有O′D=OD=2245-=3．又O′C=5，O′O=6， ∴OC=22C ′O O ′O -=2256-=11．故选：D ．
【点评】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧AB 所在圆的圆心是解题关键．
29. 如图，将半径为12的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB
长为（ ）
A ．42
B ．82
C ．6
D ．62
【分析】延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB 的长 【解答】解：延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，
∵CE ⊥AB ， ∴E 为AB 的中点， ∵OC=6，CD=2OD ， ∴CD=4，OD=2，OB=6，
∴DE=12（2OC-CD ）=12（6×2-4）=1
2×8=4，
∴OE=DE-OD=4-2=2，
在Rt △OEB 中，∵OE 2+BE 2=OB 2， ∴BE=22OE OB -=2246-42 ∴AB=2BE=82．故选：B ．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
30. 已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，
使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为（ ） A ．8cm B ．38cm C ．72cm D ．47cm
【分析】连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，根据翻折的性质得出OF′=6，再由勾股定理得出．
【解答】解：连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，
∵OC′=8cm ， ∴OF′=6cm ，
∴C′F′=CF=2268-=27cm ，F
∴CD=2CD=47cm ．故选：D ．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握．
31. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰
好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）
A ．3.2
B ．3.6
C ．3.8
D ．4.2
【分析】作OE ⊥AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ，根据折叠的性质得到OE=1
2OF ，求出∠ACB 的度数即可解
决问题．
【解答】解：作OE ⊥AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ．连接OB ，BC ．
由折叠的性质可知，EF=OE=1
2OF ，
∴OE=12OA ，
在Rt △AOE 中，OE=1
2OA ，
∴∠CAB=30°， ∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°，∠BOC=2∠BAC=60°， ∵AB=4，
∴BC=1
2
AB=2，AC=3BC=23，
∴线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积为
S=12?AC?B C+S 扇形OBC -S △OBC =12×23×2+60π?22360-4
3×22=3+23π≈3.8，故选：C ．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
32. 如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=6，DB=7，则BC 的长是（ ） A ．91 B ．37 C ．134 D ．130
【分析】连接CA 、CD ，根据翻折的性质可得弧CD 所对的圆周角是∠CBD ，再根据AC 弧所得的圆周角也是∠CBA ，然后求出AC=CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=1
2 AD ，
根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后求出△ACE 和△CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE 2，再求出BE ，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC ．
【解答】解：如图，连接CA 、CD ， 根据折叠的性质，弧CD 所对的圆周角是∠CBD ， ∵弧AC 所对的圆
周角是∠CBA ，∠CBA=∠CBD ，
∴AC=CD （相等的圆周角所对的弦相等），
过点C 作CE ⊥AB 于E ， 则AE=ED=12AD=12×6=3，
∴BE=BD+DE=7+3=10， ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∵CE ⊥AB ， ∴∠ACB=∠AEC=90°，
∴∠A+∠ACE=∠ACE+∠BCE=90°， ∴∠A=∠BCE ， ∴△ACE ∽△CBE ，
∴AE CE = CE
BE ， 即CE 2=AE?BE=3×10=30， 在Rt △BCE 中，BC=22CE BE + = 30102+= 130，
故选：D ．
【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD 是解题的关键．
33. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧 AB ︵
上，将弧︵
BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则
下列结论中错误的是（ ） A ．AC=CD B ．︵
AC +︵
BD =︵
BC C ．OD ⊥AB D ．CD 平分∠ACB
【分析】A 、作辅助线，构建折叠的性质可得AD=CD ；
B 、相等两弧相加可作判断；
C 、根据垂径定理可作判断；
D 、延长OD 交⊙O 于
E ，连接CE ，根据垂径定理可作判断．
【解答】解：A 、过D 作DD'⊥BC ，交⊙O 于D'，连接CD'、BD'，
由折叠得：CD=CD'，∠ABC=∠CBD'， ∴AC=CD'=CD ，故①正确；
B 、∵AC=CD'，∴︵
AC ＝︵
CD′ ，由折叠得：︵
BD ＝︵
BD ′，
∴︵ AC+︵ BD=︵
BC ，故②正确；
C 、∵
D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，故③正确； D 、延长OD 交⊙O 于
E ，连接CE ，∵OD ⊥AB ，
∴∠ACE=∠BCE ，∴CD 不平分∠ACB ，故④错误；故选：D ．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
34. 如图，点O 是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB 和弧BC 都经
过圆心O ，则阴影部分的面积为（ ）
A ．2π
B ．3π
C ．
34π D ．5
3
【分析】作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S 扇形AOC 得出阴影部分的面积是⊙O 面积的13，即可得出答案．
【解答】解：作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，如图所示：
∵OD=1
2AO ∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°， 同理∠BOC=120°， ∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S 扇形BOC =13×⊙O 面积=1
3
×π×32=3π，故选：B ．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识；解题的关键是确定∠AOC=120°．
35. 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=22，∠BAC=45°，将劣弧︵
AB 和︵
AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于
点M ，点S 、T 是弦AB 、AC 上的动点，则△MST 的周长的最小值为（ ） A ．22 B ．4 C ．24 D ．8
【分析】作点M 关于AB 的对称点M ′，关于AC 的对称点M ″，根据折叠的性质得到点M ′，M ″在圆周上，连接M ′M ″，交AB 于S ，交AC 于T ，则△MST 的周长最小，连接AM ′，AM ″，OB ，OC ，根据圆周角定理得到M ′M ″是⊙O 的直径，即可得到结论．
【解答】解：作点M 关于AB 的对称点M′，关于AC 的对称点M″，
∵将劣弧AB 和AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ， ∴点M′，M″在圆周上，
连接M′M″，交AB 于S ，交AC 于T ， 则△MST 的周长最小， 连接AM′，AM″，OB ，OC ， 则∠M′AM″=2∠BAC ， ∵∠BAC=45°，
∴∠M′AM″=∠BOC=90°， ∵BC=22，∴OB=2， ∴M′M″=2OB=4，
∴△MST 的周长的最小值为4，故选：B ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
36. 如图，在⊙O 中，点C 在优弧?ACB 上，将弧沿?BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O 的半径为
5，AB=4，则BC 的长是 ．
【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=1
2AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆
为等圆，则根据圆周角定理得到︵ AC=︵
CD ，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=32．
【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，
∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∴AD=BD=1
2
AB=2，
在Rt △OBD 中，OD=22BD OB -=2
2
2)5(-=1， ∵将弧︵
BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ∴︵ AC 和︵
CD 所在的圆为等圆， ∴︵ AC=︵
CD ， ∴AC=DC ， ∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF=EF=1，
在Rt △OCF 中，CF=22OF CO -=22
1)5(-=2， ∴CE=CF+EF=2+1=3， 而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=32．故答案为32．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
37. 如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将︵
AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的︵
AB 上一
动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD 是等边三角形，③EO 的最小值为1，其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）
(专题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案
（专题精选）初中数学圆的易错题汇编及答案 一、选择题 1．“直角”在几何学中无处不在，下列作图作出的AOB ∠不一定．．． 是直角的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据作图痕迹，分别探究各选项所做的几何图形问题可解. 【详解】 解：选项A 中，做出了点A 关于直线BC 的对称点，则AOB ∠是直角. 选项B 中，AO 为BC 边上的高，则AOB ∠是直角. 选项D 中，AOB ∠是直径AB 作对的圆周角，故AOB ∠是直角. 故应选C 【点睛】 本题考查了尺规作图的相关知识，根据基本作图得到的结论，应用于几何证明是解题关键． 2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．3 B ．36ππ C ．312π D ．48336ππ 【答案】C 【解析】 【分析】 易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．
【详解】 连接OE ，OF ． ∵BD=12，AD ：AB=1：2， ∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形= 603616,633933602OEB S ππ?==??=V ∵两个阴影的面积相等， ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选：C 【点睛】 本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，点P 是以C （﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C 上的一个动点，已知A （﹣1，0），B （1，0），连接PA ，PB ，则PA 2+PB 2的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 【答案】C 【解析】 【分析】 设点P （x ，y ），表示出PA 2+PB 2的值，从而转化为求OP 的最值，画出图形后可直观得出OP 的最值，代入求解即可． 【详解】 设P （x ，y ）， ∵PA 2＝（x +1）2+y 2，PB 2＝（x ﹣1）2+y 2， ∴PA 2+PB 2＝2x 2+2y 2+2＝2（x 2+y 2）+2， ∵OP 2＝x 2+y 2， ∴PA 2+PB 2＝2OP 2+2， 当点P 处于OC 与圆的交点上时，OP 取得最值，
初三数学圆经典例题
一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，
则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E
人教版八年级数学下册《矩形中的折叠问题》
《矩形中的折叠问题》教学设计 一、内容和内容解析 （一）内容 人教版八年级下册《矩形中的折叠问题》 (二)内容解析 在初中数学中，矩形的折叠是我们常见的一种数学问题，也是初中数学新教材中的一个重要内容，在中考中常以选择、填空的形式出现.这类问题的解决是有规可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形定量的不变性，在初中几何全等型问题的解决中，具有很重要的运用价值，一些要通过作辅助线进行全等证明的数量关系，由图形的折叠变换就可以直接得到. 矩形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕(即对称轴)及其两侧的全等图形，然后利用勾股定理的性质，还可以连接对称点，利用轴对称的性质进行推理、计算。本节课选择矩形折叠中最常见求角度、求线段长两类题型为学习内容。 (三)教学重点 熟练掌握矩形折叠问题中求角度和求线段长的方法。 二、目标和目标解析 （一）目标 新课程标准注重教学内容与现实生活的联系，注重学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。 知识与技能：1.掌握折叠问题的方法；2.掌握折叠问题中求角度和求线段长的方法。 过程与方法：通过探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过经历矩形折叠问题的探究，掌握探究问题的方法；体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.
情感态度价值观：提供探究问题的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验。 （二）目标解析 1.通过探究使学生得到解决折叠问题的方法。 2.让学生经历折叠——观察——验证——归纳的认知过程，培养学生解决问题的能力。 3.让学生通过探究，寻找到解决折叠问题的思路，并且从中体会探究过程中所渗透的数学思想。 4.探究过程中引导学生自己去发现问题，解决问题，从而培养学生分析问题，解决问题的能力。 5.在展示环节中鼓励学生勇于展示，善于展示，让学生体验成功，激发学生的探究精神和几何学习的兴趣。 三、教学问题诊断分析 （1）认知基础：学生已经学习过全等三角形、轴对称以及矩形，对全等三角形、轴对称以及矩形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验基础。（2）心理特征：八年级学生处于青春期，好动，好表现，求知欲望高，有较强的动手能力，获得外界评价的意识强。同时学生又缺乏将动手过程转化为几何语言的能力。从学生的认知基础和心里特征不难看出学生已经拥有了相应的知识基础和探究经验，但同时学生又普遍缺乏透过现象看本质，寻找出折叠的规律。课堂教学中要对学生进行知识、方法、能力方面的梳理，引导学生自己去发现问题，解决问题，从而形成能力。进一步提高学生综合解决数学问题的能力，掌握数学方法和技能。要尽量多地引导学生通过多种方法，合作探究，解决折叠
中考数学圆的综合-经典压轴题及答案
中考数学圆的综合-经典压轴题及答案 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD，
∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC． （1）若∠G=48°，求∠ACB的度数； （2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF； （3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值． 【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4
初三数学圆专题经典 含答案
欢迎来主页下载---精品文档 九年级数学第二十四章圆测试题（A） 一、选择题（每小题3分，共33分） ，最aO上的点的最大距离为·资阳）若⊙O所在平面内一点P到⊙1．（2005 ），则此圆的半径为（小距离为b（a>b）b?baa?．A B．221 ——A图24ba?a?b ba?a?b或或 D ．C．22，则弦的长为3到弦AB的距离OM1A—，⊙O的直径为10，圆心O2．（2005·浙江）如图24—）AB的长是（ ．8 DC．7 B．6 A．4 ）°，则∠BOC的度数为（3．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80120°D．80°C．160°A．40°B．）OBC的度数为（，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠4．如 图24—A—270°D．°C．50°A．20°B．40 4 —AA——3 图图24—A—242 图24—5 —A—图24 点钉OB在O—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、5．如图24—A个OE=8个单位，OF=6在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度）单位，则圆的直径为（B．10个单位A．12个单位 15个单位D．个单位C．1 ）等于（°，则∠A 为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60—6．如图24A—4，AB°D．30．50°C．40°A．80°B、PA 于点E，分别交A、B，CD切⊙O，—A—5P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于7．如图24 ）的周长为（、D，若PA=5，则△PCDPB于点C10 D．7 C．8 ．A．5 B，为防雨需在粮仓顶部铺上，母线长为3m8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ）油毡，则这块油毡的面积是（
中考数学专题复习圆的综合的综合题
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，
九年级 圆的专题-初三数学关于圆的大题
九年级 圆的专题（含答案） 1. 求证：若半径为R 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内 切圆，且此圆半径不大于2 R ． 解析 如图，已知圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，垂足为P ，P 在AB 、BC 、CD 、DA 上的射影分别为E 、F 、G 、H ，则由几组四点共圆易知 sin sin sin 2AC BD EH FG AP BAD CP BCD AC BAD R ?+=∠+?∠=∠∠= ，同理EF HG +也是此值，因此四边形EFGH 有内切圆． 由于FEP CBD CAD HEP ∠=∠=∠=∠，故EP 平分FEH ∠，同理HP 、GP 、FP 平分另外3个角，P 为四边形EFGH 的内心．于是内切圆半径sin sin sin 2AD r PF PFG PF ACD PF PC ACB R =?∠=?∠=?=?∠? 2 2 24222AD PC AB AD PC PA R R R R R R ???==≤=．取到等号仅当P 为圆心时． 2. 如图(a)，已知O e 的直径为AB ，1O e 过点O ，且与O e 内切于点B ．C 为O e 上的点，OC 与 1O e 交于点D ， 且满足OD CD >，点E 在线段OD 上，使得D 为线段CE 的中点，连结BE 并延长，与1O e 交于点F ，求证：BOC △∽1DO F △． 解析 如图(b)，连结BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=?，结合DC DE =，可得BDE △≌BDC △． 设BC 与1O e 交于点M ，连结OM ，则90OMB ∠=?，于是OM 平分COB ∠，从而有 122222BOC DOM DBM DBC DBE DBF DO F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠． 又因为BOC ∠，1DO F ∠分别是等腰BOC △，1DO F △的顶角，所以BOC △∽1DO F △． 3. I 是ABC △的内心，线段AI 延长交ABC △的外接圆于D ，若3AB =，4AC =，且IBC DBC S S =△△， 求BC ． 解析 如图，设BC 与AD 交于E ，则IE ED x ==，2BD CD ID x ===，又设AE y =，由于在等腰三角 形BCD 中，有熟知的结论22BD DE BE CE AE ED -=?=?，此即23x yx =，3y x =，故2AB AC AI BC IE +==， 72 BC =． C F G P H D B E A (b) (a)O 1A O B M E C D F O 1 O B E C D F
(完整)初三数学有关圆的经典例题
初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 分 析 ： ()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；
（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>? ?
专题训练矩形中的折叠问题
专题训练(一) 矩形中的折叠问题 (本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做) 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 B．10 C．8 D．6 2．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________． 4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2. 5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求： (1)FC的长； (2)EF的长．
AD＝8 cm，DE＝6 cm. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)求BF的长； (3)求折痕AF长． 7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E. (1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上若能，请求出m的值；若不能，请说明理由． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10. (1)求矩形ABCD的周长； (2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处． ①求DE的长； ②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．
初三数学圆知识点复习专题经典
《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A
r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B
初三数学圆专题经典(含答案)
九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的 最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ．2b a + B ．2 b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 图24—A
5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切 于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆 组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π
专题训练(一) 矩形中的折叠问题
专题训练(一) 矩形中得折叠问题 (本专题部分习题有难度,请根据实际情况选做) 1.如图,在矩形ABCD中,AB＝8,BC＝4,将矩形沿AC折叠,则重叠部分△AFC得面积为( ) A.12 B.10 C.8 D.6 2.如图,已知矩形纸片ABCD,点E就是AB得中点,点G就是BC上得一点,∠BEG＝60°、现沿直线GE将纸片折叠,使点B落在纸片上得点H处,连接AH,则图中与∠BEG相等得角得个数为( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 3.如图,将矩形ABCD沿直线EF对折,点D恰好与BC边上得点H重合,∠GFP＝62°,那么∠EHF得度数等于________. 4.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B与点D重合,折痕为EF、若AB＝3 cm,BC＝5 cm,则重叠部分△DEF得面积就是________cm2、 5.如图,折叠矩形一边AD,点D落在BC边得点F处,BC＝10 cm,AB＝8 cm,求: (1)FC得长; (2)EF得长. 6.如图,四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,折痕为AF,且AB＝10 cm,AD＝8 cm,DE＝6 cm、 (1)求证:四边形ABCD就是矩形; (2)求BF得长; (3)求折痕AF长. 7.将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A得坐标为(0,4),点C得坐标为(m,0)(m＞0),点D(m,1)在BC上,将矩形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B得对应点为点E、
(1)当m＝3时,求点B得坐标与点E得坐标;(自己重新画图) (2)随着m得变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上？若能,请求出m得值;若不能,请说明理由. 8.如图,矩形ABCD中,AB＝8,AD＝10、 (1)求矩形ABCD得周长; (2)E就是CD上得点,将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处. ①求DE得长; ②点P就是线段CB延长线上得点,连接PA,若△PAF就是等腰三角形,求PB得长. (3)M就是AD上得动点,在DC上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处,求线段CT长度得最大值与最小值之与. 参考答案 1、B 2、A 3、56° 4.5.1 5、(1)由题意可得AF＝AD＝10 cm, 在Rt△ABF中,AB＝8 cm,AF＝10 cm, ∴BF＝6 cm、 ∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm). (2)由题意可得EF＝DE,可设EF得长为x, 则在R t△EFC中,(8－x)2＋42＝x2,解得x＝5, 即EF得长为5 cm、 6、(1)证明:∵把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上, ∴AE＝AB＝10,AE2＝102＝100、 又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100, ∴AD2＋DE2＝AE2、 ∴△ADE就是直角三角形,且∠D＝90°、 又∵四边形ABCD为平行四边形, ∴四边形ABCD就是矩形. (2)设BF＝x,则EF＝BF＝x,EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm),FC＝BC－BF＝8－x, 在Rt△EFC中,EC2＋FC2＝EF2, 即42＋(8－x)2＝x2、 解得x＝5、 故BF＝5 cm、 (3)在Rt△ABF中,由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2, ∵AB＝10 cm,BF＝5 cm, ∴AF＝102＋52＝55(cm). 7.(1)如图,点B得坐标为(3,4).
中考数学圆的综合综合经典题及详细答案
中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4，
∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90°
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
(完整版)中考数学圆-经典压轴题(带答案)
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA． （1）求证：BC=CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD =，求DF的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．
3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ． (1)求证：AC 平分∠DAB ； (2)求证：△PCF 是等腰三角形； (3)若tan ∠ABC= 3 4，BE=72，求线段PC 的长． 4.
5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=。 （1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。 6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
初中数学“圆”专题复习(初三必备)
初中数学“圆”专题复习（初三必备） 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1 ， S 2 之间的关系是（） A．S 1＜S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 =S 2 D．不确定 例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例2 在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（） A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米
初三数学圆专题经典 (含答案)
九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ． 2b a + B ．2b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦 AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．2 6m B ．2 6m π C ．2 12m D ．2 12m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．5 12 C ．2 D ． 3 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4
(完整版)九年级数学中考圆专题复习
九年级圆专题复习 第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。 一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测 1. （2013?武汉四月调考）在圆O 中，AB 为直径，PC 为弦，且PA=PC. （1）如图1，求证：OP//BC ； （2）如图2，DE 切圆O 于点C ，若DE//AB ，求tan ∠A 的值。 2. （2013?武汉中考）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB 、PC （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3 ； （2）如图②，若sin ∠BPC= 25 24 ,求tan ∠PAB 的值。 3. （2014?武汉四月调考）已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点． （1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ； （2）如图2，若sin ∠P=，求tan ∠C 的值．
4.（2014?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5 (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长 5.（2015?武汉四月调考）已知：⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，点D 在边AC 上，AD ＝AO ． （1）如图1，若弦BE ∥OD ，求证：OD=BE ； （2）如图2，点F 在边BC 上，BF ＝BO ，若OD ＝2 2 ，OF ＝3，求⊙O 的直径． 6.（2015?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ． （1）求证：AT 是⊙O 的切线； （2）连接OT 交⊙O 于点C ，连接AC ，求tan ∠TAC ． 7.（2016?武汉四月调考） 已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交⊙O 于点D ． (1)如图1，求证：BD= ED ； (2)如图2,AO 为⊙O 的直径，若BC= 6,sin ∠BAC=5 3 ，求OE 的长． E D O A B C F D O A B C
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